w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran...

24
VEKTOR Mata Kuliah : Calculus (MF113) Oleh : Hanung N. Prasetyo Oleh : Hanung N. Prasetyo Information System Department TELKOM Polytechnic Bandung

Transcript of w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran...

Page 1: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

VEKTORMata Kuliah : Calculus (MF113)

Oleh : Hanung N. PrasetyoOleh : Hanung N. Prasetyo

Information System Department

TELKOM Polytechnic

Bandung

Page 2: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 2

Page 3: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

1. Vektor di Ruang 2

� Besaran Skalar dan Besaran Vektor� Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar

(panjang/nilai)

� Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

� Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah

Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 3

� Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik

� Notasi Vektor

� Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.

� Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).

� Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB

� Notasi u dibaca “vektor u”

Page 4: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Penyajian Vektor

� Vektor sbg pasangan bilangan

� u = (a,b)

� a : komponen mendatar, b : komponen vertikal

� Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j

=b

au

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 4

� Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j

� u = ai + bj

� Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

22|u| ba +=

Page 5: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Kesamaan Vektor

� Dua buah vektor dikatakan sama besar bila

besar dan arahnya sama.

� Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)

� Jika u = v, maka

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 5

� |u| = |v|

� arah u = arah v

� a=c dan b=d

Page 6: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

a b

Dua vektor sama,

a = b

a b

Dua Vektor

mempunyai besar

sama, arah

berbeda

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 6

a b

Dua vektor arah

sama, besaran

beda

a

b

Dua Vektor besar

dan arah berbeda

Page 7: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Penjumlahan Vektor

� Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan

aturan jajaran genjang

vu w = u + v

w = u + v

u

v

=u

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 7

aturan jajaran genjang

� Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

=u

+

+=

+

=+

=

=

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

Page 8: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Elemen Identitas

� Vektor nol ditulis 0

� Vektor nol disebut elemen identitas

� u + 0 = 0 + u = u

Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 8

� Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,

maka –u adalah invers aditif u yang

didefinisikan sebagai vektor yang memiliki

besar sama tetapi arah berlawanan.

� u – u = u + (-u) = 0

Page 9: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Pengurangan Vektor

� Selisih dua vektor u

dan v ditulis u – v

didefinisikan u + (-v)

� Dalam bentuk

pasangan bilangan

vu

u

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 9

pasangan bilanganw = u - v -v

−=

=−

=

=

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

Page 10: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Perkalian Vektor dengan Skalar

� mu adalah suatu vektor

dg panjang m kali

panjang vektor u dan

searah dengan u jika

m > 0, dan berlawanan

u

2u

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 10

m > 0, dan berlawanan

arah jika m < 0.

{ }

=

=

=

mb

ma

b

ammumaka

realbilanganmdanb

auJika

:

,

Page 11: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Sifat-Sifat Operasi Vektor

� Komutatif � a + b = b + a

� Asosiatif � (a+b)+c = a+(b+c)

� Elemen identitas terhadap penjumlahan

� Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 11

� Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

� Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

� 1u = u

� 0u = 0, m0 = 0.

� Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Page 12: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

� (mn)u = m(nu)

� |mu| = |m||u|

� (-mu) = - (mu) = m (-u)

Distributif : (m+n)u = mu + nu

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 12

� Distributif : (m+n)u = mu + nu

� Distributif : m(u+v) = mu + mv

� u+(-1)u = u + (-u) = 0

Page 13: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

=

=

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

=

=

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 13

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

−+−=−

−=

=−

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

+++=+

+

+=

+

=+

Page 14: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

θcos||||2|||||| 22 vuvuvu ++=+u + v

u

v

θ

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 14

θcos||||2|||||| 22 vuvuvu −+=−u

vu-v

θ

Page 15: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

npenjumlaha hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

βββααvuvu

=−

=+

u + v

u

v

α β

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 15

u

vu-v

αnpenguranga hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

ββαβαvuvu

=−

=−

β

Page 16: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Vektor Posisi

� OA = a dan OB = b

adalah vektor posisi.

� AB = AO + OB

� = OB – OA

Y

A

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 16

� = b – a

X0

A

B

b

a

Page 17: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Dot Product (Inner Product)

� Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

γcos|||| baba =•

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 17

� Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :

332211 ccbababa ++=•� a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}

� a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}

� a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Page 18: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Vektor Ortogonal

� Teorema

� Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol

adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling

tegak lurus

� Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 18

� Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,

dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

� Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

� Untuk vektor bukan-nol

� a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 � γ = 90o = π/2

Page 19: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product

� Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

bbaa

ba

ba

ba

••

•=

•=

||||cosγ

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 19

bbaaba ••||||

Page 20: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Contoh Perkalian Dot Product

� a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]

� Hitung sudut antara dua vektor tsb

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 20

Page 21: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Applications of Vector ProductMoment of a force� Find moment of force P

about the center of the wheel.

|P|=1000 lb

30o

1,5 ft

]0,500,866[

]0,30sin1000,30cos1000[

=−=

=

°°=P

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 21

]1299,0,0[500866

5.1000

0500866

05.10

)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[

−=++==×=

=−=

kji

kji

prm

yr

Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).

Page 22: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Scalar Triple Product

,,vac)(b a

] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a

sebagaiandidefinisk)(ditulis

],,[],,,[,],,[

vektor tigadariproduct tripleScalar

211332

332211

321

321321321

bba

bba

bba

vavava

cba

ccccbbbbaaaa

+

−−=

=•=ו

==×ו=

===

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 22

shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini

21

21

3

13

13

2

32

32

1cc

bba

cc

bba

cc

bba +

−−=

321

321

321

c)(b ac)b(a

ccc

bbb

bbb

=ו=

Page 23: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Scalar Triple ProductGeometric representation

� a,b,c vektor

� β sudut antara (bxc)

dan a

� h tinggi parallelogramc

b x c

a

β h

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 23

b

||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran

cos||

cos|||||)(|

)(

cbarea

hheighta

cbacba

cbaBesar

×

=

×=ו

ו

ββ

Page 24: w2 Vektor 1 - hanungnindito.files.wordpress.com · 1. Vektor di Ruang 2 Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Ex:

Referensi

� Advanced Engineering Mathematic, chapter 8

� Aljabar Linier Elementer, Howard Anton

� Fisika Mekanika Jilid 1, Faraday

Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 24