LAPORAN HASIL PERSENTASI

ANALISIS VEKTOR, HUKUM COULOMB, & MEDAN LISTRIK

KELOMPOK 1 FISIKA DASAR II (Tgl. 13-2-2013)

OLEH:

MUHAMMAD RIZKY HATSAFREZY SUSANTO MH

MUH. IQBALNUR MUH. NUZRAN

RIKKI MURTINTEKNIK ELEKTRO B

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HASANUDDIN TAHUN AJARAN 2012-2013

A

B

Xu

GambarVektor

PEMBAHASAN

Analisis Vektor

Vektoradalahbesaran yang mempunyaisatuandanarah

Besarvektorartinyapanjangvektor

Arahvektorartinyasudut yang dibentukdengansumbu X positif

Vektordisajikandalambentukruasgarisberarah

1. Vektor pada Ruang Dua Dimensi (R2)

Vektor di R 2 adalahvektor yang terletak di satubidangatauVektor yang

hanyamempunyaiduakomponenyaitu x dan y

Vektorsbgpasanganbilangan

u = (a,b)

a :komponenmendatar, b : komponenvertikal

Vektorsbgkombinasivektorsatuanidanj

u = ai + bj

Panjangvektoru ditentukanolehrumus

|u|=√a2+b2

Perhitunganbesaranvektor

2. Vektor pada Ruang Tiga Dimensi (R3)

Vektor pada ruang 3 adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau

Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Vektorsbgpasanganbilangan

ZT(x,y,z)

yj

zk

S

u

Pengurangan

Jika u=(ab ) dan v=(cd )u−v=(ab )−(cd )=(a−cb−d )|u−v|=√(a−c )2+(b−d )2

Penjumlahan

Jika u=(ab ) dan v=(cd )u+v=(ab )+(cd )=(a+cb+d )|u+v|=√( a+c )2+(b+d )2

|u+v|=√|u|2+|v|2+2|u||v|cosθ

|u−v|=√|u|2+|v|2−2|u||v|cosθ

u = (x, y, z)

Vektorsbgkombinasivektorsatuan i, j dan k

u = xi + yj + zk

Panjangvektor u ditentukanolehrumus

Hukum Coulomb

Hukum Coulomb adalah hukum yang

menjelaskan hubungan antara gaya yang timbul

antara dua titik muatan, yang terpisahkan jarak

tertentu, dengan nilai muatan dan jarak pisah

keduanya.

Hukum ini menyatakan apabila terdapat dua buah titik muatan maka akan timbul

gaya di antara keduanya, yang besarnya sebanding dengan perkalian nilai kedua

muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar keduanya [1]. Interaksi

antara benda-benda bermuatan (tidak hanya titik muatan) terjadi melalui gaya tak-

kontak yang bekerja melampaui jarak separasi [2]. Adapun hal lain yang perlu

diperhatikan adalah bahwa arah gaya pada masing-masing muatan terletak selalu

sepanjang garis yang menghubungkan kedua muatan tersebut [3]. Gaya yang timbul

dapat membuat kedua titik muatan saling tarik-menarik atau saling tolak-menolak,

|u|=√x2+ y2+z2

tergantung nilai dari masing-masing muatan. Muatan sejenis (bertanda sama) akan

saling tolak-menolak, sedangkan muatan berbeda jenis akan saling tarik-menarik [4].

Notasi vektor

Dalam notasi vektor, hukum Coloumb dapat dituliskan sebagai

yang dibaca sebagai gaya yang dialami oleh muatan akibat adanya muatan .

Untuk gaya yang dialami oleh muatan akibat adanya muatan dituliskan dengan

menukarkan indeks , atau melalui hukum ketiga Newton dapat dituliskan

hukum Coulomb ditemukan oleh Charles Coulomb seorang

ilmuan Perancis (1736-1806). Pada tahun 1785, C. Coulomb menyelidiki

hubungan antar besar muatan dan jarak antara muatan dengan besar gaya

listrik yang dihasilkan

Medan listrik

Contoh medan listrik yang timbul dari muatan listrik

dan

Medan listrik adalah efek yang ditimbulkan oleh

keberadaan muatan listrik, seperti elektron, ion, atau proton, dalam ruangan yang

ada di sekitarnya. Medan listrik memiliki satuan N/C atau dibaca Newton/coulomb.

