VARIABLE COMPLEJA Notas de clase

VARIABLE COMPLEJA

Notas de clase

Dra. Laura Hidalgo SolısDepartamento de Matematicas,

Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapacomentarios: [email protected]

Septiembre del 2010

Indice general

1. Los numeros complejos 71.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. El algebra de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . 111.4. El diagrama de Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Froma polar de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 201.7. Geometrıa analıtica en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Otras propiedades de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1. C no es un campo bien ordenado. . . . . . . . . . . . 281.8.2. C es un campo completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9. El plano extendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Series de Potencias 472.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3. Series de potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Funciones C-diferenciables 673.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Funciones C-lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3. Funciones C-diferenciables y holomorfas. . . . . . . . . . . . . 713.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.1. La formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.2. La funcion exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.3. La funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.4. Las fuciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 95

3

4 INDICE GENERAL

3.4.5. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4.6. Raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4. Aplicaciones Conformes 1034.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2. Derivada en ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3. Aplicaciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.1. Transformaciones conformes en la esfera de Riemann . 1134.4. Transformaciones de Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5. Simetrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.6. Otros ejemplos de aplicaciones conformes . . . . . . . . . . . 126

4.6.1. La aplicacion de Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . 1264.6.2. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5. Teorema de Cauchy 1395.1. Integracion Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2. El Teorema de Cauchy para rectangulos . . . . . . . . . . . . 1555.3. Consecuencias del teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 161

5.3.1. Valores propios de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas . . . . . . . . . . 1755.3.3. Caracterizacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4. Modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6. Homotopıa y el Teorema de Cauchy. 1856.1. Homotopıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.2. El Indice de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.3. El Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7. Laurent y Residuos 2037.1. Clasificacion de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.3. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.4. El Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.5.1. Integrales de tipo∫∞−∞ f(x) dx. . . . . . . . . . . . . . 226

7.5.2. Transofrmadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.5.3. Integrales Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.5.4. Evaluacion de series infinitas . . . . . . . . . . . . . . 233

INDICE GENERAL 5

8. Funciones armonicas 2378.1. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.2. El nucleo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.3. El principio de reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.4. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Los numeros complejos

1.1. Introduccion

A continuacion presentamos el resumen de las notas de los cursos devariable compleja I y II, con el fin de que el alumno tenga un apoyo comple-mentario a su libro de texto y/o notas de clase. Como parte de los objetivosdel presente curso tenemos que el alumno:

Comprenda los elementos basicos de la teorıa clasica de funciones deuna variable compleja, y los relacione con otras ramas de las matema-ticas, esto con el fin de prepararlo para cursos posteriores de matema-ticas.

Reconozca el papel que juega la variable compleja dentro de las ma-tematicas, como antecesor de diversas areas de la misma, tales comola teorıa de la homotopıa, la teorıa de variedades, la teorıa de lasSuperficies de Riemann, y la teorıa de Curvas Algebraicas, entre otras.

Integre los conocimientos y habilidades adquiridos en cursos anteri-ores, tales como: Estructuras Numericas, Calculo Avanzado, Algebray Geometrıa, reconociendo la interrelacion que hay entre ellos.

Reafirme su habilidad para formular enunciados y demostraciones enterminos matematicos, con el rigor adecuado.

7

8 CAPITULO 1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

1.2. Historia

Alrededor del ano 1545 el matematico italiano Girolamo Cardano publi-co Ars Magna (El Gran Arte), una obra maestra de 40 capıtulos en el cualse da, por primera vez, una solucion algebraica a la ecuacion cubica general:

x3 + ax2 + bx+ c = 0

Su tecnica involucro el transformar esta ecuacion en otra ecuacion cubicalibre del termino cuadratico, esto es, una ecuacion de la forma:

x3 + bx+ c = 0

Una solucion a dicha ecuacion esta dada como [U, pg. 84-86]:

x =3

√−c2

+

√c2

4+b3

27+

3

√−c2−√c2

4+b3

27

Dicha solucion le habıa sido presentada por Niccolo Fontana, mejor cono-cido como Tartaglia, aunque dicha solucion fue descubierta unos 30 anosantes por Scipione Ferro de Bolonia, de manera totalmente independiente.

Este valor que se obtuvo para x podrıa usarse para factorizar la cubi-ca en una ecuacion lineal y otra cuadratica, y la ultima podrıa resolverseaplicando la formula cuadratrica. Ası, basando en el trabajo de Tartaglia,y una transformacion apropiada, Cardano pudo resolver la ecuacion cubicageneral, hecho que hasta entonces habıa parecido imposible.

En el tiempo de Cardano, todavıa se trataban los numeros imaginarioscon cierta suspicasia, pues era difıcil concebir cualquier realidad fısica quecorrespondiese con ellos. El propio Cardano, pese a sus esfuerzos a tratarcon esta nocion, en un momento considero que, el proceso de la aritmeticaque trata con las cantidades imaginarias es, tan refinado como inutil.

Esta forma de pensar cambio apartir de 1572, ano en que Rafael Bombellimostro que, de hecho, estos numeros tienen gran utilidad. Si se considera laecuacion cubica x3−15x−4 = 0, y se substituyen los valores b = −15 y c =−4 en la formula de “ Ferro-Tartaglia ”para la ecuacion cubica x3+bx+c = 0,obtenemos el valor:

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

que puede representarse como,

x =3

√2 + 11

√−1 +

3

√2− 11

√−1.

1.2. HISTORIA 9

Bombelli sospecho que, si la ecuacion cubica original tenıa solucion, estapodrıa escribirse en terminos de u+v

√−1 y u−v

√−1 para algunos numeros

reales u y v.Es decir, Bombelli penso que

u+ v√−1 =

3

√2 + 11

√−1 y u− v

√−1 =

3

√2− 11

√−1.

De hecho, usando la identidad (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, y pre-tendiendo que estos numeros obedezcan las reglas normales del algebra,tomando a = u y b = v

√−1, notaron que:

(u+ v√−1)3 = u3 + 3u2(v

√−1) + 3u(v

√−1)2 + (v

√−1)3

= u(u3 − 3v2) + v(3u2 − v2)√−1

= 2 + 11√−121

Ası, igualando ambas partes de las ecuaciones, Bombelli razono que:

u(u2 − 3v2) = 2 y v(3u2 − v2) = 11.

Entonces supuso que esos u y v eran enteros. Como 2 es un numeroprimo, sus unicos factores enteros son 2 y 1, por lo que, la ecuacion u(u2 −3v2) = 2 lo llevo a concluir que u = 2 y u2 − 3v2 = 1. De esto se sigueque v2 = 1, o que v = ±1. Increıblemente, u = 2 y v = 1 resuelven lasegunda ecuacion v(3u2 − v2) = 11, por lo que declaro que los valores parau y v debıan ser respectivamente u = 2 y v = 1. Tambien noto que, si(2 +

√−1)3 = 2 + 11

√−1, entonces 2 +

√−1 = 3

√2 + 11

√−1. Igualmente,

afirmo 2 +√−1 = 3

√2− 11

√−1. Claramente:

3

√2 + 11

√−1 +

3

√2− 11

√−1 = (2 +

√−1) + (2−

√−1) = 4

lo cual era un hecho sorprendente.Pues es claro que una solucion de la ecuacion x3−15x−4 = 0 es x = 4. Sin

embargo, para llegar a esta solucion real, se forzo a recorrer el desconocidoterritorio de los numeros imaginarios.

Ası, ya no podıa ignorarse la utilidad de estos numeros, que actualmentellamamos los numeros complejos.

Pero ni siquiera este descubrimiento abrio la aceptacion general hacia losnumeros complejos. Despues de todo, un numero real podrıa representarse


geometricamente en la recta numerica. ¿Que posible representacion podrıantener estos nuevos numeros?

En 1673 John Wallis hizo una aproximacion a una representacion geome-trica de los numeros complejos, como la que actualmente conocemos. Wallisestaba interesado en representar las soluciones de la ecuacion cuadraticageneral x2 − 2bx + c2 = 0. Usando la formula cuadratrica, dicha ecuaciontiene las soluciones x = −b±

√b2 − c2.

Wallis imagino estas soluciones como los desplazamientos a la izquierda,y el punto −b como una correcion, y vio cada desplazamiento, cuyo valorera√b2 − c2, como las longitudes de los lados de un triangulo rectangulo.

Desafortunadamente, el metodo de Wallis tiene como consecuencia que−√−1 esta representado por el mismo punto que

√−1. No obstante, con

esta interpretacion, se podıa pensar a los numeros complejos como los puntosen el plano.

Por el ano de 1800, el gran matematico suizo Leonhard Euler adopto estarepresentacion de los numeros complejos para obtener las n soluciones dela ecuacion xn − 1 = 0. Actualmente, sabemos que estas soluciones puedenexpresarse como eıθ = cos (θ) +

√−1 sin (θ) para algunos valores reales de θ;

Euler penso en ellos como los vertices de un polıgono regular en el plano. Eu-ler tambien fue el primero en usar el sımbolo ı para

√−1. Actualmente, esta

notacion es la mas popular, aunque algunos ingenieros electricos prefierenen cambio el sımbolo , pues ı la utilizan para representar la corriente.

Quiza la figura que mas influyo en la aceptacion de numeros complejosfue el matematico aleman Carl Friedrich Gauss, que en su tesis doctoral(1799) presenta la primera demostracion de El Teorema Fundamental deAlgebra, ası como sus crıticas y objeciones a pruebas anteriores, posterior-mente en 1816 y 1831 presenta otras demostraciones de dichos resultados.En un artıculo que escribio en 1831, produjo una representacion geometricaclara: identifico el numero complejo x + ıy con el punto (x, y) en el planocartesiano. Y tambien describio como realizar las operaciones aritmeticascon estos numeros.

Por otra parte Cauchy, basandose en el trabajo sobre la teorıa de fun-ciones de Lagrange, inicia el estudio riguroso de la teorıa de funciones deuna variable compleja, trabajo que continuarıa desarrollandose posterior-mente bajo la guıa de Weierstrass y Riemann.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/History overview.html

1.3. EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 11

1.3. El algebra de los numeros complejos

Es fundamental que los numeros reales y complejos satisfagan las mismasleyes fundamentales de la aritmetica. En esta seccion se estudiaran dichasleyes, ası como su interpretacion geometrica.

Definicion 1.3.1. Un numero complejo es una expresion fromal x+yı dondex y y son numeros reales. Denotaremos por C el conjunto de los numeroscomplejos.

Suele usarse un solo sımbolo, tal como z, para representar un numerocomplejo, y podemos escribir z = x+ yı.

Si z1 = x1 + y1ı y z2 = x2 + y2ı son dos numeros complejos, diremos quedos numeros complejos z1, z2 son iguales, esto es, z1 = z2 si, y solamente si,x1 = x2 y y1 = y2 .

Si z1 = x1 + y1ı y z2 = x2 + y2ı son dos numeros complejos, se define lasuma de z1 con z2, que denotamos z1 + z2 como:

z1 + z2 := (x1 + x2) + (y1 + y2)ı,

y el producto de z1 con z2, que denotamos z1z2, como:

z1z2 = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)ı.

Ejemplo 1.

1. Si z1 = 1 + 2ı y z2 = 3 + 8ı, entonces z1 + z2 = 4 + 10ı, mientras quez1z2 = −13 + 14ı.

2. Si z1 = x1 + 0ı y z2 = x2 + 0ı, entonces z1 + z2 = (x1 + x2) + 0ı yz1z2 = x1x2 + 0ı.

3. Si z1 = z2 = 0 + 1ı, entonces z21 = z1z1 = −1 + 0ı.

Teorema 1.3.1. El conjunto de los numeros complejos dotado de las op-eraciones de suma y producto anteriores es un campo.

Demostracion. Para verificar que el conjunto de los numeros complejos dota-do de las operaciones de suma y producto definidas anteriormente satisfacelos axiomas de campo utilizaremos la estructura de campo de los numerosreales.

Si z1 = a + bı, z2 = c + dı y z3 = e + fı, donde a, b, c, d, e y f denotannumeros reales, entonces:


1. Como z1 + z2 = (a + c) + (b + d)ı donde a + c y b + d son numerosreales, tenemos que la suma es cerrada.

2. Sabemos que, en el campo de los numeros reales la suma es conmuta-tiva, tenemos ası que a+ c = c+ a y b+ d = d+ b, de donde

z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d)ı = (c+ a) + (d+ b)ı = z2 + z1

por lo que la suma tambien es conmutativa en C.

3. En el campo de los numeros reales la suma es asociativa, por lo tanto:a+ (c+ e) = (a+ c) + e y b+ (d+ f) = (b+ d) + f , se sigue de aquique:

z1 + (z2 + z3) = a+ bı+ [(c+ e) + (d+ f)ı]= a+ (c+ e) + [b+ (d+ f)] ı= (a+ c) + e+ [(b+ d) + f ] ı= (z1 + z2) + z3

la suma en C es asociativa.

4. Como 0 es el neutro aditivo en R, entonces a + 0 = a y b + 0 = b, dedonde

z1 = a+ bı = (a+ 0) + (b+ 0)ı = (a+ bı) + (0 + 0ı)

Esto implica que 0 + 0ı es neutro aditivo.

5. Como a, b ∈ R, y R es un campo, los numeros reales a y b tienen inversoaditivo, los cuales denotamos −a y −b respectivamente. Si definimosz2 como z2 = (−a) + (−b)ı = −a− bı tenemos que

z1 + z2 = (a+ bı) + (−a− bı) = (a− a) + (b− b)ı = 0 + 0ı

Ası z2 = −a− bı es el inverso aditivo de z1 y solemos denotarlo como−z1.

6. Como z1z2 = (ac−bd)+(ad+bc)ı donde ac−bd y ad+bc son numerosreales, tenemos que el producto es cerrado.

7. Sabemos que, en el campo de los numeros reales el producto es con-mutativo, tenemos ası que ac − bd = ca − db y ad + bc = da + cb, dedonde

z1z2 = (ac− bd) + (ad+ bc)ı = (ca− db) + (da+ cb)ı = z2z1

por lo que el producto es una operacion conmutativa en C.

1.3. EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 13

8. Usando las propiedades de campo de los numeros reales es facil verque:

a(ce− df)− b(de+ cf) = (ac− bd)e− (ad+ ac)f

y que

b(ce−df)+a(de+cf) = (bc+ad)e+(−bd+ac)f = (ad+bc)e+(ac−bd)f,

por tanto:

z1(z2z3) = (a+ bı) + [(ce− df) + (de+ cf)ı]= [a(ce− df)− b(de+ cf)] + [b(cd− df) + a(de+ cf)] ı= [(ac− bd)e− (ad+ ac)f ] + [(ad+ bc)e+ (ac− bd)f ] ı= [(ac− bd) + (ad+ bc)ı] (e+ fı)= (z1z2)z3

tenemos ası que el producto en C es asociativo.

9. Para cada x ∈ R tenemos que x0 = 0, x1 = x, y x+ 0 = x, se sigue deaquı que

z1 = a+bı = (a+0)+(0+b)ı = (a1−b0)+(a0+b1)ı = (a+bı)(1+0ı)

Esto implica que 1 + 0ı es neutro multiplicativo.

10. Para ver como obtener el inverso de un numero complejo distinto de0 + 0ı, supondremos que a, b ∈ R,y alguno de ellos no es cero, enparticular, a2 + b2 6= 0. Si w = x+yı fuera inverso multiplicativo de z1

tendrıamos que 1+0ı = z1w = (a+bı)(x+yı) = (ax−by)+(ay+bx)ı,tenemos ası el siguiente sistema de ecuaciones:

1 = ax− by, 0 = bx+ ay

Como a2 + b2 6= 0, podemos ver que la solucion a este sistema deecuaciones esta dada como

x =a

a2 + b2, y =

−ba2 + b2

Ası w =a

a2 + b2− b

a2 + b2ı es inverso multiplicativo de z1 y solemos

denotarlo como w = z−11 .


11. Para mostrar la propiedad distributiva del producto con respecto ala suma, nuevamente utilizaremos las popiedades de campo de losnumeros reales.

z1(z2 + z3) = (a+ bı)[(c+ e) + (d+ f)ı]= [a(c+ e)− b(d+ f)] + [b(c+ e) + a(d+ f)]ı= [(ac− bd) + (ae− bf)] + [(ad+ bc) + (af + be)]ı= [(ac− bd) + (ad+ bc)ı] + [(ae− bf) + (af + be)ı]= z1z2 + z1z3

Al campo de los numeros complejos lo denotamos nuevamente con laletra C

Notese que la funcion φ : R→ C dada como φ(a) = a+ı0 es un monomor-fismo de campos, por lo que R es un subcampo de C. Ası, identificaremos elnumero real a con el numero complejo a+ ı0, esto es, a = a+ ı0.

Por otra parte, si z = 0 + yı simplemente escribiremos z = yı.Una vez realizadas estas aclaraciones el ejemplo 3 nos dice que ı2 = −1,

por lo que ı es una solucion a la ecuacion x2 + 1 = 0.

Proposicion 1.3.1. C es un R-espacio vectorial de dimension dos.

Demostracion. Si z1 = x1 + y1ı y z2 = x2 + y2ı son dos numeros complejos,tenemos que z1 + z2 := (x1 + x2) + (y1 + y2)ı, y si λ ∈ R, entonces λz1 =λx1 + λy1ı, como consecuencia del teorema anterior, tenemos que C es unR−espacio vectorial.

Aun mas, los elementos 1 + 0ı, 0 + 1ı constituyen una base de C comoR-espacio vectorial, pues x+yı = x(1 + 0ı) +y(0 + 1ı) para cada x+yı ∈ C,y claramente los elementos 1 + 0ı, 0 + 1ı son R-linealmente independientes,por tanto C es un R−espacio vectorial de dimension dos.

Es claro ahora que podemos definir un R−isomorfismo de C en R2 comoµ(x+yı) = (x, y). Claramente µ respeta las operaciones de espacio vectorial,y la inversa de esta funcion esta dada como µ−1(x, y) = x+ yı.

1.4. El diagrama de Argand

En particular, esto nos permite pensar al numero complejo a+bı como unpar ordenado (a, b), y podemos representar al numero complejo a+ bı con el

1.4. EL DIAGRAMA DE ARGAND 15

punto cuyas coordenadas cartesianas son (a, b), referidas generalmente en unsistema ortogonal de ejes. Esta representacion se conoce como el diagramade Argand, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.1: Representacion de un numero complejo como punto en R2

Por razones historicas el numero b se denomina la parte imaginaria delnumero complejo, y el eje vertical se denomina el eje imaginario, mientrasque el eje horizontal se denomina el eje real . Las personas que se introducenen el tema pueden pensar que no existe un numero real cuyo cuadrado sea−1, y consecuentemente podemos imaginar un numero ı cuyo cuadrado sea−1, entonces este numero es imaginario.

Si representamos un numero complejo z = a + bı no solo por el parordenado (a, b) en el diagrama de Argand, sino como “la flecha” que vadel origen al punto (a, b), podemos pensar a los numeros complejos comovectores.

Luego entonces, si tenemos los numeros complejos z1 y z2, como seg-mentos dirigidos en el plano, la suma z1 + z2 corresponde a la diagonal delparalelogramo que determinan z1 y z2

Figura 1.2: Representacion geometrica de la suma de numeros complejos.


1.5. Algunas propiedades de los numeroscomplejos

Definicion 1.5.1. Si x y y son numeros reales, y z es el numero complejox+ yı, entonces al numero complejo x− yı se le denomina el conjugado dez, y se denota z = x− yı.

El numero x es la parte real de z, y suele escribirse x = Re(z). Por otraparte, el numero y es la parte imaginaria de z, y se denota y = Im(z).

Figura 1.3: El conjugado de un numero complejo

Ejemplo 2.

1. Si z = 3 + 5ı, entonces z = 3− 5ı, Re(z) = 3, y Im(z) = 5

2. Si z = 8− 13ı, entonces z = 8 + 13ı, Re(z) = 8, y Im(z) = −13.

La conjugacion por un numero complejo, nos permite definir una funcionC−valudada de variable compleja ρ : C→ C como ρ(z) = z.

Al identificar C con el plano euclidiano R2 podemos interpretar estafuncion como la reflexion con respecto al eje x. Es claro que ¯z = x+ yı = z,lo cual corresponde al hecho geometrico que la reflexion en una lınea rectaes un operador de periodo dos, como podemos apreciar en la figura (??).

Tenemos ademas que Re(z) corresponde a la proyeccion ortogonal dez con respecto al eje x e Im(z) corresponde a la proyeccion ortogonal conrespecto al eje y.

Teorema 1.5.1. Si z y w son numeros complejos, entonces:

1. z + w = z + w.

2. zw = zw.

3. Re(z) =z + z

2.

1.5. PROPIEDADES 17

4. Im(z) =z − z

2ı.

5. Si z es un numero complejo distinto de cero, entonces zz es un numeroreal y positivo

Demostracion. Si z = a+ bı y w = c+ dı, entonces:

1. z + w = (a− bı) + (c− dı) = (a+ c)− (b+ d)ı = z + w.

2. zw = (a− bı)(c− dı) = (ac− bd)− (ad+ bc)ı = zw.

3.z + z

2=

(a+ bı) + (a− bı)2

=2a+ 0ı

2= a = Re(z).

4.z − z

2ı=

(a+ bı)− (a− bı)2ı

=0 + 2bı

2ı= b = Im(z).

5. zz = (a+ bı)(a− bı) = (a2 − b(−b)) + (a(−b) + ba)ı = a2 + b2.

Como a, b ∈ R, entonces a2 +b2 ≥ 0, y como alguno de ellos es distintode cero, entonces a2 + b2 6= 0.

Como consecuencia del inciso 5 del teorema anterior, la raız cuadrada dezz esta bien definida, lo cual nos permite definir una funcion R− valudadade variable compleja | | : C→ R como |z| =

√zz.

Definicion 1.5.2. Si z es un numero complejo, el modulo de z, que de-notaremos |z|, se define como la raız cuadrada no negativa de zz, esto es,|z| =

√zz

Al modulo de un numero complejo tambien se le suele llamar norma.

Figura 1.4: El modulo de un numero complejo

Cuando z = x+ 0ı es un numero real, z = z = x, ası zz = x2 ≥ 0, por loque√zz =

√x2 = |x|. Por tanto, el modulo de un numero real coincide con


su valor absoluto, y como consecuencia del teorema de Pitagoras, el modulode un numero complejo z = a + bı coincide con la distancia que hay delpunto (a, b) al origen (0, 0).

Ejemplo 3.

1. Si z = 8− 15ı, entonces |z| =√

289 = 17.

2. Si z = −24 + 7ı, entonces |z| =√

625 = 25.

3. Si z = −5− 12ı, entonces |z| =√

169 = 13.

4. Si z = 1 + ı, entonces |z| =√

2.

Ademas se satisfacen las siguientes propiedades:

Proposicion 1.5.1. Si z y w son dos numeros complejos, entonces:

1. |z| = |z|.

2. |zw| = |z||w|.

3. Si w 6= 0, entonces∣∣∣ zw

∣∣∣ =|z||w|

.

4. |Re(z)| ≤ |z|

5. (La desigualdad del triangulo) |z + w| ≤ |z|+ |w|.

6. | |z| − |w| | ≤ |z − w|.

Demostracion. Si z y w son dos numeros complejos, entonces:

1. Como z = z, entonces zz = z z, de donde

|z| =√zz =

√z z = |z|.

2. |zw| =√zwzw =

√(zz)(ww) =

√zz√ww = |z||w|.

3. Si w 6= 0, entonces |w| 6= 0, como consecuencia del inciso anteriorbastara mostrar que |w−1| = 1/|w|. Como ww = |w|2, y w 6= 0 tenemosque

ww

|w|2= 1 de donde w−1 =

w

|w|2

Por tanto

|w−1| =∣∣∣∣ w|w|2

∣∣∣∣ =|w||w|2

=1|w|

1.5. PROPIEDADES 19

4. Si z = x+yı, entonces x = Re(z), pero |x| =√x2, y como x2 ≤ x2+y2,

se sigue que |x| ≤√x2 + y2 = |z|.

5. Para demostrar que |z + w| ≤ |z| + |w|, notamos que zw = zw, dedonde, zw + zw = 2Re(z). Por tanto

|z + w|2 = (z + w)(z + w)= zz + zw + zw + ww= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2≤ |z|2 + 2|zw|+ |w|2= |z|2 + 2|z||w|+ |w|2= (|z|+ |w|)2

extrayendo raız cuadrada a ambos miembros se obtiene el resultadodeseado.

6. Como consecuencia de la desigualdad del triangulo tenemos que |z| =|(z − w) + w| ≤ |z − w|+ |w|, de donde |z| − |w| ≤ |z − w|.Analogamente, |w| = |(w−z)+z| ≤ |w−z|+ |z|, ası |w|−|z| ≤ |w−z|.Como consecuencia de lo anterior | |z| − |w| | ≤ |z − w|.

Como consecuencia de esta proposicion tenemos que, si z 6= 0, entonces

z−1 =z

|z|2.

Figura 1.5: El inverso de un numero complejo.

Proposicion 1.5.2 (La desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si z1, . . . , zn yw1, . . . , wn son numeros complejos, entonces∣∣∣∣∣∣

n∑j=1

zjwj

∣∣∣∣∣∣2

≤∑|zj |2

∑|wj |2.


Demostracion. SiA =n∑j=1

|zj |2, B =n∑j=1

|wj |2 y C =n∑j=1

zjwj , entoncesB ≥

0, si B = 0, entonces wj = 0 para j = 1, . . . , n, ası C = 0.Supongamos entonces que B 6= 0, en particular B > 0 y

n∑j=1

|Bzj − Cwj |2 =n∑j=1

(Bzj − Cwj)(Bzj − Cwj

= B2n∑j=1

|zj |2 −BCn∑j=1

zjwj −BCn∑j=1

zjwj + |C|2n∑j=1

|wj |2

= B2A−B|C|2= B(AB − |C|2)

Como cada termino de la expresionn∑j=1

|Bzj − Cwj |2 es no negativo, tenemos

que B(AB − |C|2) ≥ 0, y como B > 0, entonces AB − |C|2 ≥ 0, comoesperabamos demostrar.

1.6. Froma polar de un numero complejo

Definicion 1.6.1. Si z es un numero complejo distinto de cero, el argumen-to, o amplitud, de z, que denotaremos arg(z), se define como el angulo θque hay del eje real positivo al vector determinado por el punto z, y solemosescribirlo como:

arg(z) = θ.

Figura 1.6: El argumento de un numero complejo.

1.6. FROMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO 21

El angulo θ se considera positivo si se mide en sentido contrario a lasmanecillas del reloj (levogiro), y negativo en el caso contrario (dextrogiro).En particular, θ es la longitud del arco en la circunferencia unitaria que vadel vector (1, 0) al vector z/|z|, medido en levogiro.

Al numero complejo z = 0 no le asignamos argumento. El argumentoqueda definido salvo multiplos enteros de 2π, esto es, si θ es un valor admis-ible para el argumento, tambien lo es θ+ 2πk para cualquier numero enterok, por lo que podemos pensar algunas veces arg z como θ + 2πk; k ∈ Z.Podemos terminar con esta ambiguedad si especificamos un rango particularpara el angulo, esto se conoce como determinar una “rama para el argumen-to”, se suele considerar 0 ≤ 0 < 2π o bien −π < θ ≤ π. Aunque puedeconsiderarse cualquier intervalo semiabierto de longitud 2π.

Ahora, si z 6= 0 y z = a+ bı y consideramos el triangulo cuyos lados sonlos vectores determinados por a, b y z tenemos que:

cos(θ) =a

|z|, lo cual implica que a = |z| cos(θ)

y

sin(θ) =b

|z|, de donde b = |z| sin(θ).

Consecuentemente z = a + bı = |z| cos(θ) + |z| sin(θ)ı = |z|(cos(θ) +sin(θ)ı)

El numero complejo cos(θ) + sin(θ)ı suele abreviarse como eıθ, o bienexp(ıθ), esto es,

eıθ := cos(θ) + sin(θ)ı

Definicion 1.6.2. Si z 6= 0 es un numero complejo, r = |z| y θ = arg(z),entonces z = r(cos(θ) + ı sin(θ)) = reıθ. Esta representacion se denomina laforma polar del numero complejo z.

Ejemplo 4.

1. Si z0 = 1 + ı, entonces |z0| =√

12 + 12 =√

2 y arg(z0) = π/4,por lo que, la forma polar del numero complejo z0 esta dada comoz0 =

√2eı

π4 .

2. Si z = 1 − ı, entonces |z| =√

12 + (−1)2 =√

2 y arg(z1) = 7π/4,por lo que, la forma polar del numero complejo z1 esta dada comoz1 =

√2eı

7π4 .

3. Si z2 = −1 − ı, entonces |z2| =√

(−1)2 + (−1)2 =√

2 y arg(z2) =5π/4, por lo que, la forma polar del numero complejo z2 esta dadacomo z2 =

√2eı

5π4 .


Si a 6= 0, entonces tan(θ) =b

a. Restringiendo el dominio de la funcion

tangente a un intervalo donde sea biyectiva, por ejemplo, (−π/2, π/2) ten-emos que si a 6= 0 entonces:

θ = arctan(b

a

).

Cuando a = 0 tenemos que θ = π/2 si b > 0 y θ = −π/2 si b < 0. Cabenotar que la funcion arctan esta bien definida salvo multiplos enteros deπ, no de 2π, como es el caso de la funcion argumento. El problema radicaen que los vectores determinados por z y −z tienen el mismo modulo ydirecciones opuestas, ya que b

a = −b−a , notamos ası que arg(z) y arg(−z) estan

relacionados como arg(−z) = arg(z)+π, en general arg(−z) = arg(z)+(2k+1)π con k ∈ Z.

Representar un numero complejo z en terminos de su modulo y su ar-gumento, nos permite dar una interpretacion geometrica al producto, estoes:

Proposicion 1.6.1. El modulo de un producto es el producto de los modulosy el argumento de un producto es la suma de los argumentos de los factoresmodulo 2π.

Ya que el argumento no es una funcion, debemos entender esta proposi-cion de la siguiente manera, si θ1 y θ2 son valores admisibles para arg(z1) yarg(z2), entonces θ = θ1 + θ2 es un valor admisible para arg(z1z2).

Figura 1.7: El producto de dos numeros complejos.

Demostracion. Si z1 = r1(cos θ1 + ı sin θ1) y z2 = r2(cos θ2 + ı sin θ2), portrigonometrıa elemental tenemos que:


z1z2 = [r1(cos θ1 + ı sin θ1)][r2(cos θ2 + ı sin θ2)]= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2)

+(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)ı]= r1r2[cos(θ1 + θ2) + sin(θ1 + θ2)ı]

esto es, arg(z1z2) = arg z1 + arg z2 y |z1z2| = |z1||z2|.

El teorema anterior exhibe el hecho fundamental que multiplicar numeroscomplejos es sumar sus argumentos y multiplicar sus modulos. Cabe recalcarque la suma de los argumentos no necesariamente es el argumento del pro-ducto, aun si se toman los argumentos en el intervalo [0, 2π). Por ejemplo,si z = −ı entonces arg z = 3π/2, ası arg(−ı)(−ı) = 3π/2 + 3π/2 = 3π ∼= π(mod 2π).

Como consecuencia de este resultado tenemos que, si z es un numerocomplejo distinto de cero, entonces:

|z−1| = 1|z|

y arg z−1 = − arg(z).

Tambien podemos analizar el producto de numeros complejos de la si-guiente manera: Sea w ∈ C un numero complejo fijo, y definamos la apli-cacion ψw : C → C como ψw(z) = wz; la multiplicacion por w. Ademas, latransformacion ψw es R−lineal, pues:

ψw(z1 + λz2) = w(z1 + λz2) = wz1 + λwz2 = ψw(z1) + λψw(z2),

para cada λ ∈ R, z1, z2 ∈ C.Al identificar C con R2 tenemos que ψw es la aplicacion que simplemente

gira al vector z un angulo igual al argumento de w, y modifica la longituddel vector z por el factor |w|.

Figura 1.8: La transformacion R−lineal ψw


Si w = a+ bı y z = x+ yı, tenemos:

C ψw−→ Cµ ↓ ↓ µR2 µψwµ−1

−→ R2

z = x+ yı 7→ wz = (ax− by) + (ay + bx)ı↓ ↓

(x, y) 7→ (ax− by, bx+ ay)

Como toda transformacion lineal del plano puede representarse por unamatriz, entonces la matriz de ψw es:(

a −bb a

)es decir:

ψw

(xy

)=(a −bb a

)(xy

)=(ax− bybx+ ay

)Como consecuencia de la forma polar para el producto de dos numeros

complejos, puede verse por induccion que, si zj = rj(cosθj + ı sin θj) paraj = 1, . . . , n, entonces:

z1 · · · zn = r1 · · · rn(cosφ+ ı sinφ)

donde φ = θ1 + θ2 + . . .+ θn.La formula para el producto de dos numeros complejos en forma polar

es muy util para calcular las potencias zn con n ≥ 0 de un numero complejodistinto de cero, ya que, si z = reıθ, utilizando induccion sobre n podemosver facilmente que |zn| = rn y arg(zn) = nθ, de donde

zn = rneınθ

Por otra parte, como z−1 = r−1e−ıθ, tenemos que la formula zn = rneınθ secumple para cada numero entero n.

Proposicion 1.6.2 (La formula de D’Moivre. ). Si z = r(cos θ + ı sin θ) yn ∈ Z, entonces

zn = rn(cosnθ + ı sinnθ)

Como consecuencia de la formula de D’Moivre podemos resolver la ecuacionzn = w, esto es, podemos encontrar las raıces n−esimas de cualquier numerocomplejo no nulo conociendo su modulo y su argumento.

Proposicion 1.6.3. Si w = r(cos θ + ı sin θ) es un numero complejo nonulo y n ∈ N, entonces w tiene exactamente n raıces n−esimas dadas de lasiguiente forma:


zk = n√r

[cos(θ + 2πk

n

)+ ı sin

(θ + 2πk

n

)], k = 0, 1, . . . , n− 1

Demostracion. Observamos que si w = 0, entonces solo hay una unica raızn−esima de w, a saber z = 0. Supongamos ahora que w 6= 0, y escribamosloen forma polar w = reıθ, si z = ρeıψ es una raız n−esima de w, esto es, siw = zn, como consecuencia de la formula de D’Moivre tenemos que zn =ρneınψ, de donde ρn = r = |w| y nψ = θ + 2πk, para algun entero k, dedonde:

z = n√r

[cos(θ + 2πk

n

)+ ı sin

(θ + 2πk

n

)]Para determinar cuantas raıces n−esimas hay, dado k ∈ Z, dividiendolo

entre n obtenemos k = nq + r con q, r ∈ Z y 0 ≤ r < n, por lo tanto

ψ =θ + 2πk

n=θ + 2(nq + r)π

n=θ + 2πr

n+ 2πq,

por lo que el angulo correspondiente a (θ + 2πk)/n es el mismo que el de(θ + 1πr)/n pues difieren por el multiplo 2qπ de 2π. Por tanto, podemosrestringir a k ∈ Z para que tome los valores 0 ≤ k < n− 1. Por otra parte,dados j 6= k ente 0 y n− 1, los argumentos (θ + 2πj)/n y (θ + 2πk)/n danlugar a complejos diferentes. Si

θ + 2πjn

=θ + 2πk

n+ 2πt

entonces θ+ 2πj = θ+ 2πk+ 2πtn, es decir, j = tn+ k por tanto j− k = tncon 0 ≤ j, k < n−1, la unica posibilidad de que n divida a j−k es j−k = 0,por tanto, j = k.

Es decir, todo numero complejo distinto de cero tiene exactamente nraıces n−esimas complejas, dichas raıces tienen el mismo modulo, y susargumentos se encuentran igualmente espaciados.

Geometricamente, las raıces n−esimas de un numero complejo, distintode cero, son los vertices de un polıgono regular de n lados.

Ejemplo 5.

Las cinco soluciones zk con k = 0, 1, 2, 3, 4, de la ecuacion zn = 1 son:

zk = cos(

2πk5

)+ ı sin

(2πk

5

), k = 0, 1, 2, 3, 4.


Ası, las raıces quintas de la unidad son:

z0 = 1;

z1 = exp(ı2π5

)=(

11 +√

5

)+

(√5 + 2

√5

1 +√

5

)ı;

z2 = exp(ı4π5

)= −1

2

(3 +√

52

)+

12

√5−√

52

ı;

z3 = exp(ı4π5

)= −1

2

(3 +√

52

)−

12

√5−√

52

ı; y

z4 = exp(ı2π5

)=(

11 +√

5

)−

(√5 + 2

√5

1 +√

5

)ı.

Como podemos apreciar en la figura (1.9), las raıces quintas de la unidadcorresponden a los vertices de un pentagono regular, con centro en el origen,el cual tiene uno de sus vertices ubicado en el punto 1. Ademas, z4 = z1 yz3 = z2.

Figura 1.9: Las raıces quintas de la unidad

En general, las raıces n−esimas de la unidad, esto es, las soluciones dela ecuacion zn = 1 estan dadas como:

ζ = cos(

2πn

)+ ı sin

(2πn

)Si ζ es una raız distinta de uno, esto es, ζ 6= 1 todas las raıces puedenexpresarse como 1, ζ, ζ2, . . . , ζn−1, y como ζ 6= 1 es solucion de la ecuacion:

0 = zn − 1 = (z − 1)(zn−1 + zn−2 + . . .+ z2 + z + 1),

tenemos que ζ es solucion de la ecuacion ciclotomica:

zn−1 + zn−2 + . . .+ z2 + z + 1 = 0.

1.7. GEOMETRIA ANALITICA EN C 27

1.7. Geometrıa analıtica en C

En la geometrıa analıtica clasica la ecuacion de un lugar geometrico seexpresa como una relacion entre las variables x y y, tomando en cuenta que,al identificar R2 con C tenemos x = z+z

2 y y = z−z2i , entonces podemos

expresar un lugar geometrico en terminos de las coordenadas z y z. Ası,podemos pensar a una ecuacion en variable compleja como una ecuacion, osistema de ecuaciones, en dos variables reales.

Por ejemplo, sabemos que una circunferencia con centro en un puntoz0 = (x0, y0) y radio r > 0 es el lugar geometrico de los puntos z = (x, y)que equidistan la distancia r del punto z0, esto es, |z − z0| = r.

Una lınea recta L en C puede darse en su forma parametrica por mediode la ecuacion z = a+ tb, donde a y b son numeros complejos, b 6= 0 y t esun parametro real, es decir:

L = z ∈ C | z = a+ tb, con t ∈ R

Como z ∈ L si, y solo si existe t ∈ R tal que z = a+tb, equivalentemente,

t =z − ab∈ R.

Esto es, z ∈ L si, y solo si Im(z − ab

)= 0. De donde,

L =z ∈ C | Im

(z − ab

)= 0.

Dos ecuaciones z = a + tb y z = a′ + tb′ representan lıneas paralelas sib′ es multiplo real de b, y representan la misma lınea si, y solo si, a− a′ y b′

son multiplos reales de b. La direccion de esta lınea queda determinada porarg(b). El angulo entre las lıneas z = a + tb y z = a′ + tb′ esta dado comoarg(b/b′); notese que este angulo solo depende del orden en que se dan laslıneas. Dos lıneas son ortogonales si b/b′ tiene parte real cero.

La elipse con focos en w1 y w2, y semieje mayor `, se determina por lasiguiente expresion:

z ∈ C; |z − w1|+ |z − w2| = 2`.

De manera similar, la ecuacion de la hiperbola con focos en w1 y w2, yeje transversal `, se determina por la siguiente expresion:

z ∈ C; | |z − w1| − |z − w2| | = 2`.


1.8. Otras propiedades de C

Si bien, el campo de los numeros complejos tiene propiedades similares ala de los numeros reales, tambien tiene propiedades que lo definen en formaunica. En la presente seccion mencionaremos algunos de estos resultados.

Proposicion 1.8.1. Sea K un campo que contiene a los reales y para el cualtoda ecuacion cuadratica tiene solucion, entonces K contiene a C.

Demostracion. Sea j ∈ K una solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0. Entonces

F = x+ jy;x, y ∈ R ⊂ K

es un subcampo de K isomorfo a C.Es claro que F constituye un subcampo de K. Sea ϕ : C→ K el morfismo

dado por ϕ(x+ yı) = x+ jy. Claramente ϕ es un homomorfirmo de C en Fy ϕ(C) = F , por lo que basta demostrar que ϕ es inyectiva.

Si ϕ(x1 + y1ı) = ϕ(x2 + y2ı), entonces x1 + jy1 = x2 + jy2, por lo que(x1 − x2) + j(y1 − y2) = 0. Finalmente, si y1 6= y2, entonces

j =x1 − x2

y1 − y2

y x2 + 1 = 0 tiene una solucion real, lo cual es falso, de donde y1 = y2,z1 = x2 y K contiene un subcampo F isomofo a C.

Otro resultado que describe a los numeros complejos es:

Teorema 1.8.1 (El Teorema de Frobenius). Si K es un campo tal que R ⊂ Ky dimR K <∞, entonces K = R o K = C.

La prueba de este resultado es tema de un curso mas avanzado, por loque no se incluye en estas notas.

1.8.1. C no es un campo bien ordenado.

Pese a que en R2 podemos definir distintos tipos de ordenes parciales ,entre otros el lexicografico, cabe notar que no puede existir un buen ordenen C compatible con las operaciones de campo definidas en C.

Si ası fuera, deberıamos tener una clase positiva C+ la cual contiene al1 = 1 + 0ı y al cuadrado de cualquier numero complejo distinto de cero. Siı ∈ C+, entonces ı2 ∈ C+, pero ı2 = −1, como 1 ∈ C, como consecuenciade el principio de tricotomıa, −1 no puede estar en la clase positiva C+,lo cual contradice el hecho de que ı este en C+, de donde −ı ∈ C+, pero

1.8. OTRAS PROPIEDADES DE C 29

suponer esto implicarıa que (−ı2) = −1, lo cual nos conduce nuevamente auna contradiccion.

Ası, no es posible construir una clase positiva en C compatible con lasoperaciones de campo.

1.8.2. C es un campo completo.

De manera similar a como se hace en R, podemos decir que una sucesionen C es una funcion s : N→ C. Si n ∈ N, a su imagen bajo s la denotamoscomo s(n) = sn. Tambien usamos la notacion sn para una sucesion en C.

Usando el modulo de los numeros complejos sn, podemos definir losconceptos de sucesion de Cauchy y de lımite de una sucesion en C

Definicion 1.8.1. Se dice que la sucesion de numeros complejos sn esuna sucesion de Cauchy si dado ε, un numero real positivo, existe N ∈ Ntal que |sn − sn| < ε siempre que n,m ≥ N .

Se dice que un numero complejo s es el lımite de la sucesion sn si paracada numero ε real positivo, existe un entero positivo N tal que |sn − s| < εsiempre que n ≥ N .

Si la sucesion sn tiene un lımite en C diremos que la sucesion esconvergente.

Si sn es una sucesion en C, y escribimos cada sn = an + bnı conan, bn ∈ R, tenemos las sucesiones an y bn en R. Recıprocamente, sitenemos dos sucesiones an y bn en R, y definimos sn = an+bnı, entoncessn es una sucesion en C.

Proposicion 1.8.2. Sea sn una sucesion de numeros complejos, con sn =an + bnı. Entonces:

1. La sucesion sn es de Cauchy si y solo si las sucesiones an y bnson de Cauchy en R.

2. La sucesion zn converge a s = a+ bı en C si y solo si an convergea a y bn converge a b en R.

Demostracion. 1. Sea sn, con sn = an + bnı, una sucesion de Cauchy enC.

Como |Re(w)| ≤ |w| y Im(w) = Re(−ıw), de donde |Im(w)| ≤ |w|, paracada numero complejo w.


Dado ε un numero real positivo, como sn es una sucesion de Cauchy,existe un entero positivo tal que |sn − sm| < ε siempre que n,m ≥ N , dedonde :

|an − am| = |Re(sn − sm)| ≤ |sn − sm| < ε

y|bn − bm| = |Im(sn − sm)| ≤ |sn − sm| < ε

siempre que n,m ≥ N .Reciprocamente, dado ε un numero real positivo, como las sucesiones

an y bn son de Cauchy en R existe un entero positivo N tal que|an − am| < ε/2 y |bn − bm| < ε/2 siempre que n,m ≥ N .

