Bab 4 Vektor

Bab 4

vektorStandar KompetensiMenggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalahMACAM-MACAM BESARAN DALAM BIDANG FISIKA Besaran vektor dapat digambarkan dengan menggunakan ruas garis berarah. Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor atau besar vektor. Arah dari peubah merupakan petunjuk arah vektor.

CONTOH:

Vektor OA panjangnya 3 satuan dan arahnya membentuk 45 terhadap sumbu X positif.

ALJABAR VEKTOR DITINJAU DARI SUDUT PANDANG GEOMETRI

Gambar: Vektor di R-2

Gambar: Vektor di R-3KESAMAAN DUA VEKTORDEFINISI:Misalkan diketahui vektor a dan vektor b.Vektor a dikatakan sama atau ekuivalen dengan vektor b (ditulis: a = b), jika dan hanya jika:Panjang vektor a sama dengan panjang vektor b, danArah vektor a sama dengan arah vektor b.

PENJUMLAHAN DUA VEKTORPenjumlahan dua vektor dengan aturan segitiga

Penjumlahan dua vektor dengan aturan jajargenjangSIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN DUA VEKTORNotasi

SIFAT-SIFAT OPERASI PENJUMLAHAN VEKTORMisalkan diketahui vektor-vektor sebarang , , dan . Maka sifat-sifat penjumlahan vektor sebagai berikut:

Sifat Komutatif

Sifat Asosiatif

Unsur Identitas atau Unsur Satuan (Vektor Nol)

Lawan Suatu vektor

PENGURANGAN ATAU SELISIH DUA VEKTORMisalkan diketahui vektor dan vektor . Pengurangan atau selisih vektor dengan vektor ditentukan sebagai jumlah vektor dengan lawan dari vektor .

Notasi

HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTORMisalkan m adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali skalar m dengan vektor , ditulis sebagai = m , ditentukan sebagai berikut:Panjang vektor sama dengan hasil kali |m| dengan panjang vektor .Jika nilai m > 0, maka vektor searah dengan vektor .Jika nilai m < 0, maka vektor berlawanan arah dengan arah vektor .

Contoh:SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR DENGAN VEKTORMisalakan m dan n adalah skalar-skalar (bilangan-bilangan real), dan adalah vektor-vektor sebarang.

Vektor Basis dalam Bidang Vektor dapat dinyatakan dalam: Vektor baris sebagai , atau Vektor kolom sebagai .

Vektor dengan titik pangkal di dan titik ujungdi

Jadi,Kesamaan Dua Vektor di BidangMisalkan diketahui vektor dan vektor.Vektor = vektor , jika dan hanya jika Dua vektor sama, jika dan hanya jika komponen-komponen seletaknya bernilai sama.

atauPenjumlahan Dua Vektor di BidangMisalkan dikatakan vektor dan vektor . Jika vektor adalah jumlah vektor dengan vektor atau = + , maka vektor ditentukan oleh:

Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di bidang adalah vektor , yang bersifat:

Lawan dari vektor adalah vektor.

Pengurangan Dua Vektor di Bidang Misalkan dikatakan vektor dan vektor

Jika vektor adalah pengurang atau selisih vektor dengan vektor atau , maka vektor ditentukan oleh:

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di BidangMisalkan m adalah suatu saklar dan adalah vektordengan .

Hasil kali skalar m dengan vektor , ditulis sebagai = m ditentukan oleh:

Panjang Vektor dalam BidangMisalkan adalah vektor di bidang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom .Panjang atau besar vektor ditentukan dengan rumus

dibaca sebagai panjang vektor .

Vektor Satuan dalam BidangVektor satuan dari vektor dilambangkan dengan (dibaca: e topi) . Vektor searah dengan vektor dan panjangnya sama dengan satu satuan.

DefinisiVektor Baris dalam RuangBilangan-bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen-komponen vektor .Vektor-vektor , , dan disebut sebagai vektor basis di ruang R-3.Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu X.Vektor disebut vektor satuan dalam arah sumbu Y.vektor disebut vektor satuan dalam sumbu ZVektor dapat dinyatakan dalam bentuk: Vektor baris sebagai .

Vektor kolom sebagai .

Vektor dengan titik tangkap di dan titik ujung , ditentukan oleh:

dengandan

Kesamaan Dua Vektor di Ruang

Penjumlahan Dua Vektor di Ruang

Pengurangan Dua Vektor di Ruang

Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang

Panjang Vektor dalam Ruang

Vektor Satuan dalam RuangMisalkan adalah vektor dalam ruang dengan

Vektor satuan dari , dilambangkan dengan ,

ditentukan dengan rumus:

RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KORDINATVektor-vektor , , , dan dinamakan sebagai vektor posisi titik-titik A, B, C dan D.Vektor Posisi dari Suatu Titik

Vektor Posisi dalam Bidang

Vektor Posisi dalam Ruang

Rumus Perbandingan Vektor

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Bidang

Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik di Ruang

HASIL KALI SKALAR DUA VEKTOR

Hasil Kali Skalar Dua Vektor di Bidang