Medan listrik umumnya dipelajari dalam bidang fisika dan bidang-bidang terkait, dan

secara tak langsung juga di bidang elektronika yang telah memanfaatkan medan

listrik ini dalam kawat konduktor (kabel).

Asal medan listrik

Rumus matematika untuk medan listrik dapat diturunkan melalui Hukum Coulomb,

yaitu gaya antara dua titik muatan:\

Menurut persamaan ini, gaya pada salah satu titik muatan berbanding lurus dengan

besar muatannya. Medan listrik didefinisikan sebagai suatu konstan perbandingan

antara muatan dan gaya[1]:

Maka, medan listrik bergantung pada posisi. Suatu medan, merupakan sebuah

vektor yang bergantung pada vektor lainnya. Medan listrik dapat dianggap sebagai

gradien dari potensial listrik. Jika beberapa muatan yang disebarkan menghasiklan

potensial listrik, gradien potensial listrik dapat ditentukan.

Konstanta k

Dalam rumus listrik sering ditemui konstanta k sebagai ganti dari (dalam

tulisan ini tetap digunakan yang terakhir), di mana konstanta tersebut bernilai [2]:

N m 2C-2

yang kerap disebut konstanta kesetaraan gaya listrik.

Menghitung medan listrik

Untuk menghitung medan listrik di suatu titik

akibat adanya sebuah titik muatan yang

terletak di digunakan rumus [4]

Penyederhanaan yang kurang tepat

Umumnya untuk melakukan penyederhanaan dipilih pusat koordinat berhimpit

dengan titik muatan yang terletak di sehingga diperoleh rumus seperti telah

dituliskan pada permulaan artikel ini, atau bila dituliskan kembali dalam notasi

vektornya:

dengan vektor satuan

Disarankan untuk menggunakan rumusan yang melibatkan dan karena lebih

umum, dan dapat diterapkan untuk kasus lebih dari satu muatan dan juga pada

distribusi muatan, baik distribusi diskrit maupun kontinu. Penyederhanaan ini juga

kadang membuat pemahaman dalam menghitung medan listrik menjadi agak sedikit

kabur. Selain itu pula karena penyederhanaan ini hanya merupakan salah satu

kasus khusus dalam perhitungan medan listrik (kasus oleh satu titik muatan di mana

titik muatan diletakkan di pusat koordinat).

Tanda muatan listrik

Muatan listrik dapat bernilai negatif, nol (tidak terdapat muatan atau jumlah satuan

muatan positif dan negatif sama) dan negatif. Nilai muatan ini akan memengaruhi

perhitungan medan listrik dalam hal tandanya, yaitu positif atau negatif (atau nol).

Apabila pada setiap titik di sekitar sebuah (atau beberapa) muatan dihitung medan

listriknya dan digambarkan vektor-vektornya, akan terlihat garis-garis yang saling

berhubungan, yang disebut sebagai garis-garis medan listrik. Tanda muatan

menentukan apakah garis-garis medan listrik yang disebabkannya berasal darinya

atau menuju darinya. Telah ditentukan (berdasarkan gaya yang dialami oleh muatan

uji positif), bahwa

muatan positif (+) akan menyebabkan garis-garis medan listrik berarah dari

padanya menuju keluar,

muatan negatif (-) akan menyebabkan garis-garis medan listrik berarah

menuju masuk padanya.

muatan nol ( ) tidak menyebabkan adanya garis-garis medan listrik.

Gradien potensial listrik

Medan listrik dapat pula dihitung apabila suatu potensial listrik diketahui, melalui

perhitungan gradiennya[5]:

dengan

untuk sistem koordinat kartesian.

Energi medan listrik

Medan listrik menyimpan energi. Rapat energi suatu medan listrik diberikan oleh [6]

dengan

adalah permittivitas medium di mana medan listrik terdapat, dalam vakum

.

adalah vektor medan listrik.