Como consecuencia de la desigualdad del triangulo tenemos:

|sn − sm| = |(an − am) + (bn − bm)ı| ≤ |an − am|+ |bn − bm| < ε

siempre que n,m ≥ N . Es decir, sn es una sucesion de Cauchy en C.2. Supongamos que la sucesion sn converge a s en C, con sn = an+bnı

y s = a + bı. Dado un numero real positivo ε, existe un entero positivo Ntal que |sn − s| < ε, de donde:

|an − a| =

∣∣∣∣∣(sn − s) + (sn − s)2

∣∣∣∣∣ ≤ |sn − s|2+|sn − s|

2= 2|sn − s|

2< ε,

y

|bn − b| =

∣∣∣∣∣(sn − s)− (sn − s)2ı

∣∣∣∣∣ ≤ |sn − s|2+|sn − s|

2= 2|sn − s|

2< ε,

si n ≥ N .Finalmente, si an y bn son sucesiones en R que convergen a los

valores a y b respectivamente, dado un numero real positivo ε, existe unentero positivo N tal que |an − a| < ε/2 y |bn − b| < ε/2 si n ≥ N . Sisn = an + bnı y s = a+ bı, entonces:

|sn − s| = |(an + bnı)− (a+ bı)| = |(an − a) + (bb − b)ı|≤ |an − a| − |bn − b| < ε

siempre que n ≥ N .Por lo que, la sucesion sn convege a s.

1.9. EL PLANO EXTENDIDO. 31

Como R es un campo completo, toda sucesion de Cauchy en R convergeen R. Ası, las partes real e imaginaria de una sucesion de Cauchy sn enC convergen en R a dos numeros, digamos a y b, tenemos entonces que lasucesion de Cauchy sn converge al numero complejo s = a+ bı.

Concluimos de aquı que C es un campo completo.

1.9. El plano extendido.

Algunas veces sera necesario estudiar el comportamiento de una funcionde variable compleja cuando |z| crezca arbitrariamente, por lo cual resultaconveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al in-finito, que denotamos∞. Ası, el plano extendido es C∪∞ ≡ C∞. Tambienintroduciremos una funcion distancia en C∞ par discutir las propiedades decontinuidad, y aquellas nuevas propiedades se relacionen con el concepto delımite, y que tenga una funcion en el punto al infinito.

Un modelo que representa el plano extendido lo constituye la esfera S2

en R3, dada por:

S2 = (x1, x2, x3) ∈ R3;x21 + x2

2 + x23 = x3

la cual es tangente al plano x3 = 0 en el origen, los puntosN = (0, 0, 1), S =(0, 0, 0) son los polos norte y sur respectivamente, y la interseccion de S2

con el plano x3 = 1/2 se denomina el ecuador. Si N = (0, 0, 1), pode-mos identificar S2 \ N con R2 donde identificamos R2 con el plano Π =(x, y, 0);x, y ∈ R2, y el punto N con el punto al infinito.

Figura 1.10: La proyeccion estereografica.


Para esto, emplearemos la proyeccion estereografica, ϕ : S2 → C∞, lacual esta dada como sigue: ϕ(N) = ∞. Si u = (ξ, η, ζ) ∈ S2 \ N con-sideremos la lınea `u que une el punto N con el punto u. Esta recta inter-secta al plano Π en un punto, el cual denotamos ϕ(u) = (x, y, 0), esto es,ϕ(u) = `u ∩ Π. Claramente ϕ(u) = ϕ(v) si, y solo si u = v, es decir, ϕ esinyectiva.

Ademas, ϕ es sobre, esto es, si z ∈ Π, consideramos la recta ` que pasapor los puntos N y z, dicha recta corta exactamente en un punto u ∈ S2, enparticular ϕ(u) = z.

Para obtener las funciones coordenadas, supongase que u = (ξ, η, ζ) yϕ(u) = (x, y, 0), y observemos los triangulos semejantes ∆0 con vertices(0, 0, 1), (x, 0, 0), (0, 0, 0) y ∆1 con vertices (0, 0, 1), (ξ, 0, ζ), (0, 0, ζ), tenemos

quex

1=

ξ

1− ζ.

De manera analoga, si consideramos los triangulos semejantes ∆3 convertices (0, 0, 1), (0, y, 0), (0, 0, 0) y ∆4 con vertices (0, 0, 1), (0, η, ζ), (0, 0, ζ),tenemos que

y

1=

η

1− ζ.

Finalmente, considerando los triangulos semejantes ∆5 con vertices (0, 0, 1),(0, 0, 0), (x, y, 0) y ∆6 con vertices (0, 0, 1), (0, 0, ζ), (ξ, η, ζ) tenemos que

r2 = x2 + y2 =ξ2 + η2

(1− ζ)2=

ζ

1− ζ.

Figura 1.11: La proyeccion estereografica.

De lo anterior obtenemos las siguientes relaciones:


x =ξ

1− ζ, y =

η

1− ζ, r2 = x2 + y2 =

ζ

1− ζ(1.1)

Por otra parte, como r2 = ζ1−ζ , entonces ζ = r2

1+r2, y de las ecuaciones

anteriores deducimos que ξ = x(1− ζ) = x1+r2

y η = y(1− ζ) = y1+r2

.

ξ =x

1 + x2 + y2, η =

y

1 + x2 + y2, ζ =

x2 + y2

1 + x2 + y2(1.2)

Esto es, hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de la esferay el plano complejo extendido.

Podemos notar ademas que, bajo la proyeccion estereografica, los puntosdel ecuador corresponden a la circunferencia unitaria con centro en el origen,el hemisferio sur corresponde a los puntos en el interior de la circunferencia,y el hemisferio norte a los puntos en el exterior de la circunferencia. En par-ticular, la reflexion en el cırculo unitario corresponde a reflejar con respectoal plano que pasa por el ecuador.

A continuacion enumeramos algunas propiedades de la proyeccion es-tereografica.

Teorema 1.9.1. Bajo la proyeccion estereografica las circunferencias en laesfera se proyectan en lıneas rectas o circunferencias en el plano, y viceversa.

Figura 1.12: Propiedades de la proyeccion estereofrafica.

Demostracion. Una circunferencia en la esfera esta dada como la intersecionde la esfera x2

1 + z22 + x2

3 = 1 con un plano Ax1 + Bx2 + Cx3 = D, donde


A2 + B2 > 4D(D − C). Si (ξ, η, ζ) es un punto en esta interseccion, elpunto (x1, x2, 0) que le correspondera segun la proyeccion estereografica ϕdebera satisfacer la ecuacion:

(C −D)(x21 + x2

2) +Ax1 +Bx2 = D, x3 = 0. (1.3)

Esta ecuacion corresponde a una circunferencia en el plano x3 = 0 siC 6= D, y a una lınea recta si C = D.

Podemos notar que, si C = D entonces, la circunferencia original pasapor el punto N = (0, 0, 1).

Reciprocamente, si iniciamos con la ecuacion (1.3), con A2 + B2 >4D(D − C), tenemos una circunferencia en el plano x3 = 0 cuando C 6= D,y una lınea recta si C = D.

Usando las ecuaciones (1.1) y (1.2), podemos ver que los puntos sobre laesfera que estan en la imagen inversa bajo ϕ de la circunferencia o recta cuyaecuacion esta dada por(1.3) tambien estan en el plano Ax1 +Bx2 + Cx3 =D.

Teorema 1.9.2. La proyeccion estereografica preserva angulos.

Es decir, si dos curvas se intersectan en el plano x3 = 0, y sus tangentesen el punto de interseccion forman un angulo α, entonces las tangentes delas imagenes estereograficas de dichas curvas en la imagen del punto deinterseccion formaran un angulo α. Con el fin de simplificar, demostraremosunicamente el teorema en el caso de lıneas rectas.

Demostracion. Dos lıneas rectas en el plano x3 = 0 que pasan por el puntoz0 se transforman en dos cırcunferencias sobre la esfera a traves de los puntos(1, 0, 0) y (ξ0, η0, ζ0) y estas circunferencias forman el mismo angulo en cadauna de sus dos intersecciones. Si las dos rectas son

a1x1 + a2x2 + a3 = 0, x3 = 0,b1x1 + b2x2 + b3 = 0, x3 = 0,

(1.4)

entonces sus imagenes bajo la proyeccion estereografica estan sobre los planos

a1x1 + a2x2 + a3(1− x3) = 0,b1x1 + b2x2 + b3(1− x3) = 0,

respectivamente. Las tangentes a las circunferencias correspondientes en elpolo norte son las intersecciones de estos planos con el plano x3 = 1, estoes, sus ecuaciones son:


a1x2 + a2x2 = 0, x3 = 1b1x1 + b2x2 = 0, x3 = 1

(1.5)

respectivamente, y es claro que el angulo entre estas dos lıneas rectas es elmismo que el angulo entre las dos lıneas rectas dadas por

a1x1 + a2x2 + a3 = 0, x3 = 0,b1x1 + b2x2 + b3 = 0, x3 = 0,

Teorema 1.9.3. La razon entre elementos de lınea correspondientes en elplano y la esfera es una funcion que depende solo de la posicion, es decir,si z1, z2 ∈ C, el segmento z1z2 y el arco Z1Z2 donde Z1 = ϕ−1(z1) y Z2 =ϕ−1(z2) sobre la esfera satisfacen la siguiente relacion.

lımz2→z1

`(Z1, Z2)|z1 − z2|

=1

1 + |z1|2, (1.6)

donde `(Z1, Z2) es la longitud de arco.

Antes de demostrar esste teorema notamos que si C es una curva recti-ficable en el plano x3 = 0 dada en terminos de longitud de arco por

C : z = z(s), 0 ≤ s ≤ L

y si Γ es la proyeccion estereografica de C, entonces Γ tambien es una curvarectificable y su longitud de arco esta dada por

`(Γ) =∫ L

0

dz(s)1 + |z(s)|2

. (1.7)

Para demostrar el teorema anterior notamos que `(Z1, Z2) puede reem-plazarse por d(Z1, Z2), pues la razon entre el arco y su cuerda tiende a 1cuando z2 tiende a z1.

Tomese d(Z1, Z2) = χ(z1, z2).Esta expresion se denomina la distancia cordal entre z1 y z2. Tenemos

que:

χ(z1, z2) =|z1 − z2|√

(1 + |z1|2)(1 + |z2|2)(1.8)

En el lımite esta expresion implica el teorema .


Demostracion. Para deducir la ecuacion anterior consideremos el plano quepasa por los puntos N = (0, 0, 1), z1 = (x1, y1, 0) y z2 = (x2, y2, 0). Enparticular este plano contiene a los puntos Z1, Z2, el segmento de recta Z1Z2

y el arco que los une.

Figura 1.13: Distancia cordal

Si vemos la figura anterior, donde la circunferencia es la interseccion delplano con la esfera. Primeramente notamos que si α = ]Z1NZ2 entonces

d(Z1, Z2)`(Z1, Z2)

=sinαα

Ası, el cociente tiende a uno cuando Z2 tiende a Z1, por esta razonpodemos reemplazar `(Z1, Z2) por d(Z1, Z2) en lımz2→z1

`(Z1,Z2)|z1−z2| = 1

1+|z1|2 ,

De la figura anterior y la definicion de ϕ tenemos que

d(N, z1) =√

1 + |z1|2, d(N, z2) =√

1 + |z2|2

Y comod(N,Z)d(N, z)

=1− ξ

1=

11 + |z|2

,

se sigue de que

d(N,Z1) =1√

1 + |z1|2, y d(N,Z2) =

1√1 + |z2|2

.

Como d(N,Z1)d(N, z1) = d(N,Z2)d(N, z2) = 1 tenemos que los triangu-los ∆Nz1z2 y ∆Z1Z2 son semejantes, de donde

d(Z1, Z2)d(z1, z2)

=d(N,Z2)d(N, z1)

,


es decir

d(Z1, Z2) =d(z1, z2)d(N,Z2)

d(N, z1)=

|z1 − z2√(1 + |z1|2)(1 + |z2|2

si z1 6=∞ y z2 6=∞.Por otra parte

χ(z,∞) =1√

1 + |z1|2= lım

z2→∞χ(z1, z2)

Como d(Z1, Z2) = χ(z1, z2) tenemos que χ(z1, z2) es una funcion distan-cia, esto es:

1. χ(z1, z2) ≥ 0 y la igualdad de cumple solo para z1 = z2.

2. χ(z2, z1) = χ(z1, z2).

3. χ(z1, z2) ≤ χ(z1, z3) + χ(z3, z2)

Las primeras dos propiedades son consecuencia de la definicion de χ, puesχ(z1, z2) = |z1−z2|√

(1+|z1|2)(1+|z2|2). Para la tercera propiedad, podemos utilizar la

identidad de Kakutani, que afirma:

(a− b)(1 + cc) = (a− c)(1 + cb) + (c− b)(1 + ca.

Al agregar el sımbolo ∞ a los complejos, tambien podemos definir lasoperaciones de suma y producto con el punto ∞ por medio de las siguientesreglas:

1. Si z ∈ C, entonces z +∞ =∞.

2. Si z 6= 0, entonces z∞ =∞.

3. ∞+∞ =∞.

4. ∞∞ =∞.

5. Si z ∈ C, entoncesz

∞= 0.

Lo cual, podemos pensar como una consecuencia de las propiedades de loslımites en C. Sin embargo, aun tenemos problemas con algunas expresiones,como ∞/∞, 0∞ y ∞−∞, las cuales aun no estan definidas.

Para tratar apropiadamente con estos terminos, intorducimos los con-ceptos de lımite en infinito, y al infinito apropiados:


Definicion 1.9.1. Sea zm una sucesion de numeros complejos, y f :C∞ → C∞ una funcion.

1. Diremos que la sucesion zn tiende a ∞ cuando: Para cada R > 0,exista N ∈ N tal que, si N ≤ n entonces |zn| > R.

2. El lımite cuando z tiende a ∞ de la funcion f(z) existe, y es igual aun numero complejo z0, cuando: Para cada ε > 0, exista una R > 0tal que, si |z| ≥ R entonces |f(z)− z0| < ε.

Si dicho lımite existe lo denotaremos lımz→∞

f(z) = z0

3. El lımite cuando z tiende a z0 de la funcion f(z) existe, y es igual a∞, cuando: Para cada R > 0, exista una δ > 0 tal que, si |z − z0| < δentonces |f(z)| ≥ R.

Si dicho lımite existe lo denotaremos lımz→z0

f(z) =∞

4. El lımite cuando z tiende a ∞ de la funcion f(z) existe, y es igual a∞ si: Para cada N > 0, exista una R > 0 tal que, si |z| ≥ R entonces|f(z)| > N .

Si dicho lımite existe lo denotaremos lımz→∞

f(z) =∞

Por ejemplo, si a, b, c, d ∈ C son tales que ad−bc 6= 0, entonces la funciont : C \ −d/c → C definida como t(z) = az+b

cz+d , es continua, y su imagen esC \ ac.

Podemos notar que lımz→−d/c

az + b

cz + d=

bd− adc lımz→−d/c

cz + d= ∞, mientras que

lımz→∞

az + b

cz + d= lım

w→0

aw + bcw + d

= lımw→0

a+ bw

c+ dw=

a

c, por lo que t se extiende a

una funcion T : C∞ → C∞ definida por T (z) = az+bcz+d , la cual es biyectiva, y

continua.Basandonos nuevamente en la proyeccion estereografica, de acuerdo con

esta definicion, un punto esta cerca del punto ∞ cuando este fuera de uncırculo arbitrariamente grande.

Basados en esto, podemos ver que, si zn es una sucesion de numeroscomplejos, entonces:

1. zn → z0 si, y solo si, d∞(zn, z0)→ 0.

2. zn →∞ si, y solo si, d∞(zn,∞)→ 0.

1.10. EJERCICIOS 39

1.10. Ejercicios

1. Efectue cada una de las operaciones indicadas, y represente grafica-mente los vectores dados:(a) (3− 4ı) + (−8 + 2ı) (b) 3(−4 + ı)− 2(2− 1 + 7ı)

(c) (2 + 3ı)(2− ı) (d)4− ı3 + 2ı

(e) (2− ı) [−2(1 + ı) + 3(1− ı)] (f)ı3 + ı9 + ı16

2− ı5 + ı10 − ı15

(g)(2 + ı)(1− 2ı)(2 + 3ı)

(1 + ı)2(h) 2

(1− ı1 + ı

)2

− 3(

1 + ı

1− ı

)2

2. Si z1 = 1 + ı, z2 = 4 − 2ı, z3 = 2 −√

3ı, encuentre el valor numericode cada una de las siguietnes expresiones:

(a) z21 + 2z1 + 4 (b) |3z2 − 2z1|2

(c) (z3 + z3)5 (d) |z1z2 + z2z1|

(e)∣∣∣∣ z1 − z2 + ı

z1 + z2 + 1

∣∣∣∣ (f)12

(z2

z2− z2

z2

)3. Explique el error en el siguiente razonamiento:

−1 =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.

Por tanto 1 = −1.

4. Demuestre que Re (ız) = −Imz y que Im (ız) = Re z.

5. Demuestre por induccion que si z1 y z2 son dos numeros complejoscualesquiera entonces

(z1 + z2)n =n∑k=

(nk

)zn−k1 zk2 (n = 1, 2, . . .)

donde (nk

)=

n!k!(n− k)!

, (k = 0, 1, 2, . . . , n)

y donde se acepta el convenio de que 0! = 1.

6. Los vectores posicion de los puntos A, B y C del triangulo ABC estandados por z1 = 1 + 2ı, z2 = 4 − 2ı y z3 = 1 − 6ı respectivamente.Demuestre que ABC es un triangulo isoceles y encuentre las longitudesde los lados.


7. Sean z1, z2, z3, z4 los vectores posicion de los vertices del cuadrilateroABCD. Demuestre que ABCD es un paralelogramo si y solamente siz1 − z2 − z3 + z4 = 0.

8. Demuestre que Imz ≤ |Imz| ≤ |z| y que ız = −ız.

9. Demuestre que√

2|z| ≥ |Re z|+ |Imz|

10. Use las propiedades conocidas de modulos para demostrar que si |z3| 6=|z4|, entonces ∣∣∣∣z1 + z2

z3 + z4

∣∣∣∣ ≤ |z1|+ |z2|||z3| − |z4||

.

11. Factorizando z4−4z2 +3 en dos factores cuadraticos y usando despuesla desigualdad |z ± w| ≥ ||z| − |w|| demuestre que si z esta en lacircunferencia |z| = 2, entonces∣∣∣∣ 1

z4 − 4z2 + 3

∣∣∣∣ ≤ 13.

12. Demuestre que

a) z es real si y solo si z = z.

b) z es real o imaginario puro si y solo si z2 = z2.

13. Demuestre por induccion, que para n = 2, 3, . . .

a) z1 + z2 + · · ·+ zn = z1 + z2 + · · ·+ zn.

b) z1z2 · · · zn = z1 z2 · · · zn.

14. Exprese cada uno de los siguientes numeros complejos en forma polar.

(a) 4− 4ı (b)√

3− ı(c) −ı (d) −8(e) −2

√3− 2ı (f)

√2ı

15. Construya la grafica y exprese en forma rectangular:

a) 8(cos 3π4 + ı sin 3π

4 ).

b) 6(cos 3π2 + ı sin 3π

2 ).

c) 2(cos 7π6 + ı sin 7π

6 ).

d) 5(cos −2π3 + ı sin −2π

3 ).

1.10. EJERCICIOS 41

16. Encuentre el valor numerico de cada una de las siguientes expresiones:

a) [5(cos 400 + ı sin 400)][3(cos 200 + ı sin 200)].

b) [2(cos 300 + ı sin 300)]7.

c)[2(cos 400 + ı sin 400)]4

[8(cos 600 + ı sin 600]3.

d)

(√3− ı√3 + ı

)4(1 + ı

1− ı

)5

.

17. Demuestre que

a)sin 4θsin θ

= 8 cos3 θ − 4 = 2 cos 3θ + 6 cos θ − 4.

b) cos 4θ = 8 sin4 θ − 8 sin2 θ + 1.

18. Encuentre cada una de las raıces indicadas y localıce las graficamente.

a) Las raıces cubicas de 64.

b) Las raıces cuadradas de 2√

3− 2ı.

c) Las raıces cuartas de −128ı.

d) Las raıces sextas de 64.

19. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) z4 + 625 = 0.

b) z12 + 1 =√

3ı.

c) z2 − 5 + 12ı = 0.

d) z3 = −11− 2ı.

e) 5z2 + 2z + 10 = 0.

f ) z5 − 2z4 − z3 + 6z − 4 = 0.

g) z4 + z2 + 1 = 0.

h) (1 + z)5 = (1− z)5.

20. Si p(z) es un polinomio en la variable z con coeficientes reales, de-muestre que p(z) = p(z).


21. Una n−esima raız primitiva de la unidad es un numero complejo ζtal que 1, ζ, ζ2, . . . , ζn−1 son las n raıces n−esimas de la unidad. De-muestre que si a y b son primitivas de ordenes n y m de la unidad,entonces ab es una raız primitiva de la unidad para algun orden k,

22. Si ζ 6= 1 es una raız n−esima de la unidad, evalue la siguiente expre-sion:

1 + 2ζ + 3ζ2 + . . .+ nζn−1

23. Utilice la ecuacion binomial (a + b)n =n∑k=0

(n

k

)an−kbk, y la formula

de D’Moivre para demostrar que

cosnθ = cosn θ −(n

2

)cosn−2 sin2 θ +

(n

4

)cosn−4 θ sin4 θ − . . .

y que

sinnθ =(n

1

)cosn−1 θ sin θ −

(n

3

)cosn−3 sin3 θ + . . . .

24. Demuestre la identidad:

sinπ

nsin

2πn· · · sin (n− 1)π

n=

n

2n−1

(Sugerencia: El producto dado puede escribirse como 1/2n−1 veces elproducto de las raıces distintas de cero del polinomio (1− z)n − 1.)

25. Demuestre que:

a) cos θ + cos(θ + α) + · · ·+ cos(θ + nα) =sin 1

2(n+ 1)αsin 1

2αcos(θ +

12nα).

b) sin θ + sin(θ + α) + · · ·+ sin(θ + nα) =sin 1

2(n+ 1)αsin 1

2αsin(θ +

12nα).

26. Demuestre que para un entero m > 1,

(z + a)2m − (z − a)2m = 4mazm−1∏k=1

[z2 + a2 cot2(kπ/2m)]

dondem−1∏k=1

denota el producto de todos los factores indicados desde

k = 1 a m− 1.

1.10. EJERCICIOS 43

27. Demuestre que si m > 1 es un entero,

cotπ

2mcot

2π2m

cot3π2m· · · cot

(m− 1)π2m

= 1.

28. Demuestre que

cosn θ =1

2n−1

(cosnθ + n cos(n− 2)θ +

n(n− 1)2!

cos(n− 4)θ + . . .+Rn

)donde

Rn =

cos θ si n es impar

n![(n/2)!]2

si n es par.

Derive un resultado similar para sinn θ.

29. Demuestre que la funcion ϕ : R → S1 dada por ϕ(t) = eıt es unhomomorfismo del grupo aditivo de los numeros reales en el grupomultiplicativo S1 = z ∈ C; |z| = 1.

30. En cada caso, esbozar una grafica con el conjunto de puntos determi-nado por la condicion propuesta:

(a) |z − ı| = 4 (b) |z + 1− ı| ≤ 3(c) |z + 4ı| ≥ 4 (d) |z − 4ı|+ |z + 4ı| = 10(e) |z − 3| − |z + 3| = 4 (f) z(z + 2) = 3(g) Im (z2) = 4 (f) |z − 1| = |z + ı|

31. Si los puntos A y B representados por z1 y z2 respectivamente, sontales que |z1 + z2| = |z1 − z2| demuestre que z1/z2 es un numeroimaginario puro y que ]AOB = π/2, donde O denota el origen.

32. Demuestre que la ecuacion de la recta que pasa por los puntos z1 y z2

esta dada

arg(z − z1

z2 − z1

)= 0.

33. Demuestre que una ecuacion para una circunferenica que pasa por trespuntos z1, z2, z3 esta dada por(

z − z1

z − z2

)/(z3 − z1

z3 − z2

)=(z − z1

z − z2

)/(z3 − z1

z3 − z2

)


34. Diga que subconjuntos de S2 corresponden, respectivamente a los ejesreal e imaginario al identificar el plano extendido con S2.

35. Muestre que, bajo la proyeccion estereografica, lıneas en C correspon-den a cırculos que pasan por N .

36. Definicion:Sea S ⊂ C, un punto z0 se dice que es un punto de acu-mulacion (o punto lımite) de un conjunto S si toda vecindad perforadade z0 contiene al menos un punto de S. Esto es,

∀ε > 0 ∃z ∈ S tal que 0 < |z − z0| < ε.

En particular un conjunto cerrado contiene todos sus puntos de acu-mulacion. Evidentemente z0 no es un punto de acumulacion de S encuanto exista una vecindad perforada de z0 que no contiene puntos deS.

Encuentre todos los puntos de acumulacion de cada uno de los siguien-tes conjuntos:

a) S = zn = ın;n ∈ N.b) S = zn = ın/n;n ∈ N.c) S = z ∈ C \ 0; 0 ≤ arg z ≤ π/2.

d) S = zn = (−1)n(1 + ı)nn− 1n

;n ∈ N.

37. Demuestre que si un conjunto contiene todos sus puntos de acumu-lacion, es cerrado.

38. Demuestre que un conjunto finito de puntos z1, z2, . . . , zn no puedetener puntos de acumulacion.

39. Estudie la convergencia de las sucesiones

a) sn =ın

nn∈N.

b) sn =(1 + ı)n

n.

40. Demuestre que

a) lımn→∞

n2ın

n3 + 1= 0.

1.10. EJERCICIOS 45

b) lımn→∞

(n

n+ 3ı− ın

n+ 1

)= 1− ı.

41. Demuestre que para cualquier numero complejo z,

lımn→∞

(1 +

3zn2

)= 1.

42. Demuestre que lımn→∞

n

(1 + ı

2

)n= 0.

43. Demuestre que lımn→∞

nın no existe.

44. Demuestre que la sucesion zn = −2 + ı(−1)n

n2n∈N

converge a −2.

45. Sean rn los modulos y θn los argumentos principales de los numeroscomplejos zn del ejercicio anterior. Demuestre que la sucesion rnn∈Nes convergente y que la sucesion θmn∈N no lo es.

46. Aplicando teoremas sobre lımites calcule

a) lımn→∞

ın2 − ın+ 1− 3ı(2n+ 4ı− 3)(n− ı)

.

b) lımn→∞

√n+ 2ı−

√n+ ı.

47. Sea sn una sucesion de numeros complejos, si lımn→∞ sn = `, de-

muestre que lımn→∞

s1 + s2 + · · ·+ snn

= `.

Capıtulo 2

Teorıa Basica de las Series dePotencias.

2.1. Introduccion.

Al identificar C con R2, por medio de la funcion µ(x + yı) = (x, y), elmodulo de z = x + yı, que denotamos |z| se define como el numero real nonegativo:

|z| :=√x2 + y2

En particular, si z,w ∈ C, entonces |z − w| corresponde a la distanciaentre z y w como puntos en R2, una propiedad fundamental de la funciondistancia es que esta satisface la desigualdad del triangulo, es decir:

|z1 − z2| ≤ |z1 − z2|+ |z3 − z2|

para cualesquiera numeros complejos z1,z2 y z3.Esta metrica induce en C la topologıa de R2, y tenemos consecuente-

mente los conceptos de lımite y continuidad.La teorıa de funciones de una variable compleja nos permite extender los

conceptos fundamentales del calculo al dominio complejo. En este capıtulointroduciremos el concepto de serie de potencias convergente en C y estudia-remos algunas de sus propiedades, las cuales seran basicas posteriormenteen el estudio de los teoremas de Taylor, de Laurent y del Residuo.

47

48 CAPITULO 2. SERIES DE POTENCIAS

2.2. Propiedades elementales de las series depotencias

Definicion 2.2.1. Si an ∈ C para cada entero no negativo n, diremos

que la serie∞∑n=0

an converge al numero complejo a si, y solo si, para ca-

da ε > 0 existe un entero positivo N = Nε tal que, si m ≥ N entonces∣∣∣∣∣(m∑n=0

an)− a

∣∣∣∣∣ < ε.

Es decir, la serie∞∑k=1

ak de numeros complejos converge al numero com-

plejo a ∈ C, si la sucesion de sumas parciales sn =n∑k=1

ak converge al numero

a.

Se escribira∞∑k=1

ak = a, o simplemente∑ak = a. En este caso, tambien

se suele decir que la serie∞∑k=1

ak es convergente.

Se dice que una serie diverge si lımn→∞

sn no existe o es infinito.Es claro que una serie con terminos complejos converge si y solo si las

series formadas pos las partes real e imaginaria de los terminos converge.Como el lımite de una sucesion es unico, y como una sucesion es conver-

gente si y solo si es de Cauchy, tenemos el siguiente criterio:

Proposicion 2.2.1 (Criterio de Cauchy). La serie∑ak converge si y solo

si para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N , se tiene∣∣∣∣∣n+p∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε

para cada p ∈ N

En particular, para p = 1 se obtiene un criterio util de divergencia.

Corolario 2.2.1. Si∑ak converge, entonces lım

n→∞an = 0.

El recıproco de este corolario no es cierto: la serie armonica∞∑n=1

1n

diverge,

ya que:

2.2. PROPIEDADES ELEMENTALES 49

1 ≥ 112≥ 1

2

13

+14≥ 1

4+

14

=12

...1

2n + 1+

12n + 2

+ . . .+1

2n+1≥ 2n

(1

2n+1

)=

12

al sumar las desigualdades, se sigue que

∞∑n=1

1n≥ 1 +

∞∑k=1

12.

Como la serie∑ 1

2 diverge a∞, se sigue que∞∑n=1

1n

diverge a∞, sin embargo

lımn→∞

1n

= 0.

Definicion 2.2.2. Se dice que la serie∞∑k=1

ak converge absolutamente si la

serie∞∑k=1

|ak| converge.

Como consecuencia de la desigualdad del triangulo, tenemos el siguientecriterio:

Teorema 2.2.1. Si la serie∞∑k=1

ak converge absolutamente, entonces con-

verge.

Demostracion. Supongamos que la serie∞∑k=1

ak converge absolutamente, da-

da ε > 0, existe N ∈ N tal que si n > N entonces∣∣∣∣∣n+p∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ ≤n+p∑

k=n+1

|ak| < ε,

para cada p ∈ N. Como consecuencia del Criterio de Caucy∑ak converge.


Esta proposicion es muy util pues la serie∑|ak| es real, y se pueden

aplicar los criterios de convergencia para series reales.A continuacion presentamos diversos criterios de convergencia de series

en R

Proposicion 2.2.2 (Serie geometrica). Si |r| < 1, entonces∞∑n=1

rn converge

a1

1− r, y diverge si |r| ≥ 1.

Demostracion. Para demostrar que la serie geometrica converge a1

(1− r)

si |r| < 1, consideremos sn =n∑k=0

rk, entonces rsn =n+1∑k=1

rk, por lo cual sn−

rsn = 1− rn+1, y

sn =1− rn+1

1− r.

Si |r| < 1, como lımn→∞

rn+1 = 0, entonces

lımn→∞

sn =1

1− r.

Por otra parte, si |r| > 1, entonces lımn→∞

|r|n+1 =∞, por lo cual, la seriegeometrica diverge. Si r = 1 entonces sn = n+ 1, y lım

n→∞sn =∞, y la serie

diverge. Si r = −1, entonces

sn =

0 si n es impar,1 si n es par,

por lo que la sucesion de sumas parciales no converge, consecuentemente laserie geometrica diverge en este caso.

Proposicion 2.2.3 (Criterio de comparacion). 1. Si |ak| ≤ bk para cadak ∈ N y la serie

∑bk converge, entonces

∑ak converge.

2. Si 0 ≤ ck ≤ dk para cada k ∈ N y la serie∑ck diverge, entonces

∑dk

tambien diverge.

Demostracion. Para demostrar el primer criterio de comparacion, aplicare-mos el criterio de Cauchy. Supongamos que |ak| ≤ bk para cada k ∈ N y que


la serie∑bk converge. Dada ε > 0 existe M ∈ N tal que si n ≥ M se tiene

que

0 ≤

∣∣∣∣∣n+p∑k=n

ak

∣∣∣∣∣ ≤n+p∑k=n

|ak| ≤n+p∑k=n

bk ≤ ε

para cada p ∈ N. Luego entonces la serie∑ak es convergente.

Para demostrar el segundo criterio de comparacion, supongase que 0 ≤

ck ≤ dk y que∑ck diverge, como sn =

n∑k=0

ck es una sucesion creciente de

numeros positivos, esta diverge si y solo si es no acotada, por lo que, dadaM > 0 existe n ∈ N, tal que

M ≤n∑k=0

ck ≤n∑k=0

dk.

Por ende,∑dk es no acotada y por tanto, es divergente.

Proposicion 2.2.4 (Criterio de la p−serie).∞∑n=1

n−p converge si p > 1 y

diverge a ∞ si p ≤ 1.

Demostracion. Para demostrar el criterio de la p−serie, notamos que, sip ≤ 1, como la funcion nx es creciente, entonces n−1 ≤ n−p, Como la serie∞∑n=1

n−1 es divergente, como consecuencia de las pruebas de comparacion

para series reales, tenemos que la serie∞∑n=1

n−p diverge.

Por otra parte, si p > 1, como la funcion f(x) = xp es creciente entonces

s2k−1 =11p

+(

12p

+13p

)+(

14p

+15p

+16p

+17p

)

+ · · ·+(

1(2k−1)p

+1

(2k−1 + 1)p+

1(2k − 1)p

)

= 1 +1

2p−1+

1(2p−1)2

+ · · ·+ 1(2p−1)k−1

<1

1− 12p−1

.


Por lo tanto las sumas parciales de la serie∑n−p estan acotadas superior-

mente. Consecuentemente∑n−p converge.

Proposicion 2.2.5 (Criterio de la razon). Supongase que lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ existe

y es menor que uno, entonces∞∑n=1

an convegre absolutamente. Si el lımite es

mayor que uno, la serie diverge, y si el lımite es uno, el criterio falla.

Demostracion. Para demostrar el criterio de la razon, si lım∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < 1,

podemos encontrar β < 1 y N ∈ N tal que si n ≥ N entonces∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < β.

En particular|aN+1| < β|aN |,|an+2| < β|aN+1| < β2|aN |

...|aN+p| < βp|aN |

Consecuentemente, para n ≥ N se tiene que

|an| < |aN |β−Nβn

Como β < 1 la serie∑βn converge, y como consecuencia del criterio de

comparacion se sigue que la serie∑an converge.

Por otra parte, si existe N ∈ N tal que |an+1| ≥ |an| para n ≥ N ,entonces lım an 6= 0, por lo que la serie

∑an diverge.

Proposicion 2.2.6 (Criterio de la raız). Supongase que lımn→∞

n√|an| existe

y es menor que uno, entonces∞∑n=1

an convegre absolutamente. Si el lımite es

mayor que uno, la serie diverge, y si el lımite es uno, el criterio falla.

Demostracion. Sea α = lımn→∞

n√|an|, y supongamos que α < 1, podemos

elegir β ∈ R tal que 0 ≤ α < β < 1, y existe un entero N tal que

n√|an| < β.

En particular, si n ≥ N , entonces |an| < βn. Como 0 < β < 1, la serie∑βn

cpnverge, y como consecuencia del criterio de comparacion∑an converge.


Por otra parte, si α > 1 exite una sucesion nk tal que

lımk→∞

nk

√|ank | = α

Por ende |an| > 1 para una infinidad de valores n, por lo que no se cumplela condicion lım an = 0, ası

∑an diverge.

Finalmente, la serie armonica diverge y la serie∑n−2 converge, por la

regla de L’Hospital

lımn→∞

n

√1n

= lımn→∞

1

n1n

= lımn→∞

1

exp(

lognn

) = 1.

Analogamente

lımn→∞

n

√1n2

= lımn→∞

1

(n2)1n

= lımn→∞

1

exp(

2 lognn

) = 1.

Regresando al contexto de series complejas, a continuacion describiremoslos resultados basicos de convergencia de sucesiones y series de funcionescomplejas de variable compleja,

Definicion 2.2.3. Sea X ⊂ C un conjunto, y supongase que f1, f2, . . . sonfunciones de X en C. Diremos que la sucesion converge puntualmente sipara cada z ∈ X la sucesion fn(z) converge. El lımite define una nuevafuncion f(z) sobre X.

Otro tipo importante de convergencia es la convergencia uniforme, quedefiniremos a continuacion:

Definicion 2.2.4. Sea X ⊂ C un conjunto, y supongase que f, f1, f2, . . . sonfunciones de X en C. Diremos que la sucesion fn converge uniformementea f , y lo denotaremos f = u − lım fn si, para cada ε > 0 hay un enteropositivo N , que solo depende de ε, tal que si n ≥ N , entonces |f(z)−fn(z)| <ε para toda z ∈ X.

En particular sup|f(x)− fn(x)|;x ∈ X ≤ ε, si n ≥ N .Ademas, toda sucesion uniformemente convergente es convergente. La

diferencia basica entre los dos conceptos es la siguiente: si fn converge enX, entonces hay una funcion f tal que, para todo ε > 0 y toda z ∈ X, hayun entero que depende de ε y de z, que cumple la condicion |f(z)−fn(z)| <


ε siempre que n ≥ N ; si fn converge uniformemente en X, es posibleencontrar, para cada ε > 0 un entero N , que satisface |f(z) − fn(z)| < εpara todo z ∈ X.

Figura 2.1: Convergencia uniforme y no uniforme

Una de las principales propiedades que tenemos es la siguiente:

Proposicion 2.2.7. Sean X ⊂ C y supongase que fn : X → C es unafuncion continua para cada n ∈ N . Si f = u− lım fn, entonces f es continua.

Demostracion. Dado z0 ∈ X y ε > 0, como f = u− lım fn existe una funcionfn(z) tal que |f(z) − fn(z)| < ε/3 para toda z ∈ X. Como fn es continua,existe δ > 0 tal que |fn(z0)− fn(z)| < ε/3 cuando |z − z0| < δ.

Luego entonces, si |z − z0| < δ entonces

|f(z0)− f(z)| ≤ |f(z0)− fn(z0)|+ |fn(z0)− fn(z)|+ |fn(z)− f(z)| < ε.

Definicion 2.2.5. Sea X ⊂ C, si fn : X → C es una funcion, para cada

z ∈ X definimos sn(z) =n∑k=1

fk(z). Diremos que f(z) =∞∑k=1

fk(z) si, y solo

si, f(z) = lımn→∞

sn(z) para cada x ∈ X.

Diremos que la serie∞∑n=1

fn converge uniformemente a f si, y solo si,

f = u− lım sn.


Esto es,∞∑n=1

fn converge uniformemente a f si para cada ε > 0, existe un

entero N tal que si n > N , entonces∣∣∣∣∣n∑k=1

fk(x)− f(x)

∣∣∣∣∣ < ε para cada x ∈ X.

La convergencia uniforme se puede establecer en terminos de sucesionesde Cauchy como podemos apreciar en el siguiente resultado

Proposicion 2.2.8 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme). SiX ⊂ C, fn : X → C y gn : X → C, para n ∈ N son dos sucesiones defunciones. Entonces

1. fn(z) converge uniformemente en X si y solo si para cada ε > 0 existeun entero N tal que si n > N entonces |fn(z)−fn+p(z)| < ε para cadaz ∈ X y cada entero positivo p;

2. La serie de funcionesn∑k=1

gk(z) converge uniformemente en X si y

solo si para cada ε > 0 existe un entero n tal que si n ≥ N se tiene∣∣∣∣∣n+p∑

k=n+1

gk(z)

∣∣∣∣∣ < ε para cada z ∈ X y cada entero positivo p.

Demostracion. Basta demostrar el primer enunciado, pues el segundo esconsecuencia del primero.

Si fn converge uniformemente a f en X, para ε > 0 existe un enteroN tal que si n ≥ N entonces |fn(z) − f(z)| < ε/2, para cada z ∈ X, estoimplica que

|fn(z)− fn+p(z)| ≤ |fn(z)− f(z)|+ |f(z)− fn+p(z)| < ε

para cada z ∈ X.Reciprocamente, si el criterio de Cauchy es cierto, para cada z ∈ X existe

el lımite cuando n tiende a infinito de fn(z), el cual denotaremos f(z). ComoC es un campo completo, toda sucesion de Cauchy converge, por lo que estelımite siempre exite.

Dada ε > 0 existe un entero positivo N tal que si n ≥ N entonces|fn(z) − fn+p(z)| < ε para cada z ∈ X y todo entero positivo p. Como


f(z) = lımn→∞

fn(z), para cada z ∈ X existe pz ∈ N tal que |f(z)−fN+pz(z)| <ε/2. Por lo que, si n > N y z ∈ X se tiene

|f(z)− fn(z)| ≤ |f(z)− fN+pz(z)|+ |fN+pz(z)− fn(z)| < ε

por lo cual fn converge uniformemente a f en X

Como la suma finita de funciones continuas es continua, y la sucesion desumas parciales converge uniformemente en X, tenemos el siguiente resul-tado:

Corolario 2.2.2. Sea X ⊂ C, y fn : X → C una sucesion de funcionescontinuas. Si fn converge uniformemente a f , entonces f es continua en X.

Analogamente, si las funciones gk(z) son continuas y son tales que la

serien∑k=1

gk(z) converge uniformemente en X a una funcion g, entonces g

es continua.

Demostracion. Basta demostrar la afirmacion para sucesiones, ya que para

series se toma la sucesion de sumas parciales fn =n∑k=1

gk.

Dado z0 ∈ X, y ε > 0 como f = u − lım fn, existe N = N(ε) ∈ N talque, |fN (z) − f(z)| < ε/3 para toda z ∈ X. Como fN es continua, existeδ = δ(ε) > 0 tal que |fN (z)− fN (z0)| < ε/3 si |z − z0| < δ. Luego entonces

|f(z)− f(z0)| < |f(z)− fN (z)|+ |fN (z)− fN (z0)|+ |fN (z0)− f(z0)|< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Proposicion 2.2.9 (El criterio M de Weierstrass). Sea X ⊂ C y sea un :X → C una sucesion de funciones definidas en X, y supongase que existeuna sucesion de constantes reales Mn ≥ 0 tales que:

1. |un(z)| ≤Mn para cada z ∈ X.

2.∞∑n=0

Mn converge.

Entonces∞∑n=1

un(z) converge uniformemente en X.


Demostracion. Dada ε > 0, como∞∑n=0

Mn converge, entonces es de Cauchy,

luego entonces existe N = Nε ∈ N tal que, si n,m ≥ N y m ≥ n, entoncesm∑

k=n+1

Mk < ε. Luego entonces, si sn(z) =n∑k=1

uk(z) entonces, para n,m ≥ N

tenemos que

|sn(z)− sm(z)| =

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

uk(z)

∣∣∣∣∣ ≤m∑

k=n+1

|uk(z)| ≤m∑

k=n+1

Mn < ε

por tanto, la serie sn(z) es de Cauchy, y por ende, converge. Para cada z ∈ Xexiste ζ = ζz ∈ C tal que s(z) = ζ, es decir, tenemos una funcion s : X → Ctal que

|s(z)− sn(z)| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1

uk(z)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=n+1

|uk(z)| ≤∞∑

k=n+1

Mk < ε

para toda z ∈ X, si n ≥ N .

Por ejemplo,∞∑

k=n+1

zn/n converge uniformemente en B(0, r) si 0 ≤ r < 1,

basta tomar Mn = rn/n y aplicar el criterio M de Weierstrass.Cabe notar que no es posible tomar r = 1. Si

∑xn/n convergiera uni-

formemente en [0, 1), dada ε > 0 existirıa n ∈ N tal que, n ≥ N implicarıa

xn

n+xn+1

n+ 1+ . . .+

xn+p

n+ p< ε

para cada x ∈ [0, 1), p ∈ N. Pero la serie armonica

1N

+1

N + 1+ . . .

diverge a infinito. Luego entonces existe p ∈ N tal que

1N

+ . . .+1

N + p> 2ε.

Elegimos x cercano a 1 tal que xN+p > 1/2. Por tanto

xN

N+ . . .+

xN+p

N + p> xN+p

(1N

+ . . .1

N + p

)>

2ε2

= ε

lo cual es una contradiccion.


Definicion 2.2.6. Una serie de potencias compleja alrededor del punto a

es una serie de la forma∞∑n=0

cn(z − a)n con cn ∈ C para cada n ∈ N

Uno de los ejemplos mas sencillos, y utiles lo constituye la serie geometri-

ca∞∑n=0

zn.

Como

1 + z + . . . zn−1 =1− zn

1− zy como zn → 0 si |z| < 1 concluimos que la serie geometrica converge a1/(1 − z) si |z| < 1, mientras que |zn| ≥ 1 si |z| > 1, por lo que, la seriediverge para |z| > 1.

