BAB I ANALISIS VEKTOR

1.11.1 SKALAR DAN VEKTORSKALAR DAN VEKTOR Skalar

• Hanya mempunyai besar• Contoh : massa, volume, temperatur, energi

Vektor

• Mempunyai besar dan arah• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan

Medan skalar

• Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : EP = m g h

Medan vektor

• Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

• Metoda jajaran genjang• Metoda poligon

A

BC = A + B

B

A

C = A + B

A

- B

D = A - B

D = A – B = A + (- B)

PERKALIAN TITIKPERKALIAN TITIK HASILNYA SKALARHASILNYA SKALAR

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosAB

cosBABA

AB

AB

PERKALIAN SILANGPERKALIAN SILANG HASILNYA VEKTORHASILNYA VEKTOR

ABasinBABA NAB

A

AB

A B

B

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az

• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az

• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

• VEKTOR POSISIVEKTOR POSISI

zyxP

zyxP

aa2a2r

a3a2ar

• Vektor antara 2 titik

zyx

zyxQPPQ

a2a4a

a)31(a)22(a)12(rrR

Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

* ELEMEN LUAS (VEKTOR) DY DZ AX DX DZ AY DX DY AZ

* ELEMEN VOLUME (SKALAR) DX DY DZ

PERKALIAN TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

zzyyxx

yzzyxzzxxyyx

zzyyxx

oo

B2z

2y

2x

2z

2y

2x

zzyyxxzzyyxx

BABABABA

0aaaa0aaaa0aaaa

1aa1aa1aa

090cos10cos

B

BaBBBBAAAA

B,AcosBABA

aBaBaBBaAaAaAA

• PROYEKSI VEKTOR A PADA VEKTOR BPROYEKSI VEKTOR A PADA VEKTOR B

B

A

AB

Proyeksi A pada B

BB a)aA(

CONTOH SOAL 1.1 DIKETAHUI TIGA BUAH TITIK A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) DAN C(- 2, 3, 1). TENTUKAN :A). RAB RAC

B). SUDUT ANTARA RAB DAN RAC

C). PROYEKSI VEKTOR RAB PADA RAC

Jawab :

899,44416R660,825491R

20)2)(5()2)(7()4)(1(RR

a2a2a4Ra5a7aR

ACAB

ACAB

zyxACzyxAB

zyxzyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4

a2a2a4

R

Ra

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20

RR

RRcos

Proyeksi RAB pada RAC :

)a665,1a665,1a330,3

)a408,0a408,0a816,0(08,4

a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(

zyx

zyx

ACACACAB

PERKALIAN SILANG DALAM SISTEM KOORDINAT PERKALIAN SILANG DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIANKARTESIAN

A

AB

A B

B

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA

190sin00sin

ABasinBABA

oo

NAB

yzxzy

xzyzxxyzyx

zzyyxx

aaaaa

aaaaaaaaaa

0aa0aa0aa

zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA

CONTOH SOAL 1.2 :SEBUAH SEGITIGA DIBENTUK OLEH A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) DAN C(0, 3, 1). TENTUKAN :A). RBC RBA

B). LUAS SEGITIGA ABCC). VEKTOR SATUAN YANG TEGAK LURUS PADA BIDANG SEGITIGA 

Jawab :

899,44416R660,825491R ACAB

zyx

zyx

zyx

BABC

a26a6a24

a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375

313

aaa

RR

944,172

888,35

2

26624

2

RRABC

222BABC

zyxzyx

N a725,0a167,0a669,0888,35

a16a6a24a

1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat , dan z P(, , z)

Transformasi sistem koordinat

zzzzx

ytgy

yxx

SilinderKartesianKartesianSilinder

1

22

sin

cos

CONTOH SOAL 1.3 :DIKETAHUI TITIK-TITIK A(2, 3, - 1) DAN B(4, - 50O, 2). HITUNG JARAK DARI A KE B.

JAWAB :UNTUK MENENTUKAN JARAK DARI A KE B, TITIK B HARUS TERLEBIH DAHULU DINYATAKAN DENGAN SISTEM KOORDINAT KARTESIAN.

x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571

y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064

z = z = 2

79,63)064,6()571,0(R

a3a064,6a571,0

a)12(a)3064,3(a)2571,2(R

222AB

zyx

zyxAB

VEKTOR DINYATAKAN DENGAN TIGA BUAH VEKTOR SATUAN

zzz aAaAaAAa,a,a

Vektor satuan dalam arah dan tergantung pada posisinya di dalam ruang

Transformasi vektor

a a az

ax cos - sin 0

ay sin cos 0

az 0 0 1

Silinder Kartesian

Silinder Kartesian

yx

x

asinacosa:Vertikal

asinacosa:Horisontal

 CONTOH SOAL 1.4 :NYATAKAN VEKTOR

DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER DI TITIK A(2, 3, 5).

JAWAB :TERLEBIH DAHULU DILAKUKAN TRANSFORMASI KOORDINAT UNTUK MENGHITUNG SUDUT DI TITIK A, YAITU :

zyx a4a2a4R

o11 3,562

3tg

x

ytg

a a az

ax cos = 0,555 - sin = - 0,832 0ay sin = 0,832 cos = 0,555 0az 0 0 1

z

z

a4a438,4a556,0

a4)a555,0a832,0(2)a832,0a555,0(4R

BIDANG = KONSTAN (PERMUKAAN SILINDER)

= KONSTAN (BIDANG DATAR MELEWATI SUMBU-Z)

Z = KONSTAN (BIDANG DATAR TEGAK LURUS SUMBU-Z)

• ELEMEN LUAS (VEKTOR)

zaddaddadzd

dzdd

• Elemen volume (skalar)

1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan : P(r, , )

x

ytgcosrz

zyx

zcossinsinry

zyxrcossinrx

BolaKartesianKartesianBola

1

222

1

222

Transformasi Koordinat

Contoh Soal 1.5 : Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat

bola.

Jawab :

o11

o1

222

1

222222

6,711

3tg

x

ytg

3,38099,5

4cos

zyx

zcos

099,5431zyxr

4z3y1x)4,3,1(B

)6,71,3,38,099.5(B

6,713,38099,5roo

oo

Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :

• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang

aAaAaAAa,a,a rrr

ar a a

ax sin cos cos cos - sin ay sin sin cos sin cos az cos - sin 0

Bola Kartesian

Transformasi Vektor

zyxr

x

acosasinsinacossina:Vertikal

asinacoscosacossina:Horisontal

Contoh Soal 1.6 :

Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4).

Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.

Jawab :

B(1, 3, 4) = 38,3o = 71, 6o

ar a a

ax sin cos sin 38,3o cos 71,6o

(0,620)(0,316) = 0,196

cos cos cos 38,3o cos 71,6o

(0,785)(0,316) = 0,248

- sin - sin 71,6o

- 0,949ay sin sin

sin 38,3o sin 71,6o

(0,620)(0,949) = 0,588

cos sin cos 38,3o sin 71,6o

(0,785)(0,949) = 0,745

cos cos 71,6o 0,316

az cos cos 38,3o

0,785

- sin - sin 38,3o

- 0,620

0

zr

z

r

zyxAB

a213,2a608,1a651,7

a)]0(7)316,0(4)949,0([

a)]629,0(7)745,0(4248,0[a)]785,0(7)588,0(4196,0[

a7a4aR

Bidang r = konstan (kulit bola)

= konstan (selubung kerucut)

= konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

Elemen Luas (vektor)

Elemen Volume (skalar)

ardrdadrdsinraddsinr r2

ddrdsinr2