Total energi yang tersimpan pada medan listrik dalam suatu volum adalah

dengan

adalah elemen diferensial volum.

Distribusi muatan listrik

Medan listrik tidak perlu hanya ditimbulkan oleh satu muatan listrik, melainkan dapat

pula ditimbulkan oleh lebih dari satu muatan listrik, bahkan oleh distribusi muatan

listrik baik yang diskrit maupun kontinu. Contoh-contoh distribusi muatan listrik

misalnya:

kumpulan titik-titik muatan

kawat panjang lurus berhingga dan tak-berhingga

lingkaran kawat

pelat lebar berhingga atau tak-berhingga

cakram tipis dan cincin

bentuk-bentuk lain

Kumpulan titik-titik muatan

Untuk titik-titik muatan yang tersebar dan berjumlah tidak terlalu banyak, medan

listrik pada suatu titik (dan bukan pada salah satu titik muatan) dapat dihitung

dengan menjumlahkan vektor medan listrik di titik tersebut akibat oleh masing-

masing muatan. Dalam kasus ini lebih baik dituliskan

yang dibaca, medan listrik di titik akibat adanya muatan yang terletak di .

Dengan demikian medan listrik di titik akibat seluruh muatan yang tersebar

dituliskan sebagai

di mana adalah jumlah titik muatan. Sebagai ilustrasi, misalnya ingin ditentukan

besarnya medan listrik pada titik yang merupakan perpotongan kedua diagonal

suatu bujursangkar bersisi , di mana terdapat oleh empat buat muatan titik yang

terletak pada titik sudut-titik sudut bujursangkar tersebut. Untuk kasus ini misalkan

bahwa dan dan ambil pusat koordinat di titik

untuk memudahkan. Untuk kasus dua dimensi seperti ini, bisa dituliskan

pula

yang akan memberikan

sehingga

yang menghasilkan bahwa medan listrik pada titik tersebut adalah nol.

Kawat panjang lurus

Kawat panjang lurus merupakan salah satu bentuk distribusi muatan yang menarik

karena bila panjangnya diambil tak-hingga, perhitungan muatan di suatu jarak dari

kawat dan terletak di tengah-tengah panjangnya, menjadi amat mudah.

Untuk suatu kawat yang merentang lurus pada sumbu , pada jarak di atasnya,

dengan kawat merentang dari sampai dari titik proyeksi pada kawat, medan

listrik di titik tersebut dapat dihitung besarnya, yaitu:

Seperti telah disebutkan di atas, apabila dan maka dengan

menggunakan dalil L'Hospital diperoleh

Atau bila kawat diletakkan sejajar dengan sumbu-z dan bidang x-y ditembus kawat

secara tegak lurus, maka medan listrik di suatu titik berjarak dari kawat, dapat

dituliskan medan listriknya adalah

dengan adalah vektor satuan radial dalam koordinat silinder:

di mana adalah sudut yang dibentuk dengan sumbu-x positif.

Fluks Medan Listrik

Fluks ( Φ ) adalah sebuah sifat dari semua medan Vektor. Fluks diturunkan

dari kata latin ” Fluere ”(mengalir). Untuk permukaan tertutup didalam sebuah medan

listrik, bahwa ΦE adalah Positif jika garis – garis gaya yanng menuju keluar dan

negatif jika garis – garis gaya yang menuju ke dalam.

Permukaan di bagi – bagi menjadi segi empat kuadratis ΔS yang masing –

masing cukup kecil sehingga dapat di anggap sebagai bidang datar. Elemen luas

dapat dinyatakan sebagai sebuah vektor ΔS, yang besarnya menyatakan luas ΔS ;

arah ΔS di ambil normal.

Sebuah definisi setengah kuantitatip mengenai fluks adalah :

ΦE = Є t . ΔS

Satuan SI yang sesuai untuk ΦE adalah Newton meter² atau Coloumb ( N.m²/c).

Definisi fluks listrik yang didapat didalam limit diferensial. Dengan

menggantikan penjumlahan terhadap permukaan dengan sebuah integral terhadap

permukaan akan menghasilkan : ΦE = ф E . dS

Hukum Gauss

Hukum Gauss dikembangkandarikonsepflukssebuahmedanvektor.