En la proxima seccion estudiaremos las propiedades que satisfacen lasseries de potencias, concretamente veremos que toda serie de potencias tieneasociado, al igual que este ejemplo, un disco de convergencia.

2.3. Series de potencias complejas

Definicion 2.3.1. Sea f una funcion complejo valuada definida sobre unconjunto abierto Ω ⊂ C. Diremos que f es holomorfa en Ω si, para cadaa ∈ Ω, existe una vecindad U de a, U ⊂ Ω, y una sucesion de numeroscomplejos tal que, para cada z ∈ U , la serie

∞∑n=0

cn(z − a)n

converge a f(z).

Una funcion holomorfa tambien se denomina funcion analıtica comple-ja, o simplemente analıtica, esto es, una funcion f es analıtica si local-mente esta dada por una serie de potencias convergente. En particular, de-mostraremos posteriormente que una funcion es holomorfa (analıtica) si, ysolo si coincide con su serie de Taylor en una vecindad de cada punto de sudominio, vease (5.3.8).

Como veremos posteriormente, las funciones analıticas reales y complejastienen diferencias impotantes. Las funciones holomorfas tienen mas estruc-tura que las funciones analıticas reales.

De acuerdo con el teorema de Liouville, vease (5.3.10), una funcionholomorfa en C y acotada es constante, lo cual no sucede para funciones

2.3. SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS 59

real valuadas de variable real, como sucede, por ejemplo, con la funcion

f(x) = sinx =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1.

Ademas, una funcion analıtica real valuada definida en un abierto con-tenido en R puede extenderse a una funcion holomorfa definida en un abiertode C, sin embargo, una funcion analıtica real valuada de variable real, defini-da en todo R no necesariamente puede extenderse a una funcion holomorfadefinida en todo C. Si extendemos la funcion f(x) = 1/(1 + x2) a variablecompleja podemos ver que esta se encuentra definida en C \ ±ı.

El siguiente resultado es muy importante, escencialmente nos habla dela convergencia de la serie de potencias, concretamente nos dice que la serieconverge en una region especıfica del plano complejo.

Lema 2.3.1 (El lema de Abel). Dada una sucesion cnn≥0 de numeroscomplejos, existe R ≥ 0 (R puede ser ∞) tal que la serie

∞∑n=0

cnzn

converge si |z| < R, y diverge para |z| > R. Ademas, la serie convergeuniformemente sobre cada subconjunto compacto de B(0, R) = z ∈ C; |z| <R, la bola abierta con centro en el origen y radio R.

Demostracion. Sea

R = supr ∈ R; r ≥ 0,∃M=M(r)∈R ∀n≥0 |cn|rn ≤M.

Si |z| > R, la sucesion |cn||z|n no es acotada, luego entonces la serie∑cnz

n no puede converger.Sea K un subconjunto compacto de B(0, R) y como R > 0, podemos

elegir ρ ∈ R con 0 < ρ < R y tal que K ⊂ B(0, ρ) = z ∈ C; |z| ≤ ρ.Existe r ∈ R tal que ρ < r < R. Como

R = supr ∈ R; r ≥ 0,∃M=M(r)∈R∀n≥0 |cn|rn ≤M.

existe M = M(r) > 0 tal que |cn|rn ≤ M para toda n ∈ N . Si z ∈ K,tenemos que |z| ≤ ρ < r, de donde:

|cnzn| ≤ |cn|ρn ≤M(ρr

)nComo ρ < r, la serie

∑(ρ

r)n converge. Aplicando el Criterio M de

Weierstrass, se sigue que la serie∑

cnzn converge uniformemente en K.


Corolario 2.3.1. Sea Ω ⊂ C un subconjunto abierto no vacıo, y f unafuncion complejo valuada definida en Ω. Si f es una funcion holomorfa enΩ, entonces f es continua en Ω.

Definicion 2.3.2. Dada una sucesion cnn≥0 de numeros complejos, elnumero dado por R = supr ∈ R; r ≥ 0,∃M=M(r)∈R ∀n≥0 |cn|rn ≤ M, deacuerdo con el lema de Abel, se denomina el radio de convergencia de laserie

∑cnz

n.

Desde luego, hay diversas formas de obtener el radio de convergencia deuna serie, dos metodos practicos para calcular R son los criterios de la razony de la raız, que recordamos a continuacion:

Proposicion 2.3.1. Considere una serie de potencias∑cnz

n.

1. Criterio de la razon: Si

lımn→∞

|cn||cn+1|

existe, entonces es igual al radio de convergencia R de la serie.

2. Criterio de la raız: Si ρ = lımn→∞

n√|cn| existe, entonces R = 1/ρ es el

radio de convergencia de la serie. Si ρ = 0, entonces R =∞, y R = 0si ρ =∞.

Recordamos que, lımn→∞

cn = lımn→∞

supcn, cn+1, . . ..

Demostracion. 1. Utilizando los criterios de convergencia para series conterminos reales, tenemos que la serie

∑|cn|rn converge, si:

lımn→∞

|cn+1rn+1|

|cnrn|< 1

(y diverge si este lımite es mayor que uno), de aquı, la serie converge si:

lımn→∞

|cn||cn+1|

> r;

y diverge si:

lımn→∞

|cn||cn+1|

< r; .

Ya que

2.3. SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS 61

R = supr ∈ R; r ≥ 0, ∃M=M(r)∈R∀n≥0|cn|rn ≤M,

tenemos R = lımn→∞

|cn|/|cn+1|.2. Aplicando el criterio de la raız para series reales, sabemos que∑|cn|rn converge si lım

n→∞n√|cn|rn < 1 (diverge si este lımite es mayor que

uno); o equivalentemente, converge si r <1

lımn→∞

n√|cn|

.

Diverge si r >(

lımn→∞

n√|cn|)−1

, aplicando lo anterior se sigue que:

R =1

lımn→∞

n√|cn|

Ejemplos:

1. La serie∞∑n=0

zn tiene radio de convergencia uno.


zn/n! tiene radio de convergencia R = +∞, pues:

lımn→∞

cn/cn+1 = lımn→∞

(n+ 1) =∞.


(zn/en) tiene radio de convergencia R = e, pues:

ρ = lımn→∞

n√|cn| = lım

n→∞n√

1/en = 1/e, de donde R = 1/ρ = e.

Lema 2.3.2. El radio de convergencia de la serie de potencias

∞∑n=0

cnzn

coincide con el radio de convergencia de la serie

∞∑n=1

ncnzn−1.


Demostracion. Denotemos porR el radio de convergencia de la serie∞∑n=0

cnzn,

y por R′ el radio de convergencia de∞∑n=1

ncnzn−1, en particular:

R = supr ∈ R; r ≥ 0,∃M=M(r)∈R ∀n≥0 |cn|rn ≤M

y

R′ = supr ∈ R; r ≥ 0,∃N=N(r)∈R ∀n≥0 |(n+ 1)cn+1|rn ≤ N.

Veremos primeramente queR′ ≤ R. Si n ≥ 1, entonces |cnzn| ≤ |ncnzn| =|ncnzn−1||z|. De aquı, si |z| = r ≤ R′, entonces |ncn|rn = (|ncn|rn−1)r ≤Nr ≤ NR′, para toda n ∈ N. Luego entonces, si |z| = r ≤ R′ existeMR′ = NR′ ∈ R tal que, |cn|rn ≤ M , por lo que R′ ≤ R. Si R = 0, enparticular R′ = 0 = R.

Supongamos ahora que R > 0, veremos ahora que R ≤ R′. Como con-secuencia de la densidad los numeros reales tenemos que, podemos elegirr, ρ ∈ R tales que 0 < r < ρ < R, entonces

n|cn|rn−1 =(

1r|cn|ρn

)[n

(r

ρ

)n]≤ 1rMρn

(r

ρ

)n.

Como nαn → 0 si |α| < 1, se sigue que si |z| = r ≤ R, existe Nr ∈ R talque,|ncn|rn−1 ≤ NR, por lo que, R ≤ R′.

2.4. Ejercicios

1. Demuestre que la serie∞∑n=1

( ı3

)n−1converge, y encuentre el valor de

la suma.

2. Demuestre que la serie ı− 2ı+ 3ı− 4ı+ · · · diverge.

3. Si z = reıθ, donde 0 < r < 1, use la formula∞∑n=0

zn =1

1− zpara

demostrar que

∞∑n=1

rn cosnθ =r cos θ − r2

1− 2r cos θ + r2y

∞∑n=1

rn sinnθ =r sin θ − r2

1− 2r cos θ + r2

2.4. EJERCICIOS 63

cuando 0 < r < 1. (Notese que estas formulas son validas tambienpara r = 0.)

4. Demuetre el criterio de Raabe. Si lımn→∞

(1−

∣∣∣∣sn+1

sn

∣∣∣∣) = `, entonces∑sn converge si ` > 1 y diverge o converge condicionalmente si ` < 1.

Si ` = 1, la prueba falla.

5. Demuestre el criterio de la serie alternada. Si an ≥ 0, an+1 ≤ an paran ∈ N y lım

n→∞an = 0, entonces a1 − a2 + a3 + · · · =

∑(−1)n−1an

converge.

6. Estudie la convergencia de la serie∞∑n=0

nenπı/4

en − 1

7. Estudie la convergencia de las series

a)1

2 ln2 2+

13 ln2 3

+1

4 ln2 4+ · · ·.

b)15

+1 · 45 · 8

+1 · 4 · 75 · 8 · 11

+ · · ·.

c)ln 22

+ln 33

+ln 44

+ · · ·

8. Si la serie∞∑n=1

an converge a A, y∞∑n=1

bn converge a B, demuestre que

∞∑n=1

(an + ıbn) converge a A+ ıB. ¿Es verdadero el recıproco?

9. Estudie la convergencia de∞∑n=1

ωn

5n/2donde ω =

√3 + ı.

10. Demuestre que

a) lımn→∞

(√n+ 1−

√n) = 0.

b)∞∑n=1

(√n+ 1−

√n) diverge, de este modo demostramos que una

serie cuyo termino n−esimo tiende a cero no converge necesaria-mente.


11. Demuestre que la serie∞∑n=1

zn−1

2nconverge para |z| < 2 y encuentre la

suma.

12. Considere la serie z(1− z) + z2(1− z) + z3(1− z) + · · ·

a) Demuestre que la serie converge para |z| < 1 y encuentre la suma.

b) Demuestre que la serie converge uniformemente para |z| ≤ 1/2.

c) ¿Converge la serie uniformemente para |z| ≤ 1?

13. Determine el conjunto de valores de z para los cuales la serie∞∑n=0

(−1)n(zn + zn+1)

converge.

14. Encuente la region de convergencia de∞∑n=0

e2πınz

(n+ 1)3/2

15. Demuestre que∞∑n=1

zn

n(n+ 1)converge (absolutamente) para |z| ≤ 1.

16. Encuentre la region de convergencia de las series

a)∞∑n=1

(z + 2)n−1

(n+ 1)34n.

b)∞∑n=1

(−1)n−1z2n−1

(2n− 1)!.

c)∞∑n=1

n!zn.

17. ¿Para que valores de z la serie∞∑n=1

1(z2 + 1)n

converge? ¿cual es su

suma?

18. Demuestre la convergencia uniforme de la serie en la region indicada

a)∞∑n=1

zn

n√n+ 1

, para |z| ≤ 1.

b)∞∑n=1

1n2 + z2

, para 1 < |z| < 2.

2.4. EJERCICIOS 65

c)∞∑n=1

cosnzn3

, para |z| ≤ 1.

19. Demuestre que la serie 1 + az + a2z2 + · · · converge uniformemente a1/(1− az) dentro y sobre el cırculo de radio R, donde R < 1/|a|.

20. Estudie la convergencia absoluta y uniforme de la serie

z

3+z(3− z)

32+z(3− z)2

33+z(3− z)3

34+ · · ·

Capıtulo 3

Teorıa de funcionesC-diferenciables

3.1. Introduccion.

El concepto de funcion de variable compleja representa un caso particulardel concepto matematico de funcion, esto es, si U es un subconjunto deC, a cada punto z ∈ C se le asocia exactamente un numero complejo w.Abreviando, f : U → C es la funcion que a cada numero z ∈ U le asocia elvalor w = f(z).

Por ejemplo, dado un entero positivo n, tenemos la funcion f : C → Cdada por f(z) = zn. Otro ejemplo es la funcion g : C→ C que asocia a cadanumero complejo z su conjugado z, esto es, g(z) = z. Tambien tenemos lafuncion Re : C→ C que asocia a cada numero complejo z ∈ C su parte real,esto es, Re(z) = (z+ z)/2. Y la funcion que asocia a cada numero complejosu modulo, esto es, | · | : C→ C dada como |z| =

√zz, entre otros ejemplos.

En el caso general, si z = x + yı y w = u + vı, decir que la funcionw = f(z) esta definida en U , al identificar C con R2 equivale a decir que encada punto de U de coordenadas (x, y) se le asocia una pareja de numerosreales (u(x, y), v(x, y)). En otras palabras, en U estan definidas dos funcionesrealvaluadas u(x, y) y v(x, y). Por ejemplo, la funcion w = z2 equivale aw = u(x, y) + v(x, y)ı, donde u(x, y) = x2 − y2 y v(x, y) = 2xy.

Por otra parte, tambien vimos que, si n ≥ 2 es un entero positivo, y w esun numero complejo distinto de cero, la ecuacion zn = w tiene exactamenten soluciones. Como z = n

√w si, y solo si zn = w, la raız n−esima de w no

define una funcion como en los casos anteriores, sin embargo, tenemos unarelacion multivaludada bien definida. Posteriormente veremos como cons-

67

68 CAPITULO 3. FUNCIONES C-DIFERENCIABLES

truir apropiedamente un dominio para que este tipo de relaciones sea unafuncion, por lo que a este tipo de relaciones las denominaremos funcionesmultivaludas.

Por otra parte, los conceptos de lımite y continuidad, de funciones deR2 en R2, aunados a la estructura de campo de C nos permitira definir elconcepto de derivada en el sentido complejo. Posteriormente, daremos elconcepto de diferencial en el sentido complejo, y los compararemos con losconceptos en el sentido real. Introducimos tambien los conceptos de fun-ciones holomorfas y C-diferenciables, ası como el estudio de sus principalespropiedades.

Definicion 3.1.1. Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto no vacıo, f : Ω → Cuna funcion, a ∈ Ω, 1 ≤ j ≤ n. Se define la derivada parcial (∂f/∂xj)(a) def en el punto a, como el siguiente lımite, cuando este existe,

lımh→0h6=0

f(a1, . . . , aj−1, aj + h, aj+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)h

Denotaremos por C1(Ω) al conjunto de funciones Rn-valuadas definidassobre Ω tales que (∂f/∂xj)(a) exista para cada a ∈ Ω y 1 ≤ j ≤ n, y es unafuncion continua. Para cada k ∈ N, k ≥ 2 se define inductivamente Ck(Ω)como el conjunto de funciones para las cuales las derivadas parciales de todoslos ordenes menores o iguales a k existen y son continuas. Finalmente C∞ esel conjunto de funciones infinitamente diferenciables definidas sobre Ω, estoes, C∞(Ω) = ∩∞k=1Ck(Ω).

En este capıtulo identificaremos C con R2 por medio de la aplicacionz = x+ ıy 7→ (x, y) , donde x, y ∈ R2.

3.2. Funciones C-lineales.

Para empezar el presente capıtulo, recordamos lo siguiente.

Definicion 3.2.1. Sea K un campo, y sean V y W dos espacios vectorialessobre K. Decimos que una funcion T : V →W es una transformacion linealsobre K (o simplemente K-lineal ) si para cada x, y ∈ V , λ ∈ K se tieneque:

T (x+ y) = T (x) + T (y)

T (λx) = λT (x)

3.2. FUNCIONES C-LINEALES. 69

Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre K de dimensionfinita con bases ordenadas β = v1, v2, . . . , vn y γ = w1, w2, . . . , wmrespectivamente, y sea T : V → W lineal, entonces para cada j, 1 ≤ j ≤ n,existen escalares aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, tales que

T (vi) =m∑i=1

aijwi para 1 ≤ j ≤ n

Usando esta notacion, la matriz A = (aij) es la representacion matricialde T en las bases ordenadas β y γ y escribimos A = [T ]γβ. Si V = W yβ = γ, entonces escribimos A = [T ]β.

Denotaremos por L(V,W ) el K−espacio vectorial de las transforma-ciones lineales de V en W .

Finalmente, recordamos el siguiente resultado

Teorema 3.2.1. Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita sobreK de dimensiones n y m respectivamente, y si β y γ son bases ordenadasde V y W respectivamente, Entonces la funcion ϕ : L(V,W ) → Mm×n(K)definida como ϕ(T ) = [T ]γβ para T ∈ L(V,W ) es un isomorfismo.

Anteriormente hemos visto que el campo C es un R-espacio vectorial dedimension dos. Por lo cual resulta natural preguntarse ¿bajo que condicionesuna transformacion R-lineal T : R2 → R2 es C- lineal?

En particular, una transformacion T : C→ C es C-lineal si existe α ∈ Ctal que T (z) = α · z para cada z ∈ C. Ası, para responder a la preguntaanterior, bastara ver bajo que condiciones una matriz A ∈M2(R) representala multiplicacion por un numero complejo.

Lema 3.2.1. Una matriz A = (aij) ∈ M2(R) representa la multiplicacionpor un numero complejo si, y solo si, a11 = a22 y a12 = −a21.

Demostracion. Dado λ = a + ıb ∈ C fijo, al multiplicar z = x + ıy por λobtenemos:

λz = (a+ ıb)(x+ ıy) = (ax− by) + ı(ay + bx),

lo cual, identificando C con R2 vıa z + ıy 7→ (x, y), es equivalente a:(a −bb a

)(xy

)=(ax− bybx+ ay

).

Reciprocamente, si


(a bc d

)(xy

)= λ · (x+ ıy),

con λ = λ1 + ıλ2, tenemos

ax+ by = λ1x− λ2y cx+ dy = λ1x+ λ2

para toda x, y ∈ R. Tomando x = 1, y = 0 obtenemos a = λ1 = c. Por otraparte, si x = 0, y = 1 entonces b = −λ2 = d.

A continuacion veremos condiciones necesarias y suficientes para que lamatriz jacobiana de una funcion F : R2 → R2 sea C-lineal.

Dada una funcion f : Ω ⊂ R2 → R2 con:

f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)),

la matriz Jacobiana de f en a ∈ Ω, se define como la matriz de derivadasparciales

Df(x, y)|a =

∂u∂x(a) ∂u

∂y (a)

∂v∂x(a) ∂v

∂y (a)

,

la cual induce, de manera natural, una transformacion R-lineal entre TaΩ ∼R2, el espacio tangente a Ω en el punto a, y Tf(a) ∼ R2, el espacio tangente aR2 en el punto f(a), a saber, la diferencial de f en a. Dicha transformacionesta dada como sigue:

Dfa : R2 → R2

Dfa

(ξη

)=

∂u∂x(a) ∂u

∂y (a)

∂v∂x(a) ∂v

∂y (a)

( ξη

)

Proposicion 3.2.1. Con la notacion anterior, (∂u/∂x)(a) = (∂v/∂y)(a) y(∂u/∂y)(a) = −(∂v/∂x)(a) si, y solo si la aplicacion diferencial Dfa : C→C es una transformacion C-lineal. En este caso

Dfa

(ξη

)=

∂u∂x(a) − ∂v

∂x(a)

∂v∂x(a) ∂u

∂x(a)

( ξη

)para toda ζ = ξ + ıη ∈ C

3.3. FUNCIONES C-DIFERENCIABLES Y HOLOMORFAS. 71

Demostracion. Si ζ = ξ + ıη, por hipotesis tenemos:

Dfa

(ξη

)=

∂u∂x(a) ∂u

∂y (a)

∂v∂x(a) ∂v

∂y (a)

( ξη

)

=

∂u∂x(a) − ∂v

∂x(a)

∂v∂x(a) ∂u

∂x(a)

( ξη

)

Las ecuaciones ∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = −∂v/∂x se conocen como lasecuaciones de Cauchy-Riemann y juegan un papel fundamental en la teorıade funciones de variable compleja, como veremos posteriormente.

3.3. Funciones C-diferenciables y holomorfas.

A lo largo de la presente seccion Ω ⊂ C denotara un subconjunto abiertono vacıo.

Definicion 3.3.1. Dada una funcion f : Ω→ C compleja valuada definidasobre Ω, y a ∈ Ω, diremos que f es C-diferenciable en a si

lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

existe. Cuando este lımite existe, lo denotaremos por f ′(a), o bien (df/dz)(a),y este lımite se denomina la derivada de f en a.

Diremos que f es C-diferenciable en Ω si, f es C-diferenciable en a, paracada a ∈ Ω. En este caso, la funcion a 7→ f ′(a), que denotaremos f ′, sedenomina la derivada de f .

En variable real, una funcion diferenciable es continua, esto tambien secumple para funciones en variable compleja.

Proposicion 3.3.1. Si f : Ω → C es una funcion C-diferenciable en Ω,entonces f es continua en Ω.


Demostracion. Dado a ∈ Ω, tenemos:

lımz→az 6=a|f(z)− f(a)| = lım

z→az 6=a

(|f(z)− f(a)||z − a|

|z − a|)

= lımz→az 6=a

|f(z)− f(a)|z − a|

lımz→az 6=a|z− a|

Como f ′(a) = lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

, tomando h = z − a tenemos que

|f ′(a)| =

∣∣∣∣∣lımz→az 6=a

f(z)− f(a)z − a

∣∣∣∣∣de donde

lımz→az 6=a|f(z)− f(a)| = |f ′(a)| lım

z→az 6=a|z − a| = 0

Por lo cual la funcion f es continua en a.

Ejemplos:1. Las funciones constantes C-valuadas son C-diferenciables, esto es, si

λ ∈ C es fijo, y f(z) = λ para toda z ∈ C, entonces f es C-diferenciable ena para cada a ∈ C y f ′(a) = 0.

2. Dada n ∈ C, la funcion f(z) = zn es C-diferenciable para toda a ∈ C,pues

f ′(a) = lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

= lımh→0h6=0

(a+ h)n − an

h

= lımh→0h6=0

(an + nan−1h+ . . .+ hn)− an

h

=h(nan−1 + n(n−1)

2 an−2h+ . . .+ hn−1)h

= nan−1 + lımh→0h6=0

hO(a)

= nan−1


3. La funcion que a cada z ∈ C le asocia su conjugado no es C-diferenciable.Si f(z) = z, a ∈ C, y h ∈ R, h 6= 0, entonces

lımh→0

a+ h− ah

= lımh→0

a+ h− ah

= lımh→0

h

h= 1,

por otra parte

lımh→0

a+ ıh− aıh

= lımh→0

a− ıh− aıh

= lımh→0

−ıhıh

= −1,

por lo cual, el lımite no puede existir, es decir, f(z) = z no es C-diferenciable.

A continuacion veremos como expresar el hecho de que f es C-diferenciableen terminos de las variables reales x, y, ası como de las funciones coordenadasque determinan a f .

Proposicion 3.3.2. Si f : Ω→ C es una funcion complejo valuada definidasobre Ω, y f es C-diferenciable en a, con a ∈ Ω, entonces

1. Existen las derivadas parciales ∂f∂x (a) y ∂f

∂y (a).

2. ∂f∂x (a) = −ı∂f∂y (a) = f ′(a)

Demostracion. Dado a = α+ ıβ ∈ Ω, y h ∈ R, h 6= 0, por definicion de f ′(a)y unicidad del lımite, al identificar C con R2 y f(x+ıy) con f(x, y) tenemos:

f ′(a) = lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

= lımh→0h6=0

f(α+ h, β)− f(α, β)h

=∂f

∂x(a).

De manera similar tenemos:

f ′(a) = lımh→0h6=0

f(a+ ıh)− f(a)ıh

= lımh→0h6=0

f(α, β + h)− f(α, β)ıh

= 1ı∂f∂y (a) = −ı∂f∂y (a)

En particular ∂f∂x (a) = −ı∂f∂y (a) = f ′(a)


Las condiciones de esta proposicion no son suficientes para la existenciade la C-derivada, como muestra el siguiente ejemplo debido a Menchoff

Sea

f(z) =

z5

|z|4si z 6= 0

0 si/z = 0

Entoncesf(h)h

=(h

|h|

)4

,

el cual toma el valor 1 cuando h es real, o bien, cuando h es imaginario.Si u = Ref , y v = Imf , entonces ux(0, 0) = vy(0, 0) = 1, uy(0, 0) =−vx(0, 0) = 0, por lo cual las ecuaciones de Cauchy se satisfacen en elorigen, pero lım

z→0f(z)/z no existe. Por lo cual, es necesario dar condiciones

adicionales para garantizar la existencia de la C−derivada.Notese que una funcion f(x, y), de las variables reales x, y puede verse

formalmente como una funcion g(z, z), de las variables z y z, donde z = x+ıy, z = x−ıy, ya que x = (z+z)/2 y y = (z−z)/(2ı). Derivando formalmente∂z/∂z = 0, ∂z/∂z = 1, ∂z/∂z = 0, ∂z/∂z = 1 . Como consecuencia de laregla de la cadena en derivadas parciales podemos definir la derivada parcialde la funcion f con respecto a las variables z y z, esto es,

Definicion 3.3.2. Sea f una funcion complejo valuada definida sobre unconjunto abierto Ω ⊂ C, y supongase que f posee primeras derivadas par-ciales, con respecto a las variables reales x, y, en el punto a, entonces lasderivadas parciales de la funcion f con respecto a las variables z y z sedefinen como:

∂f

∂z(a) =

12

(∂f

∂x(a)− ı∂f

∂y(a)),∂f

∂z(a) =

12

(∂f

∂x(a) + ı

∂f

∂y(a)).

Utilizando esta notacion tenemos:

Corolario 3.3.1. Si f es C-diferenciable en Ω, a ∈ Ω, entonces:

∂f

∂z(a) = f ′(a),

∂f

∂z(a) = 0.

Recordamos que una funcion f : Ω ⊂ R2 → R2 puede describirse enterminos de funciones coordenadas como f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), e iden-tificando vıa µ(x+ ıy) = (x, y), tenemos f(z) = u(z) + ıv(z), basandonos en


esto, podemos re-escribir el corolario anterior en terminos de las funcionescoordenadas u y v como sigue:

Corolario 3.3.2. Si f es una funcion C-valuada, definida sobre en Ω, a ∈Ω, y escribimos f = u+ ıv, donde u, v : Ω → R. Si f C-diferenciable en a,entonces:

∂u

∂x(a) =

∂v

∂y(a)

∂u

∂y(a) = −∂v

∂x.

Definicion 3.3.3. Sea f una funcion complejo valuada definida sobre Ω ⊂C, y escriba f = u + ıv, donde u y v son funciones real valuadas definidassobre Ω. Las ecuaciones:

1.∂f

∂x= −ı∂f

∂y.

2.∂f

∂z= 0.

3.∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

4.∂f

∂x=∂f

∂z.

las cuales son equivalentes por pares, se denominan las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Ahora estamos interesados en determinar condiciones suficientes paraque una funcion sea C−diferenciable.

Proposicion 3.3.3. Sea Ω ⊂ C un subconjunto abierto, f : Ω→ C una fun-cion complejo valuada definida en Ω, supongase que ∂f/∂x, ∂f/∂y existeny son continuas en Ω. Supongase ademas que

∂f

∂x= −ı∂f

∂ysobre Ω.

Entonces f es C−diferenciable en Ω.

Demostracion. Sea ζ = ξ + ıη ∈ C con ξ, η ∈ R, y escribamos f = u + ıv,donde u y v son funciones real valuadas definidas en Ω. Sea a = α+ ıβ ∈ Ωcon α, β ∈ R.

Entonces


u(a+ ζ)− u(a) = u(α+ ξ, β + η)− u(α, β)

=∂u

∂x(α, β)ξ +

∂u

∂y(α, β)η + ε1(ξ, η),

donde lımξ,η→0

ε1(ξ, η)|ξ|+ |η|

= 0; se cumple por el teorema de Taylor ya que las

funciones ∂u/∂x, ∂u/∂y son continuas.Analogamente

v(a+ ζ)− v(a) =∂v

∂x(α, β)ξ +

∂v

∂y(α, β)η + ε2(ξ, η),

donde lımξ,η→0

ε2(ξ, η)|ξ|+ |η|

= 0; multiplicando esta ultima ecuacion por ı y sumandola

a la ecuacion anterior tenemos:

f(a+ ζ)− f(a) =∂f

∂x(a)ξ +

∂f

∂y(a)η + ε(ζ),

donde lımζ→0

ε(ζ)ζ

= 0. Como ∂f/∂y = ı(∂f/∂x), entonces

lımζ→0

ζ 6=0

f(a+ ζ)− f(a)ζ

=∂f

∂x(a) + lım

ζ→0

ε(ζ)ζ

=∂f

∂x(a).

La hipotesis de la continuidad en las derivadas parciales resulta ser su-perflua, este hecho fue demostrado por Looman (1923) en Uber die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, prueba que, desafortunadamente tenıaun error, el cual fue corregido por Menchoff (1936) en Les conditions demonogeneite. Ya que la demostracion de este resultado es bastante tecnica,no la incluimos en este momento, sin embargo, a continuacion enunciamosla version fuerte de este resultado.

Teorema 3.3.1 (Looman-Menchoff). Sea f una funcion C-valuada, contin-ua definida sobre un conjunto abierto Ω ⊂ C. Supongase que las derivadasparciales ∂f/∂x y ∂f/∂y existen en cada punto de Ω y satisfacen las ecua-ciones de Cauchy-Riemann ∂f/∂x = −ı(∂f/∂y). Entonces f es C-diferenciableen Ω.


Podemos reescribir la ultima proposicion de la seccion anterior comosigue:

Proposicion 3.3.4. Sea f : Ω→ C una funcion C-valuada, continua defini-da sobre un conjunto abierto Ω ⊂ C, y sea a ∈ Ω. Entonces f satisfacelas ecuaciones de Cauchy Riemann si, y solo si la aplicacion diferencialDfa : C→ C es una transformacion C-lineal. En este caso

Dfa(ζ) = f ′(a) · ζ para toda ζ ∈ C.

Otras propiedades que cumplen las funciones C-diferenciables son lassiguientes:

Proposicion 3.3.5. Sea Ω un subconjunto abierto, no vacıo. Si f y g sonfunciones C-diferenciables en Ω y λ ∈ C, entonces:

1. λf + g es C-diferenciable, y (λf + g)′ = λf ′ + g′.

2. f · g es C-diferenciable, y (f · g)′ = f ′ · g + f · g′.

3. Si g(z) 6= 0 para toda z ∈ Ω, entonces f/g es C-diferenciable y

(f

g

)′=f ′ · g − f · g′

g2

Demostracion. Para demostrar estas propiedades aplicaremos los teoremasde lımites.

Para la primera propiedad notamos que:

lımh→0h6=0

(λf + g)(a+ h)− (λf + g)(a)h

= lımh→0h6=0

λf(a+ h)− λf(a)h

+ lımh→0h6=0

g(a+ h)− g(a)h

= λ lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

+ lımh→0h6=0

g(a+ h)− g(a)h

= λf ′(a) + g′(a)

Para la segunda propiedad tenemos:


lımh→0h6=0

(fg)(a+ h)− (fg)(a)h

=

lımh→0h6=0

(fg)(a+ h)− f(a+ h)g(a)h

+f(a+ h)g(a)− f(a)g(a)

h

= lım

h→0h6=0

f(a+ h)g(a+ h)− g(a)

h+ lım

h→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

g(a)

= f(a)g′(a) + f ′(a)g(a)

Para la tercer propiedad:

lımh→0h6=0

(fg )(a+ h)− (fg )(a)

h= lım

h→0h6=0

f(a+ h)g(a)− f(a)g(a+ h)hg(a+ h)g(a)

= lımh→0h6=0

(f(a+ h)− f(a))g(a)− f(a)(g(a+ h)− g(a))hg(a+ h)g(a)

= lımh→0h6=0

f(a+ h)− f(a)h

lımh→0h6=0

g(a)g(a+ h)g(a)

−f(a) lımh→0h6=0

g(a+ h)− g(a)h

lımh→0h6=0

1g(a+ h)g(a)

=f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g2(a)

Proposicion 3.3.6 (La Regla de la Cadena). Si U, V ⊂ C son abiertos,y f : U → C, g : V → C son C-diferenciables, y f(U) ⊂ V , entoncesg f : U → C tambien es C-diferenciable en U . Ademas, si a ∈ U entonces(g f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).

Demostracion. Fijemos a ∈ U , y elijamos un numero r > 0 tal que B(a, r) ⊂U . Deseamos demostrar que si 0 < |hn| < r y lım

n→∞hn = 0, entonces

lımn→∞

g(f(a+ hn))− g(f(a))hn


existe y es igual a g′(f(a))f ′(a).Primer caso: Supongase que f(a) 6= f(a+ hn) para toda n ∈ N. En este

caso

g f(a+ hn)− g f(a)hn

=g(f(a+ hn))− g(f(a))f(a+ hn)− f(a)

f(a+ hn)− f(a)hn

Como lımn→∞

f(a+ hn)− f(a) = 0 y toda funcion C−derivable es contin-ua, entonces

lımn→∞


= g′(f(a))f ′(a)

Segundo caso: Si f(a) = f(a + hn) para una infinidad de valores de n.Descompongamos la sucesion hn como la union de dos sucesiones knyln, donde f(a) 6= f(a + kn) y f(a) = f(a + ln) para toda n ∈ N. Comof es diferenciable,

f ′(a) = lımn→∞

f(a+ ln)− f(a)ln

= 0

Ademaslımn→∞

g f(a+ ln)− g f(a)ln

= 0

Por el primer caso

lımn→∞

g f(a+ kn)− g f(a)kn

= g′(f(a))f ′(a) = 0.

De donde

lımn→∞


= 0 = g′(f ′(a))f ′(a).

El caso general es consecuencia de los casos anteriores.

Proposicion 3.3.7 (El Teorema de la funcion inversa). Si a ∈ Ω y f es unafuncion C-diferenciable, tal que f ′(a) 6= 0, entonces existe una vecindad Ude a y una vecindad V de f(a) tal que f|U : U → V es biyectiva, su inversaf−1|V : V → U es C-diferenciable en V , y su derivada esta dada por:

df−1|V (w)

dw=

1f ′|V (z)

, donde w = f|V (z)

.


Demostracion. Como f es C−diferenciable en a, entonces

Df(a) =

∂u∂x(a) − ∂v

∂x(a)

∂v∂x(a) ∂u

∂x(a)

y detDf(a) =

(∂u

∂x(a))2

+(∂v

∂x

)2

= |f ′(a)|2 6= 0.

Aplicando el teorema de la funcion inversa para funciones de R2 en R2,se deduce que existen vecindades abiertas U de a y V de f(a) en C tales quef|U : U → V es biyectiva; f−1 es R−diferenciable en V , y para cada z ∈ Use tiene

Df−1(f(z)) =(

1detDf(z)

) ∂u∂x(z) ∂v

∂x(z)

− ∂v∂x(z) ∂u

∂x(z)

Por lo que f−1 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en V , y por lotanto es C−diferenciable. Ademas

(f−1)′(f(z)) =1

detDf(z)

(∂u

∂x(z)− ı ∂v

∂x(z))

=f ′(z)|f ′(z)|2

=1

f ′(z)

Proposicion 3.3.8. Si Ω ⊂ C es un subconjunto abierto, conexo, y f : Ω→C es una funcion C-diferenciable en Ω tal que f ′(z) = 0 para toda z ∈ Ω,entonces f es una funcion constante en Ω.

Demostracion. Si z, w ∈ Ω, queremos demostrar que f(z) = f(w). ComoΩ es conexo, podemos encontrar una curva γ : [0, 1] → Ω tal que γ(0) = zy γ(1) = w. Ademas, existe una particion 0 = t0 < t1 < . . . < Tn = 1del intervalo [0, 1] tal que γ[ti−1,ti] es diferenciable para cada i ∈ 1, . . . , n.Como consecuencia de la regla de la cadena en dichos subintervalos se tiene

df(γ(t))dt

= f ′(γ(t))γ′(t) = 0,

pues f ′(s) = 0 para toda s ∈ Ω. Por otra parte, si f = u + ıv, con u y vfunciones real valuadas definidas en Ω, entonces

0 =df(γ(t))dt

=du(γ(t))

dt+ ı

dv(γ(t))dt

,


para cada t ∈ [ti−1, ti], de donde

du(γ(t))dt

= 0 ydv(γ(t))

dt= 0,

y como u γ son funciones real valuadas de variable real con derivadas cero,de calculo elemental sabemos que, u γ y v γ son funciones constantesen cada subintervalo [ti−1, ti] ⊂ [0, 1], ademas u γ(ti) = u γ(ti−1) yv γ(ti) = v γ(ti−1), para cada i ∈ 1, . . . , n. Por lo tanto , existenc1, c2 ∈ C tales que u γ = c1, y v γ = c2 con c1, c2 ∈ R. De donde

f(z) = (u+ ıv)(z) = c1 + ıc2 = (u+ ıv)(w) = f(w).

Proposicion 3.3.9. Sea f una funcion complejo valuada definida en Ω.Suponga que ∂f/∂x, ∂f/∂y existen y son continuas en Ω. Supongase queademas

∂f

∂x= −ı∂f

∂yen Ω

entonces, f es C-diferenciable en Ω.

Demostracion. Dado ζ = ξ + ıη ∈ C, ξ, η ∈ R escribamos f = u+ ıv, dondeu, v : Ω→ R. Sea a = α+ ıβ ∈ Ω, α, β ∈ R. Como ∂u/∂x y ∂v/∂y existen yson continuas, como consecuencia del teorema de Taylor tenemos que:

u(a+ ζ)− u(a) = u(α+ ξ, β + η)− u(α, β)

=∂u

∂x(α, β) · ξ +

∂u

∂y(α, β) · η + ε1(ξ, η),

donde ε1(ξ, η)/(|ξ|+ |η|)→ 0 si ξ, η → 0. Analogamente,

v(a+ ζ)− v(a) = v(α+ ξ, β + η)− v(α, β)

=∂v

∂x(α, β) · ξ +

∂v

∂y(α, β) · η + ε2(ξ, η),

donde ε2(ξ, η)/(|ξ|+ |η|)→ 0 si ξ, η → 0.


Luego entonces:

f(a+ ζ)− f(a) = (u+ ıv)(a+ ζ)− (u+ ıv)(a)= [u(a+ ζ)− u(a)] + ı[v(a+ ζ)− v(a)]

= [∂u

∂x(α, β) · ξ +

∂u

∂y(α, β) · η + ε1(ξ, η)] + ı[

∂v

∂x(α, β) · ξ

+∂v

∂y(α, β) · η + ε2(ξ, η)]

=∂f

∂x(a) · ξ +

∂f

∂y(a) · η + ε(ζ),

donde ε(ζ)/(|ζ|)→ 0. cuando ζ → 0. Como ∂f/∂y = ı(∂f/∂x), tenemos

lımζ→0,ζ 6=0

f(a+ ζ)− f(a)ζ

=∂f

∂x(a) + lım

ζ→0,ζ 6=0

ε(ζ)ζ

=∂f

∂x(a).

Es decir,f es C-diferenciable en a.

Como veremos posteriormente, hay una forma alternativa de definir unafuncion C−diferenciable, esta se basa en la representacion local de una fun-cion en terminos de una serie de potencias convergente, las cuales se deno-minan funciones holomorfas, como vimos en el capıtulo anterior.

A continuacion veremos que toda funcion holomorfa es C-diferenciableen el interior de su cırculo de convergencia.

El recıproco tambien es cierto, toda funcion C-diferenciable es holomor-fa, lo cual demostraremos a lo posterormente, esto nos permitira utilizarindistintamente los terminos C-diferenciable, y holomorfo.

Antes de demostrar que toda funcion holomorfa es C−diferenciable, de-mostraremos el siguiente lemma.

Lema 3.3.1. Sean α, β ∈ C, entonces

|(α+ β)n − αn| ≤ n|β|(|α|+ |β|)n−1

para cada n ∈ N.

Demostracion. Si α = 0 el enunciado es obvio. Supongamos que α 6= 0, ysea t = β/α, entonces


|(α+ β)n − αn| = |αn[(1 + t)n − 1]|

= |α|n∣∣∣∣∣n∑k=1

(n

k

)tk

∣∣∣∣∣≤ |α|n

n∑k=1

(n

k

)|t|k

= |α|n[(1 + |t|)n − 1]

Para τ ≥ 0, tenemos

(1 + τ)n − 1 = n

∫ τ

0(1 + u)n−1du ≤ nτ(1 + τ)n−1.

De donde

|(α+ β)n − αn| ≤ |α|n · n ·∣∣∣∣βα∣∣∣∣ (1 +

∣∣∣∣βα∣∣∣∣)n−1

= n|β|(|α|+ |β|)n−1.

Proposicion 3.3.10. Sea R > 0 y suponga que la serie∞∑n=0

cn(z − a)n

converge a f(z) si |z − a| < R. Entonces f es C-diferenciable en B(a,R) =z; |z − a| < R. Ademas

f ′(z) =∞∑n=1

ncn(z − a)n−1

Demostracion. Sea z ∈ B(a,R), y ζ ∈ C, 0 < |ζ| < 12(R− |z− a|). Entonces

1ζ

(f(z + ζ)− f(z)) =∞∑n=1

cn(z + ζ − a)n − (z − a)n

ζ

Sea N > 0, como consecuencia del lema anterior

∣∣∣∣∣∞∑n=N

cn(z + ζ − a)n − (z − a)n

ζ

∣∣∣∣∣ ≤ ∑n>N

n|cn|(|ζ|+|z−a|)n−1 ≤∑n>N

n|cn|ρn−1


donde ρ = 12(R+|z−a|) < R. Como |z−a| < R, tambien tenemos |z−a| < ρ.

De donde

∣∣∣∣∣f(z + ζ)− f(z)ζ

−∞∑n=1

ncn(z − a)n−1

∣∣∣∣∣≤

N∑n=1

|cn|∣∣∣∣(z + ζ − a)n − (z − a)n

ζ− n(z − a)n−1

∣∣∣∣+ 2∑n>N

n|cn|ρn−1.

Ahora, dada ε > 0, podemos elegir N , que depende de ε, z,R, tal que∑n>N

n|cn|ρn−1 <12ε. Ademas

lımζ→0

(z + ζ − a)n − (z − a)n

ζ= n(z − a)n−1

Entonces, podemos elegir δ > 0, que depende de N, z y cn, n ≤ N , dondeδ < 1

2(R− |z − a|), tal que

∑n≤N|cn|

∣∣∣∣(z + ζ − a)n − (z − a)n

ζ− n(z − a)n−1

∣∣∣∣ < ε para 0 < |ζ| < δ

Ası, para 0 < |ζ| < δ, tenemos∣∣∣∣∣f(z + ζ)− f(z)ζ

−∞∑n=1

ncn(z − a)n−1

∣∣∣∣∣ < 2ε.

Ademas la convergencia es uniforme en z si z se restringe al discoB(a, r) =z; |z − a| ≤ r donde r < R.

Corolario 3.3.3. Si Ω es abierto en C, cualquier funcion holomorfa en Ωes C-diferenciable en Ω.

Corolario 3.3.4. Si f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n tiene radio de convergencia R >

0, entonces

1. Para cada k ≥ 1 la serie

∞∑n=k

n(n− 1) · (n− k + 1)cn(z − a)n−k


tiene radio de convergencia R;2. La funcion f es infinitamente C-diferenciable sobre B(a,R) y, ademas,

para k ≥ 1 y z ∈ B(a,R) tenemos:

f (k)(z) =∞∑n=k

n(n− 1) · (n− k + 1)cn(z − a)n−k;

3. Para n ≥ 0, el n-esimo termino de la serie de f satisface

cn =1n!f (n)(a).

Corolario 3.3.5. Si Ω es abierto en C y f es holomorfa en Ω, entonces fes infinitamente C−diferenciable en Ω.

Ejemplos:

1. Considere la serie f(z) =∞∑n=1

zn/n2, como consecuencia del criterio de

la razon, esta serie tiene radio de convergencia

R = lımn→∞

1/n2

1/(n+ 1)2= lım

(n+ 1n

)2

= 1

y su derivada esta dada como

f ′(z) =∞∑n=1

nzn−1

n2=∞∑n=1

zn−1

n.

Note que la serie de f ′(z) no converge para z = 1, de donde f no puedeextenderse analıticamente a cualquier region que contenga a la cerradura deldisco unitario.

2. Por otra parte, si consideramos la serie f(z) =∞∑n=1

zn/n!, como con-

secuencia del criterio de la razon

R = lımn→∞

1/n!1/(n+ 1)!

