� Vektor : Besaran fisik yang memiliki besar dan arah

Contoh: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrikmomentum, medan magnet, medan listrik

� Skalar : Besaran fisik yang hanya memiliki besar saja (tidak memiliki arah)

Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

�Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya

tertentu. (Arah garis menunjukkan arah vektor

dan panjang garis menunjukkan besar vektor)

�Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau�Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau

u (italic).

�Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke

B, maka ditulis dengan lambang u = AB

�Notasi u dibaca “vektor u”

• Vektor sebagai pasangan bilangan

u = (a,b) atau u = (a,b,c)

• Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i, j, k

u = ai + bj atau u = ai + bj + ck

2 2 2 2 2 atau a b a b c= + = + +u u

u = ai + bj atau u = ai + bj + ck

• Panjang vektor u (norma dari v) ditentukanoleh rumus:

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka

� u + v = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

� u – v = (a,b) + (-c,-d) = (a - c, b - d)

Contoh:Contoh:

u = (3,-2) dan v = (-2,3)

u + v = (1,1)

u – v = (5,-5)

Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

Misalkan u = (a,b), k dan l adalah sembarang

skalar maka:

� ku = (ka,kb)

(k+l)u = ku + lu� (k+l)u = ku + lu

Contoh

• u = (-4,2) � -3u = (12,-6)

Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

�Vektor satuan adalah sebuah vektor yangdidefinisikan sebagai satu satuan vektor.

�Jika digunakan sistem koordinat Cartesian(koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dansumbu y dan sumbu z.sumbu y dan sumbu z.

�Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektorsatuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z

adalah k.

�Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnyaadalah satu satuan

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:

u∙v = ||u|| ||v|| cos θ

Dimana:Dimana:

||u|| = panjang vektor u

||v|| = panjang vektor v

θ = sudut antara vektor u dan v

Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:

||u × v|| = ||u|| ||v|| sin θ

Dimana:Dimana:

||u|| = panjang vektor u

||v|| = panjang vektor v

θ = sudut antara vektor u dan v

Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3).

Contoh:

Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

1 1 2 2 3 3u v u v u v⋅ = + +u v

Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

tentukanlah u∙v !

Solusi:1 1 2 2 3 3

( 1)(2) (3)( 4) ( 2)(1)

2 ( 12) ( 2) 16

u v u v u v⋅ = + +

= − + − + −

= − + − + − = −

u v

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1 2

i j ku u u u u u

u u u i j kv v v v v v

v v v

× = = − +u v

Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka:

2 3 1 3 1 2

1 2 3v v v

Contoh:

Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

tentukanlah u×v !

1 3 2

2 4 1

i j k

× = − −

−

u v

u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)

[ ] [ ] [ ]

2 4 1

3 2 1 2 1 3

4 1 2 1 2 4

3(1) ( 2)( 4) ( 1)(1) ( 2)(2) ( 1)( 4) 3(2)

(3 8) ( 1 4) (4 6)

5 3 2

i j k

i j k

i j k

i j k

−

− − − −= − +− −

= − − − − − − − + − − −

= − − − + + −

=− − −

Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :

Contoh

Tentukan (θ) sudut antara vektor u dan v jika:

u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)

cosθ⋅

=u v

u v

u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)

Solusi

(2, 1,1) (1,1,2)

(2)(1) ( 1)(1) (1)(2)

2 1 2 3

⋅ = − ⋅

= + − +

= − + =

u v 2 2 2

2 2 2

2 ( 1) 1 6

1 1 2 6

= + − + =

= + + =

u

v

3 1cos 60

26 6

oθ θ⋅

= = = ⇔ =u v

u v

Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :

(i) lancip jika dan hanya jika

(ii) tumpul jika dan hanya jika

(iii) = jika dan hanya jika

θ

θ

πθ

⋅ >

⋅ <

⋅ =

u v 0

u v 0

u v 0

Contoh

Tentukan apakah u dan v membentuk sudut

lancip, tumpul, atau ortogonal

u = (7, 3, 5) dan v = (-8, 4, 2)

(iii) = jika dan hanya jika 2

πθ ⋅ =u v 0

Solusi

(7)( 8) (3)(4) (5)(2)

56 12 10

⋅ = − + +

= − + +

= − <

u v

Jadi, u dan v membentuk sudut tumpul

34 0= − <

1. Misalkan u = (1,2,3), v = (2,-3,1), dan w = (3,2,-1).

Carilah komponen-komponen dari:

a. 2u+3v

b. 7v – 3w

c. 2v – (u + w)

2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika: 2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika:

a. v = (3,4)

b. v = (-8,7,4)

3. Misalkan u = (1,-3,2), v = (1,1,0), dan w = (2,2,-4). Tentukanlah:

a. +u v

b. +u v

c. 1w

w

4. Tentukanlah ⋅u v dan ×u v dan cosθ (θ sudut antara u dan v)

jika diketahui:

a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)

b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)

c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5) c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)

5. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul,

atau ortogonal jika diketahui:

a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)

b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)

c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)

Vektor di R2

• u = (a,b) , v = (c,d)

1) u + v = (a+c, b+d)

2) u - v = (a-c, b-d)

Vektor di R3

2) u - v = (a-c, b-d)

3) Norma (besar) vektor u

4) Perkalian Titik (dot

product)

5) Perkalian Silang (cros

Product)

2 2a b= +u