9/21/2012 Fisika I 1

VEKTOR

9/21/2012 Fisika I 2

BAB I : VEKTOR

A

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf dicetak tebal

(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam

handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang

dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu

besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah

perpindahan.

9/21/2012 Fisika I 3

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan

vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan

vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.

Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan

ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua,

vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah

menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

c

a

R

S

T

T = R + S

9/21/2012 Fisika I 4

BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S

dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

θcos2RSSRT 22

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan

vektor S

R S

T

T = R + S

θ

(1.1)

9/21/2012 Fisika I 5

PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

A B

-B

D D = A – B

9/21/2012 Fisika I 6

CONTOH

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian

bergerak ke Timur sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh

10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

10 km

20 km

U

T

9/21/2012 Fisika I 7

CONTOH

Jawab : 40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan

kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan

vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

m17101040 22

9/21/2012 Fisika I 8

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan didefinisikan sebagai : R

Rr

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah

satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor

dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor

satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.

Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di

mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam

vektor satuan.

•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif

•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif

•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

(1.2)

9/21/2012 Fisika I 9

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

2

z

2

y

2

x RRRR

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan

dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing

sumbu koordinat.

9/21/2012 Fisika I 10

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X

c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :

R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j

R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.

9/21/2012 Fisika I 11

CONTOH

o1

x

y1 374

3tan

R

Rtan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x

c. satuan

Sudut yang dibentuk :

9/21/2012 Fisika I 12

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi +

yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j.

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xA xB

yA

yB

A

B

xA + xB

A

B

yA + yB

(1.3)

9/21/2012 Fisika I 13

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j

B = 2i 4j

Tentukan :

a. A + B dan A + B

b. A B dan A B

Jawab :

a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2j

A + B = 29)2(5 22

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j

A B = 3761 22

A

B

-B

A B

9/21/2012 Fisika I 14

SOAL

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan

arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan

vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :

a. Vektor perpindahan benda tersebut

b. Jarak perpindahan

c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga

berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :

a. A + B - C

b. A + B + C

9/21/2012 Fisika I 15

SOLUSI

R = Rxi + Ryj

Diketahui :

Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuan

Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan

Vektor satuan :

r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

3

3

1.

3

9/21/2012 Fisika I 16

SOLUSI

m5224RR 222y

2x

jiR

r5

5

5

52

R

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan

titik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b. R =

c.

2.

9/21/2012 Fisika I 17

SOLUSI

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j

b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j

-5i + 12j = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

22 43

22 125

9/21/2012 Fisika I 18

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua

buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos (1.4)

Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k,

maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial,

fluks magnet, dan lain-lain.

A

B

9/21/2012 Fisika I 19

PERKALIAN SKALAR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = k . i = 0

Perhatikan animasi di

samping ini !

9/21/2012 Fisika I 20

CONTOH

ABcos

B.A

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan

sudut antara vektor A dan B !

Jawab :

A

B

Untuk menentukan sudut antara

vektor A dan B dapat menggunakan

persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 +

4.(-2) = 4

Besar vektor A = 543 22

Besar vektor B = 20)2(4 22

125

2

ABcos

B.ADengan demikian = 79,7o

AB

9/21/2012 Fisika I 21

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor

menghasilkan besaran vektor lain dimana berlaku :

A B = C (1.6)

Besar vektor C adalah :

C = AB sin (1.7)

Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk

oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C

dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A

B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil

perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A B

C’ = B A

C = -C’

9/21/2012 Fisika I 22

PERKALIAN VEKTOR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i i = j j = k k = 0

i j = k ; j k = i; k i = j

j i = -k ; k j = -i; i k = -j

Perhatikan animasi di

samping ini !

9/21/2012 Fisika I 23

PERKALIAN VEKTOR

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah

vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan

perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari

menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B.

Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

9/21/2012 Fisika I 24

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 4j B = 4i 2j + k

Tentukan : a. A B

b. Buktikan A B = -B A

Jawab :

A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(i i) + 3.(-2)(i j) + 3.1(i k) +

4.4(j i) + 4.(-2)(j j) + 4.1(j k) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0

+ 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(i i) + 4.4(i j) +(-

2).3(j i) + (-2).4(j j) + 1.3(k i) + 1.3(k j) = 12.0 + 16k – 6(-

k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B

terbukti

b.

9/21/2012 Fisika I 25

SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan

vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap

arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor :

A = 1 i + 2 j – k

B = 4 i + 2 j + 3 k

C = 2 j – 3 k

Tentukan :

a. A . (B C)

b. A . (B + C)

c. A (B + C)

4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah

tegak lurus !

9/21/2012 Fisika I 26

SOLUSI

61)(21A 222

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar

vektor A :

54)(3B 22

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : 65

7

ABcos

B.A

Dengan demikian = 55,1o

Besar vektor B :

2. A

B AB

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang

besarnya :

26

14

)4(31

)4).(1(3.21.4

B cosAA

222B

A.B

9/21/2012 Fisika I 27

SOLUSI

B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j

k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i

A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b.