= lımn→∞

(n+ 1) =∞

y su derivada es

f ′(z) =∞∑n=1

nzn

n!=∞∑n=1

zn−1

(n− 1)!= f(z).


3.4. Algunas funciones importantes

El objetivo principal de esta seccion es extender algunas funciones ele-mentales de variable real a variable compleja, tales como las funciones trigonometri-cas, la exponencial y la logarıtmica.

3.4.1. La formula de Euler

Como mencionamos en el primer capıtulo, en 1740 Leonhard Euler des-cubrio la formula

eıθ = cos θ + ı sin θ

Para explicar la formula de Euler debemos responder a la pregunta ¿Que sig-nifica eıθ?

Si x es un numero real, sabemos que la funcion f : R → R definida porf(x) = ex satisface las propiedades

d f

dx= f(x), y f(0) = 1.

De manera similar, si k es una constante real, entonces ekx, queda definidopor la propiedad

d f

dx= kf(x), y f(0) = 1.

Puede extenderse la accion de la funcion exponencial ex de valores reales, avalores imaginarios, pidiendo que esta propiedad se cumpla para k = ı, estoes

d eıt

dt= ieıt

Para que esta ecuacion tenga sentido, imaginemos a una partıcula mo-viendose a lo largo de una curva en C. Este movimiento puede describirseparametricamente diciendo que en el tiempo t la partıcula ocupa la posi-cion γ(t). La velocidad v(t) es el vector cuya longitud y direccion estandeterminados por la velocidad instantanea, y la direccion instantanea delmovimiento, tangente a la trayectoria, del movimiento de la partıcula.

dγ

dt(t) = lım

h→0,h 6=0

γ(t+ h)− γ(t)h

= v(t).

Ası, dada una funcion compleja γ(t) de la variable real t, podemos vi-sualizar γ como la posicion de una partıcula en movimiento, con velocidaddγ/dt.

Si γ(t) = eıt, como

3.4. FUNCIONES 87

d eıt

dt= ieıt

tenemos que la velocidad es igual a la posicion girada por un angulo recto.Como la posicion inicial de la partıcila es γ(0) = e0 = 1, la velocidadinicial es ı ası la partıcula se mueve en direccion vertical hacia arriba. Uninstante despues la partıcula se mueve ligeramente en esta direccion, y lanueva velocidad formara un angulo recto con respecto al nuevo vector deposicion. Continuando con este proceso, podemos ver que la partıcula semueve alrededor del cırculo unitario.

Sabemos que |γ(t)| = 1 a lo largo del movimiento, se sigue que la veloci-dad de la partıcula |v(t)| = 1. Ası, despues de un tiempo t = θ la partıculaviajara una distancia θ alrededor del cırculo unitario, y ası el angulo deγ(t) = eıθ sera θ. Este es el significado geometrico de la formula de Euler.

Figura 3.1: Representacion geometrica de la formula de Euler.

3.4.2. La funcion exponencial.

Podemos definir la funcion exponencial como la solucion de la ecuaciondiferencial f ′(z) = f(z) con condicion inicial f(0) = 1. Si suponemos quehay una funcion holomorfa que, en una vecindad del origen, satisfaga estapropiedad, entonces

f(z) = c0 + c1z + . . .+ cnzn + . . .

f′(z) = c1 + 2c2z + . . .+ ncnz

n−1 + . . .

si queremos que f = f′, como dos series de potencias alrededor del cero

coinciden si coinciden termino a termino, debemos tener cn−1 = ncn paratoda n ≥ 1, ahora bien, la condicion inicial f(0) = 1 nos dice c0 = 1, de


donde c1 = 1, ası 2c2 = 1, es decir, c2 = 12 y, procediendo inductivamente

podemos ver que, an = 1n! .

Definicion 3.4.1. La solucion a la ecuacion diferencial

f ′(z) = f(z) con condicion inicial f(0) = 1

se denota ez o bien exp z, este determina una funcion holomorfa, la cual sedenomina la funcion exponencial.

Por supuesto, como consecuencia del criterio de la razon, la serie

ez =∞∑n=0

zn

n!,

tiene radio de convergencia infinito, es decir, la serie converge en todo elplano. Nuevamente, como consecuencia de la ecuacion diferenical f

′(z) =

f(z), tenemos que la funcion exponencial satisface el teorema de la adicion,esto es:

Teorema 3.4.1 (El teorema de la adicion). Si a, b ∈ C entonces:

ea+b = ea + eb

Demostracion. Sabemos que,

d

dz(ez · ec−z) =

d

dz(ez) · ec−z + ez

d

dz(ec−z)

= ez · ec−z + ez · (−ec−z) = 0,

como ez esta definida y es holomorfa en C, el cual es conexo, tambien lafuncion ez · ec−z, es holomorfa en C y su derivada es identicamente nula enC.

De la proposicion 26 se sigue que ez · ec−z es constante. Para encontrarel valor de dicha constante bastara evaluar esta funcion en z = 0, por loque ez · ec−z = e0 · ec−0 = ec, tomando z = a y c = a + b tenemosea+b = ea + eb.

Como consecuencia del teorema de la adicion tenemos diversas propiedades,las cuales enunciaremos a continuacion:

Corolario 3.4.1. La funcion exponencial es nunca nula.

Demostracion. Como consecuencia del teorema de la adicion ez ·e−z = e0 =1, lo cual muestra que ez es nunca nula.

3.4. FUNCIONES 89

Para x ∈ R el desarrollo en serie de la exponencial muestra que ex > 1si x > 0, y ası, ex y e−x son recıprocos, y 0 < ex < 1 cuando x < 0.

Proposicion 3.4.1. Si z = x+ ıy ∈ C entonces

ez = ex(cos y + ı sin y)

Demostracion. Si z = x+ ıy con x, y ∈ R, el teorema de la adicion nos diceque ez = ex+ıy = ex · eıy. Ahora

eıy =∞∑n=0

(ıy)n

n!

=∞∑n=0

(−1)ny2n

(2n)!+ ı

∞∑n=0

(−1)ny2n+1

(2n+ 1)!

= cos y + ı sin y

de donde ez = ex(cos y + ı sin y)

Corolario 3.4.2. Si z = x+ ıy, entonces |ez| = ex.

El hecho que la serie tenga coeficientes reales implica que exp z es elcomplejo conjugado de exp z, esto es, exp(z) = exp(z). Ası

|eıy|2 = eıy · eıy = eıy · e−ıy = 1.

De lo anterior podemos concluir que ez = 1 si, y solo si, z = 2πin paraalgun entero n. Antes de continuar analizando esta funcion, recordamos que

Definicion 3.4.2. Una funcion f(z) tiene periodo c si, f(z+c) = f(z) paratoda z. En este caso decimos que f es una funcion periodica de periodo c.

Luego entonces, si ez+c = ez, entonces ec = 1, ası c = 2πın con n ∈ N.Y podemos concluir que

Corolario 3.4.3. La funcion exponencial es periodica de periodo 2πı.

Desde un punto de vista algebraico, la aplicacion w = eıy establece unhomomorfismo entre el grupo aditivo de los numeros reales y el grupo mul-tiplicativo de los numeros complejos de modulo uno. El nucleo de este ho-momorfismo es el subgrupo formado por todos los multiplos enteros de 2π

La geometrıa de la funcion exponencial es simple, por ejemplo, la rectahorizontal Imz = y se transforma en la semirecta que parte del origen conargumento y. Por otra parte, dada x ∈ R se transforma en la circunferenciade radio ex recorrido una infinidad de veces.


Proposicion 3.4.2. Sea y0 ∈ R,la funcion exponencial restringida al con-junto

Ay0 = z ∈ C; y0 ≤ Imz < y0 + 2π

es biyectiva sobre C \ 0

Demostracion. Si z1, z2 ∈ R son tales que ez1 = ez2 , entonces ez1−z2 = 1, porlo que z1 − z2 = 2πın con n ∈ Z, y como z1, z2 ∈ Ay0 , entonces z1 − z2 = 0,por lo que, la funcion exponencial restringida a R es inyectiva.

Como mencionamos anteriormente, la funcion exponencial es nunca nula,por lo que, la imagen de la funcion exponencial esta contenida en el conjuntoC \ 0. Si w ∈ C \ 0, entonces existe z = x + ıy tal que ez = w si, ysolo si, ln |w| = x y exp(ı argw) = exp(ıy), esta ultima ecuacion tiene unainfinidad de soluciones, una de las cuales satisfacen y0 ≤ y ≤ y0 + 2π. Porlo que, la funcion exponencial restringida al conjunto Ay0 es suprayectivasobre C \ 0

3.4.3. La funcion logaritmo

Junto con la funcion exponencial debemos estudiar su funcion inversa,

el logaritmo. Ya qued exp z

dz6= 0 para toda z ∈ C, el teorema de la funcion

inversa nos dice que exp z, al menos localmente, tiene funcion inversa.Por definicion, z = log w es una “raız”de la ecuacion ez = w.Como ez 6= 0 para toda z ∈ C, entonces z = log 0 no tiene solucion, esto

es, el numero cero no tiene logaritmo.Como vimos en la proposicion 30, para w 6= 0, la ecuacion ex+ıy = w es

equivalente aex = |w|, eıy =

w

|w|.

La primera ecuacion tiene una unica solucion, a saber, x = ln |w|, donde lndenota la funcion logaritmo natural real. Por otra parte, la segunda ecuacionnos da un numero complejo de modulo uno, la cual tiene una unica solucionsi y0 ≤ y < y0 +2π. La parte imaginaria de log w se denomina el argumentode w y se denota arg w.

Ademas, podemos encontrar una solucion diferente modulo multiplos en-teros de 2π esto es, todo numero complejo distinto de cero tiene una infinidadde logaritmos, los cuales difieren uno del otro por multiplos enteros de 2πi.Ası, para que log sea una funcion, es necesario restringir el contradominio,por el momento, este conjunto sera de la forma:

Ay0 = z ∈ C; y0 ≤ Imz < y0 + 2π

3.4. FUNCIONES 91

o bienBy0 = z ∈ C; y0 < Imz ≤ y0 + 2π

Definicion 3.4.3. La funcion con dominio C \ 0, contradominio Ay0 yregla de correspondencia

log z = ln |z|+ ı arg z, arg z ∈ [y0, y0 + 2π)

se denomina una rama de logaritmo.

Por convencion, el logaritmo log w de un numero real positivo w siemprese toma como el logaritmo real de w, esto es, lnw, a menos que se especifıquelo contrario.

La geometrıa de la funcion logaritmo es la inversa de la geometrıa dela funcion exponencial, esto puede deducirse facilmente si expresamos z ∈C \ 0 en forma polar, esto es, si z = reıθ, podemos ver que circunferen-cias concentricas al origen se transforman en segmentos de recta verticales,mientras que las semirectas que parten del origen se transforman en rectashorizontales,

Proposicion 3.4.3. La funcion logaritmo es la inversa de la exponencialen el siguiente sentido: si log z representa una rama de logaritmo, entonces

exp(log z) = z, para cada z ∈ C \ 0;

Ademas, si se elige la rama y0 ≤ y < y0 + 2π, entonces

log(exp z) = z, para cada z ∈ Ay0

Demostracion. Como log z = ln |z|+ ı arg z, entonces

exp(log z) = exp(ln |z|) · exp(ı arg z) = |z| z|z|

= z.

Recıprocamente, si z = x + ıy, con y0 ≤ y < y0 + 2π, como arg(ez) =arg(eıy) = y, se tiene

log(exp z) = ln | exp z|+ ı arg(exp z) = ln(ex) + ıy = z.

Las ramas de logaritmo se pueden definir en conjuntos mas generales queAy0 y By0 , esto es:


Definicion 3.4.4. Sea Ω ⊂ un conjunto abierto, conexo y tal que 0 /∈ Ω, ysea f : Ω→ C una funcion continua tal que z = exp(f(z)) para toda z ∈ Ω.La funcion f se denomina una rama de logaritmo.

Si f es una rama de logaritmos definida sobre un cojunto abierto, conexoΩ ⊂ C, que no contenga tenga al cero, y n ∈ Z, y basamos en lo discutidoen los parrafos anteriores, entonces la funcion g(z) = f(z) + 2πın es otrarama de logaritmo. Recıprocamente, si f y g son dos ramas de logaritmo,entonces para cada z ∈ Ω, se tiene que f(z) = g(z) + 2πın para algunentero n donde, en principio, el entero n depende de la eleccion del puntoz. Sin embargo, podemos ver que el entero n es independiente de z ∈ Ω,para esto, consideremos la funcion h(z) = [f(z) − g(z)] = 2πi. Como f y gson continuas en Ω, la funcion h resulta continua en Ω, y su imagen h(Ω)es un subconjunto de Z. Como Ω es conexo, y la imagen bajo una funcioncontinua de un conjunto conexo es conexo, entonces h(Ω) ⊂ Z es conexo.Luego entonces h(z) es constante, es decir, existe n ∈ Z tal que h(z) = npara toda z ∈ Ω. De donde ,f(z) = g(z) + 2πni.

A continuacion fabricaremos explicitamente una rama de logaritmo, lacual se denomina la rama principal de logaritmo.

Sea Ω := C \ z ∈ C ; Re z ≤ 0 y Imz = 0, podemos ver que Ω es unsubconjunto abierto y conexo de C, y que corresponde al plano menos el ejereal negativo. Cada punto z ∈ Ω, puede representarse en forma unica comoz = |z|eıθ con −π < θ < π, donde θ = arg z. Para θ ∈ (−π, π), definimos larama principal de la funcion logaritmo como:

log z = ln |z|+ ı arg z,

donde ln |z| es el logaritmo natural del numero real positivo |z|.El teorema de la adicion para la funcion exponencial implica:

log(z1 · z2) = log z1 + log z2

yarg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2 mod 2π.

Como dez/dz = ez 6= 0, el teorema de la funcion inversa implica que,localmente, ez tiene inversa, (y como la funcion inversa es unica, esta debeser una rama de la funcion logaritmo). Ademas, la derivada de la funcioninversa f−1 de la funcion exponencial f(z) = ez, en el punto w = ez esigual a (f−1)′(w) = 1/ez = 1/w, de donde: d log z/dz = 1

z , obtenemos ası elsigueinte resultado:

3.4. FUNCIONES 93

Corolario 3.4.4. Una rama de la funcion logaritmo es C−diferenciable, ysu derivada es z−1.

Aun mas, dado un abierto conexo Ω ⊂ C \ 0, si f es una rama delogaritmo definida en Ω, y b ∈ C es fijo, podemos definir una funcion g; Ω→C por g(z) = exp(bf(z)).

Si b ∈ Z, entonces g(z) = zb. Esto nos permite definir una rama dezb para b ∈ Z. Si escribimos g(z) = zb como funcion, deberemos entenderzb = exp(b log z), donde log z es la rama principal de logaritmo, en particular,como g(z) es composicion de funciones C−diferenciables, entonces g(z) = zb

es C−diferenciable, y g′(z) = bzb−1. De manera general tenemos la siguientedefinicion:

Definicion 3.4.5. Si a, b ∈ C, y a 6= 0, y log es una rama de logaritmo, sedefine ab como exp(b log a).

Si a es un numero real positivo, log a tambien es un numero real, y ab

es univaluada.

Proposicion 3.4.4. Si b es un numero racional, con forma reducida pq ,

entonces ab admite exactamente q valores distintos, y pueden representarsecomo q

√ap, las raıces q−esimas de zp.

Demostracion. Se tiene que

exp(p

q(2πın)

)= exp

(p

q(2πım)

)para m,n ∈ Z si, y solo si,

p

q(n−m) ∈ Z

y como m.c.d(p, q) = 1, lo anterior se satisface cuando, y solo cuando n escongruente con m modulo q, por lo que zp/q toma exactamente q valores.Ademas (

exp(p

qlog z

))q= exp(p log z) = zp.

Proposicion 3.4.5. Si a, b ∈ C, a 6= 0 y b /∈ Q son numeros fijos, entoncesab toma un numero infinito de valores.


Demostracion. Si b ∈ R \ Q, y n,m ∈ Z entonces eb2πın = eb2πım si, y solosi, eb2πı(n−m) = 1, de donde b(n−m) ∈ Z cuando, y solo cuando n = m.

Por otra parte, si b = x+ ıy ∈ C \R, entonces eb2πın = e−2πnye2πıx. Porlo que, si eb2πın = eb2πım, al tomar normas obtenemos e−2πny = e−2πmy ym = n

Basados en este concepto tenemos:

Definicion 3.4.6. La funcion raız n−esima, que denotaremos n√z, o bien,

z1/n, se define como

exp(

log zn

),

donde log z denota una rama de logaritmo.

Al final de este capıtulo, estudiaremos con mas detalle esta funcion.Como una aplicacion de lo visto anteriormente, analizaremos ahora la

funcion f(z) =√z2 + 1 usando la rama principal de logaritmoD = z;−π <

arg z < π.Recordamos que la funcion

√z, tiene una discontinuidad cuando cruzamos

el eje real negativo, cambiando de valores positivos a negativos al cruzar eleje x en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

El numero z2 + 1 cruza esta recta en sentido contrario a las manecillasdel reloj caundo z cruza el semieje (ı, ı∞) o bien, el semieje (−ı∞,−ı). Ası,estos ejes son discontinuidades de

√z2 + 1.

Figura 3.2: Representacion del dominio de la funcion f(x) =√z2 + 1

3.4. FUNCIONES 95

3.4.4. Las fuciones trigonometricas

Definicion 3.4.7. Se definen las funciones trigonometricas como:

cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2ique se denominan respectivamente, las funciones coseno y seno.

Estas funciones son claramente holomorfas, y ası, C-diferenciables en C.Notese que cos z = cos(−z) y sin(−z) = − sin z.

Sustituyendo la expresion en serie de potencias de eız obtenemos

cos z = 1− z2

2!+z4

4!− ...

sin z = z − z3

3!+z5

5!− ...

Paraz = x ∈ R estas expresiones se reducen al desarrollo de Taylor de la se-ries cosx y sinx, y tienen propiedades similares a las funciones trigonometri-cas de variable real, pero tambien tendremos diferencias significativas, talescomo el hecho de que estas funciones no son acotadas.

Como consecuencia de las definiciones de las funciones cos z y sin z ten-emos la formula de Euler

eız = cos z + ı sin z

ası como la identidadcos2 z + sin2 z = 1.

Tambien es facil verificar que

cos′ z = − sin z, sin′ z = cos z.

Y la formula de adicion de la funcion exponencial nos induce las formulasde la adicion de las funciones trigonometricas:

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

sin(a+ b) = cos a sin b+ sin a cos b

Ademas, como la funcion exponencial es periodica de periodo 2πı, ten-emos, como consecuencia de la definicion, que las funciones trigonometricasseno y coseno son periodicas de periodo 2π. Ademas

sin(π

2− z)

= cos z.


Es interesante notar que las funciones seno y coseno complejas se relacio-nan con las funciones trigonometricas hiperbolicas reales, esto es, si x ∈ Rentonces

coshx = cos(ıx) y ı sinhx = sin(ıx).

Ya que

cos(ıx) =eı(ıx) + e−ı(ıx)

2=e−x + ex

2= coshx

y

sin(ıx) =eı(ıx) − e−ı(ıx)

2=e−x + ex

2ı=e−x − ex

2ı= ı

(ex + e−x

2

)= ı sinhx

Si definimos la funcion tangente como

tan z =sin zcos z

tenemos que esta funcion es C−diferenciable si sin z 6= 0, es decir, cuando

z ∈ C \

(2k + 1)π2

; k ∈ Z

.

Notese quelım

z→ (2k+1)π2

tan z =∞.

En este caso, las formulas de adicion nos dicen que

tan(a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

en particular

tan(x+ ıy) =tanx(1− tanh2 y)1 + tan2 x tanh2 y

+ ı(1 + tan2 x) tanh y1 + tan2 x tanh2 y

.

Esta ultima formula muestra que tan z ∈ R si, y solo si z ∈ R. Mientras quetan z tiene parte real cero si x es multiplo de π/2. Los unicos ceros de lafuncion tangente son de la forma z = kπ con k ∈ Z, y tan z es una funcionperiodica de periodo π.

Para cada k ∈ Z la banda

(2k − 1)π2

< x ≤ (2k + 1)π2

3.4. FUNCIONES 97

es periodica. La imagen de dicha banda bajo la funcion tangente es C\±ı.Finalmente, como lım

y→∞tanh y = 1, tenemos que

lımy→+∞

tan(x± ıy) = ±ı.

Las otras funciones trigonometricas, al igual que en variable real, estandefinidas en terminos de las funciones cos y sin, y se deja como ejercicio darsu expresion en terminos de la funcion exponencial, ası como verificar susprincipales propiedades.

3.4.5. Potencias

Sea n un entero positivo, y consideremos la aplicacion f : C∞ → C∞definida por f(z) = zn. Si expresamos a z en forma polar como z = r(cos θ+ı sin θ) tenemos que w = f(z) = rn(cosnθ + ı sinnθ).

Esto nos dice que la semirecta arg z = θ se mapea sobre la semirectaargw = nθ, y la circunferencia |z| = r se mapea en la cricunferencia |w| = rn

cubierta n veces.En efecto, cada uno de los n arcos circulares

|z| = r, k2πn≤ arg z < (k + 1)

2πn, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

se transforma sobre toda la circunferencia |w| = rn.Esta situacion muestra que, para obtener una representacion geometrica

de la aplicacion f(z) = zn en realidad necesitamos n copias del plano w, lascuales, ademas deben unirse de manera apropiada. Tales representacionesfueron introducidas por B. Riemann en su disertacion de Gotingen de 1851,y esta clase de variedades se conoce como superficies de Riemann. Ya que esteno es el lugar apropiado para dar una definicion formal de estos conceptos,nos concretaremos a dar una descripcion de la superficie que genera estaaplicacion.

Iniciemos con n copias del plano extendido w, las cuales denotaremosS1, S2 . . . , Sn, a partir de las cuales formaremos una superficie conexa Rusando las siguientes convenciones.

Sk sera la k-esima hoja de R.

Todas las hojas tienen en comun los puntos w = 0 y w =∞; estos dospuntos se conocen como puntos de ramificacion de la superficie, y sedice que tienen orden n− 1. Las n hojas se unen en estos puntos.


En cada hoja dibujamos una curva que une 0 e ∞, la misma curva encada hoja. Esta curva se conoce como la lınea de ramificacion de lasuperficie ya que varias hojas se conectaran unas con otras a lo largo deesta lınea. Para simplificar la discusion tomaremos el eje real positivocomo la lınea de ramificacion. Procederemos a especificar como se unenlas rectas a lo largo de la lınea de ramificacion, y esta convencion seampliara por una descripcion de como se constituye una ε-vecindad deun punto de R.

La siguiente figura da la representacion de una porcion de R cera delorigen cuando n = 2.

Figura 3.3: Representacion de la superfice asociada a w = z2

Consideremos los puntos a+bı y a−bı en Sk, donde a > 0 y b > 0. Estospuntos pueden conectarse siguiendo los lados de un rectangulo a lo largo delos segmentos (a+ bı)(−a+ bı), (−a+ bı)(−a− bı), (−a− bı)(a− bı); estatrayectoria se encuentra totalmente contenida en Sk. Si en lugar de seguiresta trayectoria de a + bı a a − bı, seguimos la recta vertical que los une,entonces dejamos la hoja Sk y pasamos a la hoja Sk−1, donde S0 := Snpor definicion. De esta forma tenemos al punto a − bı en la hoja Sk−1. Siiniciamos en a − bı en la hoja Sk y subimos a lo largo de la recta verticalhasta el punto a + bı, dejaremos Sk al cruzar el eje real y nos situaremosen Sk+1, donde Sn+1 := S1. De esta forma vemos el punto a+ bı en la hojaSk+1.

Iniciando en w = a+bı en Sk y describiendo la circunferencia |w| = |a+bı|n veces en sentido positivo, encontramos al punto a + bı consecutivamenteen las hojas

Sk, Sk+1, . . . , Sn, S1, S2, . . . , Sk−1, Sk.

Ası, regresamos al punto de partida despues de n vueltas. Si describimosla misma circunferencia, pero ahora en sentido negativo, encontraremos al

3.4. FUNCIONES 99

punto a+ bı consecutivamente en las hojas

Sk, Sk−1, . . . , S1, Sn, Sn−1, . . . , Sk+1, Sk.

A continuacion mostramos un diagrama que nos permite vizualizar lasuperficie R en una vecindad de la lınea rama en el caso n = 3.

Figura 3.4: Representacion del diagrama asociado a w = z3

Para completar la descripcion de nuestra superficie, asignamos vecin-dades a los puntos de R de la siguiente forma: Si a + bı esta en Sk y sudistancia al eje real positivo excede ε, entonces el conjunto de todos lospuntos de Sk que disten de a + bı menos que ε constituye una ε-vecindadde a + bı. Para puntos en la lınea de ramificacion, esto es, sobre el eje realpositivo, distinguiremos entre los dos ejes de la lınea, pues a + 0ı esta enSk es el mismo punto que a − 0ı que esta en Sk−1. En el primer caso laε-vecindad esta dada por

w; |w−a| < ε, Im(w) ≥ 0, w ∈ Sk∪w; |w−a| < ε, Im(w) < 0, w ∈ Sk−1,

y en el segundo caso

w; |w−a| < ε, Im(w) < 0, w ∈ Sk∪w; |w−a| < ε, Im(w) ≥ 0, w ∈ Sk−1,

donde a 6= 0,∞, a > ε. Una ε-vecindad de w = 0 es el conjunto de todoslos puntos w con |w| < ε y w corriendo sobre las n hojas Sk. Reemplazando|w| < ε por 1/|w| < ε tenemos una vecindad de w = ∞. Esto completa ladescripcion de la superficie R.

Finalmente, veremos que hay una correspondencia uno a uno entre elz−plano extendido y la superficie de Riemann R bajo la aplicacion w =f(z) = zn. Para lo cual demostraremos que esta aplicacion es isogonal salvoen el origen y en el punto al infinito. En los puntos restantes, como w =rn(cosnθ+ ı sinnθ), los angulos se multiplican por un factor n. Supongamosque z0 6= 0,∞, y consideremos una pequena vecindad del punto z0. Si

w = (z0 + h)n


como consecuencia del teorema del binomio tenemos:

w − zn0 = nzn−10 h+O(h2) (3.1)

cuando h→ 0, donde la notacion O(h2) significa que para valores pequenosde h los valores restantes no exceden alguna cantidad fija, independiente deh, veces h2.

De lo anterior se deduce que

lımh→0

arg[w − zn0 ] = arg zn−10 + lım

h→0arg h,

si el ultimo lımite existe. Por lo cual, si dos curvas γ1 y γ2 se intersectan enz0 ∈ C \ 0 formando un angulo θ, entonces sus imagenes se intersectan enw = zn0 formando el mismo angulo θ. Por otra parte, la formula (3.1 ), laampliacion en z = z0 es igual a

n|z0|n−1.

Lo cual es de esperarse, ya que nzn−1 es la derivada de zn en variablecompleja. Como veremos en el capıtulo siguiente, esto nos dice que zn esconforme en C \ 0.

3.4.6. Raıces

En la seccion anterior estudiamos la funcion w = f(z) = zn, donde n esun entero positivo mayor que uno, recıprocamente tenemos

z = n√w = w1/n. (3.2)

Esta funcion no es univaluada, ası debe definirse apropiadamente, pueshemos aceptado que un numero complejo z es una raız n-esima de w si,y solo si la n-esima potenica de z es igual a w.

Supongamos que

w = R(cos Θ + ı sin Θ), 0 ≤ Θ < 2π.

Definimos

zk = zk(w) = R1/n

(cos(

Θ + 2π(k − 1)n

)+ ı sin

(Θ + 2π(k − 1)

n

)),

(3.3)para 1 ≤ k ≤ n, como consecuencia de la formula de D’Moivre tenemos que

(zk(w))n = w

3.4. FUNCIONES 101

para toda k. De donde, la formula (3.3) define n valores posibles para la raızn-esima de w.

Notamos que los puntos

z1(w), z2(w), . . . , zn(w)

forman los vertices de un polıgono regular de n lados cuyo centro se situa enel origen de coordenadas. Ademas, este polıgono varıa continuamente conla variable w. En particular, si w describe la circunferencia con centro en elorigen de radio R en forma tal que argw se incrementa por 2π, entoncs laconfiguracion de las raıces fira alrededor de su centro un angulo de 2π/n.Ası, deja la configuracion invariante, lo cual implica que las diversas de-terminaciones de las raıces pueden permutarse. Esto es zk(w) se convierteen

R1/n

(cos(

Θ + 2π + 2π(k − 1)n

)+ ı sin

(Θ + 2π + 2π(k − 1)

n

))obteniendose una permutacion cıclica de las raıces

z1 → z2, z2 → z3, . . . , zn−1 → zn, zn → z1.

Si permitimos que Θ se incremente, encontramos que cada raız cambia con-tinuamente y despues de j circuitos, zk es llevado en zk+j , donde el subındicej + k se reemplaza por el ultimo residuo positivo modulo n. Despues de ncircuitos, zk se transforma en zn+k = zk, por lo que las raıces regresan a suposicion inicial.

Para transformar a zk(w) en una funcion univaluada de w hay dos al-ternativas posibles: en primer lugar, podemos restringir el dominio de w,en segundo lugar podemos considerar w sobre la superficie de Riemann Rconstruida en la seccion anterior, en vez del plano w.

De acuerdo con la primera opcion, si D es un dominio en el plano w talque si Π es un polıgono cerrado simple arbitrario los puntos que pertenecena D entonces w = 0 nunca es un punto de Π o de su interior. Si w0 ∈ D y Θ0

es un valor de argw0, la funcion argw ≡ Θ esta determinada univocamenteen D por la condicion de ser una funcion continua en la variable w y tomarel valor Θ0 para w = w0.

La funcion zk(w) definida por (3.3) usando este valor de Θ esta definidaen forma unica y es continua para w ∈ D. En particular D puede elegirsecomo el sector

0 < argw < 2π


y usar (3.3).La segunda alternativa es permitir que w tome valores sobre la superficie

de Riemann R construida en la seccion anterior. Entonces a cada punto w0

de esta superficie le corresponde un unico punto z0 en el plano z el cual esla raız n-esima de w0. Si w0 ∈ Sk, entonces z0 = zk(w0). Como la aplicaciondel plano z sobre R es biyectiva y respeta angulos salvo en cero e infinito, lafuncion inversa tiene las mismas propiedades. Ası, la superficie de RiemannR construida en la seccion anterior, es el dominio de la funcion z(w) = n

√w.

Capıtulo 4

Aplicaciones Conformes

Una aplicacion conforme es aquella que preserva angulos en cada puntode su dominio. Las aplicaciones conformes han sido utilizadas por matema-ticos, cartografos y fısicos para deformar regiones, en forma tal, que la formade las regiones se preserva a pequena escala.

En el presente capıtulo, extenderemos la nocion de C-derivada al caso defunciones con dominio y valores en la esfera de Riemann, interpretando sobreesta la propiedad de conservacion de los angulos orientados que tienen lasfunciones con derivada no nula, estudiaremos el comportamiento general delas aplicaciones conformes C∞-valuadas defnidas sobre un abierto Ω ⊂ C∞,ası como una familia especial de este tipo de aplicaciones, conocidas comolas transformaciones de Mobius. En el capıtulo 5 estudiaremos el teoremadel modulo maximo (5.4.3) con el que se demuestra el lema de Schwarz(5.4.2) que tiene como consecuencias la caracterizacion de los automorfismosconformes del disco unitario ∆ = z; |z| < 1 (vease proposicion 5.4.2),ası como del semiplano superior H+ = z; Imz > 0 (vease proposicion5.4.3).

Tenemos ahora el problema de determinar cuando dos subconjuntosabiertos de C∞ son conformemente equivalentes, y caracterizar aquellos queson conformemente equivalentes al disco unitario. Dado un abierto Ω ⊂ C∞el problema de encontrar un isomorfismo conforme entre Ω y un abierto massencillo Ω′ tiene gran trascendencia desde el punto de vista de las aplica-ciones. El isomorfismo conforme permite efectuar un cambio de variable conel que cierto problema, planteado inicialmente en Ω, se puede convertir enun problema similar, planteado en Ω′, el cual es mas sencillo de trabajar.

103

104 CAPITULO 4. APLICACIONES CONFORMES

4.1. Introduccion.

La cartografıa estudia el problema de transferir las distancias medidassobre la superficie de la tierra, la cual es una superficie con curvatura en unmapa, el cual resulta ser una superficie plana. Los metodos que se utilizanpara realizar este trabajo se denominan proyecciones. Algunas proyeccionesson tales que, los angulos y consecuentemente las formas, son tan cercanasa la realidad como sea posible. Las aplicaciones que preservan angulos sedenominan conformes.

Historicamente, la proyeccion desarrollada en 1569 por Gerhardus Mer-cator, es una proyeccion cilindrica conforme. Este tipo de transformacionesproduce considerables distorsiones en latitudes grandes, pero tiene la venta-ja que las rutas del compas son consistentes en todos los puntos del mapa,cualquier trayectoria a lo largo de una direccion del compas aparece comouna lınea recta en la proyeccion de Mercator, lo cual sigue utilizandose comola base de las cartas de navegacion. En particular este hecho mostraba quelas aplicaciones conformes definidas sobre superficies son aplicaciones masflexibles que las isometrıas, o las aplicaciones lineales.

Gauss confirmo este hecho en su trabajo “A general solution to the prob-lem of mapping parts of a given surface onto another surface such that theimage and the mapped parts are similar in the smallest part”. En esenciaeste resultado nos habla de la existencia de coordenadas isotermas en el casoanalıtico. Cabe recalcar que este estudio precede y es en parte motivado porel trabajo de Gauss en el que se desarrolla la nocion de curvatura de unasuperficie. Otro hecho importante es la conexion que hay entre las coorde-nadas isotermas y las funciones holomorfas en una variable compleja, porejemplo, la proyeccion de Mercator basicamente esta dada como z 7→ log z,la cual es holomorfa. El aspecto global de esta teorıa lo constituyen las su-perficies de Riemann. La relacion entre lo local y lo global es uno de losprincipales objetivos de la geometrıa conforme: a saber, poder entender lageometrıa diferencial desde un punto de vista clasico, es decir, separar losaspectos analıticos de los topologicos para entenderlos de la mejor formaposible, y relacionarlos con las nociones primitivas de la geometrıa talescomo angulo, distancia, area, lıneas rectas (geodesicas), etcetera. Las apli-caciones conformes tambien han sido utilizadas para estudiar problemas defluidos en dos dimensiones. La idea, que se encuentra detras del analisis delaleron por transformaciones conformes, consiste en relacionar el flujo de uncampo alrededor de una region conocida al campo del flujo de un aleron. Lafigura conocida mas usada es el cırculo, ası el problema consiste en encon-

4.2. DERIVADA EN ∞ 105

trar una funcion holomorfa que relacione cada punto del disco con un puntocorrespondiente del aleron. Por ejemplo, Jaukowski noto que la aplicacionz 7→ z + 1/z transforma el cırculo unitario en una especie de ala. Tomandoel origen en diversos puntos del disco se pueden producir distintos tipos dealerones.

4.2. Derivada en ∞

En esta parte, daremos la definicion de C-derivada en ∞, asimismo, sia ∈ C∞ es un punto tal que f(a) =∞, definiremos f ′(a).

Definicion 4.2.1. Sea Ω ⊂ C∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω, diremos queuna funcion f : Ω → C es C−derivable en ∞ cuando la funcion auxiliarF (z) = f(1/z) esta definida en una vecindad de z = 0 y es C-derivable enz = 0. En este caso se define f ′(∞) = F ′(0).

Por ejemplo, si q(z) = b0 + b1z + . . . + bmzm es un polinomio de grado

m, con bm 6= 0, entonces f(z) = 1/q(z) es una funcion C-diferenciable enC∞ \ z; q(z) = 0, y si se define f(∞) = 0, podemos considerar la funcion

F (z) = f

(1z

)=

zm

b0zm + b1zm−1 + . . .+ bm.

Como bm 6= 0, claramente F (z) esta definida en una vecindad de cero, yF (0) = 0, y como

F ′(z) =

zm−1

(m∑k=1

kbkzm−k

)(

m∑k=0

bkzm−k

)2 ,

entonces F ′(0) = 0 , esto es, F ′ esta bien definido en z = 0, de donde f esC-derivable en ∞.

De manera mas general, si p(z), q(z) ∈ C[z] son polinomios sin ceroscomunes, entonces f(z) = p(z)/q(z) es C-derivable si q(z) 6= 0, y hay unasingularidad aislada en∞. La singularidad es removible cuando, y solo cuan-do, m = deg q − deg p ≥ 0. Si se elimina la singularidad y ademas m ≥ 1,entonces ∞ es un cero de f de multiplicidad m.

Definicion 4.2.2. Sea Ω ⊂ C∞ un conjunto abierto, a ∈ Ω, y sea f : Ω→C∞ una funcion.


1. Si f(a) ∈ C, se dice que f es C-derivable en a cuando existe r > 0 talque f(B(a, r)) ⊂ C y f restringida a B(a, r) es C-derivable en a en elsentido usual.

2. Si f(a) = ∞, se dice que f es C-derivable en a cuando la funcion1/f es C-derivable en a segun la definicion (i). En este caso f ′(∞) :=(1/f)′(a).

Cabe notar que en la definicion anterior cabe la posibilidad de que a =∞.En este caso, si f(∞) = ∞, que f sea C-derivable en ∞ significa que lafuncion auxiliar F (z) = 1/f(1/z) es derivable en 0, y ademas f ′(∞) = F ′(0).

Observese que si f es C-derivable en a ∈ Ω ⊂ C∞, entonces f es continuaen a. Esto es obvio cuando a y f(a) son finitos, y en otro caso, cuando a =∞o f(a) = ∞, basta tener en cuenta lo anterior y que la aplicacion z 7→ 1/zes una isometrıa de C∞.

Ejemplo 6.

Si

f(z) =

p(z)q(z)

si q(z) 6= 0

f(z) =∞ si q(z) = 0lımz→∞

f(z) si z =∞

es una funcion racional, con p, q ∈ C[z] sin ceros comunes, entonces f esC-derivable en cada a ∈ C∞.

Ya sabemos que f es C-derivable si z ∈ C con q(z) 6= 0, ası bastara verque si f(a) = ∞ entonces f es C-derivable a. Si q(a) = 0, como p y q notienen ceros comunes, entonces p(a) 6= 0, ası en una vecindad de a ten-emos que la funcion 1/f(z) = q(z)/p(z) es C-derivable en z = a. Por otraparte, si f(∞) = ∞, entonces deg p − deg q ≥ 1 y, de acuerdo con lo vistoanteriormente 1/f(z) = q(z)/p(z) es C-derivable en ∞.

Ejemplo 7.

Si g y h son funciones holomorfas en un abierto conexo Ω ⊂ C∞ sin

ceros comunes, entonces f(z) =g(z)/h(z) si h(z) 6= 0∞ si h(z) = 0

es C-derivable

en cada a ∈ C∞.Ası, bastara ver que f es C-derivable en a cuando f(a) = ∞. En el

caso a 6= ∞ el resultado es inmediato; si a = ∞ ∈ Ω bastara considerarf(1/z) = g(1/z)/h(1/z) la cual, de acuerdo con lo discutido anteriormente,es C-derivable en a = 0.

4.3. APLICACIONES CONFORMES 107

Lema 4.2.1. Sea Ω ⊂ C∞ un conjunto abierto, y sea f : Ω → C∞ unafuncion. Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. f es C-derivable para cada z ∈ Ω.

2. Para cada a ∈ Ω existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω y una de las dosfunciones f , 1/f toma valores finitos en B(a, r) y es C-derivable en elsentido usual.

Demostracion. Si f es C-derivable en cada z ∈ Ω, entonces f es continua enΩ, por lo que si f(a) ∈ C para cada a ∈ Ω, existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ωy f(B(a, r)) ⊂ C, luego entonces f es C-derivable en el sentido usual enB(a, r). Por otra parte, si f(a) = ∞, entonces 1/f(a) = 0, y razonando demanera similar, existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω y (1/f)(B(a, r)) ⊂ C. Esdecir, 1/f es C-derivable en el sentido usual para cada b ∈ B(a, r): la afir-macion es obvia cuando f(b) = ∞, y es consecuencia de la C-derivabilidadde f en b cuando f(b) 6=∞.

Recıprocamente, si f(B(a, r)) ⊂ C, el resultado es trivial. Por otra parte,si (1/f)(B(A, r)) ⊂ C entonces f(z) 6= 0 para todo z ∈ B(A, r) y paraver que f es C-derivable en cada b ∈ B(a, r) basta considerar los casos1/f(b) = 0 y 1/f(b) 6= 0. En el primer caso, al ser f(b) =∞ se obtiene quef es C-derivable en b en virtud de la definicion (4.2.2), y en el segundo casoaplicando las reglas de la derivabilidad usual de un cociente

4.3. Aplicaciones Conformes

Consideremos la funcion holomorfa f : C → C dada por f(z) = z2,identificando R2 con C via µ−1(x, y) = x+ iy = z nos permite ver a f comou(x, y) + iv(x, y), donde u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2xy, si consideramoslas lıneas x = c (y arbitraria ), tenemos que u = c2−y2 y v = 2cy, de dondev2 = 4c2y2 = 4c2(c2 − u), mientras que las lıneas y = d (x arbitaria ) setransforman en las parabolas v2 = 4d2(u+ d2).

Estas parabolas se intersectan ortogonalmente en los puntos (c2−d2,±|2cd|),como se muestra en la Figura (4.1)

Este ejemplo se genero utilizando el programa “maple”dando los siguien-tes comandos:> with(plots);> conformal(z∧2,z=0..2+2*I);

El hecho que se preserven los angulos, no es un fenomeno exclusivo delas lıneas que elegimos, o de la funcion en si, el hecho de que se preserven


Figura 4.1: Geometrıa de la funcion f(z) = z2

los angulos es una propiedad, denominada conforme, que exploraremos demanera general en la presente seccion.

Cabe notar que cuando c tiende a cero, la parabola v2 = −4c2(u − c2)tiende al eje real negativo, union el cero. Esto se debe a que la funcion g(z) =z1/2 tranforma el conjunto abierto G := C\x ∈ R;x ≤ 0 sobre el conjuntoz ∈ C;Re(z) > 0, y en particular las lıneas x = ±c se transforman en lamisma parabola.

Podemos examinar con mas detalle esta funcion, por ejemplo, del capıtu-lo anterior sabemos que f transforma el cırculo con centro en el origen yradio r > 0 en el cırculo con centro en el origen y radio r2. Aun mas, siconsideramos la expresion polar de un punto z0 = r exp(ıθ) ∈ C \ 0 larecta que va del origen a z0 bajo f se transforma en la recta que pasa porel origen y el punto z1 = r2 exp(2ıθ).

Luego entonces, si tomamos el sector S(α, β) := z ∈;α < arg(z) < βcon 0 < β − α < π, como consecuencia de lo anterior vemos que, bajo f ,este sector se transforma en el sector S(2α, 2β), por lo que en este casoparticular, a diferencia del anterior, no se preservo el angulo β − α, esto sedebe a que la funcion f deja de ser conforme en el origen.

Esta pequena discusion nos da una idea de la natrualeza de la funcionf(z) = z2, y nos orienta sobre el comportamiento general de la teorıa de lastransformaciones holomorfas.

Definicion 4.3.1. Una trayectoria (o curva) en una region Ω ⊂ C∞ es unafuncion continua γ : [a, b]→ Ω, para algun intervalo [a, b] ⊂ R, con interior


no vacıo, es decir a < b.Diremos que γ es una curva cerrada si γ(a) = γ(b).Diremos que γ es una curva simple si γ es inyectiva, esto es, si s, t ∈ [a, b]

con s 6= t, entonces γ(s) 6= γ(t).Diremos que γ es una curva cerrada simple si s, t ∈ (a, b) con s 6= t,

entonces γ(s) 6= γ(t) y γ(a) = γ(b). Una curva cerrada simple tambien sedenomina curva de Jordan.

Decimos que γ es una curva suave si γ′(t) existe y es continua, para cadat en el interior del intervalo [a, b].

Finalmente, se dice que γ es una curva suave por partes si γ es continuay existe una particion a = t0 < t1 < ... < tn = b del intervalo I = [a, b], talque γ es suave sobre cada subintervalo (ti−1, ti), con 1 < i < n.

Una curva cerrada simple es homeomorfa a una circunferencia, esto es,hay una funcion biyectiva y bicontinua de uno en otro. Como una circunfe-rencia separa el plano, esta propiedad se hereda a las curvas de Jordan.

Teorema 4.3.1 (Teorema de la curva de Jordan). Si γ : [a, b]→ C es unacurva cerrada simple, el complemento de γ es la union de dos conjuntosabiertos conexos mutuamente excluyentes, y cada punto de γ es un puntofrontera de cada dominio.