Hukum Gauss dinyatakan sebagai berikut :

” Jumlah garis medan yang menembus suatau permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut”

Fluksadalahsebuahsifatdarisemuamedanvektor.

Dalammedanlistrikfluksmerupakanjumlahsemuamedanlistrik yang

terdapatpadasuatuluastertentu. Definisisetengahkuantitatifmengenaifluks :

F = åE .DS atauF = ò E dS

Hukum gauss adalah fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup

sama dengan jumlah muatan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang

dilingkupi oleh permukaan tertutup itu dibagi dengan permitivitas udara.

Persamaan Hukum Gauss

Φ net = Є E A cos θ = q / Єo

Untukkuatmedanliastrik

Φ net = Є E A cos θ = 4π r² E → E = q / 4π r² = K. q/ r²

Analogi antara medan gravitasi dan medan gravitasi listrik

   Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah/banyaknya garis-garis medan listrik

yang menembus tegak lurus suatu bidang.

   Pernyataan hukum Gauss, ”Fluks listrik yang menembus suatu permukaan

tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup

itu dibagi dengan permitivitas udara”

   Potensial listrik adalah perubahan energi potensial per satuan muatan yang

terjadi ketika sebuah muatan uji dipindahkan dari suatu titik yang tak berhingga

jauhnya ke titik yang ditanyakan.

   Energi potensial listrik adalah usaha yang dibutuhkan sebuah muatan listrik

untuk dipindahkan dari sebuah titik.

   Kuat medan listrik dan potensial listrik saling berhubungan.

CONTOH SOAL

1. Berapakahresultanvektordarigambardibawahini

2. PerhatikanGambardibawah !BerapaBesarresultanketiga vector tersebut

3. Duamuatantitikmasing-masingsebesar 0,05 μCdipisahkanpadajarak 10 cm. Tentukanbesarnyagaya yang dilakukanolehsatumuatanpadamuatanlainnya

4. Duabuahmuatanmasing-masing + 2µ C dan + 3µ C, terpisahsejauh 2 cm. Jika k = 9.109 N m2/C2, berapabesargayatolak-menolaknya

5. Carilahresultangayapadamuatan 20mC dalamsoalGambarberikut :

6. Hitungmedanlistrik di M(3, - 4, 2) dalamruanghampa yang disebabkanolehmuatan Q1 = 2 n C di P1(0, 0, 0) dan Q2 = 3 n C di P2 (- 1, 2, 3).

7. Sebuahmuatanpositif q1=+8nC beradapadatitikasaldanmuatankeduapositif q2=+12nC beradapadasumbu x = 4m darititikasal. Carilahmedanlisriknya di sumbu x untuk P yang berjarak x=7m darititikasal.

JAWABAN

1.

Penyelesaian vector secara analitis

Ingat : Perhitungan sudut diukur terhadap

sumbu X

Fx = F. Cos θ

Fy = F. Sin θ

Gaya Resultan :

R = F1 +F2

= (56,6 i + 56,6 j) + (25 i + 43,3 j)

= (31,6 i + 99,9 j)

Besar gaya Resultan :

R =√(〖Rx〗^2+〖Ry〗^2 )

=√(〖31,6〗^2+〖99,9〗^2 )

2.

Jadi, resultan gayanya :FR = √(〖Fx〗^2+〖Fy〗^2 ) = (1/2√2)2 + (-3/2√2)2

= √5 N

3.

Kedua muatan dan gambar gaya yang bekerja seperti berikut.

Gambar 4.1.3

(a)    F = k  = 9× 109  = 2,25×10-3 N.

4.

Diketahui :

k = = 9.109 N m2/C2

Q1 = + 2µ C = 2.106 C

Q2 = + 3µ C = 3.106 C

r = 2 cm = 2.10-2 m

Ditanya : F ?

Jawab :

=

= 

= 13,5. 109-6-6-(-4)

= 13,5. 101

= 135 N

5.

