ANALISIS VEKTOR

Simon Patabang, ST., MT.

Fakultas Teknik

Jurusan Teknik Elektro

Universitas Atma Jaya Makasar

Vektor dan Skalar

• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.

• Contohnya : perpindahan, kecepatan, percepatan,

gaya, dan momentum.

Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tanpa• Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tanpa

arah.

• Contohnya : massa, muatan, kerapatan, dan

temperatur

Notasi

• Vektor dilambangkan dengan tanda panah di atas

simbolnya.

• Misalnya Vektor A dilambangkan dengan notasi

A�

• Skalar dinyatakan dengan huruf biasa.

• Misalnya Skalar B dilambangkan dengan notasi B

• Besar (nilai) dari suatu vektor digambarkan

dengan diagram sbb :A�

Diagram Verktor

• Vektor berlawanan arah dengan vektor -

tetapi besarnya sama. A�

A�

Penjumlahan Dua Vektor

• Penjumlahan 2 buah vektor bersifat komutatif artinya

• Penjumlahan bersifat asosiatif:

• Untuk mengurangkan sebuah vektor , tambahkan

dengan kebalikannya seperti gambar berikut :

Penjumlahan 2 buah vektor a dan b sbb :

Sifat Dasar Penjumlahan sbb :

a + b = b + a

a + ( b + c ) = (a + b) + c

a + 0 = 0 + a

a + (-a) = 0

Perkalian Vektor dengan sebuah skalar

• Perkalian suatu vektor dengan sebuah skalar k positif

menghasilkan sebuah dengan arah yang tidak berubah

dan besarnya bertambah sebesar k kali.

• Sifat Dasar Perkalian Skalar :

1. c (a + b) = ca + cb

2. (c + k) a = ca + ka

3. c(ka) = (ck)a

4. 1a = a

• Jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.

Perkalian titik (dot)

• Perkalian titik (dot) antara 2 buah vektor didefinisikan oleh

• θ adalah sudut antara vektor A dan B. Ketika keduaujung vektor saling bertemu maka akan menghasilkanujung vektor saling bertemu maka akan menghasilkan

sebuah skalar sehingga perkalian titik ini sering juga

disebut perkalian skalar.

• Perkalian bersifat komutatif

• Jika dua vektor sejajar, maka :

Perkalian silang (Cros)

• Perkalian silang (cros) antara 2 buah vektor didefinisikan oleh :

• ň adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1)• ň adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1)

mengarah tegak lurus bidang yang sisi-sisinya

dibentuk oleh vektor A dan B

• Ada dua arah yang tegak lurus bidang tersebut,

yaitu “masuk” dan “keluar”.

• Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah

kesepakatan aturan tangan kanan dengan cara :

• Kepalkan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk• Kepalkan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk

pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus

keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada

sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari

menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor

tersebut. Perhatikan paga gambar berikut :

• Perhatikan bahwa vektor A×B akan menghasilkan

sebuah vektor sehingga perkalian silang sering

disebut dengan perkalian vektor

• Perkalian silang bersifat distributif

• Secara geometri, ∣ Ā × B ∣ adalah luas daerah jajarangenjang yang dibentuk oleh A dan B. Jika kedua

vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol

∣ ∣

vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol

dan secara khusus Ā × Ā = 0 untuk sembarang vektor

Ā .

Komponen Vektor

• Dalam praktik biasanya cukup mudah untuk bekerjadengan komponen vektor dalam sistem koordinattertentu.

• Misalkan pada koordinat kartesian: i , j , dan k masing-masing adalah vektor satuan yang sejajar dengansumbu- x, y, dan z.sumbu- x, y, dan z.

• Sebuah vektor sembarang A dapat dinyatakan dalam

suku vektor basis tersebut seperti pada gambar berikut :

• Bilangan Ax , Ay , dan Az disebut komponen dari Ā .

• Tafsiran geometri dari komponen vektor tersebut adalah

proyeksi Ā sepanjang tiga sumbu koordinat.

Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah• Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah

dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang dalam

bentuk komponen-komponennya:

1. Penjumlahan dua vektor:

2. Perkalian skalar:

3. Perkalian dot (titik)

4. Perkalian silang (cros) dua vektor

Contoh soal dan penyelesaian

Sebuah vektor A = (2ax – 3ay + az ) dan

vektor B = ( - 4ax – 2ay + 5az).

Tentukan perkalian silang A x B ?

Penyelesaian :

TUGAS 2

1. Gambarlah vector-vektor berikut ini pada koordinatkartesius 3 dimensi yang mempunyai besar dan arahsebagai berikut :

a.Vektor A = 2ax – 3ay + 4az

b.Vektor M = -ax + 2ay + 2az

c. Vektor R = ax + 3ay - 2az c. Vektor R = ax + 3ay - 2az

d. Vektor H = -2ax - ay - 3az

2. Mengacu pada soal No. 1 Hitunglah operasi vektorberikut ini

a. A + M – H

b. A x M

c. R . H

d. A x (M.H)

Vektor Posisi

• Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakandalam koordinat kartesian x , y , z .

• Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asaldisebut dengan vektor posisi:

• Besarnya

adalah jarak dari titik asal, dan

• ř merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar.

Vektor Perpindahan

Bagian kecil vektor perpindahan (jarak r) dari (x , y , z)

hingga (x + dx , y + dy , z + dz) adalah dr didefinisikanhingga (x + dx , y + dy , z + dz) adalah dr didefinisikan

sbb:

• Pada berbagai kasus fisika, kita sering berhadapan

dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yaitu

sebuah titik sumber r' (tempat sumber medan berada)

dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya.

• Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.

Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah rNotasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r

seperti pada gambar :

Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah

'r r r= −� ��

dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):

'r r r−� � ��

ɵ '

'

r r rr

r r r

−= =

−

ɵ� ��

Medan Vektor

• Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuahvektor Ā , maka Ā disebut fungsi dari u dan dinyatakandengan Ā (u).

• Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan menjadi :

• Jika setiap titik (x , y , z ) berkaitan dengan sebuah

vektor Ā, maka Ā adalah fungsi dari (x , y , z ) yang

dinyatakan dengan :

• Bentuk ini menyatakan vektor Ā ini mendefinisikan

sebuah medan vektor :

• Mendefinisikan medan skalar.

( , , )x y zφ

• Jika :

• Maka diferensial total dari Ā(u) didefinisikan :

Turunan dari A(u) didefinisikan

• Maka diferensial total dari Ā(u) didefinisikan :

• Jika :

• Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau• Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau

vektor dengan vektor mengikuti aturan yang sama

seperti pada fungsi skalar.

• Ketika kita melibatkan perkalian silang maka

urutan penulisan penting untuk diperhatikan

karena terkait dengan arah dari hasil perkalian

tersebut

Contoh :

Gradien

• Misalkan sebuah operator vektor ∇ dalam koordinatkartesian didefinisikan

• Jika dan memiliki turunan

parsial pertama yang kontinu pada daerah tertentu,

maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut:

• Gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti

geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi

tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T (x , y

, z ) , yang merupakan sebuah skalar.

• Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut

dinyatakan dalam bentuk diferensial totaldinyatakan dalam bentuk diferensial total

• Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara

dengan

atau

yang berarti

dengan θ adalah sudut antara ∇ T dan d r , kemudian uadalah suatu vektor satuan yang menyatakan arah gerak

kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr )

akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan ∇

T (yaitu saat θ =0 ).

Divergensi

• Sesuai namanya, divergensi ∇⋅A menyatakan ukuranpenyebaran vektor A . Perhatikan gambar sebagai contoh

pada kasus dua dimensi.

• gambar (a) memiliki divergensi yang sangat besar dan

positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti

nilainya negatif),

• gambar (b) memiliki divergensi nol,

gambar (c) memiliki divergensi positif yang nilainya• gambar (c) memiliki divergensi positif yang nilainya

agak kecil.

Curl

• Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti

geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada

sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar

divergensi memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek

dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar

berikut memiliki curl yang sangat besar berarah padaberikut memiliki curl yang sangat besar berarah pada

sumbu-z.