ANALISIS VEKTOR -...
of 33
/33
Embed Size (px)
Transcript of ANALISIS VEKTOR -...
-
ANALISIS VEKTOR
-
9.1. Skalar dan Vektor
Skalar
Satuan yang ditentukan oleh besaran
Contoh: panjang, voltase, temperatur
Vektor
Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah
Contoh: gaya, velocity
-
Vektor
Notasi
Huruf kecil tebal
Contoh: , Huruf kecil dengan panah
Contoh: ,
Titik awal
Pangkal vektor
Titik akhir
Ujung vektor
-
Vektor
Panjang vektor (norm)
Panjang vektor dari titik awal sampai titik ujung
Notasi:
Vektor satuan
Vektor dengan panjang satu
-
Definisi Persamaan Vektor
Dua buah vektor dan dikatakan sama, ditulis = , jika keduanya mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama.
-
Arah vektor
-
Komponen Vektor
Misal vektor dengan titik awal : 1, 1, 1 dan titik akhir : 2, 2, 2 . Maka tiga beda koordinat
1 = 2 1 2 = 2 1 3 = 2 1
Disebut komponen dari vektor terhadap sistem koordinat, dinotasikan dengan
= 1, 2, 3
Panjang dari vektor adalah
= 12 + 2
2 + 32
-
Definisi Penjumlahan Vektor
Jumlahan + dari dua buah vektor
= 1, 2, 3 dan = 1, 2, 3
diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing
komponen yang bersesuaian, yaitu
+ = 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3
-
Sifat Dasar Penjumlahan
+ = +
+ + = + +
+ = +
+ =
-
Definisi Perkalian Skalar
Perkalian vektor = 1, 2, 3 dengan skalar adalah vektor yang diperoleh dengan cara
mengalikan masing-masing komponen dengan skalar,
yaitu
= 1, 2, 3
-
Sifat Dasar Perkalian Skalar
+ = +
+ = +
=
=
-
9.2. Definisi Dot Product
Dot product dari dua buah vektor
= 1, 2, 3 dan = 1, 2, 3
diperoleh dari perkalian panjang masing-masing vektor dengan cosinus sudut keduanya
= cos jika ,
= jika = atau =
= 11 + 22 + 33
-
Dot Product
Sudut dua buah vektor
-
Teorema 1 Ortogonalitas
Dot product dua buah vektor taknol adalah 0 jika
dan hanya jika dua vektor tersebut saling tegak lurus
-
9.3. Definisi Perkalian Vektor
Cross Product
Perkalian vektor dari dua buah vektor dan adalah vektor
=
dimana jika dan mempunyai arah yang sama atau arah yang berlawanan, atau jika = atau = , maka = = . Selain itu = mempunyai panjang
= = sin .
adalah sudut antara kedua vektor. Arah adalah tegak lurus terhadap vektor dan .
-
Cross Product
-
Cross Product
=
= 1 2 31 2 3
=2 32 3
1 31 3
+1 21 2
= 23 32 13 31
+ 12 21
= 23 32 , 13 31 , 12 21
-
Teorema 1
Untuk setiap skalar = =
Hukum distributif
+ = + + = +
Antikomutatif
=
Tidak asosiatif
-
Scalar Triple Product
Scalar Triple Product dari tiga vektor , , didefinisikan sebagai
=
-
Fungsi
Fungsi skalar
Fungsi dengan daerah hasil himpunan skalar.
Contoh: , , = 2 + 2
Fungsi vektor
Fungsi dengan daerah hasil himpunan vektor
Contoh: , , = 2, 2, z
-
Grad (gradien dari fungsi skalar)
Gradien dari fungsi skalar , , dinotasikan grad atau (dibaca nabla ) dan didefinisikan
=
,
,
=
+
+
-
Div (divergensi dari fungsi vektor)
Misal diketahui fungsi
= 1, 2, 3 .
Fungsi
div =1
+2
+3
disebut divergensi dari .
Notasi lain
div = =
,
,
1, 2, 3
-
Curl (curl dari fungsi vektor)
Curl dari fungsi vektor didefinisikan sebagai
curl = =
1 2 3
=
=
2 3
1 3
+
1 2
-
Sifat-sifat dasar Analisis Vektor
+ = + = = +
=
2
div = div + div = 2 + 2 = div 2 = 2 + 2 + 2
-
Sifat-sifat dasar Analisis Vektor
curl = + curl div = curl curl curl = div curl = 0
-
Contoh Soal 1
Diketahui dua buah fungsi
, , = 2, , 3 , , = 2
Hitunglah nilai dari
a.
b. div c. curl
d.
e.
f.
g. div curl
-
Solusi no 1a.
, , = 2
=
,
,
= 2
, 2
, 2
= 2, 2, 2
turunan fungsi terhadap , sehingga dan dianggap
konstanta
-
Solusi no 1b.
, , = 1, 2, 3 = 2, , 3
div =1
+2
+3
= 2
+
+
3
= 2 + + 3
-
Solusi no 1c.
curl =
2 3
=
3
2 3
+
2
= 32 3 2 + 0
= 32 , 3 2,
-
Solusi no 1d.
, , = 1, 2, 3 = 2, , 3
= 2, 2, 2
=
2 3
2 2 2
= 3
2 2
2 3
2 2 +
2
2 2
-
Solusi no 1e.
, , = 1, 2, 3 = 2, , 3
= 2, 2, 2
= 2, , 3 2, 2, 2= 422 + 32 + 34
-
Solusi no 1f.
= 422 + 32 + 34
= 82 + 322 + 324 , 422 + 32
+ 433 , 82 + 23 + 34
-
Solusi no 1g.
curl = 32 , 3 2,
div curl
= 32
+
3 2
+
= 32 + 32 +