Uno de los dominios determinado por γ es acotado, y se denomina elinterior de la curva, el otro, es no acotado, y se denomina el exterior de lacurva

Recordamos que, dada una trayectoria suave γ : [a, b]→ C, y t0 ∈ (a, b),un punto tal que γ′(t0) 6= 0, entonces γ tiene una lınea tangente en el puntoz0 = γ(t0), a saber, la lınea que pasa por el punto z0 con vector de direccionγ′(t0), o equivalentemente, con pendiente tan(arg(γ′(t0))).

Definicion 4.3.2. Si γ1 : [a, b] → C y γ2 : [c, d] → C son dos trayectoriassuaves en C que pasan por el punto z0, es decir γ1(t1) = z0 = γ2(t2) cont1 ∈ (a, b), t2(c, d), y γ′k(tk) 6= 0 para k = 1, 2, definimos el angulo entre lascurvas γ1 y γ2 en el punto z0 como

arg(γ′2(t2))− arg(γ′1(t1))

Si γ : [a, b] → Ω es una trayectoria suave, con Ω ⊂ C abierto, y f :Ω → C es una funcion C−diferenciable definida en Ω, entonces σ := f γtambien es una trayectoria suave, y como consecuencia de la regla de lacadena σ′(t) = f ′(γ(t))′γ′(t). Si para t0 ∈ (a, b) denotamos γ(t0) = z0, y


suponemos que γ′(t0) 6= 0 y f ′(z0) 6= 0, entonces σ′(t0) 6= 0, aun mas,arg[σ′(t0)] = arg[f ′(z0)] + arg[γ′(t0)].

Luengo entonces, si γ1, γ2 son dos trayectorias suaves que pasan porz0 = γ1(t1) = γ2(t2), y γk(tk) 6= 0 para k = 1, 2 y σk = f γk, y sisuponemos ademas que γ1(t1) 6= γ2(t2), entonces

arg[f ′(z0)] = arg[σ′1(t1)]− arg[γ′1(t1)] = arg[σ′2(t2)]− arg[γ′2(t2)],

o quivalentemente

arg[σ′2(t2)]− arg[σ′1(t1)] = arg[γ′2(t2)]− arg[γ′1(t1)]

Esto significa que, f transforma cualesquiera dos trayectorias que pasenpor z0 en dos trayectorias que pasan por f(z0) y, cuando f ′(z0) 6= 0, losangulos de las trayectorias se preservan en magnitud y direccion, esto es:

Teorema 4.3.2. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, y f una funcion C−dife-renciable definida en Ω. Entonces f preserva angulos en cada punto z0 ∈ Ωdonde f ′(z0) 6= 0.

Ası, la funcion f(z) = z2 preserva angulos, en magnitud y direccion,si z0 6= 0. Mientras que la funcion f(z) = z + 1/z preserva angulos, enmagnitud y direccion, si f ′(z) = 1− 1/z2 6= 0, esto es, si z0 6= ±1.

Definicion 4.3.3. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, z0 ∈ Ω, y f una funcionC−valuada definida en Ω. Diremos que f es una aplicacion conforme en z0

si, f tiene la propiedad de preservar angulos, en magnitud y direccion, en elpunto z0, y ademas existe el siguiente lmite:

lımz→z0

|f(z)− f(z0)||z − z0|

Diremos que f es conforme en Ω, si f es conforme en z para cada z ∈ Ω.

En particular, si f es C−diferenciable y f ′(z) 6= 0 para cada z, entonceses conforme.

La funcion exponencial es conforme en todo C. Si consideramos las rectasverticales z = a+ıy con a ∈ R fijo, entonces f(z) = eaeıy son circunferenciascon centro en el origen y radio ea.

Mientras que, la imagen de la recta horizontal z = x+ ıb esta dada comof(x) = exeıb la semirecta que forma un angulo b con el eje real positivo. Enla figura 4.2 mostramos el comportamiento de una familia de rectas.

Cuando f ′(z0) = 0, no necesariamente se preservan los angulos. Si f :Ω→ C es una funcion C−diferenciable, un punto z0 ∈ Ω donde f ′(z0) = 0 se


Figura 4.2: Geometrıa de la funcion f(z) = exp z

denomina un punto singular. La conducta de una funcion C−diferenciableen una vecindad de un punto singular es un tema muy interesante, y seestudiara posteriormente.

Proposicion 4.3.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto no vacıo, f : Ω → Cuna funcion, y denotemos por Ω′ = Imf . Si f : Ω → Ω′ es conforme ybiyectiva, entonces f−1 : Ω′ → Ω tambien es conforme.

Demostracion. Como f es biyectiva, f−1 existe. Como consecuencia del teo-rema de la funcion inversa, f−1 es C-diferenciable , y

df−1(w)dw

=1

df(z)dz

donde w = f(z).

Como f es conforme f ′(z) ∈ C\0, se sigue quedf−1(w)dw

6= 0, consecuente-

mente, f−1 es conforme.

Proposicion 4.3.2. Sean Ωk ⊂ C, abiertos no vacıos para k = 1, 2, 3, y seanfk : Ωk → Ωk+1 funciones C−diferenciables, si k = 1, 2. Supongamos que f1

y f2 son conformes y biyectivas, entonces f2 f1 : Ω1 → Ω3 es conforme ybiyectiva.

Demostracion. Como f1 y f2 son biyectivas y C−diferenciables, entoncesf2 f1 es biyectiva y C−diferenciables. Como consecuencia de la regla de lacadena (f2 f1)′(z) = f ′2(f1(z)) · f ′1(z) 6= 0, lo cual implica que f2 f1 esconforme.


Corolario 4.3.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto no vacıo. El conjunto delas transformaciones C−diferenciables, conformes y biyectivas, f : Ω → Ω,constituye un grupo bajo la composicion de funciones.

Uno de los resultados basicos referentes a la teorıa de las aplicacionesconformes es el teorema de la aplicacion abierta de Riemann, el cual no de-mostramos en el presente capıtulo, simplemente lo enunciaremos, y daremosuna referencia donde puede leerse su demostracion.

Riemann enuncio, alrededor del ano 1900, el teorema de la aplicacionabierta en su disertacion Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Func-tionene einer veranderlichen complexen Grosse. Collected Works, 3-45, paralo que actualmente conocemos como superficies de Riemann compactas confrontera, siendo dicho teorema mas general que la version usual que enun-ciamos en la presente seccion. El basa su demostracion en el principio varia-cional de la ecuacion ∆u = 0, aunque segun observo Weierstrass, Riemannno justifica su principio, siendo Hilbert quien, en 1904, da la justificaciondel mismo en su artıculo Uber das Dirichletsche Prinzip. Math. Annalen 59(1904), 161-186. Collected Works, vol. 3, pp. 15-37.

La version que a continuacion enunciamos es una caso especial del teore-ma de la aplicacion abierta de Riemann, la cual fue demostrada por Osgooden 1900.

Teorema 4.3.3 (Teorema de la aplicacion abierta de Riemann). Si Ω esun subconjunto abierto, simplemente conexo de C, y si Ω 6= C , existe unaaplicacion conforme y biyectiva f : Ω→ ∆, donde ∆ = z ∈; |z| < 1 denotael disco unitario. Ademas, para cada z0 ∈ Ω, fijo, podemos encontrar unaunica f tal que f(z0) = 0 y f ′(z0) > 0. [A, Chap. 6, pg. 229-235]

Definicion 4.3.4. Si Ωk & C son abiertos y conexos, k = 1, 2. Diremos queΩ1 y Ω2 son conformes si, existe una transformacion conforme y biyectivade Ω1 en Ω2.

El teorema de la aplicacion abierta de Riemann implica que dos regionessimplemente conexas, propiamente contenidas en C, son conformes.

En la Figura (4.3) mostramos el efecto de algunas aplicaciones conformessobre determinadas regiones en el plano.


Figura 4.3: Geometrıa de transformaciones conformes

4.3.1. Transformaciones conformes en la esfera de Riemann

Despues de haber extendido la nocion de derivada al caso de funcionesdefinidas en un abierto Ω ⊂ C∞ con valores en C∞ consideramos aquı elsignificado geometrico de la condicion f ′(a) 6= 0. Cuando a = ∞, o bi-en, cuando f(a) = ∞ la interpretacion geometrica se logra a traves de laaplicacion inducida mediante la proyeccion estereografica en la esfera deRiemann.


El hecho de que las transformaciones derivables en sentido generalizadocon derivada no nula inducen en la esfera de Riemann aplicaciones que con-servan angulos orientados es la principal motivacion para la definicion (4.2.2)de funcion C-derivable en ∞ (o en un punto a con f(a) = ∞). La nocionde angulo orientado de un par de vectores no nulos se puede dar en todoespacio euclideano orientado de dimension dos, despues de identificarlo conC mediante una base ortonormal positiva. Si E1, E2 son espacios euclideanosorientados de dimension dos, dada una aplicacion f : U → E2 definida enun abierto U ⊂ E1, se puede extender la nocion de preservacion de angulosorientados en un punto a ∈ U . En este contexto se sigue cumpliendo queuna aplicacion lineal L : E1 → E2 conserva angulos orientados si y solo si esno singular y el angulo orientado de cada par ordenado de vectores no nulos(w1, w2) de E coincide con el de sus imagenes (L(w1), L(w2)). Despues deesto, la nocion de aplicacion que preserva angulos orientados en un punto sepuede extender al caso de una aplicacion F : U → C∞ cuyo dominio U esun abierto de la esfera de Riemann C∞ = v ∈ R3; |v| = 1. Dado un puntop ∈ C∞ sea Ep ' C el espacio vectorial tangente a C∞ en p dotado de laestructura euclideana inducida por la del espacio ambiente R3 en el que seconsidera inmerso, y orientado mediante el vector normal entrante, es decir,u1, u2 es base positiva de Ep cuando u1, u2, n es base positiva para laorientacion canonica de R3, siendo n un vector normal entrante a C∞ en p.

Una aplicacion F definida en un abierto U ⊂ C∞, con valores en C∞ sedice que conserva angulos orientados en p ∈ U cuando ocurre lo siguiente:Si γ1, γ2 : [−ε, ε] → U son dos curvas derivables por p = γ1(0) = γ2(0) convectores tangentes no nulos v1 = γ′1(0), v2 = γ′2(0) entonces sus imagenesson caminos derivables por q = F (p), con vectores tangentes no nulos w1 =(F γ1)′(0), w2 = (F γ2)′(0) y el angulo orientado del par (w1, w2) coincidecon el angulo orientado del par (v1, v2). A la hora de interpretar, sobre laesfera de Riemann, el significado geometrico de las aplicaciones conformesconviene tener presente que la proyeccion estereografica conserva angulosorientados (vease el teorema 1.9.2) segun la anterior definicion.

Definicion 4.3.5. Una funcion f : Ω → C∞ se dice que es conforme enel abierto Ω ⊂ C∞ si f es derivable en cada z ∈ Ω con f ′(z) 6= 0. Unisomorfismo conforme del abierto Ω1 ⊂ C∞ sobre el abierto Ω2 ⊂ C∞ esuna aplicacion biyectiva f : Ω1 → Omega2 tal que f y f−1 son conformes.

En la proxima seccion, estudiaremos las transformaciones de Mobius, ydemostraremos que estas transformaciones son conformes en C∞.

4.4. TRANSFORMACIONES DE MOBIUS. 115

4.4. Transformaciones de Mobius.

En la presente seccion estudiamos una familia especial de aplicacionesconformes, ası como la forma de obtener aplicaciones conformes especıficasentre dos regiones dadas.

Uno de los ejemplos mas simples, y utiles, de aplicaciones conformes quediscutiremos son las fraccionales lineales, esto es aplicaciones de la forma:

T (z) =az + b

cz + d,

con a, b, c y d numeros complejos tales que ad − bc 6= 0. Este tipo de apli-caciones fueron utilizadas por Mobius en 1853 para estudiar una clase deaplicaciones geometricas la cual denomino Kreisverwandtschaften. Este tipode aplicaciones tambien se denominan homografıas.

Definicion 4.4.1. Una aplicacion fraccional lineal

T (z) =az + b

cz + d

es una aplicacion de Mobius si los numeros complejos a, b, c y d satisfacenla condicion adicional ad− bc 6= 0

La condicion ad− bc 6= 0 simplemente nos dice que la aplicacion T no esconstante.

Notese que

lımz→ d

c

∣∣∣∣az + b

cz + d

∣∣∣∣ =∞, y lımw→a

c

∣∣∣∣−dw + b

cw − a

∣∣∣∣ =∞

Esto permite extender la transfomracion de Mobius T : C \ −d/c → Ca la transformacion T : C∞ → C∞ como sigue:

T (z) =

az + b

cz + dsi z ∈ C \ −d/c

∞ si z = −d/ca

csi z =∞

Proposicion 4.4.1. Si T (z) =az + b

cz + des una aplicacion de Mobius, en-

tonces T es conforme y biyectiva de C∞ sobre C∞.


Demostracion. Si definimos

S(z) =

dz − b−cz + a

si z ∈ C \ a/c∞ si z = a/c−d/c si z =∞

,

podemos ver facilmente que T S(z) = S T (z) = z. Por lo que S = T−1 esla aplicacion inversa de T , y es claro que T−1 tambien es una aplicacion deMobius.

Si z0 ∈ C \ −d/c, entonces T ′(z0) =ad− bc

(cz0 + d)26= 0, por lo que T es

C-diferenciable si z 6= −d/c.Para estudiar la conformidad de T en los puntos −d/c e ∞, considera-

remos primeramente el caso c 6= 0.De acuerdo con las definiciones (4.2.2) y (4.3.5) T es conforme en ∞ si

t(z) = T (1/z) es conforme en z0 = 0, pero

t(z) = T

(1z

)=a+ bz

c+ dz

de donde

t′(z) =bc− ad

(c+ dz)2, de donde t′(0) =

bc− adc

6= 0

Es decir, T es conforme en ∞.Por otra parte, si z = −d/c, aplicando las definiciones (4.2.2) y (4.3.5) T

es conforme en z0 = −d/c si t(z) = 1/T (z) es conforme en z0 = −d/c. Pero

t(z) =1

T (z)=cz + d

az + by t′(z) =

cb− ad(az + b)2

.

Ası, t′(−dc

)=

c2

bc− ad.

Finalmente, si c = 0, podemos escribir la transformacion T (z) comoT (z) = az + b con T (∞) = ∞, en particular T ′(z) = a 6= 0 si z ∈ C.Finalmente, para verificar que T es conforme en z0 =∞, tenemos que

t(z) =1

T (z)=

z

a+ bz, con t(0) = 0

de dondet′(z) =

a

(a+ bz)26= 0

Por lo cual t es conforme en 0, es decir, T es conforme en z0 =∞.


Es claro que el conjunto de las aplicaciones de Mobius T : C∞ → C∞constituye un grupo bajo la composicion, el cual denotaremos Mob. Porotra parte, si GL(2,C) denota el grupo de matrices invertibles, 2 × 2 concoeficientes complejos, tenemos un homomorfismo de grupos ψ : Gl(2,C)→Mob, dado como:

ψ

(a bc d

)=az + b

cz + d

Ademas, si T (z) =az + b

cz + des una aplicacion de Mobius, y λ ∈ C \ 0,

entoncesT (z) =

λaz + λb

λcz + λd

esto es, los coeficientes a, b, c y d no son unicos.A nivel de grupos esto significa que el homomorfismo ψ no es inyectivo,

y tiene nucleo kerψ = λ · I2 ∈ GL(2, );λ ∈ C \ 0, donde I2 denotala matriz identidad 2 × 2. Consecuentemente, el grupo Mob es isomorfo algrupo GL(2,C)/ kerψ.

Podemos destacar algunos casos especiales de aplicaciones de Mobius, asaber:

Definicion 4.4.2. Si T : C∞ → C∞ es una aplicacion de Mobius, entonces:

1. Si T (z) = z + b, T se denomina una traslacion;

2. Si T (z) = az, con a > 0, y a 6= 1, entonces T se denomina unadilatacion;

3. Si T (z) = eiθz, con θ ∈ R, T se denomina una rotacion;

4. Si T (z) = az, con a ∈ C \ 0, T se denomina una homotecia, enparticular, una homotecia es una composicion de rotaciones y dilata-ciones; finalmente

5. Si T (z) = 1/z, T se denomina una inversion.

Geometricamente hablando: Una traslacion por b ∈ C mueve un pun-to z ∈ C una distancia |b| en la direccion arg b, solo el punto al infinitopermanece invariante bajo traslaciones.

Una dilatacion expande el plano si a > 1, y lo contrae si a < 1. Solo elorigen y el punto al infinito permanecen invariantes bajo dilataciones.

Una rotacion por un angulo θ, gira todo punto z alrededor del origen unangulo θ, y solo deja invariantes el origen y el punto al infinito.


Una inversion es la composicion de dos reflexiones, la primera sobre eleje real y la segunda sobre la circunferencia unitaria, aunque ninguna deestas aplicaciones sea una transformacion de Mobius. Los puntos z = ±1son sus unicos puntos fijos.

Proposicion 4.4.2. Si T es una aplicacion de Mobius, entonces T es lacomposicion de traslaciones, homotecias e inversiones.

Demostracion. Si c = 0, entonces T (z) =a

dz +

b

d, definamos T1(z) =

a

dz y

T2(z) = z +b

d. Claramente T = T2 T1.

Si c 6= 0, definamos:

T1(z) = z +d

c, T2(z) =

1z, T3(z) =

bc− adc2

z y T4(z) = z +b

d,

entonces T = T4 T3 T2 T1.

Notamos ademas que, si T (z) =az + b

cz + des una aplicacion de Mobius,

entonces T (z) = z si, y solo si, az + b = z(cz + d), lo cual implica cz2 +(d − a)z − b = 0, como esta ecuacion es cuadratica, concluimos que: unatransformacion de Mobius, distinta de la identidad, tiene a lo mas dos puntosfijos, o equivalentemente, si una transformacion de Mobius fija al menos trespuntos, entonces es la identidad Id(z) = z.

Si T es una aplicacion de Mobius, a, b, c ∈ C∞ son tres puntos distintoscon α = T (a), β = T (b) γ = T (c) y S es otra aplicacion de Mobius tal queα = S(a) β = S(b) γ = S(c), entonces S−1 T fija los puntos a, b y c, porende S−1 T = Id, de donde S = T . En resumen:

Proposicion 4.4.3. Una aplicacion de Mobius esta determinada, en formaunica, por su accion sobre cualesquiera tres puntos distintos en C∞.

Si z2, z3, z4 ∈ C∞ y k 6= l, definamos T : C∞ → C∞ como:

T (Z) =

(z − z3)(z2 − z4)(z − z4)(z2 − z3)

si z2, z3, z4 ∈ C

z − z3

z − z4si z2 =∞

z2 − z4

z − z4si z3 =∞

z − z3

z2 − z3si z4 =∞


En cualquiera de estos casos T (z2) = 1, T (z3) = 0 y T (z4) =∞, ademasT es la unica aplicacion de Mobius con esta propiedad.

Definicion 4.4.3. Si z1 ∈ C∞, entonces (z1, z2, z3, z4), la razon cruzada dez1, z2, z3 y z4, es la imagen de z1 bajo la unica aplicacion de Mobius quetransforma z2 en 1, z3 en 0 y z4 en ∞.

Por ejemplo (z2, z2, z3, z4) = 1; (z3, z2, z3, z4) = 0 y (z, 1, 0,∞) = z.Ademas, si T es cualquier aplicacion de Mobius y w2, w3 y w4 son pun-tos tales que T (w2) = 1, T (w3) = 0 y T (w4) = ∞, entonces T (z) =(z, w2, w3, w4).

Proposicion 4.4.4. Si z2, z3, z4 son puntos distintos en C∞, y T es cualquieraplicacion de Mobius, entonces

(z, z2, z3, z4) = (T (z), T (z2), T (z3), T (z4))

para cada z ∈ C∞.

Demostracion. Sea S(z) = (z, z2, z3, z4), la razon cruzada de z, z2, z3 y z4,entonces S es una transformacion de Mobius, tal que S(z2) = 1, S(z3) = 0 yS(z4) =∞. Si U = S T−1, entonces U(T (zk)) = (S T−1)(T (zk)) = S(zk),donde U(z) = (z, T (z2)), T (z3), T (z4)) para toda z ∈ C∞. En particular, siz = T (z1) tenemos (z, z2, z3, z4) = (T (z), T (z2), T (z3), T (z4)).

Corolario 4.4.1. Si z2, z3, z4 son puntos distintos en C∞, y w2, w3, w4 tam-bien son puntos distintos en C∞, entonces existe una unica aplicacion deMobius T tal que T (zk) = wk, para k = 2, 3, 4.

Si pensamos C∞ como la compactificacion de C por medio de la proyec-cion estereografica, podemos ver que las lıneas rectas en C corresponden acırcunferencias en C∞ que pasan por ∞.

Proposicion 4.4.5. Una aplicacion de Mobius manda cırcunferencias encırcunferencias.

Demostracion. De acuerdo con la proposicion 4.4.2, podemos escribir Tcomo una composicion de traslaciones, homotecias e inversiones, concreta-

mente, T = T4T3T2T1, con T1(z) = z +d

c, T2(z) =

1z

, T3(z) =bc− adc2

z

y T4(z) = z +b

d, recordamos que las traslaciones (T1 y T4), y las homote-

cias (T3) transforman cırcunferencias en cırcunferencias, por lo que bas-tara ver que las inversiones transforman cırcunferencias en cırcunferencias.


De geometrıa analıtica basica sabemos que una circunferencia, o lınea, tienenecuacion

Ax+By + C(x2 + y2) = D

con A,B,C,D ∈ R, constantes, no todas cero. Sea z = x+ ıy, y supongamosz 6= 0, sea 1/z = u + iv, entonces u = x/(x2 + y2), y v = −y/(x2 + y2), laecuacion de la circunferencia es equivalente a:

Au−Bv −D(u2 + v2) = −C,

la cual tambien es una lınea o una circunferencia.

Proposicion 4.4.6. Si z1, z2, z3, z4 son cuatro puntos distintos en C∞, en-tonces (z1, z2, z3, z4) es un numero real si, y solamente si, los cuatro puntosestan en una circunferencia.

Demostracion. Si T (z) = C∞ → C∞ es la aplicacion T (z) = (z, z2, z3, z4);

entonces T (z) =az + b

cz + d; si z = x ∈ R, y w = T−1(x) 6= 1, entonces x =

T (w), de donde T (w) = T (w), es decir

aw + b

cw + d=aw + b

cw + d

lo cual implica

(ac− ac)|w|2 + (ad− bc)w + (bc− da)w + (bd− bd) = 0.

Si ac ∈ R, entonces ac − ac = 0; sean α = 2(ad − bc), β = ı(bd − bd), ymultiplicando la ecuacion anterior por ı tenemos

0 = Im(αw)− β = Im(αw − β)

pues β ∈ R. Esto es, w esta en la lınea determinada por la ecuacion anterior.Si ac no es real, la ecuacion

(ac− ac)|w|2 + (ad− bc)w + (bc− da)w + (dd− bd) = 0,

se transforma en

|w|2 + γw + γw − δ = 0

para algunas constantes γ ∈ C, δ ∈ R. En particular |w + γ| = λ, donde

λ = (|γ|2 + δ)1/2 =|ad− bc||ac− ac|

> 0.


Como γ y λ son independientes de x y como la ecuacion |w + γ| = λ es laecuacion de una circunferencia, concluimos que (z1, z2, z3, z4) es un numeroreal si, y solamente si, los cuatro puntos estan en una cricunferencia.

Corolario 4.4.2. Dadas dos circunferencias C y C′ en C∞, existe una apli-cacion de Mobius tal que T (C) = C′.

En particular, si ∆ = z ∈; |z| < 1, denota el disco unitario, podemosver que:

Proposicion 4.4.7. Cualquier aplicacion de la forma

T (z) = eiθz − z0

1− z0z

con z0 ∈ ∆ , y θ ∈ [0, 2π) fijos; es conforme y biyectiva de ∆ en ∆.

Demostracion. Verificaremos que, si T (z) = eiθz − z0

1− z0z, entonces T (∆) =

∆. Primeramente veremos que, si |z| = 1, entonces |T (z)| = 1. Como |z| = 1,entonces zz = 1, entonces:

|T (z)| =∣∣∣∣eiθ z − z0

1− z0z

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ z − z0

zz − z0z

∣∣∣∣ =1|z||z − z0||z − z0|

= 1.

Ademas z 7→ z − z0

1− z0zes C−diferenciable en C \ z−1

0 , y como |z0| < 1,

entonces |z−10 | > 1, es decir, z0 /∈ ∆.

Como T (z0) = 0 ∈ ∆, por continuidad T transforma el interior de ∆en el interior de ∆. Y como T es la restriccion a ∆ de una transformacionconforme, T es conforme de ∆ en ∆.

Posteriormente, cuando estudiemos el teorema del modulo maximo, de-mostraremos que toda aplicacion conforme y biyectiva de ∆ sobre ∆ es dela forma descrita en la porposicion anterior.

Proposicion 4.4.8. Sea H+ = z ∈ C; Imz > 0. Cualquier aplicacion dela forma

T (z) =az + b

cz + d

con a, b, c, d ∈ R, ad− bc > 0 es conforme y biyectiva de H+ en H+.


Demostracion. Si T es una aplicacion de la forma indicada en el enunciado,entonces T deja invariante el eje real extendido R∞, y como ImT (ı) =(ad− bc)/(c2 +d2) > 0, por conexidad, la imagen del semiplano superior H+

bajo T es el semiplano superior H+.Recıprocamente, si T deja invariante el semiplano superior, en particular

T (R∞) = R∞. Como los tres puntos z2 = T−1(0), z3 = T−1(1), z4 =T−1(∞) estan en R∞. Usando la formula de la razon cruzada para T (z) =(z, z2, z3, z4) tenemos que T (z) = (az + b)/(cz + d), donde a, b, c, d ∈ R yad− bc = (c2 + d2)Im (ı) > 0.

4.5. Simetrıa.

Recordamos que dado un punto (x, y) ∈ R2, el punto (x,−y) es simetricoa (x, y) con respecto al eje x, la aplicacion %(x, y) = (−y, x) es una aplicacionR− lineal, que preserva distancias.

De manera mas general, puede definirse simetrıa con respecto a cualquierotra lınea y = mx, como:

%θ(x, y) = (Rθ % R−θ)(x, y)

donde m = tan θ, y Rθ(x, y) = (x cos θ−y sin θ, x sin θ+y cos θ) es la rotacionque gira el plano un angulo θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Tambien podemos ver esta transformacion directamente de la ecuacionde la recta y = mx sin necesidad de utilizar el angulo θ, para lo cual,consideramos β = (1, 0), (0, 1) la base canonica de R2 y la base ortogonalβ′ = (1,m), (−m, 1), entonces la matriz de cambio de coordenadas de labase β′ en la base β esta dada como:

Q = [IR2 ]ββ′ =(

1 −mm 1

).

Ası

Q−1 = [IR2 ]β′

β =1

1 +m2

(1 m

−m 1

).

La matriz asociada a la transformacion %m que da la reflexion con re-specto a la recta y = mx es

[ρm]β′ = Q

(1 00 −1

)Q−1 =

11 +m2

(1−m2 2m

2m m2 − 1

)de donde ρm(x, y) =

11 +m2

((1−m2)x+ 2my, 2mx+ (m2 − 1)y)

4.5. SIMETRIA. 123

Finalmente, si deseamos reflejar con respecto a cualquier lınea y = mx+b, con b 6= 0 bastara considerar, de manera adicional, la traslacion tb(x, y) =(x, y− b), y considerar la composicion t−b %m tb para obtener el simetricode un punto con respecto a una recta. Ahora bien, podemos generalizar estaidea, y considerar el simetrico de un punto con respecto a una circunferenciacomo sigue:

Definicion 4.5.1. Sea C una circunferencia en C∞ que pase por los puntosz2, z3 y z4. Dados z, z∗ ∈∞, diremos que z∗ es el punto simetrico a z conrespecto a C si, y solo si, (z∗, z2, z3, z4) = (z, z2, z3, z4)

Cabe notar que, de manera similar al caso de las rectas en R2:

La definicion solo depende de C, y no de los puntos z2, z3 y z4.

z es el punto simetrico a z∗ con respecto a C.

Los puntos de C son los unicos que son simetricos a ellos mismos.

La tranformacion z 7→ z∗ es biyectiva, y se denomina la reflexion conrespecto a C.

Para ver que esto realmente una generalizacion del cado descrito anteri-ormente, supongamos z4 =∞, ası C corresponde a una recta en C, y

z∗ − z3

z2 − z3= (z∗, z2, z3,∞) = (z, z2, z3,∞) =

z − z3

z2 − z3=

z − z3

z2 − z3,

esto implica ∣∣∣∣z∗ − z3

z2 − z3

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ z − z3

z2 − z3

∣∣∣∣de donde |z∗− z3| = |z− z3|, por lo cual z y z∗ equidistan de cada punto deC. Ademas

Imz∗ − z3

z2 − z3= Im

z − z3

z2 − z3= −Im z − z3

z2 − z3

Por ende, y a menos que z ∈ C, z y z∗ estan en distintos semiplanosdeterminados por C. Ademas, la recta que une z y z∗ es perpendicular a larecta C.

Por otra parte, si ∞ /∈ C, podemos suponer

C = z ∈; |z − a| = R, 0 < R <∞

aplicando sistematicamente la invariancia de la razon cruzada para una apli-cacion de Mobius (Proposicion 4.4.4), podemos concluir que:


(z∗, z2, z3, z4) = (z, z2, z3, z4)= (z − a, z2 − a, z3 − a, z4 − a)

=(z − a, R2

z2 − a,R2

z3 − a,R2

z4 − a

)=

(R2

z − a+ a, z2, z3, z4

)Esta ecuacion muestra que el punto simetrico de z es z∗ = a+R2(z−a)−1,

o equivalentemente z y z∗ satisfacen la relacion

(z∗ − a)(z − a) = R2

Consecuentemente, el producto de las distancias de z y z∗ al centro es R2,esto es, |z − a| · |z∗ − a| = R2. Ademas,

z∗ − az − a

=R2

|z − a|2> 0,

lo cual significa que z y z∗ estan en la misma semi-recta con punto inicial a.Dado z es un punto en el interior de la region acotada por C, hay una

construccion geometrica muy simple para z∗, la cual describimos en la Figura(4.4):

*

Figura 4.4: El punto z∗ es el simetrico de z

Sea L la semi-recta que pasa por z e inicia en a.

Considere la perpendicular L′ a L que pasa por z.

Sea p el punto de interseccion de L′ con C.

Considere la recta tangente a C en p, TpC

4.5. SIMETRIA. 125

*

’

Figura 4.5: El punto z∗ es el simetrico de z

z∗ es el punto de interseccion de L con TpC

Si z es un punto en el exterior de la region acotada por C, procedemosde la siguiente forma

Se toma el punto medio m del segmento que une a con z.

Se traza la circunferencia C′ por a con centro en m.

Sean p y p′ los puntos donde intersectan las circunferencias C y C′. Lasrectas zp y zp′ son las tangentes a C por z.

Tomamos el segmento de recta ` que une p con p′.

Trazamos la semirecta L por a y z.

El punto z∗ es el punto de interseccion de ` con L.

En particular, los puntos a e ∞ son simetricos con respecto a C.

Proposicion 4.5.1 (El principio de simetrıa.). Si una aplicacion de Mobiusmanda la circunferencia C1 sobre la circunferencia C2, entonces cualquier parde puntos simetricos con respecto a C1 se transforman bajo T en un par depuntos simetricos con respecto a C2.

Demostracion. Si z2, z3 y z4 son tres puntos distintos en C1, si z y z∗ sonsimetricos con respecto a C1, y sea T una aplicacion de Mobius que trans-forme C1 en C2. Entonces

(z∗, z2, z3, z4) = (z, z2, z3, z4).

Como consecuencia de la proposicion 4.4.4 tenemos que:


(T (z∗), T (z2), T (z3), T (z4)) = (z∗, z2, z3, z4)= (z, z2, z3, z4)= (T (z), T (z2), T (z3), T (z4))

Luego entonces T (z) y T (z∗) son simetricos con respecto a C2.

4.6. Otros ejemplos de aplicaciones conformes

4.6.1. La aplicacion de Joukowski

Definicion 4.6.1. La aplicacion J : C∞ → C∞ definida por

J(z) =

12

(z +

1z

)si z 6= 0,∞

∞ si z = 0,∞

se denomina la aplicacion de Joukowski.

Usando la definicion 4.2.2 se comprueba facilmente que, si z 6= 0,∞,entonces J ′(z) = 1

2

(1− 1

z2

), mientras que J ′(0) = J ′(∞) = 2, y es facil

mostrar que J ′(z) = 0 si, y solo si z = ±1. Luego entonces J es conforme encada abierto Ω ⊂ C∞ \ ±1.

En los problemas concretos de representacion conforme, frecuentementehay que averiguar cuando la funcion es inyectiva en un abierto Ω contenidoen su dominio. Una condicion necesaria para ello es que su derivada no seanule en Ω, como la condicion no es suficiente, el problema se debe afrontardirectamente para la funcion concreta.

En particular, la condicion J(z0) = J(z1), con z0, z1 ∈ C se escribe como

(z0 − z1)(

1− 1z0z1

)= 0,

luego entonces J(z0) = J(z1) con z0 6= z1 si, y solo si z0z1 6= 1. En todavecindad de ±1 existen puntos z0 6= z1 con z0z1 = 1, esto es, Ω ⊂ C∞ \±1es una condicion necesaria para que J|Ω sea inyectiva. Una condicion masfuerte que es necesaria y suficiente para la inyectividad de J|Ω es la dada enla siguiente proposicion.

Proposicion 4.6.1. Dado un abierto Ω ⊂ C∞ \ ±1, la condicion z ∈ Ωimplica que 1/z 6∈ Ω es una condicion necesaria y suficiente para que J|Ωsea inyectiva. En este caso J establece un isomorfismo conforme entre Ω ysu imagen J(Ω).

4.6. OTROS EJEMPLOS DE APLICACIONES CONFORMES 127

Demostracion. Si J|Ω es inyectiva, de acuerdo con lo visto anteriormente siz ∈ Ω, entonces 1/z 6∈ Ω. Por otra parte, para caracterizar los abiertos Ωsobre los cuales J|Ω es inyectiva debemos encontrar los abiertos contenidosen C \ ±1 y considerar el conjunto Sω = z ∈ C∞; J(z) = ω. Noteseque Ω ⊂ C∞ \ ±1 implica que J(Ω) ∩ ±1 = ∅, por lo que podemossuponer que w /∈ ±1. Este hecho garantiza que, en el caso w 6= ∞, laecuacion J(z) = ω tiene dos soluciones finitas distintas z0, z1 = 1/z0, asaber, las soluciones de la ecuacion de segundo orden z2 − 2wz + 1 = 0.Cuando w =∞ ∈ J(Ω) la ecuacion J(z) =∞ tambien tiene dos solucionesdistintas z0 = 0 y z1 =∞.

Ası, la condicion del enunciado garantiza que para cada ω ∈ J(Ω) elconjunto Sω ∩ Ω solo tiene un elemento, luego entonces J|Ω es inyectiva.Finalmente, como J ′(z) 6= 0, tenemos que J|Ω : Ω→ J(Ω) es un isomorfismoconforme.

Es claro que los abiertos ∆ = z; |z| < 1 y H+ = z; Imz > 0cumplen la condicion de la proposicion 4.6.1, de modo que J establece iso-morfismos conformes entre cada uno de ellos y sus imagenes.

Una descripcion de la aplicacion de Joukowsky que resulta util paraestudiar el efecto que tiene esta tranfromacion sobre una region determinadaes la siguiente:

Proposicion 4.6.2. La transformacion de Joukowski J : C∞ → C∞ dadapor

J(z) =

12

(z +

1z

)si z 6= 0,∞

∞ si z = 0,∞se puede descomponer como:

J(z) = (T−1 f T )(z), (4.1)

donde T (z) = (z − 1)/(z + 1) y f(z) = z2.En particular, esta descomposicion nos permite obtener las imagenes

J(∆) y J(H+) del disco ∆ = z; |z| < 1 y el semiplano superior H+ =z; Imz > 0

J(∆) = C∞ \ x ∈ R; |x| ≤ 1 y J(H+) = C \ x ∈ R; |x| ≥ 1.

Demostracion. Como T−1(z) = (z + 1)/(−z + 1), entonces

(T−1 f T )(z) = T−1

((z − 1z + 1

)2)

=12

(z +

1z

).


A continuacion usaremos esta descomposicion para estudiar las regionesJ(∆) y J(H+).

Primeramente notamos que T (H+) = H+, y como f(z) = z2 estableceun isomorfismo conforme entre H+ y Ω = C \ x ∈ R; x ≥ 0, y como T−1

transforma el semieje real positivo en x ∈ R; |x| ≥ 1, tenemos que

J(H) = T−1(Ω) = C \ x ∈ R; |x| ≥ 1

Analogamente, T (∆) = z; Re z < 0 = H`, y f(H`) es el abiertoΩ′ = C \ x ∈ R; x ≤ 0, de donde

J(∆) = T−1(Ω′) = C∞ \ x ∈ R;−1 ≤ x ≤ 1.

La descomposicion de J|H+como

H+T→ H+

f→ Ω T−1

→ J(H+)

permite obtener una formula explıcita para la inversa de J|H+. La inversa

de f : H+ → Ω es h(z) = ı√−z, luego entonces, para la inversa de J|H+

setiene la formula

w = (T−1 h T )(z) =1 + h(T (z))1− h(T (z))

multiplicando numerador y denominador por 1 +h(T (z)) la formula se sim-plifica a

w = z + ı(1 + z)

√1− z1 + z

.

De manera analoga, si usamos la descomposicion de J|∆ dada por:

∆ T→ H`f→ Ω′ T

−1

→ J(∆)

y usando que g(z) = −√z es la inversa de f : H` → Ω′ se tiene que la inversa

de J|∆ es:

w = (T−1 g T )(z) =1−

√T (z)

1 +√T (z)

,

cuando z 6=∞ se puede simplificar la formula a

w = z − (z + 1)

√z − 1z + 1


La aplicacion de Joukowski en el plano complejo, es la mas simple de unconjunto de transformaciones de la forma

J(z) = a0z +a1

z+a2

z2+a3

z3+ · · ·

Estas modifican el plano sensiblemente para valores pequenos de z, pero suinfluencia tiende a cero a medida que el modulo de z crece.

La aplicacion de Joukowski convierte a una circunferencia de radio a > 1en la forma de un perfil aerodinamico.

Figura 4.6: Perfil de Joukowsky asociado a J(z) = z + 1/z

Una aplicacion conforme en todo el plano z, aplicada a una circunferen-cia, no podrıa general un perfil con borde de fuga afilado, porque cualquierquiebre en la curva violarıa la conservacion de angulos que impone la condi-cion de ser confrome. Pero en este caso, si uno de los puntos de la circunfer-encia es z = ±1, en la imagen de ese punto puede aparecer un quiebre en lacurva: ese punto se transforma en el borde de fuga del perfil. En el ejemplode la figura (4.6.1), es el punto z = −1. Como el punto z = 1 queda en elinterior del cırculo, su imagen queda dentro del perfil, y no afecta su forma,ni el campo de flujo alrededor del mismo.

Examinemos la aplicacion de Joukowski J(z) = 12

(a+ 1

z

). En coorde-

nadas cartesianas escribamos z = x+ ıy y J(z) = u+ ıv, entonces

u+ ıv =12

((x+ ıy) +

x− ıyx2 + y2

)lo cual implica que

u =x

2

(1 +

1x2 + y2

), v =

y

2

(1− 1

x2 + y2

). (4.2)

las coordenadas de la circunferencia original se obtienen de la ecuacion

γ(t) = z0 + aeıt, con 0 ≤ t < 2π.


Figura 4.7: Cırculo que pasa por −1 con radio a y angulo β.

Las coordenadas del centro del cırculo quedan determinadas por su radioa, y por el angulo β que muestra la figura (4.6.1), de modo que el puntoz = −1 es la interseccion de la circunferencia con el eje real negativo.

A continuacion analizaremos algunos casos particulares:

1. Transformacion de la circunferencia centrada en el ori-gen: En el caso general, con 1 < a, la transformacion es conforme entodos los puntos de la circunferencia. La ecuacion de esta circunferen-cia es:

γ(t) = aeıt, con 0 ≤ t < 2π, o equivalentemente x2 + y2 = a2 (4.3)

Si se despejan x y y en funcion de u y v (ecuacion 4.2) obtenemos

x =u

12

(1 + 1

a2

) , y =v

12

(1− 1

a2

)y considerando la ecuacion 4.3, obtenemos:

(u

12

(1 + 1

a2

))2

+

(v

12

(1− 1

a2

))2

= a2,

es decir,

(u

12

(a+ 1

a

))2

+

(v

12

(a− 1

a

))2

= 1, (4.4)

que es la ecuacion de una elipse.


Figura 4.8: Imagen de γ(t) = aeıt bajo J(z) para a > 1.

En el caso lımite en que a = 1 la circunferencia se transforma en elsegmento del eje real −1 ≤ x ≤ 1. Se observa que si a = 1, los puntosz = ±1 pertenecen a la circunferencia, y se transforman en J(z) = ±1respectivamente. En este caso no es aplicable la ecuacion (4.4), yaque el denominador del segundo temino se anula. Sin embargo, encoordenadas polares la transformacion es muy sencilla:

J(z) =12

(z +

1z

)=

12

(eıθ + e−ıθ

)= cos θ, 0 ≤ θ < 2π

Al variar θ, el segmento es recorrido dos veces, desde 1 hasta −1 yviceversa.

2. Transformacion de la circunferencia centrada en (0, y0): Laecuacion de la circunferencia con centro (0, y0) y radio a esta dada por

x2 + (y − y0)2 = a2 o bien γ(t) = ıy0 + aeıt con 0 ≤ t < 2π.

Entonces J establece un isomorfismo conforme entre el interior (re-spectivamente exterior) de la region limitada por γ en C∞ y el com-plemento de un arco de circunferencia que pasa por ±1 y ıy0. Para veresto, notamos que bajo T (z) = (z − 1)/(z + 1) la circunferencia γ setransforma en una lınea recta. Luego H = T (Ω) es un semiplano abier-to, la imagen G de este semiplano bajo f(z) = z2 es el complemento deuna semirecta que parte del origen. Por otro lado J(Ω) = T−1(G) esel complemento de un arco de circunferencia de extremos T−1(0) = 1y T−1(∞) = −1. Como la circunferencia con centro en ıy0 tiene ra-dio a y pasa por los puntos ±1, entonces a2 = 1 + y2

0, de donde,J(ı(a+ y0)) = ıy0, tenemos ası que la circunferencia γ(t) = ıy0 + aeıt

se transforma en el arco de circunferencia que pasa por los puntos1,−1, ıy0, como podemos apreciar en la figura (2).


Figura 4.9: Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = ıy0 +aeıt

Tambien aquı, el lımite cuando y0 → 0 es el segmento [−1, 1].

3. Transformacion de la circunferencia centrada en (x0, 0),x0 > 0: Este caso corresponde al parametro β = 0. La transformacionda un perfil simetrico, como se muestra en la figura (3). El puntoz = −1 se convierte en el punto J(−1) = −1, que es el borde de fugadel perfil. La imagen del punto z = 1, J(1) = 1 queda en el interior delperfil. El borde de ataque es la imagen del punto z = x0 + a = 2x0 + 1(cruce con el eje x), y es el punto J(x0 + a)

Figura 4.10: Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = x0 +aeıt

4. Caso general: circunferencia centrada en z0 = (x0, y0): Eneste caso la circunferencia se transforma en un perfil no simetrico,como puede apreciarse en la figura (4).

Figura 4.11: Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = z0 +aeıt


De los ejemplos vistos, se puede inferir que los parametros que determi-nan la forma del perfil son las coordenadas del centro de la circunferencia.En particular:

La coordenada x0 relacionada con el cociente 1/a, determina el espesordel perfil resultante. Los casos en que el centro cae sobre el eje y, conx0 = 0, dan arcos de circunferencia.

La coordenada y0 relacionada con el angulo β, detremina la curvaturade la lınea media del perfil. Los casos en que el centro cae sobre el eje x(β = 0) dan perfiles simetricos, es decir, su lınea media es el segmentode recta que constituye el eje de simetrıa

Una antigua construccion grafica para la aplicacion J(z) = z + b2/z, sincalcular componentes, sigue los siguientes pasos 1, vease la figura (4.6.1):

1. Desde el origen de coordenadas O se marca el punto z = −b.

2. Desde z = −b, con angulo β y a una distancia a, se ubica el centro delcırculo al que llamaremos Q.

3. Con centro Q y radio a, se traza la circunferencia C1, que es la que sequiere transformar.

4. El segmento OQ y el eje y determinan el angulo δ.

5. Con el mismo angulo δ medido desde el eje y hacia la direccion negaticade x, se traza el segmento OM , donde M es el punto de interseccioncon OQ.