F23 = 9×109  = 2 N

F13 = 9×109  = 1,8 N

F13x = (1,8) cos 37o = 1,4 N

F13y = (1,8) sin 37o = 1,1 N

 

Fx = 1,4 N dan Fy = 2 N+ 1,1 N

F =   = 3,4 N

dan θ = arctan(3,1/1,4) = 66o.

6.R⃗2=4 a⃗x−6 a⃗ y− a⃗z → |⃗R2|=√( 42 )+(−6 )2+(−1 )2=7 ,280

E⃗=E⃗1+ E⃗2=kQ1 R⃗1

|R1|3

+kQ2 R⃗2

|R2|3

=9 x109(2 x10−9)(3 a⃗x−4 a⃗ y+2 a⃗z )

(5 ,385)3+

9x 109 (3x 10−9 )( 4 a⃗x−6 a⃗ y− a⃗z )

(7 ,280)3

=(345 ,8 a⃗x−461 ,1 a⃗y+230 ,5 a⃗z )+(279 ,9 a⃗x−419 ,9 a⃗ y−70 a⃗z )=625 ,7 a⃗x−881 a⃗y+160 ,5 a⃗z

7. Di titik P1, E = k  + k

= (9,0 × 109 Nm2 /C2)  + (9,0 × 109 Nm2 /C2)=  13,5 N/C (arah ke kanan)

LATIHAN SOAL1. Duabuahvektorsebidangberturut-turutbesarnya 4 satuan dan 6 satuan,

bertitiktangkapsamadanmengapitsudut 60º. Tentukanbesardanarahresultanvektortersebut

2. Duamuatanmasing-masing + 2Q dan + Q terpisahsejauh d mengalamigayalistriksebesar F. Berapabesargayanyajikamuatanmasing-masingmenjadi +3Q dan +4Q

3. Duabuahmuatantitik q1 = +1,5μC, dan q2 = +2,3 μCberadapadajarak r =13 cm. Tentukanlahletaktitik yang medanlistriknya nol.

JAWABAN

1.

Diketahui :Misalkan vektor pertama V1dan vektor kedua V2.V1= 4 satuanV2= 6 satuanα = 60oDitanya :Besar dan arah resultan vektor?Jawab :V1= 4 satuanV2= 6 satuanα = 60ocos α = cos 60o= ½Besar resultan :

2. Dari soal di atas dapat dibuat diagram sebagai berikut.

Karena besarnya gaya Coulomb F sebanding dengan muatan-muatannya

maka dapat dituliskan

Perhatikan diagram berikut.

Nampak bahwa, ketika muatan-muatannya menjadi lebih besar maka besar

gaya Coulomb-nya juga lebih besar.

3. Misalkan titik P terletak pada jarak x dari q1 (lihat gambar).

Gambar 4.1.13Medan listrik di titik P oleh q1 dan q2 masing-masing adalah E1 dan E2. Karena medan di P adalah nol, maka E1 = E2. Dengan memasukkan

persamaan  , maka diperoleh :

=

x  =   (r – x)

x =Dengan memasukkan kuantitas yang diketahui, diperoleh x = 5,8 cm.

DISKUSI

Pertanyaan:

1. (Tomy Parandangi)Tolong jelaskan materi tentang Hukum Gauss?

2. (Muh.Yusuf)Kenapa pada gambar di bawah ini ditarik sebuah resultan (Bola yang bermuatan 20uC)?

Jawaban:

1. Hukum Gauss

Hukum Gauss dikembangkandarikonsepflukssebuahmedanvektor.

Hukum Gauss dinyatakan sebagai berikut :

” Jumlah garis medan yang menembus suatau permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut”

Persamaan Hukum Gauss

Φ net = Є E A cos θ = q / Єo

Untukkuatmedanliastrik

Φ net = Є E A cos θ = 4π r² E → E = q / 4π r² = K. q/ r²

2. Karena pada bola bermuatan 10uC dan 4uC memberikan efek pada bola 20uC, sehingga bola tersebut membentuk resultan dari efek bola 10uC dan bola 4uC (seperti gambar di atas).