ALJABAR LINIERAritmatika VektorVivi Tri Widyaningrum,S.Kom., M.T.

Penjumlahan & Pengurangan Vektor

METODE PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR1. Cara SegitigaJumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b

2. Cara Jajaran GenjangUntuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.

Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :

BEDA PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR

SIFAT PENJUMLAHAN VEKTOR

Perkalian Vektor

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR*DEFINISIUntuk sembarang vektor a dengan , maka:- panjang a = | |.|a|- jika a 0 dan > 0 , a searah dengan a- jika a 0 dan < 0 , a berlawanan arah dengan a- jika a = 0 dan = 0 , maka a = 0

Untuk vektor a dalam koordinat kartesianjika a = [a1,a2,a3] maka a = [a1, a2, a3]

SIFAT PERKALIAN SKALAR & VEKTOR

RUANG VEKTORMerupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group

Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- assosiatif

KOMBINASI LINIERUntuk sembarang vektor a1, , am di dalam ruang vektor v , maka ungkapan: 1a1 + 2a2 + + m am. 1, , m skalar sembarangdisebut sebagai Kombinasi Linier

KETERGANTUNGAN LINIERJika kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk i = 0 (i=1,2,,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bebas linier

Jika sekurang-kurangnya terdapat satu 1=0, dimana kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bergantungan linier 1a1 + 2a2 + + m am = 0

KETERGANTUNGAN LINIERBerlaku untuk 1 = 2 = = m = 0 (vektor2 bebas linier)Jika terdapat minimal satu 1 0 (vektor2 tidak bebas linier)

BASIS & DIMENSI RUANG VEKTORSuatu vektor riil R memiliki dimensi n ditulis sebagai Rn jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam R yang saling bebas liniern buah vektor bebas linier dalam R disebut sebagai vektor basis. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam R selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis.Vektor basis mempunyai panjang 1 unit

PERKALIAN TITIK

(DOT PRODUCT)

VISUALISASIVektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitanMemiliki sudut antara dua vektor yaitu (dibaca teta) yang memenuhi 0

RUMUSJika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0u.v = 0 jika u = 0 dan v = 0

RUMUS KOMPONEN

ORTHOGONALITAS DUA VEKTORDua vektor tidak nol dikatakan orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol.Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut:

SIFAT DOT PRODUCTUntuk setiap vektor sembarang a, b, c dan skalar 1, 2 berlaku:

FORMULASI KHUSUSJika a dan b dinyatakan dalam komponennya,maka:

a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( vektor 3 dimensi )

CONTOH SOALJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1]Tentukanlah:panjang vektor a & panjang vektor bsudut antara vektor a dan b

PENYELESAIAN

CARA LAIN MENYATAKAN DOT PRODUCTa.b dituliskan ulang sebagai(a,b) : Inner Product

|a| dituliskan pula sebagai

SUMMARYArah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:v + (-v) = 0Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor untuk basis koordinat tertentuMetode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah samaPangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)

SUMMARY (CONTD.)Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basisRumus untuk dot product

Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar

u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0 u.v = 0jika u = 0 dan v = 0

***