6. Con centro en M y radio (−b)M , se traza la circunferencia C2.

7. Para trazar el perfil, de dan valores a θ desde 0 a 2π. Con θ, se de-termina sobre C1 el punto P1: z = reıθ, y con −θ, sobre C2 queda elpunto P2: b2

z = b2

r e−ıθ.

8. La suma vectorial de ambos (por el metodo grafico del paralelogramo),da el punto P ′ que pertenece al perfil, y es la imagen de P1. Recorriendotodos los valores de θ, queda dibujado el perfil de Joukowsky.

La forma de este perfil presenta el extrados y el intrados tangentes enel borde de fuga (el perfil tiende a un espesor nulo en ese punto). Esto es

1Trefftz,E., FllugtechnMotorluftschiffahrt, vol. 4, pg. 130, 1913


Figura 4.12: Perfil de Joukowski J(z) = z + b2/z

un problema tanto desde el punto de vista constructivo, como desde el deresistencia estructural. Por otro lado, las caracterısticas aerodinamicas tam-poco son buenas: el mınimo de presion esta muy cerca del borde de ataque,por lo que el flujo debe recorrer gran parte del etrados con un gradientede presion adverso. Hay otras aplicaciones conformes que generan mejoresperfiles, sin embargo, la aplicacion de Joukowsky fue la primera exploradaanalıticamente.2

4.6.2. Funciones trigonometricas

Consideremos la funcion cos z =eız + e−ız

2, esta funcion puede escribirse

comocos(z) = (J exp ϕ)(z)

donde ϕ(z) = ız es una rotacion por π/2, exp(z) es la funcion exponen-cial, y J(z) = 1

2(z + 1z ) es la aplicacion de Joukowsky. Ahora bien, ϕ

es un automorfismo conforme de C∞, la funcion exponencial es inyecti-va en cualquier region del tipo Wa,b = z ∈ C; a < Imz < b conb − a ≤ 2π. Finalmente J es inyectiva en C∞ \ ∆, o en ∆. Considere-mos la region Ω = z ∈ C; − π < Re z < π, Imz > 0, entoncesΩ′ = ϕ(Ω) = ıΩ = z ∈ C; − π < Imz < π, Re z < 0. La imagen

2Proviene del latın intra, dentro y dorsum, dorso. Se contrapone con la voz trasdos oextrados En el ambito de la aeronautica, se llama intrados a la parte inferior del ala de unavion, medido desde el borde de ataque hasta el borde de salida. Se llama extrados a laparte superior de un ala de un avion, medido desde el borde de ataque hasta el borde desalida. El borde de ataque es el punto central de la parte delantera de un perfil. El bordede fuga, o de salida es el punto central de la parte trasera de un perfil.


de Ω′ bajo la funcion exponencial corresponde al interior del disco unitariocon centro en el origen, esto es, exp(Ω′) = ∆ = z ∈ C; |z| < 1.

Como vimos anteriormente, J(∆) = C∞ \ x ∈ R; − 1 ≤ x ≤ 1, esdecir, tenemos la siguiente situacion:

Figura 4.13: La funcion cos(z)

Como sen(z + π2 ) = cos(z) y cos(z − π

2 ) = sin z, tenemos un resultadosimilar al realizado anteriormente si ahora tomamos Ω = z ∈ C; − π

2 <Re z < π

2 , Im z > 0.Si ahora consideramos la funcion

tan z =sin zcos z

=1ı

eız − e−ız

eız + e−ız= ı

1− e2ız

1 + e2ız,

esto es:tan z = (T ψ exp ϕ)(z),

donde ϕ(z) = ız, exp es la funcion exponencial, ψ(z) = z2 y T (z) = ı1− z1 + z

.

Para a ∈ R una constante fija, sea `a = z ∈ C; Re z = a, entoncesϕ(`a) = z ∈ C; Imz = a. La imagen bajo la funcion exponencial deesta recta es la semirecta que parte del origen con pendiente a, a su vez,la imagen de esta semirecta bajo la funcion ψ es la semirecta que parte delorigen con pendiente 2a, y bajo la transformacion de Mobius T la imagende esta semirecta es una semicircunferencia.


De manera similar, si b ∈ R es una constante fija, y Lb = z ∈ C; Imz =b, entonces ϕ(Lb) = z ∈ C;Re z = −b. La imagen de esta recta bajo lafuncion exponencial es la circunferencia con centro en el origen y radio e−b.Bajo la funcion ψ esta circunferencia se transforma en la circunferencia concentro en el origen y radio e−2b. Finalmente, bajo la transformacion T estacircunferencia se transforma en una circunferencia.

En particular, las rectas Re z = −π4 y Re z = π

4 se transforman en lasdos mitades de la circunferencia unitaria, por lo que

tan(z ∈ C; |Re z| < π

4) = z : |z| < 1.

4.7. Ejercicios

1. Obtenga la imagen del primer cuadrante bajo la aplicacion T (z) = z3.

2. Considere la funcion f(x, y) = u(x, y)+iv(x, y), con u(x, y) = 2x2 +y2

y v = y2/x. Muestre que las curvas u = constante y v = constante seintersectan ortogonalmente, pero f no es C−diferenciable.

3. Para cada una de las siguientes aplicaciones, determine el maximosubconjunto Ω de C donde la aplicacion sea conforme:

a) f1(z) = z +1z

b) f2(z) = z3 + z2

c) f3(z) =z

1 + z

d) f4(z) = z

e) f5(z) = sin z cos z

4. Demuestre que si f : A → B es biyectiva, C−diferenciable, y coninversa C-diferenciable, entonces f es conforme.

5. Encuentre una aplicacion conforme de A = z ∈; 0 < arg z < π/2, 0 <|z| < 1 en ∆ = z ∈ C; |z| < 1.

6. Sea g(z) = (z − i)/(z + i). Determine la imagen bajo g de

a) El eje real.

b) El cırculo con centro en 0 y radio 2.

4.7. EJERCICIOS 137

c) El cırculo con centro en 0 y radio 1.

d) El eje imaginario.

7. Encuentre una aplicacion de Mobius T que satisfaga T (zk) = wk parak = 1, 2, 3, si

a) z1 = i, z2 = 0, z3 − 1, w1 = 0;w2 = −i, w3 =∞.

b) z1 = i, z2 = 0, z3 − 1, w1 = −i, w2 = 0, w3 =∞.

c) z1 = i, z2 = 0, z3 − 1, w1 = −3, w2 = −1, w3 = 0.

8. Encuentre una aplicacion de Mobius T que transforme el disco unitario∆ sobre si mismo, y que satisfaga T (1/4) = 1/3.

9. Muestre que K(z) = z/(1− z)2 transforma el disco unitario ∆ biyec-tivamente sobre C \ z ∈;Rez = 0,∧ Imz < −1/4.

10. Muestre que T (z) = eiθz−λ con Imλ > 0 transforma el semiplanosuperior sobre el disco unitario ∆.

11. Considere una aplicacion de Mobius de la forma

T (z) = a

(z − bz − d

)Demuestre que

Circunferencias que pasan por los puntos b y d se transforman en lıneasque pasan por el origen.

Las circunferencias con ecuacion |(z−b)/(z−d)| = r/|a|, denominadoslos cırulos de Apolonio, se transforman bajo T en las circunferenciascon centro 0 y radio r.[A, pg.84-88]

12. Si una aplicacion de Mobius transforma un par de cırculos concentri-cos en otro par cırculos concentricos, demuestre que la razon entre susradios debe ser la misma.

13. Encuentre una aplicacion que envie las circunferencias |z| = 1 y |z −(1/4)| = 1/4 en cırcunferencias concentricas. Hay alguna relacion entrelas razones de sus radios?

14. Si T es una aplicacion de Mobius, T 6= id, muestre que una aplicacionde Mobius S conmuta con T si S y T tienen los mismos puntos fijos.


15. Si SL2(C) es el subgrupo de GL1(C) que consta de todas las matricescon determinante 1, muestre que la imagen de SL2(C) bajo el homo-morfismo ψ : GL2(C)→Mob , descrito en la pagina ??, es Mob. Cuales el nucleo de ψ en SL2(C)?

Capıtulo 5

Integral de Lınea y elTeorema de Cauchy.

En este capıtulo veremos que la generalizacion inmediata de una integralreal a los numeros complejos es definir la integral de una funcion complejasobre un intervalo real, esto nos conducira al concepto de integral de lınea.Este concepto nos permitira estudiar una serie de propiedades fundamen-tales en el analisis de funciones de variable compleja, las cuales son muycomplicadas de demostrar sin el uso de la integracion compleja, propiedadesmediante las cuales iniciaremos la distincion fundamental entre los funcionesreales de variable real y las funciones holomorfas. Estos resultados son elobjetivo principal de este capıtulo. Asimismo, demostraremos el teorema deCauchy y estudiaremos algunas de sus consecuencias.

Algunas de las propiedades fundamentales que estudiaremos en el pre-sente capıtulo son:

Si f es C−diferenciable en el interior y sobre la circunferencia γ(t) =a+ e2πıt con 0 ≤ t ≤ 1, entonces

12πı

∫γ

f(z)z − a

dz = f(a)

se denomina la formula integral de Cauchy, y constituye la pieza fun-damental de la rigidez de las funciones holomorfas. Escencialmentenos dice que el valor promedio de una funcion C−diferenciable sobreuna circunferencia es igual al valor de la funcion en el centro de lacircunferencia.

Toda funcion C−diferenciable es infinitamente diferenciable.

139

140 CAPITULO 5. TEOREMA DE CAUCHY

Toda funcion C−diferenciable admite desarrollo en serie de Taylor, yconsecuentemente, es holomorfa.

Demostrar que una funcion C−diferenciable es holomorfa puede demos-trarse sin utilizar integracion a lo largo de curvas, aunque las demostracionessuelen ser mas complicadas, R. L. Plunket demostro la continuidad de laderivada en A topological proof of the continuity of the derivate of a functionof a complex variable. Bull. Amer. Math. Soc. 65, (1959); 1-4. Mientras queE.H. Connel y P. Porcelli demostraron la existencia de todas las derivadas enA proof of the power series expansion without Cauchy’s formula. Bull. Amer.Math. Soc. 67, (1961); 177-181. Ambos artıculos basan sus demostracionesen una demostracion topologica del teorema de la aplicacion abierta, pueseste se encuentra muy relacionado con la estructura de las funciones holo-morfas, segun demuestra Stoilow, cuya disertacion puede encontrarse en ellibro de C. T. Whyburn Topological analysis, 2nd ed. Princeton. 1964.

5.1. Integracion Compleja

Como mencionamos anteriormente, las demostraciones clasicas donde seprueba que las funciones C−diferenciables son holomorfas se basan en laintegracion a lo largo de curvas, por lo cual iniciamos la presente seccionrecordando algunas definiciones y propiedades fundamentales de curvas eintegracion.

Definicion 5.1.1. Sea (X, d) un espacio metrico.

1. Una curva (o trayectoria) en X es una transformacion continua γ :[a, b]→ X donde [a, b] denota el intervalo cerrado t ∈ R2; a ≤ t ≤ bcon a, b ∈ R, a < b.

2. Los puntos γ(a), γ(b) se denominan los extremos de la curva, γ(a) sedenomina el punto inicial, y γ(b) se denomina el punto final. Tambiense suele decir que γ inicia en γ(a) y termina en γ(b).

3. Dados x0, x1 ∈ X, diremos que una curva γ : [a, b] → X une x0 conx1 si: γ(a) = x0 y γ(b) = x1. En este caso tambien decimos que γ esuna curva de x0 a x1.

4. Diremos que una curva γ : [a, b]→ X es una curva cerrada si γ(a) =γ(b). Si x0 = γ(a) = γ(b), en este caso tambien decimos que γ es unlazo en x0.

5.1. INTEGRACION COMPLEJA 141

5. Si γ : [a, b]→ X es una curva, denotamos la imagen de γ como im(γ),o γ([a, b]), esto es im(γ) = γ(t); t ∈ [a, b]. La imagen de γ tambiense denomina la traza, o soporte de la curva.

6. Si γ : [a, b]→ X es una curva en X, definimos la curva −γ (tambiense suele denotar γ−1) como −γ : [a, b]→ X,−γ(t) = γ(b+a− t). Noteque −γ(a) = γ(b),−γ(b) = γ(a), y im(−γ) = im(γ). La curva −γ sedenomina la curva inversa de γ, y es la curva que recorre la traza deγ en sentido opuesto.

7. Si γ1 : [a1, b1]→ X, γ2 : [a2, b2]→ X son dos curvas tales que el puntoinicial de γ2 coincide con el punto final de γ1, esto es, γ2(a2) = γ1(b1),definimos la curva γ = γ1 + γ2 como sigue:

γ : [a, b]→ X, con a = a1, b = b1 + b2 − a2

γ(t) =

γ1(t) si a ≤ t ≤ b1

γ2(t+ a2 − b1) si b1 ≤ t ≤ b1 + b2 − a2

Como γ2(b1+a2−b1) = γ2(a2) = γ1(b1), esta funcion esta bien definiday es continua. Notese que im(γ1 + γ1) = im(γ1) ∪ im(γ2). Esta curvase obtiene recorriendo primero γ1 y posteriormente γ2.

8. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, no vacıo, y γ : [a, b] → Ω una curva.Diremos que γ es suave por partes si existe una particion a = a0 <a1 < .... < an = b del intervalo [a, b] tal que γ|[aj ,aj+1] es una funcioncontinuamente diferenciable para j = 0, 1, ..., n− 1.

Recordamos que la restriccion de γ al intervalo [aj , aj+1] es continua-mente diferenciable si existe un intrvalo abierto Ij ∈ R, con [aj , aj+1], talque γ es continua y diferenciable en Ij .

Notese que, en este caso, hay un subconjunto finito S ⊂ [a, b] tal quedγ/dt existe y es continua en [a, b] \ S; ademas dγ/dt es acotado en esteconjunto.

Podemos notar que, si γ es una curva diferenciable por partes en Ω,entonces γ−1 tambien lo es. Si γ1 y γ2 son curvas diferenciables por partesen Ω, y el punto final de γ1 coincide con el punto inicial de γ2, entoncesγ1 + γ2 es una curva diferenciable por partes.

Definicion 5.1.2. Sea (X, d) un espacio metrico.Si γk : [ak, bk] → X, k = 1, 2 son dos curvas en X, diremos que γ2 es

una reparametrizacion de γ1, (o que γ2 se obtine de γ1 por medio de una


reparametrizacion), si existe una funcion continua, suprayectiva, y estricta-mente creciente h : [a2, b2]→ [a1, b1] tal que γ1 h = γ2.

En este caso im(γ1) = im(γ2). Si X es un subconjunto abierto de C,y si γk son curvas suaves por partes, se pedira adicionalmente que h seadiferenciable.

Desde luego, lo que deseamos hacer es generalizar la integral de lınea realal caso complejo, es decir, deseamos que esta integral siga siendo indepen-diente de las reparametrizaciones y que sea C−lineal, para lo cual daremosla siguiente definicion:

Definicion 5.1.3 (Definicion de Integral de Lınea). Sea Ω ⊂ C un conjuntoabierto no vacıo, γ : [a, b] → Ω una curva suave en Ω, y f : Ω → C unafuncion C−valuada, y continua definida en Ω. Se define la integral de lınea

a lo largo de γ, la cual denotamos∫γfdz, por la formula:

∫γfdz =

∫ b

af(γ(t))γ(t)dt.

Nuevamente, podemos escribir la funcion continua f en terminos desus partes real e imaginaria como f(z) = u(z) + ıv(z), con u, v funcionesR−valuadas definidas en Ω, y γ(t) = x(t) + ıy(t), entonces

f(γ(t))γ(t) = [u(γ(t)) + ıv(γ(t))][x(t) + ıy(t)]= [u(γ(t))x(t)− v(γ(t))y(t)] + ı[u(γ(t))y(t)− v(γ(t))x(t)]

de donde∫γfdz =

∫ b

a

[u(x(t), y(t))

dx(t)dt− v(x(t), y(t))

dy(t)dt

]dt

+ ı

∫ b

a

[u(x(t), y(t))

dy(t)dt

+ v(x(t), y(t))dx(t)dt

]dt

La cual resulta mas facil de recordar si escribieramos formalmente∫γfdz =

∫ b

a[udx− vdy] + ı

∫ b

a[udy + vdx]

o bien ∫γfdz =

∫ b

a[ux− vy] + ı

∫ b

a[uy + vx]dt


Desde luego, aun debemos verificar que, con esta definicion, se extiendenlas propiedades de la integral de lınea, y que la integral, en este caso, resulta

C−lineal. Y si γ es una curva de z0 a z1, podemos preguntarnos si∫γf

depende , o no, de la curva γ. En esta seccion trataremos de dar respuestaa estas preguntas, pero antes, veremos algunos ejemplos.

Ejemplo 8.

1. Evaluemos ahora∫γezdz, donde γ(t) = eit, con t ∈ [0, 2π/2]. En este

caso ∫γezdz =

∫ π2

0eγ(t) · γ(t)dt

=∫ π

2

0e(cos t+ı sin t) · (− sin t+ ı cos t)dt

=∫ π

2

0−ecos t[cos(sin t) · sin t+ sin(sin t) · cos t]dt

+ i

∫ π2

0−ecos t[sin(sin t) · sin t− cos(sin t) · cos t]dt

= ecos t cos(sin t)∣∣π/20

+ ı ecos t sin(sin t)∣∣π/20

= ecos t+ı sin t∣∣π/20

= eı − e

2. Ahora evaluaremos∫γfdz, donde f(z) = (z−a)−1, y γ(t) = re2πıt+a,

con t ∈ [0, n], n ∈ N. Tenemos∫γ

1z − a

dz =∫ n

0

1(re2π ı t + a)− a

· 2π r ı t · e2πıtdt

=∫ n

0ı dz

= 2π n ı

Esta formula posteriormente nos sera muy util. A continuacion veremos quela integral no depende de la reparametrizacion de la curva, esto es:


Proposicion 5.1.1. Sea γ : [a, b]→ C una curva suave, si σ : [c, d]→ C esuna repametrizacion de γ, entonces∫

γf =

∫σf,

para toda fucion continua f definida sobre un conjunto abierto que contengaa la imagen de la curva γ.

Demostracion. Como σ es una reparametrizacion de γ, existe una funcionh : [c, d]→ [a, b], continua, diferenciable y creciente tal que σ(t) = (γ h)(t).

Como consecuencia de la regla de la cadena tenemos:

σ(t) =dσ(t)dt

=d(γ h)(t)

dt=dγ(h(t))ds

dh(t)dt

=dγ(s)ds

ds

dt

con s = h(t), de donde∫σf =

∫ d

cf(σ(t))σdt

=∫ d

cf(σ(t))

dγ(h(t))ds

dh(t)ds

=∫ b

af(γ(s))

dγ(s)ds

ds

=∫γf

Proposicion 5.1.2. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, no vacıo, f, g : Ω→ Cfunciones continuas, λ una constante compleja, y sean γ, γ1 y γ2 curvas,tales que el punto final de γ1 coincide con el punto inicial de γ2. Entonces:

1.∫γλf = λ

∫γf.

2.∫γ(f + g) =

∫γf +

∫γg.

3.∫−γf = −

∫γf.

4.∫γ1+γ2

f =∫γ1

f +∫γ2

f.


Demostracion. (1) Si f = u + ıv, con u, v : Ω → R funciones R-valuadas,continuas definidas en Ω , λ = λ1+ıλ2 ∈ C, con λk ∈ R, y γ(t) = x(t)+ıy(t),con t ∈ [a, b] ⊂ R, entonces: λf = (λ1u− λ2v) + ı (λ1v + λ2u), de donde

∫σλf =

∫ b

a[(λ1u− λ2v)x− (λ1v + λ2u)y]dt

+ ı

∫ b

a[(λ1u− λ2v)y + (λ1v + λ2u)x]dt

= λ1

∫ b

a(ux− vy)dt− λ2

∫ b

a(uy + vx)dt

+ ı

(λ1

∫ b

a(uy + vx)dt+ λ2

∫ b

a(ux− vy)dt

)= λ

∫ b

af

(2) Si f = u1 + ı v1, g = u2 + ı v2, γ como antes, entonces:

∫σ(f + g) =

∫ b

a[(u1 + u2)x− (v1 + v2)y]dt

+ ı

∫ b

a[(u1 + u2)y + (v1 + v2)x]dt

=∫ b

a[u1x− v1y]dt+ ı

∫ b

a[u1y + v1x]dt

+∫ b

a[u2x− v2y]dt+ ı

∫ b

a[u2y + v2x]dt

=∫γf +

∫γg

(3) Si f y γ son como el inciso (1), entonces: −γ(t) = γ(b − t), y comoconsecuencia de la regla de la cadena

d(−γ)(t)dt

=dγ(t)dt

d(b− t)dt

= −dγ(t)dt

,


de donde ∫−γf =

∫ b

af(−γ(t))

d(−γ)(t)dt

dt

+∫ b

af(γ(b− t))(−γ(t))dt

= −∫ b

af(γ(s))γ(s)ds

= −∫γf.

(4) Finalmente, sea f como en el inciso (1), γ1(t) = x1(t)+ı y1(t), si t ∈ [a, b]y γ2(t) = x2(t) + ı y2(t), si t ∈ [b, c], con γ1(b) = γ2(a). Entonces:

∫γ1

f +∫γ2

f =∫ b

af(γ1(t))γ1(t)dt+

∫ c

bf(γ2(t))γ2(t)dt

=∫ b

a(ux1 − vy1)dt+ ı

∫ b

a(uy1 + vx1)dt

+∫ c

b(ux2 − vy2)dt+ ı

∫ c

b(uy2 + vx2)dt

=∫ b

a(ux1 − vy1)dt+

∫ c

b(ux2 − vy2)dt

+ ı

(∫ b

a(uy1 + vx1)dt+

∫ c

b(uy2 + vx2)dt

)Como estamos integrando fucnciones real valuadas, tenemos que∫ b

a(ux1 − vy1)dt+

∫ c

b(ux2 − vy2)dt =

∫ c

a(ux− vy)dt

y que ∫ b

a(uy1 + vx1)dt+

∫ c

b(uy2 + vx2)dt =

∫ c

a(uy − vx)dt

donde x(t) = x1(t) si t ∈ [a, b] y x(t) = x2(t) si t ∈ [b, c], procedemos enforma analoga para y(t). De donde:∫

γ1

f +∫γ2

f =∫γ1+γ2

f

como deseabamos mostrar.


Definicion 5.1.4. . Si γ : [a, b] → Ω es una curva suave por partes, ya = a0 < a1 < ... < an = b, es una particion de [a, b] tal que γk = γ[ak,ak+1]

es diferenciable para k = 0, ..., n− 1. Definimos∫γfdz como

∫γfdz =

n−1∑k=0

∫γk

fdz.

Podemos notar, como consecuencia de la proposicion anterior,que el va-lor de la integral de f a lo largo de γ no depende de la particion utilizada.

Definicion 5.1.5 (Longitud de Arco). Sea γ : [a, b]→ una curva suave, lalongitud de arco de γ se define como:

`(γ) =∫ b

a|γ(t)|dt =

∫ b

a

√x(t)2 + y(t)2dt.

La longitud de arco tambien es independiente de la parametrizacion.

Corolario 5.1.1. Si γ, γ1, γ2 son curvas suaves por partes definidas en Ω,entonces `(γ1 + γ2) = `(γ1) + `(γ2) y `(−γ) = `(γ).

Ejemplo 9.

1. Si γ(t) = exp(ı t), con t ∈ [0, 2π], es una parametrizacion del cırculounitario, entonces

`(γ) =∫ 2π

0

√(− sin(t))2 + (cos(t))2dt =

∫ 2π

0dt = 2π.

2. Si z0, z1 ∈ C, el segmento de recta que une a z0 con z1 es la curvaγ : [0, 1]→ C definida por γ(t) = (1− t)z0 + tz1, y su longitud de arcoes |z0 − z1|.

La siguiente propiedad nos permite obtener una estimacion del valor delas integrales.

Proposicion 5.1.3. Si Ω es un subconjunto abierto no vacıo de C, γ :[a, b]→ Ω una curva diferenciable por partes en Ω, f una funcion continua,


tal que existe una constante real M ≥ 0 con |f(z)| ≤M para toda z ∈ im(γ),entonces ∣∣∣∣∫

γf

∣∣∣∣ ≤M`(γ).

En forma mas general tenemos:∣∣∣∣∫γf

∣∣∣∣ ≤ ∫γ|f ||dz|,

donde, por definicion,∫γ|f | |dz| :=

∫ b

a|f(γ(t))||γ(t)|dt.

Demostracion. Como ∫γf =

∫γf(γ(t))γ(t)dt

entonces ∣∣∣∣∫γf

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ b

af(γ(t))γ(t)dt

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f(γ(t))γ(t)| dt

≤∫ b

a|f(γ(t))||γ(t)|dt

≤∫ b

aM |γ(t)|dt

= M`(γ)

pues, por hipotesis, |f(γ(t))| ≤M para toda t ∈ [a, b].

Teorema 5.1.1 (El Teorema Fundamental del Calculo para Integrales deLınea). Si γ : [a, b]→ Ω es una curva suave, y f es una funcion C−diferen-ciable definida en un abierto Ω ⊂ C, entonces∫

γf ′(z)dz = f(γ(b))− f(γ(a)).

En particular, si γ es una curva cerrada, es decir, γ(a) = γ(b), entonces∫γf ′(z)dz = 0.


Demostracion. Si f es C-diferenciable, entonces

f(γ(t)) = u(t) + ı v(t),

con u, v : [a, b]→ R diferenciables, y

d(f(γ(t)))dt

=du

dt(t) + ı

dv

dt(t),

de donde ∫γf ′(z)dz =

∫ b

a

du

dtdt+ ı

∫ b

a

dv

dtdt

Aplicando el Teorema Fundamental del Calculo a las funciones reales devariable real u′, v′, tenemos∫ b

a

du

dtdt = u(b)− u(a), y

∫ b

a

dv

dtdt = v(b)− v(a),

y como(u(b)− u(a)) + ı (v(b)− v(a)) = f(γ(b))− f(γ(a))

podemos concluir que∫γf ′(z)dz = f(γ(b))− f(γ(a)).

Corolario 5.1.2. Si f es un polinomio en z, y γ es cualquier curva cerradaen C, suave por partes, entonces ∫

γf = 0.

Ejemplo 10.

Si z0 = 1, z1 = eı α para algun α ∈ (0, π), γ es el segmento que une z0

con z1, y f(z) = 1/z, sabemos qued log zdz

=1z

, donde log esta definido en

la rama principal, esto es, si z ∈ C \ z;Re(z) = 0, Im(z) ≤ 0.

Como log(z1) = ıα, y log(1) = 0, entonces∫γf = ı α.


Definicion 5.1.6. Sean a, b, c, d ∈ R tales que a < b, c < d. El conjunto

R = [a, b]× [c, d] = z ∈ C ; a ≤ Re z ≤ b, c ≤ Imz ≤ d

se denomina un rectangulo cerrado. El interior del rectangulo R, el cualesta dado por z ∈ C ; a < Re z < b, y c < Imz < d, se denomina unrectangulo abierto. Los puntos v1 = a+ ıc, v2 = b+ ıc, v3 = b+ ıd, v4 = a+ ıdse denominan los vertices del rectangulo R.

Proposicion 5.1.4. Si Ω es un subconjunto abierto no vacıo en C, Run rectangulo cerrado contenido en Ω y f : Ω → C es una funcion C-diferenciable, y f ∈ C1(Ω), entonces∫ ∫

R

∂f

∂zdx dy =

12 ı

∫∂Rf dz.

Demostracion. Si R = x + ı y ∈; (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], es un rectangulocerrado contenido en Ω, con vertices v1 = a+ ı c, v2 = b+ ı c, v3 = b+ ı d, yv4 = a+ ı d, γ1, ..., γ4 los lados de R, estos los podemos parametrizar comoγ1(t) = t+ ı c, con a ≤ t ≤ b, γ2(t) = b+ it, con c ≤ t ≤ d, etc. Entonces∫ ∫

R

∂f

∂zdx dy =

12

∫ ∫R

(∂f

∂x+ ı

∂f

∂y

)dx dy

Figura 5.1: Rectangulo cerrado en Ω.

Como ∫ ∫R

∂f

∂ydx dy =

∫ b

a

(∫ d

c

∂f

∂ydy

)dx

=∫ b

a[f(x, d)− f(x, c)] dx

=∫−γ3

f dz −∫γ1

f dz


de manera similar obtenemos:∫ ∫R

∂f

∂xdx dy = − ı

(∫γ2

f dz +∫γ4

f dz

).

Sumando las integrales anteriores obtenemos:∫ ∫R

∂f

∂zdx dy =

12

4∑k=1

∫γk

f dz =12 ı

∫∂Rf dz.

Corolario 5.1.3. Si f ∈ C1(Ω), y f es C-diferenciable en Ω, entonces paracada rectangulo cerrado R ⊂ Ω tenemos∫

∂Rfdz = 0

Demostracion. Si f es C-diferenciable, entonces ∂f/∂z = 0, como conse-cuencia de la proposicion anterior

∫∂R f dz = 0.

Este teorema es cierto en el caso en que f sea una funcion holomorfa.A diferencia de este corolario , el siguiente resultado no pide que la fun-

cion f sea de clase C1, y es un resultado que juega un papel fundamental ennuestro estudio de las funciones C-diferenciables, en particular, nos permi-tira ver que estas funciones son holomorfas.

Teorema 5.1.2 (El teorema de Cauchy-Goursat). Si Ω es un conjuntoabierto en C, y f es una funcion C−diferenciable definida en Ω. Entonces,para cualquier rectangulo cerrado R ⊂ Ω,∫

∂Rf dz = 0

Demostracion. Consideremos un rectangulo cerrado R = x + ı y ∈ C; a ≤x ≤ b, c ≤ y ≤ d contenido en Ω, donde a, b, c, d ∈ R,con a < b y c < d,y denotemos por vk, k = 1, ..., 4 los vertices de R, esto es v1 = a + ı c;v2 = b+ ı c, v3 = b+ ı d y v4 = a+ ı d. Y consideremos los siguientes puntosauxiliares:

v0 :=14

(v1 + v2 + v3 + v4), w1 =12

(v1 + v2), w2 =12

(v2 + v3),


w3 =12

(v3 + v4), w4 =12

(v1 + v4)

Esto es, v0 es el centro del rectangulo R, y los puntos wk son los puntosmedios de cada uno de los lados de R.

Dividamos R en cuatro rectangulos cerrados R1, R2, R3 y R4, donde R1

tiene vertices v1, w1, v0 y w4; los vertices de R2 son w1, v2, w2 y v0; R3 tienevertices v0, w2, v3, w3, y finalmente, los vertices de R4 son wa, v0, w3 y v4, eneste orden, como muestra la figura (5.2).

Como consecuencia de la proposicion 45-4, tenemos que∫∂Rf dz =

4∑k=1

∫∂Rk

f dz.

Figura 5.2: Rectangulos cerrados en Ω.

Denotemos por

A :=∣∣∣∣∫∂Rfdz

∣∣∣∣ ,entonces

A :=

∣∣∣∣∣4∑

k=1

∫∂Rk

fdz

∣∣∣∣∣ ≤4∑

k=1

∣∣∣∣∫∂Rk

fdz

∣∣∣∣ ,En particular, existe ν1 ∈ 1, 2, 3, 4 tal que∣∣∣∣∣

∫∂Rν1

f dz

∣∣∣∣∣ ≥ 14A.

Ademas, `(∂Rν1) = 12`(∂R), y el diametro de Rν1 es la mitad del diametro de

R, es decir: diam (Rν1) = 12diam (R). De manera similar a la anterior, ahora

dividamos Rν1 en cuatro rectangulos Rν1,µ, con µ = 1, ..., 4, introduciendoel centro, y los puntos medios de los lados de Rν1 , tenemos∫

Rν1

f dz =4∑

µ=1

∫∂Rν1,µ

f dz,


luego entonces, existe ν2 ∈ 1, 2, 3, 4 tal que∣∣∣∣∣∫∂Rν1,ν2

f dz

∣∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣∣∫∂Rν1

f dz

∣∣∣∣∣ ≥ 142A,

ademas,

`(∂Rν1,ν2) =12`(∂Rν1) =

122`(∂R),

y

diam (∂Rν1,ν2) =12diam (∂Rν1) =

122diam (R)

Iterando este proceso, encontramos una sucesion de rectangulos cerradosRν1,ν2,...,νk : k ∈ N que satisfacen las siguientes propiedades:

1. Rν1,ν2,...,νk,νk+1⊂ Rν1,ν2,...,νk ,

2. `(∂Rν1,ν2,...,νk) =12k`(∂R),

3. diam (Rν1,ν2,...,νk) =12kdiam (R), y

4.

∣∣∣∣∣∫∂Rν1,ν2,...,νk

f dz

∣∣∣∣∣ ≥ 14kA.

El inciso (1) nos dice que tenemos una sucesion Rν1,ν2,...,νk : k ∈ N decompactos anidados, aunado esto al inciso (2) tenemos que⋂

k∈NRν1,ν2,...,νk = α

para un unico punto α ∈ R.Definimos ε : Ω→ C, por ε(z) = f(z)− [f(α) + f ′(α)(z − α)].Como f es una funcion C−diferenciable en Ω, entonces ε es C−diferenciable

en Ω, y ε(α) = 0. Luego entonces

lımz→α,z 6=α

ε(z)z − α

= lımz→α,z 6=α

ε(z)− ε(α)z − α

= 0.

Luego entonces, dada ε > 0 existe δ > 0 tal que |z − α| < δ implica|ε(z)| < ε|z − α|.Como f(α)+(z−α)f ′(α) es un polinomio en la varible z, como consecuenciadel corolario anterior,


∫∂Rν1,ν2,...,νk

f(α) + (z − α)f(α) = 0.

Luego entonces ∫∂Rν1,ν2,...,νk

ε dz =∫∂Rν1,ν2,...,νk

f dz.

Por otra parte, como lımn→∞

diam (Rν1,ν2,...,νn) = 0, existe k ∈ N suficien-

temente grande, tal que diam (Rν1,ν2,...,νk) < δ. En particular |z − α| < δ, siz ∈ Rν1,ν2,...,νk . De quı se deduce que

14kA ≤

∣∣∣∣∣∫∂Rν1,ν2,...,νk

fdz

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫∂Rν1,ν2,...,νk

εdz

∣∣∣∣∣≤ ε diam(Rν1,ν2,...,νk) `(Rν1,ν2,...,νk) = ε

12kdiam(R)

12k`(R),

es decir, A < ε diam (R) `(∂R).Como ε es arbitraria, entonces A = 0.

Para poder aplicar este teorema necesitamos una version mas fuerte.

Teorema 5.1.3. Si Ω es un abierto en C, f una funcion C−valuada ycontinua en Ω, a ∈ Ω, y f es C−diferenciable en Ω \ a, entonces paracualquier rectangulo cerrado R ⊂ Ω∫

∂Rfdz = 0.

Demostracion. Si a /∈ R, aplicamos el teorema anterior. Si a ∈ ∂R, seaRε un rectangulo cerrado contenido en el interior de R, y cuyos verticesconvergen a R cuando ε → 0. Esto es, si R = [a, b] × [c, d], y 0 < ε unnumero suficientemente pequeno, entonces Rε = [a+ ε, b− ε]× [c+ ε, d− ε].

Como f es continua en Ω y R es compacto, entonces f es uniformementecontinua en R, luego entonces

lımε→0

∫∂Rε

f dz =∫∂Rf dz

Pero, como consecuencia del teorema de Cauchy-Goursat∫∂Rε

fdz = 0,

de donde∫∂Rfdz = 0.

5.2. EL TEOREMA DE CAUCHY PARA RECTANGULOS 155

Figura 5.3:

Finalmente, supongamos que a ∈ Int(R) = (a, b) × (c, d), digamos a =α+ı β. Sea R1 el rectangulo con vertices v1 = a+ı c, w2 = α+ı c, w3 = α+ı dy v4 = a+ ı d, R2 el rectangulo con vertices w2, v2 = b+ ı c, v3 = b+ ı d, w3.

Entonces ∫∂Rf dz =

∫∂R1

f dz +∫∂R2

f dz.

Como a ∈ ∂R1 y a ∈ ∂R2, en el caso anterior mostramos que∫∂Rk

f dz = 0,

para k = 1, 2, de donde∫∂Rf dz = 0.

5.2. El Teorema de Cauchy para rectangulos

Lema 5.2.1. Si R es un rectangulo cerrado en C, y a ∈ R \∂R es un puntoen el interior de R, entonces∫

∂R

1z − a

dz = 2πı.

Demostracion. Dado t ∈ [0, 1], existe un unico ρ(t) tal que en la frontera deR tenemos el punto a + ρ(t)e2π ı t. Consideremos la curva suave por partesr(t) = a+ ρ(t)e2πı t. Entonces∫

∂R

1z − a

dz =∫ 1

0

1ρ(t)e2π ı t

dρ(t)e2π ı t

dtdt

=∫ 1

0

ρ′(t)ρ(t)

dt+∫ 1

02π ı dt

= ln(ρ(1))− ln(ρ(0)) + 2π ı= 2π ı


donde el logaritmo es el logaritmo real de un numero positivo, y como ρ(0) =ρ(1), entonces ln(ρ(1))− ln(ρ(0)) = 0.

Teorema 5.2.1 (El teorema de Cauchy para rectangulos). Si Ω ⊂ C esabierto no vacıo, f : Ω → C una funcion C−diferenciable en Ω, R ⊂ Ω unrectangulo cerrado, a un punto en el interior de R, entonces

f(a) =1

2π ı

∫∂R

f(z)z − a

dz.

Demostracion. Para z ∈ Ω, definamos la funcion

g(z) =

f(z)− f(a)

z − asi z ∈ Ω \ a

f ′(a) si z = a

Claramente g es continua en Ω, y g es C−diferenciable en Ω \ a, como

consecuencia del teorema anterior, 0 =∫∂Rg dz, y como

∫∂Rg dz =

∫∂R

f(z)− f(a)z − a

dz

=∫∂R

f(z)z − a

dz − f(a)∫∂R

1z − a

dz

=∫∂R

f(z)z − a

dz − 2πı f(a)

de donde f(a) =1

2π ı

∫∂R

f(z)z − a

dz.

Teorema 5.2.2. Si Ω ⊂ C es un abierto no vacıo, y f es una funcionC−diferenciable en Ω, entonces f es holomorfa en Ω, es decir, dado a ∈ Ω,existe r > 0, la cual depende de a y Ω, y existe una sucesion de numeroscomplejos cnn≥0 tal que

∞∑n=0

cn(z − a)n

converge a f(z) para toda z tal que |z − a| < r.

Demostracion. Sea a ∈ Ω, y sea R ⊂ Ω un rectangulo cerrado tal quea ∈ R \ ∂R, y tomemos r > 0 tal que B(a, r) ⊂ int(R), es decir, la bola


cerrada con centro en a y radio r este contenida en el interior del rectanguloR. Como consecuencia del teorema de Cauchy para rectangulos tenemos:

f(w) =1

2π ı

∫∂R

f(z)z − w

dz.

Por otra parte

1z − w

=1

z − a

(1− w − a

z − a

)−1

=1

z − a

∞∑0

(w − az − a

)si |w − a| < |z − a|.

Si w ∈ B(a, r) y z ∈ ∂R, entonces |w− a| ≤ τ |z − a|, con 0 < τ < 1, y τsolo depende de r y R. Luego entonces

f(w) =1

2π ı

∫∂Rf(z)

∞∑n=0

(w − a)n

(z − a)n+1dz,

y como la serie converge uniformemente para w ∈ B(a, r), y z ∈ ∂R, pode-mos intercambiar la suma con la integral, de donde

f(w) =1

2π ı

∞∑n=0

(∫∂R

f(z)(z − a)n+1

dz

)(w − a)n,

o equivalentemente

f(w) =∞∑n=0

cn(w − a)n,

concn =

12π ı

∫∂R

f(z)(z − a)n+1

dz.

Es decir, toda funcion C−diferenciable es holomorfa.

En vista de esto, los conceptos C−diferenciable, holomorfo y analıtico,son equivalentes, y los usaremos indistintamente a partir de este momento.

Aun mas, como f(z) =∞∑n=1

cn(z − a)n, entonces ck =1k!f (k)(a), y el valor

ck es independiente de ∂R, ademas la identidad f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, se

satisface para |z − a| < ρ, donde ρ es el radio de convergencia de la serie.

Corolario 5.2.1. Si f ∈ C1(Ω), y ∂f/∂z = 0 en Ω, entonces f es holomorfa.


Corolario 5.2.2. Toda funcion C−diferenciable en Ω es infinitamente C−di-ferenciable.

Corolario 5.2.3. Si f : Ω→ C es C-diferenciable, entonces f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n,

si |z − a| < ρ, donde ρ es la distancia del punto a a la frontera de Ω, estoes, ρ = d(a, ∂Ω)

Corolario 5.2.4. Si Ω ⊂ C es abierto no vacıo, f : Ω → C una funcionholomorfa en Ω, R ⊂ Ω un rectangulo cerrado, a un punto en el interior deR, entonces

f (k)(a) =k!

2π ı

∫∂R

f(z)(z − a)k+1

dz.

Demostracion. Como mencionamos anteriormente

f (k)(a) = k!ck =k!

2πi

∫∂R

f(z)(z − a)k+1

dz.

Teorema 5.2.3 (El Teorema de Morera). Si Ω ⊂ C es un abierto no vacıo,

f una funcion continua en Ω, y si∫∂Rf dz = 0 para todo rectangulo cerrado

R ⊂ Ω. Entonces f es holomorfa en Ω.

Demostracion. Dado a = α + ı β ∈ Ω, consideremos r > 0 tal que B =B(a, r) ⊂ Ω.

Si z ∈ B, entonces z = x + ı y, (x, y ∈ R), sea z′ = x + ı β, y seγz = γ1 + γ2, donde γ1 es el segmento de lınea que une a con z′, el cualpodemos parametrizar como, γ1(t) = t + ı β, con t ∈ [α, x]; y sea γ2 es elsegmento que une z′ con z, parametrizado por γ2(t) = x+ ı t con t ∈ [β, y].

Definimos F (z) =∫γz

f(w) dw.

Si h 6= 0 es un numero real tal que z + ı h ∈ B(a, r), entonces

F (z + ı h)− F (z)h

=1h

∫λf(w) dw,

donde λ es el segmento de lınea que une z con el punto z + ı h, por ende,λ(t) = x+ ı t, con y ≤ t ≤ y + h, y λ(t) = ı. Entonces


Figura 5.4:

F (z + ıh)− F (z)h

=ı

h

∫ y+h

yf(x+ ıt) dt.

De donde, para cada z ∈ B(a, r) tenemos

∂F

∂y(z) = lım

h→0

F (z + ı h)− F (z)h

= ı f(z).

Por otra parte, si z” = α+ ı y, y Γz es la curva Γ1 + Γ2, donde Γ1 es elsegmento de lınea que une a con z”, y Γ2 el segmento que une z” con z, sih 6= 0 es un numero real suficientemente pequeno, entonces:

F (z + h)− F (z)h

=1h

∫Lf(w) dw,

donde L es el segmento de lınea que une z con el punto z + h, por ende,λ(t) = t + ı y, con x ≤ t ≤ x + h, y L(t) = 1, y procediendo de manerasimilar a la realizada en el parrafo anterior, tenemos

∂F

∂x(z) = lım

h→0

F (z + h)− F (z)h

= f(z).

Afirmamos que: ∫γz

f =∫

Γz

f.


Si x 6= α y y 6= β, y consideramos el rectangulo R con vertices a, z′,z,z”,

su frontera ∂R, esta dada por γz − Γz, y por hipotesis∫∂Rf = 0, luego

entonces:

0 =∫∂Rf =

∫γz

f −∫

Γz

f.

Por otra parte, si x = α, entonces z′ = a y z” = z, de donde∫γz

f =∫−→z′zf =

∫−→az′f

ya que−→az′ se reduce a un punto

∫−→az′f = 0, analogamente

∫Γz

f =∫−→azf.

Cuando y = β se procede de manera similar a la anterior, de donde∫γz

f(w) dz =∫

Γz

f(w) dw.