A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k c.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o.

Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :

R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0

R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :

R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

9/21/2012 Fisika I 28

BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi

matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan

variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya

interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar

muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12,

dan medium dimana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan

fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan

materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu

variabel saja.

9/21/2012 Fisika I 29

BESARAN FISIS

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya

ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

Dari grafik di samping

diketahui y1 = f(x1), y2 =

f(x2), y3 = f(x3), dan y4 =

y1.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat

digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

x x1 x2 x3 x4

y1

y2

y3

9/21/2012 Fisika I 30

BESARAN FISIS

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi

waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

7 16

8 25

9 36

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

x(t

)

x(t) = (t – 3)2

9/21/2012 Fisika I 31

BESARAN FISIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

E(r)

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

2r

qE k

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09

9/21/2012 Fisika I 32

CONTOH

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi

jarak x !

x

F

9/21/2012 Fisika I 33

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber

tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh

fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap

t !

2.

CONTOH

t

Q = q(1 – e-At)

Q

q

9/21/2012 Fisika I 34

DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan

garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak

jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan

besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi

terhadap waktu.

f(x)

x c c+h

f(c+h)

f(c)

Lihat gambar di samping.

Gradien dari garis singgung

pada titik P dapat ditentukan

oleh persamaan :

P h

)c(f)hc(flim m

0h

(1.9)

9/21/2012 Fisika I 35

DIFERENSIAL

x

)x(flim

x'x

)x(f)'x(flim m

x'xx'x

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan

oleh : f’(x) Dxy

dx

dy

Berlaku untuk turunan :

1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)

2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)

3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)

4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)

5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

9/21/2012 Fisika I 36

DIFERENSIAL

dC

dBA

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai

perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan

dalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan

fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

waktu

JaraktanKecepa dt

dxv

waktu

UsahaDaya

dt

dWP

waktu

tanMuaArus

dt

dqI

9/21/2012 Fisika I 37

CONTOH

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan

DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :

a. Fungsi arus sebagai waktu

b. Besar arus saat t = 0

c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab :

AtAt qAe)e1(qdt

d

dt

dQI

Besar arus I : a.

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

b.

qA

I(t)

t

c.

9/21/2012 Fisika I 38

INTEGRAL

Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva

fungsi f(x) dan sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

y

x0

x

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Sebagai contoh diketahui y

= f(x) = (x – 3)2 + 5 dan

luas yang ditentukan pada

batas dari x = 1 sampai

dengan x = 8.

9/21/2012 Fisika I 39

Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1) x + f(2) x + f(3) x + f(4) x + f(5) x + f(6) x +

f(7) x

INTEGRAL

7

0i

i x)x(f)7n(A

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi

dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70

satuan persegi.

Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya.

Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. n

0i

8

1

inn

dx)x(fx)x(flim)n(AlimA

9/21/2012 Fisika I 40

INTEGRAL

dTSR

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang

merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat

masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama

lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T,

maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya jarak

Fluks = Medan luas dAE

dsFW

9/21/2012 Fisika I 41

CONTOH

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Tentukan :

a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas

b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu

Jawab :

Usaha yang dilakukan : 2

21 kxdxkxdxFWa.

W

x

b.

9/21/2012 Fisika I 42

SOAL

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh

persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan

B = 5.103 N/m2. Tentukan :

a. Grafik F terhadap x

b. Perubahan Gaya F terhadap jarak

c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. 2.

x (m) 10

8

4

V (volt) Tentukan :

a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x

b. Jika diketahui medan listrik E adalah

turunan pertama dari potensial listrik

V, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x

9/21/2012 Fisika I 43

SOAL

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s

bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

3.

9/21/2012 Fisika I 44

SOLUSI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (cm)

F (N) 1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

dx

dF= A – 2Bx = 103 – 104x

1. b.

9/21/2012 Fisika I 45

SOLUSI

Usaha yang dilakukan : 2

2

2

2

10.9

10.3

3

312

21

10.9

10.3

2 xBxAdxBxAxdxFW

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi

linier yang menghubungkan titik (0,4)

dan titik (10,8). Dengan menggunakan

persamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 10

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5.

Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

9/21/2012 Fisika I 46

SOLUSI

Medan listrik E(x) = dx

)x(dV

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

x (m)

E (V/m)

2,5

2. b.

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x (m)

v (m/s)

3. a.

= 2,5

9/21/2012 Fisika I 47

SOLUSI

Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s.

Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32

= 12 m/s.

3. b.

Percepatan a(t) = dt

)t(dv= 10 – 4t 3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

x (m)

a (m/s2)

3. d.

9/21/2012 Fisika I 48

SOLUSI

Fungsi posisi x(t) = 3

3222 tt5dtt2t10dt)t(v3. e.

Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada

saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik

posisi x di :

323

322 41

3

12555.5

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x =

41,67 m

3. f.

x(5) =