Vektor : Besaran fisik yang memiliki besar dan arah

Contoh: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik

Skalar : Besaran fisik yang hanya memiliki besar saja (tidak memiliki arah)

Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

Ruas garis berarah yg panjang dan arahnyatertentu. (Arah garis menunjukkan arah vektor dan panjang garis menunjukkan besar vektor)

Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atauu (italic).

Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A keB, maka ditulis dengan lambang u = AB

Notasi u dibaca “vektor u”

2 2 2 2 2 atau a b a b cu u

• Vektor sebagai pasangan bilangan

u = (a,b) atau u = (a,b,c)

• Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i, j, k

u = ai + bj atau u = ai + bj + ck

• Panjang vektor u (norma dari v) ditentukanoleh rumus:

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka

u + v = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

u – v = (a,b) + (-c,-d) = (a - c, b - d)

Contoh:

u = (3,-2) dan v = (-2,3)

u + v = (1,1)

u – v = (5,-5)

Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

Misalkan u = (a,b), k dan l adalah sembarang

skalar maka:

ku = (ka,kb)

(k+l)u = ku + lu

Contoh

• u = (-4,2) -3u = (12,-6)

Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

Vektor satuan adalah sebuah vektor yangdidefinisikan sebagai satu satuan vektor.

Jika digunakan sistem koordinat Cartesian(koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dansumbu y dan sumbu z.

Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektorsatuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu zadalah k.

Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnyaadalah satu satuan

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:

u∙v = ||u|| ||v|| cos

Dimana:

||u|| = panjang vektor u

||v|| = panjang vektor v

= sudut antara vektor u dan v

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:

||u × v|| = ||u|| ||v|| sin

Dimana:

||u|| = panjang vektor u

||v|| = panjang vektor v

= sudut antara vektor u dan v

Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3).

Contoh:

Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

tentukanlah u∙v !

Solusi:

1 1 2 2 3 3u v u v u vu v

1 1 2 2 3 3

( 1)(2) (3)( 4) ( 2)(1)

2 ( 12) ( 2) 16

u v u v u vu v

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

i j ku u u u u u

u u u i j kv v v v v v

v v v

u v

Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka:

Contoh:

Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

tentukanlah u×v !

1 3 2

2 4 1

3 2 1 2 1 3

4 1 2 1 2 4

3(1) ( 2)( 4) ( 1)(1) ( 2)(2) ( 1)( 4) 3(2)

(3 8) ( 1 4) (4 6)

5 3 2

i j k

i j k

i j k

i j k

i j k

u v

u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :

Contoh

Tentukan ( ) sudut antara vektor u dan v jika:

u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)

Solusi

cosu v

u v

(2, 1,1) (1,1,2)

(2)(1) ( 1)(1) (1)(2)

2 1 2 3

u v 2 2 2

2 2 2

2 ( 1) 1 6

1 1 2 6

u

v

3 1cos 60

26 6

ou v

u v

Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :

Contoh

Tentukan apakah u dan v membentuk sudut

lancip, tumpul, atau ortogonal

u = (7, 3, 5) dan v = (-8, 4, 2)

(i) lancip jika dan hanya jika

(ii) tumpul jika dan hanya jika

(iii) = jika dan hanya jika 2

u v 0

u v 0

u v 0

Solusi

Jadi, u dan v membentuk sudut tumpul

(7)( 8) (3)(4) (5)(2)

56 12 10

34 0

u v

1. Misalkan u = (1,2,3), v = (2,-3,1), dan w = (3,2,-1). Carilah komponen-komponen dari: a. 2u+3v b. 7v – 3w c. 2v – (u + w)

2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika: a. v = (3,4) b. v = (-8,7,4)

3. Misalkan u = (1,-3,2), v = (1,1,0), dan w = (2,2,-4). Tentukanlah:

a. u v

b. u v

c. 1

ww

4. Tentukanlah u v dan u v dan cos ( sudut antara u dan v) jika diketahui: a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2) b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2) c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)

5. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau ortogonal jika diketahui: a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2) b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2) c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)