Como ∂F/∂x = f , y ∂F/∂y = ı f , existen, son continuas y satisfacenlas ecuaciones de Cauchy-Riemann ∂F/∂x = f = −ı (ı f) = −ı (∂F/∂y),entonces F es C-diferenciable en z, para cada z ∈ B(a, r), y como a es unpunto arbitrario de Ω, entonces F es holomorfa en Ω.

Como consecuencia del teorema Fundamental del Calculo, si tenemos unafuncion holomorfa F , definida en un abierto conexo no vacıo Ω ⊂ C, tal que

F ′ = f , entonces∫γfdz = 0 para cualquier curva cerrada, suave por partes

contenida en Ω. Reciprocamente, el resultado anterior nos dice que, si f

satisface la condicion∫∂Rf = 0, para cualquier rectangulo cerrado contenido

en Ω, entonces f es holomorfa, lo cual proporciona otra caracterizacion delas funciones holomorfas.

Definicion 5.2.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, no vacıo, f una funcionholomorfa en Ω. Una primitiva de f sobre Ω es una funcion F , holomorfaen Ω, cuya derivada es f , es decir, F ′ = f .

Como consecuencia de que toda funcion holomorfa admite un desarrolloen serie de potencias, tenemos la siguente proposicion:

Proposicion 5.2.1. Si∞∑n=0

cn(z − a)n converge a f(z) en la bola abierta

con centro en a y radio r, B(a, r) = z; |z − a| < r, entonces f tiene unaprimitiva en B(a, r).

5.3. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE CAUCHY 161

Demostracion. Definamos F (z) =∞∑n=0

cnn+ 1

(z − a)n+1, claramente F ′ = f

y como consecuencia del lema 2, Capıtulo 2 §2,3, el radio de convergencia deF coincide con el de f . Por tanto, F es una primitiva de f en B(a, r).

Proposicion 5.2.2. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, conexo, y sea f unafuncion holomorfa en Ω. Si F y G son dos primitivas de f en Ω, entoncesF −G es constante.

Demostracion. Como F y G son primitivas de f en Ω, entonces (F −G)′ =F ′ −G′ = f − f = 0, y como Ω es conexo, tenemos que la funcion F −G esconstante.

5.3. Consecuencias del teorema de Cauchy

En la presente seccion, analizaremos el comportamiento de las funcionesholomorfas, en particular veremos como ciertas condiciones locales determi-nan el comportamiento global de la funcion.

El siguiente resultado es uno de los principales teoremas sobre la conver-gencia de funciones C− diferenciables, este teorema fue formulado por KarlWeierstrass aproximadamente en 1860.

Teorema 5.3.1 (Teorema de convergencia de funciones C−diferenciables).Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto conexo, y sea fn una sucesion de funcionesC−diferenciables definidas en Ω. Si u− lım

n→∞fn = f sobre cada disco cerrado

contenido en Ω, entonces f es C−diferenciable. Ademas, lımn→∞

f ′n = f ′ pun-tualmente sobre Ω y uniformemente sobre cualquier disco cerrado contenidoen Ω.

Analogamente, si gk es una sucesion de funciones C−diferenciables

definidas sobre un abierto conexo Ω ⊂ C, y si g(z) =∞∑n=1

gk(z) converge uni-

formemente sobre cada disco cerrado contenido en Ω, entonces g es C−dife-renciable en Ω y g′(z) =

∑∞k=1 g

′k(z) puntualmente sobre Ω y uniformemente

sobre cualquier disco cerrado contenido en Ω.

La demostracion del teorema de convergencia de funciones C−diferen-ciables depende del teorema de Morera y de la formula integral de Cauchy,que estudiamos en la seccion anterior, para la demostracion de este teoremarequeriremos del siguiente resultado.


Lema 5.3.1. Sea Ω ⊂ C un subconjunto abierto conexo, γ : [0, 1]→ Ω unacurva en Ω y sea fn una sucesion de funciones continuas definidas enγ([0, 1]) las cuales convergen uniformemente a f en γ([0, 1]). Entonces

lımn→∞

∫γfn dz =

∫γf dz.

Analogamente, si gn una sucesion de funciones continuas definidas en

γ([0, 1]) tales que∞∑n=1

gn(z) converge uniformemente sobre γ([0, 1]), entonces

∫γ

( ∞∑n=1

gn(z)

)dz =

∞∑n=1

∫γgn(z) dz.

Demostracion. Como consecuencia del Corolario 2 del Criterio de Cauchypara convergencia uniforme Cap. 2 §2,2, se sigue que la funcion f es continua,por tanto, integrable. Dado ε > 0, podemos elegir N = N(ε) ∈ N tan que sin ≥ N entonces |fn(z)− f(z)| < ε/`(γ) para toda z ∈ γ([0, 1]).

Entonces, como consecuencia de la proposicion 46, Cap. 5, §5,1∣∣∣∣∫γfn −

∫γf

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫γ(fn − f)

∣∣∣∣ ≤ ∫ γ|fn(z)− f(z)| |dz| < ε.

La segunda afirmacion es consecuencia de la primera, aplicando el resul-tado a la sucesion de sumas parciales.

A continuacion presentamos la demostracion del teorema de convergenciade funciones C−diferenciables

Demostracion. Basta demostrar la primera parte.Sea z0 ∈ Ω y sea r > 0 tal que B(z0, r) ⊂ Ω, como f = u − lım fn

sobre B(z0, r), entonces f es continua sobre B(z0, r). Sea γ cualquier curva

cerrada en B(z0, r). Como fn es C−diferenciable, entonces∫γfn = 0. Como

consecuencia del lema anterior lım∫γfn =

∫γf , de donde

∫γf = 0. Como

consecuencia del teorema de Morera f es C−diferenciable en B(z0, r).Debemos demostrar que f ′n converge uniformemente a f ′ en conjuntos

cerrados. Para hacer esto, usaremos la formula integral de Cauchy. Sea r > 0tal que B(z0, r) ⊂ Ω, y sea ρ > r tal que la circunferencia con centro z0 yradio ρ, γ = z0 + ρe2πıt, con t ∈ [0, 1] este conenida en Ω.


Para cada z ∈ B(z0, r), como consecuneica de la formula integral deCauchy tenemos

f ′n =1

2πı

∫γ

fn(ζ)(ζ − z)2

dζ y f ′(z) =1

2πı

∫γ

f(ζ)(ζ − z)2

dζ.

Por hipotesis la sucesion fn converge uniformemente a f sobre el discocerrado B(z0, ρ) ⊂ Ω. Entonces, dada ε > 0, podemos elegir N = N(ε) ∈ Ntal que si n ≥ N entones |fn(z)− f(z)| < ε sobre γ([0, 1]). Ademas,

|f ′n(z)− f ′(z)| =∣∣∣∣ 12πı

∫γ

fn(ζ)− f(ζ)(ζ − z)2

dζ

∣∣∣∣Como |ζ − z0| = ρ. y z ∈ B(z0, r) entonces |ζ − z| ≥ ρ − r. Por lo cual, sin ≥ N , se tiene que

|f ′n(z)− f ′(z)| ≤ 12π

ε

(ρ− r)2`(γ) =

ερ

(ρ− r)2

Como ρ y r son constantes fijas independientes de z ∈ B(z0, r), tenemos quef ′n converge uniformemente a f ′ sobre discos cerrados.

Un resultado que nos habla de la rigidez de las funciones holomorfas esel siguiente:

Teorema 5.3.2 (El principio de continuacion analıtica). Sea Ω ⊂ C unsubconjunto abierto no vacıo, y sea f : Ω → C una funcion holomorfa. Siexiste un subconjunto abierto no vacıo U contenido en Ω tal que f(z) = 0para cada z ∈ U , entonces f(z) = 0 para toda z ∈ Ω.

Demostracion. Denotemos por f (n) la n−esima derivada de f , si n ≥ 1, yf (0) = f . Y denotemos por En el conjunto de puntos z ∈ Ω cuya n−esimaderivada es cero, esto es,

En = z ∈ Ω ; f (n)(z) = 0,

y definimosE =

⋂n≥0

En.

Queremos demostrar que E = Ω, para lo cual demostraremos que E esun conjunto no vacıo, cerrado y abierto en Ω, y como Ω es conexo, entoncesE debe coincidir con Ω.

Como f(z) = 0 para toda z ∈ U , entonces U ⊂ E, por ende E 6= .


Como f (n) es continua, y En es la imagen inversa de un punto, que enparticular es un conjunto cerrado, entonces En es cerrado. Por otra parte, co-mo interseccion arbitraria de cerrados es cerrado, entonces E es un conjuntocerrado en Ω.

Ahora demostraremos que E es abierto, sea a ∈ E, como f es holomorfaen Ω, existe r > 0 y una sucesion de numeros complejos cnn≥0 tales que

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, para toda z ∈ B(a, r) = z; |z − a| = r y como

consecuencia de la proposicion 28 y del corolario 7, capıtulo 3, §2 tenemos

f (k)(z) =∞∑n=0

n(n− 1) · · · (n− k + 1)cn(z − a)n−k, donde ck =f (k)(a)k!

.

Como a ∈ E, entonces f (k)(a) = 0 para toda k ≥ 0, de donde ck = 0 paratoda k ≥ 0, por lo que f(z) = 0 para toda z ∈ B(a, r), es decir B(a, r) ⊂ E.Por tanto, E es abierto.

Como E es abierto y cerrado en un conjunto conexo no vacıo, entoncesE = Ω, y por tanto, f ≡ 0 en Ω.

Definicion 5.3.1 (Serie de Taylor). Sea Ω ⊂ C un abierto no vacıo, f unafuncion holomorfa en Ω, y a ∈ Ω. La serie

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(z − a)n

se denomina la serie de Taylor de f en a.

Como consecuencia del principio de continuacion analıtica (vease teo-rema 5.3.2) tenemos que, la serie de Taylor de f en a converge a f enuna vecindad de a, ademas de que es la unica serie

∑cn(z − a)n con esta

propiedad.

Ejemplo 11.

1. Consideremos la funcion f(z) = (1− z)−1, claramente f es holomorfaen C\1, en particular en el punto z = 0. Por lo que, podemos obtenerla serie de Taylor de f en z = 0.

Como f(z) = (1−z)−1, podemos ver que f ′(z) = (1−z)−2, y en generalf (n)(z) = n!(1− z)−(n+1), por tanto, f (n)(0) = 1 los coeficientes de laserie de Taylor de f estan dados como cn = f (n) = n! = 1, para n ≥ 0.


Luego entonces la serie de Taylor de f alrededor de z = 0 esta dada por

la serie geometrica:∞∑n=0

zn, la cual tiene radio de convergencia r = 1.

2. Como consecuencia de esto, la serie de Taylor de la funcion g(z) =

(1− z)−2 esta dado como∞∑n=1

(−n)zn−1g(z) = −f ′(z), pues g = −f ′.

3. Consideremos ahora la funcion, log(z + 1) = ln |z + 1| + ı arg(z + 1),con −π < arg(z + 1) < π.

En particular z = 0 esta en el dominio de analiticidad de log(z +

1). Comod log(z + 1)

dz=

1z + 1

y la n−esima derivada de log(z + 1)

esta dada como(−1)n−1

(n− 1)!(z + 1)−n si n ≥ 1. Por ende, los coeficientes

de su serie de Taylor alrededor de z = 0 estan dados por c0 = log(1) =

0, y cn =(

(−1)n−1

(n− 1)!

)/n! =

(−1)n−1

n.

Por tanto, la serie de Taylor de log(z+1) esta dada por∞∑n=1

(−1)n−1

nzn,

y la expresion es valida si |z| < 1.

4. Si f(z) = 1/(z − 1)(z − 2), aplicando fracciones parciales podemosencontrar numeros complejos A y B, tales que

A

z − 1+

B

z − 2=

1(z − 1)(z − 2)

,

a saber A = −1 y B = 1, es decir:

1(z − 1)(z − 2)

=−1z − 1

+1

z − 2=

11− z

+1

z − 2,

Como vimos anteriormente, la funcion 1/(1 − z) en z = 0 tiene serie

de Taylor∞∑n=0

zn, por otra parte, procediendo de manera analoga al

primer ejemplo, tenemos que la serie de Taylor de 1/(z− 2) esta dada

por∞∑n=0

−12n+1

zn, la cual tiene radio de convergencia 2.

Por lo que, la serie de Taylor de f(z) en z = 0 esta dada por


∞∑n=0

(2n+1 − 1

2n+1

)zn =

∞∑n=0

zn +∞∑n=0

−12n+1

zn,

y la serie es valida si |z| < 1.

5. La serie de Taylor de ez alrededor de z = 0 esta dada por∞∑n=0

zn

n!, y

tiene radio de convergencia infinito, es decir, la expresion es valida paratoda z. Esto es consecuencia de la definicion de la funcion exponencial,y de la unicidad de la serie de Taylor.

De manera similar, podemos demostrar que:

6. La serie de Taylor de ez2

alrededor de z = 0 esta dada por∞∑n=0

z2n

n!,

y tiene radio de convergencia infinito, es decir, la expresion es validapara toda z.

7. La serie de Taylor de sin z esta dada por∞∑n=0

(−1)n

(2n− 1)!z2n−1, y esta

expresion es valida para toda z.

8. La serie de Taylor de cos z esta dada por∞∑n=0

(−1)n

(2n)!z2n, y esta expresion

es valida para toda z.

9. A continuacion procederemos a obtener los primeros terminos de laserie de Taylor para la funcion tan z, alrededor de z = 0.

Como tan z = sin z/ cos z y cos 0 = 1, tenemos que tan z es holomorfaen una vecindad de z = 0, luego entonces, existe r > 0 y una sucesionde numeros complejos cn tales que

tan z =∞∑n=0

cnzn

y la expresion es valida si |z| < r.

En particular

sin z = tan z cos z =

( ∞∑n=0

cnzn

)cos z


Sustituyendo las expresiones en serie de Taylor de sin z y cos z en z = 0obtenemos:

∞∑n=0

(−1)n

(2n− 1)!z2n−1 =

( ∞∑n=0

cnzn

)( ∞∑n=0

(−1)n

(2n)!z2n

)

Usando ahora el hecho de,

( ∞∑n=0

an

)( ∞∑m=0

bm

)=∞∑n=0

dn , con:

dn =n∑k=0

akbn−k, tenemos que:

z − z3

3!+z5

5!− z7

7!+ . . . = c0 + c1z + (c2 −

c0

2!)z2 + (c3 −

c1

2!)z3

+(c4 −c2

2!+c0

4!)z4 + (c5 −

c3

2!+c1

4!)z5

+(c6 −c4

2!+c2

4!− c0

6!)z6 + . . .

Comparando termino a termino, obtenemos el siguiente sistema deecuaciones:

0 = c0 1 = c1

0 = c2 −c0

2!− 1

3!= c3 −

c1

2!

0 = c4 −c2

2!+c0

4!15!

= c5 −c3

2!+c1

4!0 = c6 −

c4

2!+c2

4!− c0

6!· · ·

de donde, podemos deducir:

0 = c0 = c2 = c4 = c6 = . . .

y

c1 = 1, c3 =c1

2!− 1

3!=

13, c5 =

15!

+c3

2!− c1

4!=

215, . . .


Por ende, la serie de Taylor de tan z en z = 0 esta dada por:

z +13z3 +

215z5 + . . ., y es valida si |z| < π/2.

Teorema 5.3.3. Sea Ω ⊂ C un subconjunto abierto conexo, y f una funcionholomorfa en Ω. Si

Zf := z ∈ Ω ; f(z) = 0

entonces Zf es un conjunto discreto si f no es identicamente nula. Es decir,Zf es un conjunto cerrado y cada punto de Zf es aislado.

El conjunto Zf es el conjunto de ceros de la funcion holomorfa f .

Demostracion. Como f es continua entonces Zf es un conjunto cerrado. Seaa ∈ Zf , entonces existe una vecindad U de a y una expansion en serie depotencias

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n, z ∈ U

Tenemos que c0 = f(a) = 0. Como f no es identicamente nula, como conse-cuencia del principio de continuacion analıtica, teorema 5.3.2, existe n ∈ Ntal que cn 6= 0. Sea k el mınimo entero positivo n tal que cn 6= 0. Entonces

f(z) = (z − a)k∞∑n=k

cn(z − a)n−k = (z − a)kg(z)

Claramente g(a) = ck 6= 0, por lo cual, existe una vecindad V ⊂ U de a talque g(z) 6= 0 para cada z ∈ V . Luego entonces

Zf ∩ V = a

es decir, a es un punto aislado de Zf .

Corolario 5.3.1 (Principio de la identidad). Si Ω ⊂ C es un subconjuntoabierto conexo, si f y g son dos funciones holomorfas en Ω y si el conjunto

z ∈ Ω ; f(z) = g(z)

tiene un punto de acumulacion en Ω, entonces f coincide con g en Ω.

Demostracion. Sea h = f−g, como Zh tiene un punto de acumulacion comoconsecuencia del teorema anterior Zh no es discreto, por lo tanto h ≡ 0 enΩ.


Corolario 5.3.2. Si f es una funcion holomorfa C valuada definida en unabierto conexo Ω, y f no es identicamente cero, entonces para cada a ∈ Ωcon f(a) = 0 existe un entero n ≥ 1 y una funcion holomorfa g : Ω→ C talque g(a) 6= 0 y f(z) = (z − a)ng(z) para toda z ∈ Ω. Esto es, cada cero def tiene multiplicidad finita.

Demostracion. Sea n−1 el maximo entero positivo tal que f (k)(a) = 0 para0 ≤ k ≤ n y definamos

g(z) =

f(z)

(z − a)nsi z 6= a

fn(a)n!

si z = a

Como f es holomorfa, y f(a) = f ′(a) = . . . = f (n−1)(a) = 0, entonces

f(z) =∞∑k=0

ck(z − a)k =∞∑k=n

ck(z − a)k = (z − a)n∞∑k=n

ck(z − a)k−n,

de donde g(z) =∞∑k=n

ck(z − a)k−n es holomorfa.

En este caso se dice que f tiene un cero en a de multiplicidad n.

Teorema 5.3.4 (El Teorema de Independencia de Trayectorias). Si f esuna funcion continua sobre un conjunto abierto conexo Ω ⊂ C, los siguientesenunciados son equivalentes:

1. (Independencia de la trayectoria) Si z0 y z1 son dos puntos en Ω, y las

curvas γ0 y γ1 son trayectorias en Ω de z0 a z1, entonces∫γ0

f =∫γf.

2. Si γ es una curva cerrada contenida en Ω, entonces∫γf = 0.

3. Existe una primitiva (global) de f en Ω.

Demostracion. Es claro que las condiciones 1 y 2 son equivalentes.3 ⇒ 1 es consecuencia del teorema fundamental del calculo para inte-

grales de lınea.1⇒ 3 Como consecuencia del teorema de Morera, f es holomorfa en Ω,

de donde, f es C-diferenciable en Ω, y como consecuencia del principio decontinuacion analıtica, f tiene primitiva en Ω


Teorema 5.3.5 (El Teorema de Cauchy-Goursat para bolas). Si f es holo-morfa en la bola con centro en z0 y radio ρ, entonces f tiene una primitivaen B(a, ρ). Ademas, para cada curva cerrada γ contenida en B(a, ρ) tenemos

que∫γf = 0

Demostracion. Como consecuencia de la proposicion 48, la funcion f tieneprimitiva en B(a, ρ).

Y como consecuencia del teorema de independencia de las trayectorias,tenemos que para cualquier curva cerrada γ contenida en B(a, ρ) se tiene

que∫γf = 0.

Teorema 5.3.6 (La formula de Cauchy para bolas). Si Ω ⊂ C es un con-junto abierto, a ∈ Ω y r > 0 es tal que B(a, r) ⊂ Ω. Entonces, para cadafuncion f holomorfa en Ω y cada w ∈ B(a, r) se tiene que:

f(w) =1

2πı

∫γ

f(z)z − w

dz.

Demostracion. Definimos la funcion g : Ω→ C como

g(z) =

f(z)− f(w)

z − wz ∈ Ω \ w

f ′(w) z = w

Entonces g es holomorfa en Ω, para ver esto, basta verificar que g es holo-morfa en una vecindad de w. Como f es holomorfa en Ω, f admite un

desarrollo en serie de potencias f(z) =∞∑n=0

cn(z − w)n en una vecindad de

w, y tenemos que g(z) =∞∑n=1

cn(z − w)n−1 para estos valores de z, como

consecuencia del teorema anterior∫γg = 0, de donde

∫γ

f(z)z − w

dz = f(w)∫γ

dz

z − w.

Como consecuencia de este resultado tenemos:


Teorema 5.3.7 (El principio de la media). Si Ω ⊂ C es un conjunto abierto,a ∈ Ω y r > 0 es tal que B(a, r) ⊂ Ω. Entonces, para cada funcion fholomorfa en Ω se tiene que

f(a) =1

2π

∫ 2π

0f(a+ reıt) dt

Demostracion. Como consecuencia de la formula de Cauchy para bolas, siγ : [0, 2π]→ Ω esta dada por γ(t) = a+ eıt se tiene que

f(a) =1

2πı

∫γ

f(z)z − a

dz

=1

2πı

∫ 2π

0

f(a+ eıt)(a+ eıt)− a

ıeıt dt

=1

2π

∫ 2π

0f(a+ eıt) dt

Se ha demostrado ası que el valor de una funcion holomorfa en un puntoes siempre el promedio de los valores que dicha funcin toma sobre los puntosde cualquier circunferencia que tenga a dicho punto como centro. Comoconsecuencia del principio de la media 5.3.7 tenemos

Corolario 5.3.3 (Desigualdad de la media). Si Ω ⊂ C es un conjuntoabierto, a ∈ Ω y r > 0 es tal que B(a, r) ⊂ Ω. Entonces, para cada funcionf holomorfa en Ω se tiene que

|f(a)| ≤ 12π

∫ 2π

0|f(a+ reıt)| dt

Demostracion. Como consecuencia del principio de la media (5.3.7)

|f(a)| =∣∣∣∣ 12π

∫ 2π

0f(a+ reıt) dt

∣∣∣∣≤ 1

2π

∫ 2π

0|f(a+ reıt| dt


La formula integral de Cauchy para bolas nos permitira obtener la seriede Taylor de una funcion holomorfa dada.

Teorema 5.3.8 (Teorema de Taylor). Sea a ∈ C, r > 0 y sea B(a, r) labola abierta con centro a y radio r. Si f es holomorfa en B(a, r), entoncesla serie de Taylor

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(z − a)n

converge a f(z) para toda z ∈ B(a, r).

Demostracion. Sea 0 < ρ < r y w ∈ B(a, ρ) fijo, entonces

f(w) =1

2πı

∫γ

f(z)z − w

dz,

donde γ(t) = a+ ρe2πıt para 0 ≤ t ≤ 1.Ahora

1z − w

=1

z − a

(1− w − a

z − a

)−1

=∞∑n=0

(w − a)n

(z − a)n+1,

la serie converge uniformemente para |z − a| = ρ y |w − a| < ρ, entonces

f(w) =∞∑n=0

cn(w − a)n donde cn =1

2πı

∫γ

f(z)(z − a)n+1

dz

Como consecuencia del principio de continuacion analıtica 5.3.2, cn =f (n)(a)/n!. De donde, la serie de Taylor de f en a converge a f sobre B(a, ρ).Como ρ < r es arbitraria, esto demuestra el resultado.

Teorema 5.3.9 (Las desigualdades de Cauchy). Sean a ∈ C, y R ∈ R,R > 0. Si f es una funcion holomorfa en B(a,R), y si para 0 < ρ < rdefinimos Mρ = sup

|z−a|=ρ|f(z)|, entonces

|f (n)(a)| ≤ n!Mρ

ρn

Equivalentemente, si∞∑n=0

cn(z − a)n es la serie de Taylor de f en a,

entonces

|cn| ≤Mρ

ρnpara cada n ≥ 0.


Demostracion. Como consecuencia del teorema anterior, si γ(t) = a+ρe2πıt

para 0 ≤ t ≤ 1, y n ≥ 0

cn =1

2πı

∫γ

f(z)(z − a)n+1

dz

=1

2πı

∫ 1

0f(a+ ρe2πıt)(ρe2πıt)−n−1 d

dt(ρe2πıt) dt

= ρ−n∫ 1

0f(a+ ρe2πıt) · e−2πınt

de donde

|cn| ≤ ρ−n∫ 1

0|f(a+ ρe2πıt| dt ≤Mρρ

−n.

Definicion 5.3.2. Diremos que una funcion es entera, si la funcion esta defini-da y es holomorfa en todo el plano complejo C.

Ejemplo 12.

1. Si c ∈ C, y f(z) = c para toda z ∈ C, entonces f es entera.

2. Si f(z) = a0 + a1z + . . .+ anzn es un polinomio, entonces f es entera.

3. f(z) = aebz, con a, b ∈ C fijos, es una funcion entera.

4. La suma, el producto, y la composicion de funciones enteras, es entera.

En particular, tenemos el siguiente resultado:

Corolario 5.3.4. Si f es una funcion entera, entonces f tiene una repre-

sentacion en serie de potencias f(z) =∞∑n=0

cnzn, con radio de convergencia

infinito.

Teorema 5.3.10 (El teorema de Liouville). Si f es una funcion entera yacotada, entonces f es constante.

Demostracion. Supongamos que, existe M > 0 tal que |f(z)| < M paratoda z ∈ C, como f es entera, en particular es holomorfa en B(a,R), paratoda a ∈ C, y R > 0. Aplicando las desigualdades de Cauchy para n = 1tenemos:


|f ′(z)| ≤ M

R

Como R es abitraria, tomando el lımite cuando R tiende a ∞ tenemosf ′(z) = 0 para cadac z ∈ C, y como C es conexo, entonces f es constante.

Si p(z) y q(z) son polinomios con coeficientes complejos, el algoritmo dela division nos dice que, podemos encontrar dos polinomios s(z) y r(z) talesque p(z) = s(z)q(z) + r(z), donde el grado de r(z) es menor que el grado deq(z) (si r(z) = 0 diremos que r(z) tiene grado −∞).

En particular, si a es un numero complejo tal que p(z) = 0, entoncesp(z) = (z−a)q(z), si s(a) = 0, podemos factorizar nuevamente z−a de s(z),continuando con este proceso tenemos p(z) = (z − a)mt(z), con 1 ≤ m ≤grado de p(z), y t(z) es un polinomio tal que t(a) 6= 0.

Corolario 5.3.5. Las unicas funciones holomorfas en el plano extendidoson las constantes.

Definicion 5.3.3. Si f : Ω → C es una funcion holomorfa, y a ∈ Ω esun punto que satisface f(a) = 0, diremos que a es un cero de multiplicidadm ≥ 1 si, existe una vecindad B(a, r) ⊂ Ω del punto a, y una funcionholomorfa g : B(a, r)→ C, tal que f(z) = (z−a)mg(z)para toda z ∈ B(a, r)y g(a) 6= 0.

Teorema 5.3.11 (El Teorema Fundamental del Algebra.). Si p(z) es unpolinomio no constante, con coeficientes en C, entonces existe un numerocomplejo a tal que p(a) = 0.

Demostracion. Supongamos que p(z) 6= 0 para toda z ∈ C, entonces f(z) =1/p(z) es una funcion entera.

Como p(z) no es constante, entonces lımz→∞

p(z) =∞, de donde:

lımz→∞

f(z) = 0. En particular, existe R > 0 tal que |f(z)| < 1 si |z| > R.Por otra parte, como f es continua, en particular, existe M > 0 tal que

|f(z)| < M si |z| ≤ R. Sea N = max1,M, entonces |f(z)| ≤ N para todaz ∈ C.

Es decir, f es entera y acotada, y como consecuencia del teorema deLiouville, f es constante, lo cual implica que p tambien es constante, lo cualcontradice nuestra hipotesis.

Corolario 5.3.6. Si p(z) es un polinomio no constante, y a1, . . . , am sonsus ceros, tal que aj tiene multiplicidad kj, entonces


p(z) = c(z − a1)k1 · · · (z − am)km ,

para alguna constante c, ademas k1 + . . .+ km es el grado de p(z).

5.3.1. Valores propios de matrices

Un valor propio para una matriz A de tamano n × n es un numerocomplejo λ tal que la matriz λIn−A es singular, donde In denota la matrizidentidad de tamano n× n.

Como consecuencia del teorema fundamental del algebra una matriz detamano n × n tiene al menos un valor propio complejo. El determinantedet(zIn−A) es un polinomio de grado n en la variable z. Este es el polinomiocaracterıstico de A. Como consecuencia de la regla de Kramer λIn − A essingular para un valor determinado λ si, y solo si, det(λIn − A) = 0, estoes, cuando y solo cuando λ es un cero del polinomio caracterıstico de A. Esdecir, A tiene un valor propio. Este resultado es crucial para demostrar quetoda matriz con coeficientes complejos es triangulable.

Por ejemplo, dada la matriz A :=(

1 −33 1

), su polinomio caracterısti-

co esta dado como:

det(x− 1 3−3 x− 1

)= (x− 1)2 + 9 = x2 − 2x+ 10

Como consecuencia de la formula del binomio de Newton sus ceros son1 + 3ı y 1− 3ı. Esto es, los valores propios de A son 1 + 3ı y 1− 3ı.

5.3.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas

El teorema fundamental del algebra tambien tiene aplicaciones en ecua-ciones diferenciales. Se dice que una ecuacion diferencial homogenea concoeficientes constantes es una ecuacion de la forma:

any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = 0 (5.1)

Podemos ver facilmente que esta ecuacion tiene una solucion de la formay = eλx con λ ∈ C, ya que, si y = eλx entonces

n∑k=0

aky(k) =

(n∑k=0

akλk

)eλx


como la exponencial es una funcion nunca nula, esta expresion es cero, si ysolo si, el polinomio auxiliar

∑nk=0 akλ

k se anula para alguna λ ∈ C, esto es,cuando λ es una raız del polinomio auxiliar. Como consecuencia del teoremafundamental del algebra, todo polinomio no constante tiene un cero, por locual la ecuacion (5.1) tiene una solucion de la forma y = eλx.

Por otra parte, si λ1, . . . , λn son las raıces de (5.1), y ellas son distin-tas, entonces la solucion general de (5.1) es una combinacion lineal de lasfunciones eλkx.

Cuando los coeficientes de (5.1) son numeros reales, estamos interesadosen obtener solo las soluciones reales a esta ecuacion diferencial. Como laecuacion polinomial asociada solo tiene coeficientes reales, si λ ∈ C es uncero del polinomio asociado, entonces λ tambien lo es. En particular, siλ = α+ ıβ, entonces λ = α− ıβ. Como

eαx cosβx =eλx + eλx

2y eαx sinβx =

eλx − eλx

2ı

para obtener las soluciones reales de (5.1) debemos tomar cualquier combi-nacion lineal

Ceαx cosβx+Deαx sinβx = eαx(C cosβx+D sinβx)

con C,D ∈ R.Por ejemplo, la ecuacion

y′′ − 2y′ + 10y = 0

tiene ecuacion polinomial asociada x2 − 2x + 10 = 0, cuyas soluciones son1± 3ı. Ası la solucion general es

y = Ae(1+3ı)x +Be(1−3ı)x

con A,B ∈ C, y cuyas solucion general real es y = ex(C cos 3x + D sin 3x)con C,D ∈ R.

5.3.3. Caracterizacion de polinomios

En la demostracion del teorema de Liouville solo se utiliza la desigualdadde Cauchy para la derivada de primer orden de una funcion holomorfa. Esposible generalizar este resultado usando las estimaciones de las derivadasde orden superior.


Teorema 5.3.12. Sea f una funcion entera, entonces f es un polinomio degrado a lo mas n si, y solo si existen constantes positivas A y B tales que

|f(z)| ≤ A+B|z|n para cada z ∈ C. (5.2)

Demostracion. Primeramente, mostraremos que todo polinomio satisface adesigualdad (5.2).

Supongamos que f(z) = a0 +a1z+ . . .+an−1zn−1 +anzn es un polinomio

de grado a lo mas n, entonces

lımz→∞

f(z)zn

= an.

Como consecuencia de la definicion de lımite, si ε = 1, existe R > 0 tal que,si |z| > R entonces ∣∣∣∣f(z)

zn− an

∣∣∣∣ < 1.

Como consecuencia de la desigualdad del triangulo

|p(z)||z|n

< |an|+ 1 si |z| > R.

Sea B = |an|+ 1, entonces |f(z)| < B|z|n si |z| > R.Por otra parte, como f es continua y B(0, R) = z; |z| ≤ R es compacto,

entonces f es acotada, de donde, existe A > 0 tal que |f(z)| < A si |z| ≤ R.Combinando ambas desigualdades tenemos que |f(z)| ≤ A+B|z|n para cadaz ∈ C.

Reciprocamente, como f es entera, f admite desarollo en serie de Tayloralrededor de z0 = 0, con radio de convergencia infinito, es decir:

f(z) =∞∑k=0

f (k)(0)k!

zk para cada z ∈ C.

Para cada k ≥ 1, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy tene-mos

|f (n+k)(0)| ≤ (n+ k)!2πrn+k

∫ π

−π|f(reıt)| dt

≤ (n+ k)!2πrn+k

∫ π

−πA+Brn dt

≤ (n+ k)!rn+k

A+(n+ k)rk

B


y como(n+ k)!rn+k

A+(n+ k)!rk

B → 0 cuando r →∞, entonces |f (n+k)(0)| = 0

para toda k ≥ 1. Luego entonces, f(z) es un polinomio de grado a lo masn.

5.4. El principio del modulo maximo

En esta seccion estudiaremos el principio del maximo y el teorema de laaplicacion abierta, los cuales son fundamentales en el estudio de las funcionesholomorfas.

Definicion 5.4.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, y sea u ∈ C2(Ω). Sea

∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2.

El operador u 7→ ∆u se denomina el operador de Laplace en C ( o el Lapla-ciano).

Tambien definimos

∆cu =∂2u

∂z∂z

el operador ∆c se denomina el Laplaciano complejo

De la definicion de ∂/∂z y ∂/∂z, tenemos que

∆cu =14

∆u, para cada u ∈ C2(Ω).

Lema 5.4.1. Sea I un subconjunto abierto conexo de R y φ : I → R unafuncion de clase C2(I). Si existe t0 ∈ I tal que φ(t) ≤ φ(t0) para toda t ∈ I,entonces φ′′(t0) ≤ 0.

Demostracion. Como

φ′′(t0) = lımh→0h6=0

φ(t0 + h) + φ(t0 − h)− 2φ(t0)h2

y φ(t0 ± h) ≤ φ(t0), entonces φ(t0 + h) + φ(t0 − h) − 2φ(t0) ≤ 0 para cadah, de donde φ′′(t0) ≤ 0.

Proposicion 5.4.1. Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto y sea u ∈ C2(Ω) unafuncion real valuada definida en Ω. Supongase que existe (x0, y0) ∈ Ω talque u(x, y) ≤ u(x0, y0) para toda (x, y) ∈ Ω. Entonces

∆u (x0, y0) ≤ 0.

5.4. MODULO MAXIMO 179

Demostracion. Como consecuencia del lema anterior (∂2u/∂x2)(x0, y0) ≤ 0y (∂2u/∂y2)(x0, y0) ≤ 0, de donde ∆u (x0, y0) ≤ 0.

Teorema 5.4.1 (Version debil del principio del maximo). Sea Ω ⊂ C unsubconjunto abierto, y sea u ∈ C2(Ω) una funcion real valuada. Supongaseademas que

∆u (z) ≥ 0 para toda z ∈ Ω.

Entonces, para cada conjunto abierto U ⊂ Ω cuya cerradura en Ω es unconjunto compacto, se tiene:

u(z) ≤ supw∈∂U

u(w) para toda z ∈ U. (5.3)

Demostracion. Supongase que ∆u (z) ≥ 0 para cada z ∈ Ω, y consideremosU un subconjutno de Ω cuya cerradura en Ω sea un conjunto compacto, ysea z0 ∈ U tal que

u(z0) = supw∈U

u(w) (5.4)

Entonces, si (5.3) no se cumple, z0 no puede pertenecer a ∂U , de dondez0 ∈ U , y tenemos u(w) ≤ u(z0) para toda w ∈ U . De la proposicionatnerior se sigue que ∆u (z0) ≤ 0, lo cual contradice la hipotesis. Por lo cual(5.3) se satisface si ∆u > 0 sobre Ω.

Supongase ahora que ∆u ≥ 0 sobre Ω, sea ε > 0 y en Ω definimos lafuncion real valuada uε como sigue:

uε(z) = u(z) + ε|z|2

Entonces ∆uε = ∆u+4ε > 0. Como U es un subconjunto de Ω con cerraduracompacta en Ω tenemos

uε(z) ≤ supw∈∂U

uε(w) z ∈ U

Cuando ε→ 0 se tiene (5.3).

Corolario 5.4.1. Si Ω es un conjunto abierto en C, y sea f una funcionholomorfa en Ω. Entonces, si U es abierto y tiene cerradura compacta en Ω,entonces

|f(z)| ≤ supw∈∂U

|f(w)|, para cada z ∈ U.


Demostracion. Si u(z) = |f(z)|2 = f(z)f(z), entonces

∆u = 4∆cu = 4∂f

∂z

∂f

∂z= 4|f ′(z)|2 ≥ 0.

Teorema 5.4.2 (El teorema de la aplicacion abierta). Si Ω es un conjuntoabierto conexo en C y f es una funcion complejo valuada definida en Ω.Supongase que f no es constante. Entonces f es una funcion abierta de Ωen C, esto es, para cualquier conjunto abierto U ⊂ Ω, el conjunto f(U) esabierto en C.

Demostracion. Sea a ∈ Ω, bastara demostrar que f(Ω) es una vecindad def(a). Reemplazando f por f − f(a) podemos suponer que f(a) = 0. Sear > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω y f(z) 6= 0 para cada z ∈ B(a, r) \ a.

Sea δ = ınf|z−a|=r

|f(z)|. Entonces δ > 0. Sea w ∈ C, w /∈ f(Ω). Entonces

|w| ≥ δ/2. En efecto, si

φ(z) =1

f(z)− wes holomorfa en Ω, como consecuencia de la version debil del principio delmaximo

1|w|

= |φ(a)| ≤ sup|z−a|=r

|φ(z)| =1

ınf|z−a|=r

|f(z)− w|.

Ahora, si |w| < δ, tenemos |f(z)−w| ≥ |f(z)| − |w| ≥ δ− |w| si |z − a| = r.Luego entonces, si |w| < δ tenemos

1|w|≤ 1δ − |w|

,

es decir, |w| ≥ δ/2. Ası |w| ≥ δ o |w| ≥ δ/2. Por lo tanto

f(Ω) ⊃w ∈ C ; |w| < δ

2

,

ası f(Ω) es una vecindad de 0 = f(a).

Teorema 5.4.3 (El Teorema del Modulo Maximo para funciones holo-morfas). Si Ω ⊂ C es un conjunto abierto, acotado, conexo, no vacıo, yf : Ω→ C es una funcion holomorfa , y definimos

M = supζ∈∂Ω

( lımz→ζ,z ∈ Ω

|f(z)|).

5.4. MODULO MAXIMO 181

Entonces |f(z)| < M para toda z ∈ Ω a menos que f sea constante.

Demostracion. Claramente, podemos suponer M < ∞. Bastara demostrarque |f(z)| ≤M para toda z ∈ Ω, ya que, si f no es constante, por el teoremade la aplicacion abierta, f(Ω) es un conjunto abierto contenido en el discocerrado con centro en el origen y radio M , y por lo tanto, esta contenidoen su interior, es decir, en el disco B(0,M). Es suficiente mostrar que, paracada ε > 0, |f(z)| ≤M + ε para cada z ∈ Ω.

Como lımz→ζ,z∈Ω

|f(z)| ≤ M , entonces para cada ζ ∈ ∂Ω, existe una vecindad

abierta Uζ ⊂ C de ζ tal que |f(z)| < M+ε para z ∈ Uζ∩Ω. Sea V =⋃ζ∈∂Ω

Uζ ,

y sea K = Ω \ V . Como Ω es acotado, K es compacto. Sea W un conjuntoabierto tal que K ⊂W ⊂ Ω y W tenga cerradura compacta en Ω, entonces∂W ⊂ V . Ası |f(w)| ≤ M + ε para cada w ∈ ∂W . Como consecuencia dela version debil del principio del maximo, |f(z)| ≤M + ε para cada z ∈W .Como |f(z)| ≤ M + ε para z ∈ V ∩ Ω, de donde |f(z)| ≤ M + ε para todaz ∈ Ω.

Es decir, las funciones holomorfas alcanzan su modulo maximo en lafrontera.

Cabe notar que no es posible remover la hipotesis de ser acotada, porejemplo, si Ω = z ∈ C ; Re z > 0 y f(z) = ez, entonces |f(w)| = 1 paracada w ∈ ∂Ω = z ∈ C ; Re z = 0, pero f no es acotada en Ω

En particular, podemos aplicar el teorema del modulo maximo para es-tudiar el comportamiento de las funciones holomorfas, por ejemplo:

Lema 5.4.2 (El lema de Schwarz). Si f es una funcion holomorfa definidasobre ∆ = z ; |z| < 1 y |f(z)| ≤ 1 para toda z ∈ ∆ y f(0) = 0, entonces|f(z)| ≤ |z| para toda z ∈ ∆ y |f ′(0)| ≤ 1. Si |f(z0)| = |z0| para algunz0 ∈ ∆\0, entonces f(z) = cz para alguna constante c, |c| = 1.

Demostracion. Si definimos la funcion g : ∆ → C como g(z) = f(z)/z siz 6= 0, y g(z) = f ′(0) si z = 0, como hemos visto en otras ocasiones, ges continua, y holomorfa en C \ 0, y como consecuencia del teorema deMorera g es holomorfa en ∆. Si ∆r = B(0, r) para 0 < r < 1, por el principiodel modulo maximo |g(z)| ≤ 1/r, para toda z ∈ ∆r, de donde |f(z)| ≤ |z|/r,para z ∈ ∆ fija, consideremos r → 1, entonces |f(z)| ≤ |z|. Claramente|g(0)| ≤ 1; es decir, |f ′(0)| ≤ 1.


Si |f(z0)| = |z0|, y z0 6= 0, entonces |g(z0)| = 1 es maximo en ∆r, donde|z0| < r < 1, y asi g es constante en ∆r, y como la constante es independientede r, entonces f(z) = cz, para alguna constante de modulo uno c.

Lema 5.4.3. Si |a| < 1, la aplicacion φa =z − a1− az

es un automorfismo

analıtico de ∆

Demostracion. φa es no constante y holomorfa para |z| < 1/|a|. Para |z| = 1,tenemos que

|φa(z)| =∣∣∣∣ z − az(z − a)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣z − az − a

∣∣∣∣ = 1

Por el principio del maximo φa(∆) ⊂ ∆. Ademas φ−a(∆) ⊂ ∆ y φa φ−a = φ−a φa = identidad

Continuando con la notacion del lemma de Schwarz

Proposicion 5.4.2. Una funcion f holomorfa en ∆ es un automorfismoanalıtico de ∆ si, y solo si, existe θ ∈ R y a ∈ ∆ tal que

f(z) = eıθz − a1− az

= eıθφa(z) para z ∈ ∆

Demostracion. Como consecuencia del lema anterior, f(z) es un automor-fismo de ∆. Supongamos ahora que f es un automorfismo analıtico de ∆, ysea b = f(0). Entonces F = φb f es un automorfismo de ∆ con F (0) = 0.Como consecuencia del lemma de Schwarz

|F (z)| ≤ |z|, z ∈ ∆,

Ahora, F−1 : ∆ → ∆ tambien es un automorfismo de ∆ con F−1(0) = 0.Ası,

|F−1(z)| ≤ |z|, z ∈ ∆,

si tomamos z = F (w), con w ∈ ∆, entonces |w| ≤ |F (w)| con w ∈ ∆.Ası, |F (z)/z| ≡ 1, por lo que F (z) = eıθz para alguna constante θ ∈ R.

Por ende f(z) = eıθφa(z), donde a = −e−ıθb.

5.5. EJERCICIOS 183

Proposicion 5.4.3. Sea H+ = z ∈ C; Imz > 0. Entonces T : H+ → H+

es un automorfismo conforme si, y solo si es de la forma

T (z) =az + b

cz + d, con a, b, c, d ∈ R, y ad− bc > 0.

Demostracion. Como consecuencia de la proposicion (4.4.8) bastara de-mostrar que todo isomorfismo conforme T : H+ → H+ viene dado poruna aplicacion de Mobius. Sea ∆ = z ∈ C; |z| < 1 y S : H+ → ∆ unisomorfismo conforme del semiplano superior en el disco unitario. EntoncesS T S−1 es un automorfismo conforme del disco unitario ∆. De acuerdocon la proposicion (5.4.2), existe una transformacion de Mobis U tal que(S T S−1)(w) = U(w) para todo w ∈ ∆. Para cada z ∈ H+ se tienew = S(z) ∈ ∆, luego entonces T (z) = (S−1 U S)(z) se puede expresarcomo una composicion de transformaciones de Mobius.

5.5. Ejercicios

1. Evalue la siguiente integral ∫|z|=2

dz

z2 − 1

donde la circunferencia esta recorrida en sentido positivo.

2. Obtenga una estimacion de la siguiente integral:∫|z|=1

|z − 1| · |dz|

3. Suponga que f(z) es holomorfa en una region que contiene a la curvacerrada γ. Demuestre que ∫

γf(z)f ′(z) dz

tiene parte real cero.

4. Suponga que f(z) es holomorfa y satisface la desigualdad |f(z)−1| < 1en una region Ω. Demuestre que∫

γ

f ′(z)f(z)

dz = 0

para cada curva cerrada en Ω.


5. Si P (z) es un polinomio y C denota la circunferencia |z − a| = R,obtenga el valor de

∫C P (z) dz.

Capıtulo 6

Homotopıa y el Teorema deCauchy.

Para extender el teorema de Cauchy-Goursat a regiones mas generalesque rectangulos y bolas, necesitamos demostrar algunos teoremas de defor-macion, por lo cual, necesitamos introducir el concepto de homotopıa y dar

condiciones que garanticen la independencia de∫γ

de las trayectorias que

consideramos, para lo cual trabajaremos dos tipos de problemas, el primero,en el que las curvas tengan los mismos extremos, y en el segundo, consider-aremos curvas cerradas. Para simplificar nuestra notacion, todas las curvasque consideremos estaran parametrizadas por el intervalo [0, 1].

6.1. Homotopıa.

Definicion 6.1.1. Sea (X, d) un espacio metrico, x0, x1 ∈ X. Sean γ0, γ1 :[0, 1] → X, son dos curvas de x0 a x1. Diremos que γ0 es homotopica a γ1

en X con puntos extremos fijos, si existe una funcion continua H : [0, 1] ×[0, 1]→ X que satisface las siguientes condiciones:

1. H(0, t) = γ0(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

2. H(1, t) = γ1(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

3. H(s, 0) = x0 si 0 ≤ s ≤ 1, y

4. H(s, 1) = x1 si 0 ≤ s ≤ 1

185

186 CAPITULO 6. HOMOTOPIA Y EL TEOREMA DE CAUCHY.

Figura 6.1: Homotopıa

La idea de la definicion es muy simple, pues cuando s varıa de 0 a 1,tenemos una familia de curvas que se deforman continuamente de γ0 a γ1

Para s0 ∈ [0, 1] definimos γs0(t) = H(s, t), cada γs es una curva en Xcon extremos x0 y x1.

Y se puede verificar facilmente que ser homotopicas es una relacion deequivalencia.

Ejemplo 13.

Si γ0(t) = t(1 + ı ), y γ1(t) = t+ ı t2, entonces γ0 es homotopica a γ1, yuna posible homotopıa esta dada por, H(s, t) = t+ ı t1+s.

Definicion 6.1.2. Sea (X, d) un espacio metrico. Si γ0 : [0, 1] → X, yγ1 : [0, 1]→ X son dos curvas cerradas en X. Diremos que γ0 es homotopicacomo curva cerrada a γ1 en X, si existe una funcion continua H : [0, 1] ×[0, 1]→ X que satisface las siguientes condiciones:

1. H(0, t) = γ0(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

2. H(1, t) = γ1(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

3. H(s, 0) = H(s, 1) si 0 ≤ s ≤ 1, y

Nuevamente, si γs(t) = H(s, t), cada γs es una curva cerrada en X.

Ejemplo 14.

Si γ0(t) = cos t + ı sin t, y γ1(t) = 2 cos t + ı sin t, entonces γ0 es ho-motopica, como curva cerrada, a γ1, y una posible homotopıa esta dada por,H(s, t) = (1 + s) cos t+ ı sin t.

Definicion 6.1.3. Sea (X, d) un espacio metrico, Ω ⊂ X. Decimos que Ω essimplemente conexo si, toda curva cerrada en Ω es homotopica a un punto,esto es, a una curva constante.

6.1. HOMOTOPIA. 187

Ejemplo 15.

Si γ0(t) = cos t + ı sin t, y γ1(t) = 0, entonces γ0 es homotopica, comocurva cerrada, a γ1, y una posible homotopıa esta dada por,

H(s, t) = (1− s) cos t+ ı sin t.

Definicion 6.1.4. Sea Ω ⊂ C, decimos que Ω es convexo si, para todaz0, z1 ∈ Ω, se tiene que λz0 + (1− λ)z1 ∈ Ω, para todo λ ∈ [0, 1].

Esto es, un conjunto es convexo si contiene todos los segmentos de lınearecta que pueden construirse entre una pareja arbitraria de puntos en Ω.

Ejemplo 16.

1. Si a ∈ C y r > 0, claramente B(a, r) = z; |z − a| < r es un conjuntoconvexo.

2. Si a ∈ C y r > 0, claramente B(a, r)\a = z; 0 < |z − a| < r no esun conjunto convexo, pues el segmento de recta que une −1/2 con 1/2no esta contenido en a.

Proposicion 6.1.1. Si Ω es un conjunto abierto y convexo en C, entoncescualesquiera dos curvas cerradas en Ω son homotopicas como curvas cerra-das en Ω, y cualesquiera dos curvas con los mismos puntos extremos fijosson homotopicas con puntos extremos fijos.

Demostracion. Sean γ0 : [0, 1] → Ω y γ1 : [0, 1] → Ω dos curvas cerradasen Ω, definamos H(s, t) = sγ1(t) + (1 − s)γ0(t), claramente H es continua,H(0, t) = γ0(t), H(1, t) = γ1(t) y si γk(0) = γk(1), entonces H(s, 0) =sγ(0) + (1− s)γ1(0) = sγ(1) + (1− s)γ1(1) = H(s, 1).

Por otra parte, si γ0(0) = γ1(0) = z0 y γ0(1) = γ1(1) = z1, entoncesH(s, 0) = sγ1(0) + (1− s)γ0(0) = sz0 + (1− s)z0 = z0, y H(s, 1) = sγ1(1) +(1 − s)γ0(1) = sz1 + (1 − s)z1 = z1, por lo cual H es una homotopıa conpuntos extremos fijos.

Corolario 6.1.1. Un conjunto convexo es simplemente conexo.

Teorema 6.1.1 (El Teorema de deformacion). Sea Ω ⊂ C un conjuntoabierto no vacıo, y suponga que f es una funcion holomorfa sobre Ω, y queγk : [0, 1]→ Ω, k = 0, 1, son dos curvas suaves por partes en Ω.


1. Si γ0(0) = γ1(0) = z0, γ0(1) = γ1(1) = z1, y γ(0) es homotopica aγ(1) en Ω, entonces ∫

γ0

f =∫γ1

f.

2. Si γ(0) y γ(1) son homotopicas como curvas cerradas en Ω, entonces∫γ0

f =∫γ1

f.

Demostracion. Como γ0 es homotopica a γ1, existe una funcion continuaH : [0, 1]× [0, 1]→ Ω tal que

1. H(0, t) = γ0(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

2. H(1, t) = γ1(t) si 0 ≤ t ≤ 1;

3. H(s, 0) = z0 si 0 ≤ s ≤ 1, y

4. H(s, 1) = z1 si 0 ≤ s ≤ 1

Para cada valor de s fijo, la funcion γs(t) = H(s, t) es una curva interme-dia que se obtiene durante el proceso de deformacion. Analogamente, paracada valor fijo t, la curva Γt(s) = H(s, t) es una curva que con extremosΓ0(t) = H(0, t) y γ1(t) = H(1, t). Luego entonces, las lıneas horizontales yverticales en el cuadrado corresponden a una red de curvas en Ω, donde ellado izquierdo del cuadrado corresponde a la curva γ0, y el derecho a la cur-va γ1. Por otro lado, los lados superior e inferior del cuadrado correspondena los puntos extremos de la curva, esto es Γ0(s) = z0 y Γ1(s) = z1. Comomuestra la figura 6.1:

Sean 0 = s0 < s1 < . . . < sn = 1, y 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1particiones de [0, 1].

Como H es continua en Ω y K = [0, 1]×[0, 1] ⊂ C es compacto, su imagenH(K) es un subconjunto compacto de Ω. Sea ρ = d(H(K),C\Ω). Luegoentonces, z ∈ Ω si, |H(s, t)− z| < ρ. Como H es uniformemente continua enK, existe δ > 0 tal que |H(s, t)−H(s′, t′)| < ρ si d((s, t), (s′, t′)) < δ.

Si elegimos las particiones de [0, 1] regulares de longitud 1/n, para n <√2/δ tal que cada subcuadrado tenga longitud menor que δ. Si Rkj denota el

rectangulo con esquinas (sk−1, tj−1), (sk, tj−1), (sk, tj), (sk − 1, tj), entoncesla imagen bajo H del rectangulo Rjk esta contenida dentro de la bola con

6.1. HOMOTOPIA. 189

centro Bkj = B(H(sk−1, tj−1), ρ), el cual, por construccion, esta contenidoen Ω. Y denotemos por Γkj = H(∂Rkj) orientada en levogiro.

Entonces

n∑j,k=1

∫Γkj

f =∫

Γ0

f +∫γ1

f −∫

Γ1

f −∫γ0

f

Como Γjk es una curva cerrada contenida completamente en la bola Bkj ,sobre el cual la funcion f es holomorfa. El teorema de Cauchy para bolasimplica que, cada integral en la suma del lado izquierdo es cero, por ende,

0 =∫

Γ0

f +∫γ1

f −∫

Γ1

f −∫γ0

f.

Como Γ0(s) = z0 y Γ1(s) = z1, entonces∫

Γ0

f =∫

Γ1

f = 0, de donde,∫γ0

f =∫γ1

f .

Cuando las curvas γ0 y γ1 son cerradas, se procede de manera similar, yse aplica el hecho que Γ0(s) = H(s, 0) = H(s, 1) = Γ1(s).

Como consecuencia del teorema de deformacion podemos generalizar elteorema de Cauchy-Goursat:

Teorema 6.1.2 (Version homotopica del teorema de Cauchy-Goursat). SeaΩ ⊂ C un conjunto abierto conexo. Si f es una funcion holomorfa en Ω,entonces ∫

γf = 0

para cualesquier curva cerrada γ, la cual es homotopica a un punto en Ω.

Demostracion. Supongamos que la curva γ es homotopica a la curva con-stante σ, como consecuencia del inciso 2 del teorema anterior,∫

γf =

∫σf = 0.

Corolario 6.1.2. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, simplemente conexo. Sif es una funcion holomorfa en Ω, entonces


∫γf = 0

para cualesquier curva cerrada γ en Ω.

Corolario 6.1.3. Si Ω ⊂ C es simplemente conexo, y f : Ω → C es holo-morfa, entonces f tiene una primitiva en f .

Demostracion. Como consecuencia del corolario anterior∫γf = 0 para toda

curva cerrada γ en Ω. Aplicando el teorema de Independencia de trayecto-rias, esto es equivalente a que f admita una primitiva global en Ω.

Corolario 6.1.4. Si Ω ⊂ C es simplemente conexo, Ω 6= C, y f : Ω → Ces holomorfa nunca nula, es decir, f(z) 6= 0 si z ∈ Ω. Entonces, existe unafuncion holomorfa g : Ω → C tal que f(z) = exp(g(z)). Ademas, si z0 ∈ Ωy ew0 = f(z0), podemos elegir g tal que g(z0) = w0.

Demostracion. Como f es nunca nula, entonces f ′/f es holomorfa en Ω,como consecuencia del corolario anterior, f ′/f admite una primitiva g, estoes, g : Ω → C es una funcion holomorfa tal que g′ = f ′/f . Consideremosla funcion h(z) = exp(g(z)), entonces h es holomorfa y nunca nula en Ω,ademas (

f

h

)′(z) =

h(z)f ′(z)− h′(z)f(z)h(z)2

.

Por otra parte, sabemos que h′ = g′f , de donde hf ′ − fh′ = 0, lo cualimplica que la derivada de f/h es cero, y como Ω es simplemente conexo,f/h es constante en Ω, esto es, existe una constante c ∈ C tal que

f(z) = c exp(g(z)) = exp(g(z) + c1),

donde exp(c1) = c. En particular, como exp(w) = exp(x + eπ ı k) parak ∈ Z, entonces f(z) = exp(g(z) + c1 + 2π ı k), y para un valor apropiado dek obtenemos g(z0) = w0.

Es decir, en un subconjunto propio y simplemente conexo del plano com-plejo, que no contenga al origen, siempre podemos definir ramas de lograr-itmo.

6.2. EL INDICE DE UNA CURVA 191

Corolario 6.1.5. Si Ω ⊂ C es un conjunto abierto, a ∈ Ω, y r > 0 es unnumero real tal que B(a, r) ⊂ Ω, dada f : Ω → C una funcion holomorfa,entonces

f (n)(a) =n!2πı

∫γ

f(z)(z − a)n+1

dz,

donde γ(t) = a+ re2π ı t con 0 ≤ t ≤ 1.

6.2. El Indice de una curva

Podemos ver facilmente que∫γ

1z − a

dz = 2πı n si γ(t) = a+re2π ı t, con

0 ≤ t ≤ 1, este resultado lo generalizaremos en la siguiente proposicion:

Proposicion 6.2.1. Si a ∈ C, y γ : [0, 1]→ C es una curva cerrada, suavepor partes que no pasa por a, es decir, a /∈ im(γ), entonces

12π ı

∫γ

dz

z − a

es un entero.

Demostracion. Bastara demostrar este resultado en el caso en que γ sea unacurva suave.

Definimos g : [0, 1]→ C como

g(t) =∫ t

0

γ(s)γ(s)− a

ds.

Claramente g(0) = 0, y g(1) =∫γ

dz

z − aAdemas

dg(t)dt

=γ(t)

γ(t)− a, si 0 ≤ t ≤ 1

Consecuentemente


d

dt(e−g(t)[γ(t)− a]) = e−g(t)γ(t)− g(t)eg(t)(γ(t)− a)

= e−g(t)[γ(t)− γ(t)

(γ(t)− a)(γ(t)− a)

]= 0

Luego entonces eg(t)(γ(t)−a) es constante, y como γ es una curva cerrada,γ(0) = γ(1), en particular

e−g(0)(γ(0)− a) = γ(0)− a = γ(1)− a = e−g(1)(γ(1)− a)

lo cual implica que, 1 = e−g(0) = e−g(1), pues a /∈ imγ. Entonces g(1) = 2πık,para algun entero k.

Definicion 6.2.1. Si γ es una curva cerrada, suave por partes en C, paracada a /∈ imγ, el ındice de γ con respecto al punto a, se define como

n(γ, a) :=1

2πı

∫γ

dz

z − a.

Este numero tambien se denomina el numero de vueltas de γ alrededorde a.

Como consecuencia de la proposicion anterior, el ındice de una curva conrespecto a un punto es un numero entero.

Recordamos que, si γ : [0, 1]→ C es una curva suave por partes, la curva−γ definida como −γ(t) = γ(1 − t) es una reparametrizacion, que cambiala orientacion, de la curva inicial, y si σ : [0, 1] → C es otra curva tal queγ(1) = σ(0), entonces γ + σ es la curva definida como (γ + σ)(t) = γ(2t) si0 ≤ t ≤ 1/2, y (γ + σ)(t) = σ(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

Proposicion 6.2.2. Si γ y σ son dos curvas cerradas, suaves por partes,con los mismos puntos iniciales, entonces:

1. n(γ, a) = −n(−γ, a), si a /∈ imγ.

2. n(γ + σ, a) = n(γ, a) + n(σ, a), si a /∈ im(γ + σ).

3. Si a /∈ imγ ∪ imσ y si γ es homotopica a σ en C\a, entoncesn(γ, a) = n(σ, a).

6.2. EL INDICE DE UNA CURVA 193

Demostracion. Las primeras dos propiedades son consecuencia de la proposi-cion (5.1.2), mientras que la tercer propiedad es consecuencia del teoremade deformacion (6.1.1).

Teorema 6.2.1. Sea γ una curva suave por partes en C. Entonces n(γ, a)es localmente constante, esto es para cada componente conexa U de Ω =C\imγ, existe una constante cU ∈ C tal que n(γ, a) = cU para cada z ∈ U .

Ademas, n(γ, a) = 0 si a pertenece a la componente no acotada de Ω.

Demostracion. Definamos f : Ω → C como f(a) = n(γ, a), a continuaciondemostraremos que f es continua. Como Ω es abierto las componentesconexas de Ω son conjuntos abiertos. Sea a ∈ Ω, y definamos r = d(a, imγ),la distancia de la curva γ al punto a, como Ω es abierto, r > 0. Si |a− b| <δ < r/2 entonces

|f(a)− f(b)| =1

2π

∣∣∣∣∫γ

dz

z − a−∫γ

dz

z − b

∣∣∣∣=

12π

∣∣∣∣∫γ

a− b(z − a)(z − b)

dz

∣∣∣∣= ≥ |a− b|

2π

∫γ

|dz||z − a||z − b|

pues |z − a| < r/2. Como z ∈ imγ, entonces |z − a| ≥ r > r/2, y |z − b| ≥r > r/2, por lo que

r

4π

∫γ

|dz||z − a||z − b|

<δ

2π

(4r2`(γ)

)Luego entonces, dada ε > 0, definimos δ < minr/2, (πr2ε)/2`(γ), si

|z − a| < δ entonces |f(b)− f(a)| < ε, es decir, f es continua en Ω.De donde, im(f) ⊂ Z, y para cada componente conexa U ⊂ Ω, se tiene

que f(U) es un punto, en particular f es constante en U .Si ahora U0 denota la componente no acotada de Ω, existe R > 0 tal

que U0 ⊃ z : |z| > R. Si ε > 0, elegimos a con |a| > R y |z − a| >(2πε)−1`(γ), uniformemente para z ∈ im(γ), consecuentemente |n(γ, a)| < ε,en particular lım

z→∞n(γ, a) = 0, y como n(γ, a) es constante en U0, entonces

n(γ, a) = 0 para cada a ∈ U0.


Como consecuencia de esto, el interior de una curva γ puede definirsecomo z : n(γ, z) 6= 0, y esta definicion deberıa coincidir con el interiordefinido por el teorema de la curva de Jordan. 1

6.3. El Teorema de Cauchy

En esta seccion presentamos la generalizacion del teorema de Cauchy acualquier curva cerrada.

Proposicion 6.3.1. (La formula integral de Cauchy) Sea f una funcionholomorfa definida en un abierto Ω ⊂ C. Sea γ una curva cerrada en Ωsuave por partes, sea a un punto que no este sobre la imagen de la curva γ,y supongamos que γ es homotopica a un punto. Entonces

f(a) · n(γ, a) =1

2πı

∫γ

f(z)z − a

dz

Demostracion. La demostracion es analoga a la del teorema de Cauchy pararectangulos. Para z ∈ Ω, definamos la funcion:

g(z) =

f(z)− f(a)

z − a, si z ∈ Ω\a;

f ′(a), si z = a

Claramente g es continua en Ω, y g es holomorfa en Ω\a, como conse-cuencia del teorema de Cauchy (5.1.3) y el teorema de deformacion (6.1.1)

0 =∫γgdz, y como∫

γgdz =

∫γ

f(z)− f(a)z − a

dz =∫γ

f(z)z − a

dz − f(a)∫γ

1z − a

dz

=∫γ

f(z)z − a

dz − 2πın(γ, a)f(a),

de donde n(γ, a)f(a) =1

2πı

∫γ

f(z)z − a

dz.

1Si γ : [0, 1] → C es una curva cerrada simple, entonces C\imγ puede escribirse enforma unica como la union disjunta de dos regiones Int(γ) y Out(γ), tales que Int(γ) esacotada. La region Int(γ) se denomina el interior de γ, y Out(γ) se denomina el exteriorde γ. La region Int(γ) es simplemente conexa, y γ es homotpica a cualquier punto enInt(γ) ∪ imγ. La frontera de cada una de estas regiones es la imagen de γ.

6.3. EL TEOREMA DE CAUCHY 195

Corolario 6.3.1. (La formula integral de Cauchy para derivadas). Sea funa funcion holomorfa definida en un abierto Ω. Sea γ una curva cerradaen Ω, suave por partes. Sea a un punto que no este sobre la imagen de lacurva γ, y supongamos que γ es homotopica a un punto. Entonces

n(γ, a)f (k)(a) =k!

2πı

∫γ

f(z)(z − a)k+1

dz

Demostracion. Si F (z) =1

2πı

∫γ

f(z)z − a

dz, derivando F con respecto a z te-

nemos:

dF (z)dz

=1

2πıd

dz

(∫γ

f(ζ)ζ − z

)=

12πı

∫γ

∂

∂z

(f(ζ)ζ − z

)dζ

=1

2πı

∫γ

f(ζ)(ζ − z)2

dζ

procediendo inductivamente, se obtiene el resultado deseado.

A continuacion aplicaremos la formula integral de Cauchy para obtener∫γf, donde γ es una curva cerrada, y f es una funcion holomorfa en un

abierto que contiene a la cerradura de la region acotada por γ, salvo quiza,un numero finito de puntos, ninguno de los cuales esta sobre la traza de lacurva γ.

Ejemplo 17.

1.∫γ

z2

z − 1dz, donde γ(t) = 2e2πıt, con 0 ≤ t ≤ k.

Como f(z) = z2 es entera, 1 /∈ imγ, y n(γ, 1) = 1, aplicando la formulaintegral de Cauchy:

12πı

∫γ

z2

z − 1dz = f(1)n(γ, 1) = 1 · k = k,

despejando obtenemos que 2πık es el valor deseado.


2.∫γ

z2 − 1z2 + 1

dz donde γ(t) = (t) = 2e2πıt, con 0 ≤ t ≤ 1.

Para poder aplicar la formula integral de Cauchy, necesitamos que eldenominador sea de la forma (z − a)k para alguna k ≥ 0, para esto,notamos que n(γ,±ı) = 1, y

z2 − 1z2 + 1

= (z2 + 1)1

(z + ı)(z − ı)= − ı

2

(z2 − 1z + ı

)+ı

2

(z2 − 1z − ı

)de donde∫

γ

z2 − 1z2 + 1

=∫γ

(− ı

2

(z2 − 1z + ı

)+ı

2

(z2 − 1z − ı

))dz

= − ı2

∫γ

z2 − 1z + ı

+ı

2

∫γ

z2 − 1z − ı

dz

Aplicando la formula integral de Cauchy

12πı

∫γ

z2 − 1z + ı

dz = (ı2 − 1)n(γ, ı) = ı2 − 1 = −2

y

12πı

∫γ

z2 − 1z − ı

dz = ((−ı)2 − 1)n(γ, ı) = ı2 − 1 = −2

de donde ∫γ

z2 − 1z2 + 1

dz = − ı2

(−4πı) +ı

2(−4πı) = 0

3.∫γ

sin zz4

dz, donde γ(t) = e2πıt, si 0 ≤ t ≤ 1.

Aplicando la formula integral de Cauchy para derivadas, si f(z) = sin zentonces:

f (3)(0)n(γ, 0) =3!

2πı

∫γ

f(z)z4

dz

Como n(γ, 0) = 1, y f (3)(z) = − cos z, entonces f (3)(0) = −1, luego

entonces∫γ

sin z

z4dz =

2πı3!

(−1) = −πı3.


4.∫γ

(z

z − 1

)ndz para toda n ∈ N, donde γ(t) = 1+22πıt, con 0 ≤ t ≤ 1.

Notese que(

z

z − 1

)n=

zn

(z − 1)n, por lo que, si f(z) = zn, como con-

secuencia de la formula integral de Cauchy para derivadas

f (n)(1)n(γ, 1) =n!2πı

∫γ

zn(z − 1)n

dz.

Como f (n)(z) = n!, y n(γ, 1) = 1, entonces∫γ

(z

z − 1

)n= 2πı.

Tambien podemos aplicar la formula integral de Cauchy para obtener

integrales de la forma∫γ

f ′

f, si f es holomorfa en una region Ω que

contenga en su interior la region acotada por la curva γ, y que admitasolo un numero finito de ceros en Ω. Recordamos que, si a es un cerode la funcion holomorfa f , existe un entero positivo m, y una funcionholomorfa g(z), tal que f(z) = (z − a)mg(z), con g(a) 6= 0. De donde,si a1, . . . , as son los ceros de f, aj 6= ak si j 6= k, entonces existenenteros positivos m1, . . . ,ms, y una funcion holomorfa g tal que f(z) =(z − a1)m1 · · · (z − an)msg(z) con g(aj) 6= 0, en particular

f ′(z) = m1(z − a1)m1−1(z − a2)m2 · · · (z − an)msg(z) + . . .

+mj(z − a1)m1 · · · (z − aj)mj−1 · · · (z − as)msg(z) + . . .

+mn(z − a1)m1(z − a2)m2 · · · (z − as)ms−1g(z)+(z − a1)m1(z − a2)m2 · · · (z − as)msg′(z)

Consecuentemente

f ′(z)f(z)

=m1

z − a1+ . . .+

ms

z − as+g′(z)g(z)

,

de donde

∫γ

f ′(z)f(z)

dz =∫γ

(m1

z − a1+ . . .+

ms

z − as+g′(z)g(z)

)dz

=∫γ

m1

z − a1dz + . . .+

∫γ

ms

z − asdz +

∫γ

g′

gdz


Como g no se anula en Ω, entonces g′/g es holomorfa en Ω, de donde∫γg′/g = 0, y por la definicion del ındice n(γ, ak) = 2πı

∫γdz/(z − ak), ası

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)

dz =s∑

k=0

mkn(γ, ak).

Esto lo podemos aplicar para calcular integrales como la siguiente:∫γ

2z − 1z2 + z + 1

dz,donde γ(t) = 2e2πıt, con 0 ≤ t ≤ 1.

Como z3 − 1 = (z − 1)(z2 + z + 1), los ceros de z2 + z + 1 son las raıcescubicas de la unidad ζk , k = 0, 1, 2 con ζ0 = 1. Claramente |ζk| = 1, y porende, se encuentran en el interior de γ, ademas n(γ, ζk) = 1, de donde

∫γ

2z − 1z2 + z + 1

dz = 2πı(n(γ, ζ1) + n(γ, ζ2)) = 2πı(1 + 1) = 4πı.

En particular podemos ver que:

Proposicion 6.3.2. Sea a ∈ C, R > 0 y suponga que f es una funcionholomorfa en B(a,R). Sea α = f(a). Si f(z)− a tiene un cero de orden men z = a, entonces existe ε > 0 y δ > 0 tal que, si 0 < |ζ − α| < δ, entoncesf(z) = ζ tiene exactamente m soluciones en B(a, ε).

Esta proposicion nos dice, en particular que, f(B(a, ε)) ⊃ B(α, δ). Ademas,el hecho que f(z)−α tenga un cero de multiplicidad finita, garantiza que fno es constante.

Demostracion. Como los ceros de una funcion holomorfa son aislados. Sim = 1, podemos escoger ε > 0 tal que ε < R/2. De donde, f(z) = α no tienesoluciones si 0 < |z − a| < 2ε, y f ′(z) 6= 0 si 0 < |z − a| < 2ε. (Si m ≥ 2,entonces f ′(a) = 0.)

Sea γ(t) = a+ εe2πıt, con 0 ≤ t ≤ 1, y consideremos la curva σ = f γ.Como α /∈ im(σ), existe δ > 0 tal que B(α, δ) ∩ im(σ) = ∅.

De donde, B(α, δ) esta contenida en alguna componente de C\im(σ);esto es, |α − ζ| < δ implica n(σ, α) = n(σ, ζ) =

∑pk=1 n(γ, zk(ζ)). Y como

n(γ, z) debe ser cero, o uno, y tenemos exactamente m soluciones de laecuacion f(z) = ζ en el interior de B(a, ε). Como f ′(z) 6= 0 para 0 <|z − a| < ε, cada una de las raıces debe ser simple.


Teorema 6.3.1. (El teorema del mapeo abierto). Sea Ω ⊂ C abierto yconexo, sea f : Ω → C una funcion holomorfa no constante. Entonces,f(U) ⊂ C es abierto, si U ⊂ Ω es abierto.

Demostracion. Sea U ⊂ Ω un conjunto abierto, U 6= ∅, y supongamos quea ∈ U , y sea α = f(a). Como vimos en la proposicion anterior, podemosencontrar ε > 0 y δ > 0 tales que B(a, ε) ⊂ U y f(B(a, ε)) ⊃ B(α, δ).

Corolario 6.3.2. Sea Ω ⊂ C, abierto. Si f : Ω → C es holomorfa e in-yectiva, denotemos G = f(Ω). Entonces f−1 : G → Ω es C-diferenciable y(f−1)′(w) = [f ′(z)]−1, donde w = f(z).

Demostracion. Como consecuencia del teorema de la aplicacion abierta, f−1

es continua y Ω es abierto. Como z = f−1(f(z)) para cada z ∈ Ω, comoconsecuencia de la regla de la cadena (f−1)′(w) = [f ′(z)]−1, donde w =f(z).

Tarea. Del libro de J. E. Marsden, Basic Complex Analisis, realice lossiguientes ejercicios:

§2, 2 :Ejercicio 7, Se satisface el teorema de Cauchy separadamente para las

partes real e imaginaria de una funcion holomorfa f ? Si es ası, demuestrelo;si no, de un contraejemplo.

Ejercicio 10, Evalue∫γ

√z donde γ es la parte superior del cırculo uni-

tario: primero directamente, y posteriormente; usando el teorema fundamen-tal.

§2, 3 :Ejercicio 1, Muestre que C\0 no es simplemente conexo.

§2, 4 :1. Evalue las siguientes integrales:

(a)∫γ

z2

z − 1dz, donde γ es el cırculo de radio 2, centrado en 0.

(b)∫γ

ez

z2dz, donde γ es el cırculo de radio 1, centrado en 0.

3. Si f es entera, y |f(z)| ≤ M |z|n para |z| grande, M una constante, yn un entero, muestre que f es un polinomio de grado ≤ n.


4. Sea f una funcion holomorfa en el interior y sobre una curva cerradasimple γ. Suponga que f = 0 sobre γ. Muestre que f = 0 en el interior de γ.

6. Sea f una funcion holomorfa sobre una region A, y sea γ una curvacerrada en A. Para z0 ∈ A\im(γ), muestre que∫

γ

f ′(ζ)ζ − z0

dζ =∫γ

f(ζ)(ζ − z0)2

dζ

Puede generalizar este resultado ?

8. Suponga que f es entera y que lımz→∞

f(z)z

= 0. Demuestre que f esconstante.

13. Use el ejemplo 2.1.12 apropiadamente, y la formula integral de Cauchypara evaluar las siguientes integrales; γ es el cırculo |z| = 2 en cada caso.

(a)dz

z2 − 1(b)

dz

z2 + z + 1(c)

dz

z2 − 8(d)

dz

z2 + 2z − 3

14. Demuestre que∫γecos θ cos(sin θ)dθ = π considerando

∫γ(ez/z)dz, donde

γ es el cırculo unitario.

21. Sea f analıtica en el interior y sobre el cırculo |z−z0| = R. Demuestreque

f(z1)− f(z2)z1 − z2

− f ′(z0) =1

2πı

∫γ

[1

(z − z1)(z − z2)− 1

(z − z0)2

]f(z)dz

para z1, z2 en el interior de γ.

§2,51. Encuentre el maximo de |ez| sobre |z| ≤ 1.

13. Sea f una funcion holomorfa y sea f ′(z) 6= 0 sobre una region A. Seaz0 ∈ A y suponga que f(z0) 6= 0. Dado ε > 0, muestre que existe z ∈ A yζ ∈ A tales que |z − z0| < ε, |ζ − z0| < ε, y

|f(z)| > |f(z0)| |f(ζ)| < |f(z0)|

Sugerencia: Aplique el teorema del modulo maximo.


§3, 25. Obtenga la seire de Taylor de las siguientes funciones ( De apropiada-

mente los primeros terminos de la serie de Taylor)

(a) (sin z)/z, z0 = 1. (b) z2ez, z0 = 0. (c) ez sin z, z0 = 0.

7. Calcule la serie de Taylor de las siguientes funciones en los puntosindicados:

(a) ez2, z0 = 0 (b) 1/(z − 1)(z − 2), z0 = 0

9. Obtenga los primeros terminos de la serie de Taylor de√z2 − 1 alrede-

dor de 0.

10. Sea f(z) =∞∑n=0

anzn, y g(z) =

∞∑n=0

bnzn series convergentes para |z| <

R. Sea γ un cırculo de radio 0 < r < R y defina

F (z) =1

2πı

∫γ

f(ζ)ζ

g

(z

ζ

)dζ

Muestre que F (z) =∞∑n=0

anbnzn. (Sugerencia: Use el ejemplo 2.4.15.)

Capıtulo 7

Series de Laurent yCalculo de Residuos

Como hemos visto anteriormente, si Ω ⊂ C es un abierto no vacıo, funa funcion C-diferenciable en Ω, y a ∈ Ω, la serie de Taylor de f en a, estadada como:

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(z − a)n

la cual converge a f en una vecindad de a, esto es, existe una r > 0 tal queB(a, r) ⊂ Ω, y la serie anterior converge para cada z ∈ B(a, r).

Por esta razon, la serie de Taylor es una excelente representacion localde una funcion C-diferenciable en un dominio simplemente conexo.

Si pensamos en la funcion f(z) = cos (1/z), sabemos que esta es holo-morfa en C \ 0, por lo que, podemos dar su representacion en serie deTaylor en a, para cada a 6= 0, sin embargo, este proceso no determina elcomportamiento de la funcion alrededor del cero, para estudiar el compor-tamiento en este punto, es necesario dar otro tipo de representacion para lafuncion f .

La serie de Taylor de la funcion cos z alrededor del cero esta dada como

cos z =∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!

Por lo que, al realizar la composicion de funciones obtenemos

cos(

1z

)=∞∑n=0

(−1)n

z2n(2n)!=∞∑n=0

(−1)nz−2n

(2n)!. (7.1)

203

204 CAPITULO 7. LAURENT Y RESIDUOS

Podemos pensar esta serie como una serie formal en la variable z−1, la cualconverge si |z| > 0, obteniendose ası el conjunto Ω = z :∈ C : 0 < |z| comola region de convergencia de la serie. Como sabemos, esta serie representauna funcion holomorfa en la region Ω := z : |z| > 0.

De manera mas general, podemos pensar que tenemos una serie formalen la variable z−1, la cual converge si |z| > r, para algun numero real r, yconverge uniformemente en cualquier region |z| ≥ ρ > r, por lo cual, estaserie representa una funcion holomorfa en la region Ω = z : |z| > r.

∞∑n=1

bnz−n =

∞∑n=0

bnzn

(7.2)

Si a la serie (7.2) le sumamos una serie de potencias en la variable z,digamos

∞∑n=0

anzn (7.3)

la cual converge si |z| < R, y converge uniformemente si |z| ≤ ρ < R,tenemos una serie de potencias formal de tipo

∞∑n=−∞

cnzn =

∞∑n=1

bnzn

+∞∑n=0

anzn (7.4)

la cual sera convergente en la region comun de convergencia de cada seriepor separado, esto es 7.4 converge si r < |z| < R, y converge uniformementesi r < ρ1 ≤ |z| ≤ ρ2 < R.

En este capıtulo estudiaremos funciones que son holomorfas en un discocuyo centro ha sido removido. A partir de la informacion que se obtiene dela conducta de la funcion cerca del centro del disco, se derivan una serie depropiedades interesantes, en particular utilizaremos estas propiedades paraevaluar ciertas integrales definidas sobre la recta real, las cuales no puedenser evaluadas usando los metodos tradicionales del calculo.

7.1. Clasificacion de singularidades

Definicion 7.1.1. Se dice que una funcion f tiene una singularidad aisladaen el punto z0 ∈ C si existe R > 0 tal que f esta definida y es holomorfa enB(z0, R) \ z0, pero no en B(z0, R).

El punto z0 se denomina una singularidad removible si existe una funcionholomorfa g : B(z0, R)→ C tal que g(z) = f(z) para z 6= z0.

7.1. CLASIFICACION DE SINGULARIDADES 205

Las funciones f(z) = 1/z, g(z) = cos(1/z) y h(z) = sin z/z tienen singu-laridades aisladas en el punto z0 = 0, pero solo sin z/z tiene una singularidadremovible en z0 = 0 ya que

sin zz

=1z

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!=∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n+ 1)!

para z 6= 0, y la funcion g(z) =∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n+ 1)!es holomora y tiene radio

de convergencia infinito.

Teorema 7.1.1 (El teorema de extension de Riemann). Si f tiene una sin-gularidad aislada en z0, entonces el punto z0 es una singularidad removiblesi, y solo si,

lımz→z0

(z − z0)f(z) = 0.

Demostracion. Sea R > 0 y supongamos que f es holomorfa en B(z0, R) \z0, y lım

z→z0(z − z0)f(z) = 0, definamos

g(z) =

(z − z0)2f(z) si z 6= z0

0 si z = z0

Entonces g es continua y holomorfa en B(z0, R) \ z0, aun mas, como

lımz→z0z 6=z0

g(z)− g(z0)z − z0

= lımz→z0z 6=z0

(z − z0)2(f(z)− f(0))z − z0

= lımz→z0z 6=z0

(z − z0)f(z) = 0

entonces g es holomorfa en B(z0, R) con g′(z0) = 0, por lo tanto, g admiteun desarrollo en serie de Taylor

g(z) =∞∑n=0

1n!g(n)(z0)(z − z0)n = (z − z0)2

∞∑n=2

1n!g(n)(z0)(z − z0)n−2

Ası f(z) =∞∑n=2

1n!g(n)(z0)(z − z0)n−2 para z 6= z0.

Recıprocamente, supongamos que f tiene una singularidad removible enz0, por lo tanto, existe R > 0 y una funcion holomorfa g : B(z0, R)→ C talque g(z) = f(z) para z 6= z0, en particular

lımz→z0z 6=z0

(z − a)f(z) = lımz→z0z 6=z0

((z − a)g(z)) = lımz→z0z 6=z0

(z − a) lımz→z0z 6=z0

g(z) = 0.


Notese que lo anterior nos dice que, si z0 es una singularidad removiblede f entonces lım

z→z0f(z) existe.

Como consecuencia del teorema de extension de Riemann tenemos quez0 es una singularidad removible de f si, y solamente si, f es acotada en unavecindad de z0

Definicion 7.1.2. Si z = z0 es una singularidad aislada de f , entonces z0

es un polo de f si lımz→z0

f(z) =∞. Esto es, para cada M > 0 existe ε > 0 tal

que |f(z)| ≥M si 0 < |z − z0| < ε.

Es facil ver que la funcion f(z) = 1/(z − z0)n tiene un polo en z0 paracada n ∈ N

Definicion 7.1.3. Si una singularidad aislada no es removible ni polo, en-tonces se denomina una singularidad escencial.

No es difıcil ver que z0 = 0 es una singularidad escencial de exp(1/z).

Proposicion 7.1.1. Si Ω es una region con z0 ∈ Ω y si f es una funcionholomorfa en Ω \ z0 la cual tiene un polo en z0, entonces existe un enteropositivo m y una funcion holomorfa g : Ω→ C tal que

f(z) =g(z)

(z − a)m. (7.5)

Demostracion. Si f tiene un polo en z0, entonces 1/f(z) tiene una singular-idad removible en z0, por lo cual, la funcion

h(z) =

1

f(z)si z 6= z0

0 si z = z0

es holomorfa en B(z0, R) para algun R > 0. Como h(a) = 0, por el corolario(5.3.2), existe un entero m > 0 y una funcion ϕ holomorfa en B(0, R) talque h(z) = (z−a)mϕ(z) con ϕ(z0) 6= 0. Esto es (z−a)mf(z) = 1/ϕ(z) tieneuna singularidad removible en z0.

Definicion 7.1.4. Si f tiene un polo en z0 y m es el mınimo entero positivotal que (z − z0)mf(z) tenga una singularidad removible en z0, diremos quef tiene un polo de orden m en z0.

7.1. CLASIFICACION DE SINGULARIDADES 207

Si f tiene un polo de orden m en z0 y f(z) = g(z)/(z− z0)m. Como g esholomorfa en B(z0, R), esta admite expansion de serie de potencias en z0.Sea

g(z) = c0 + c1(z− z0) + . . .+ cm−1(z− z0)m−1 + (z− z0)m∞∑k=0

cm+k(z− z0)k,

entonces

f(z) =c0

(z − z0)m+

c1

(z − z0)m−1+ . . .+

cm−1

z − z0+∞∑k=0

cm+k(z − z0)m−k

=c0

(z − z0)m+

c1

(z − z0)m−1+ . . .+

cm−1

z − z0+ h(z)

(7.6)donde h(z) es una funcion holomorfa en B(z0, R), y c0 6= 0

Definicion 7.1.5. Si f tiene un polo de orden m en z0 y f satisface laecuacion anterior, entonces

c0

(z − z0)m+

c1

(z − z0)m−1+ . . .+

cm−1

z − z0

se denomina la parte singular (o parte principal) de f en z0.

La parte singular de f en z0 mide que tan singular es f en z0.Por ejemplo, si p(z) y q(z) son dos polinomios sin factores comunes, la

funcion racional r(z) = p(z)/q(z) esta definida en C \ z; q(z) = 0. Cadacero de q(z) es un polo de r(z) y si z0 es un cero de orden m de q(z), entoncesz0 es un polo de r(z) de orden m.

Supongamos que q(z0) = 0 y sea S(z) la parte singular de r(z) en z0,entonces r(z) − S(z) = r1(z), donde r1(z) es una funcion racional cuyospolos tambien son polos de r(z). Ademas, la parte singular de r1(z) encualquiera de sus polos coincide con la parte singular de r(z) en dicho polo.En particular, si z0, . . . , zn son los polos de r(z) y Sj(z) es la parte singularde r(z) en el punto zj , entonces

r(z) = P (z) +n∑j=0

Sj(z)

donde P (z) es una funcion racional sin polos. Como consecuencia del teoremafundamental del algebra, una funcion racional sin polos es un polinomio, porlo cual P (z) es un polinomio, y la expresion anterior no es otra cosa que laexpancion de la funcion racional en fracciones parciales.


7.2. Series de Laurent

Definicion 7.2.1. Sea z0 ∈ C, y sean r, y R dos numeros reales tales que0 ≤ r < R. Se define el anillo con centro en z0, radio interior r y exteriorR, que denotaremos an(z0; r,R) como el conjunto

an(z0; r,R) := z ∈ C : r < |z − z0| < R

En lo que sigue, escribiremos∫|z−z0|=r

f dz o bien∫|z−z0|=r

f(z) dz

o alguna otra notacion similar, para denotar∫γ f donde f(t) = z0 + reeπıt

con 0 ≤ t ≤ 1.Cabe notar que dentro del anillo Ω las funciones holomorfas tienen un

buen comportamiento, esto es:

Lema 7.2.1. Sean R1 y R2 dos numeros reales tales que 0 ≤ R1 < R2.Supongase que f es una funcion holomorfa en el anillo an(z0, R1, R2). En-tonces: ∫

|z−z0|=rf dz

es independiente de r para R1 < r < R2.

Demostracion. Supongase que z0 = 0, por una parte sabemos que∫|z|=r

f dz =∫ 1

0f(r e2π ıt )r 2π ı e2π ı t dt,

por otra parte, si definimos g(z) = zf(z), entonces

2π ı∫ 1

0g(r e2π ı t) dt =

∫ 1

0f(r e2π ıt) r 2π ı e2π ı t dt,

De donde:

d

dr

∫|z|=r

f dz = 2π ı∫ 1

0g′(re2π ı t

)e2π ı t dt

=1r

∫ 1

0

d

dtg(re2pi ı t

)dt

=g(r)− g(r)

r= 0

7.2. SERIES DE LAURENT 209

Esto es, la integral es independiente de r.

Lema 7.2.2. Sean R1 y R2 dos numeros reales tales que 0 ≤ R1 < R2.Supongase que f es una funcion holomorfa en el anillo an(z0;R1, R2), y seaw ∈ an(z0, R1, R2). Elegimos R3 y R4 tales que R1 < R3 < |w| < R4 < R2,entonces

f(w) =1

2π ı

∫|z|=R4

f(z)z − w

dz − 12π ı

∫|z|=R3

f(z)z − w

dz

Demostracion. En el anillo an(z0, R1, R2) definamos la funcion

g(z) =

f(z)− f(w)

z − wsi z 6= w

f ′(w) si z = w

Claramente la funcion es homolorfa en an(z0;R1, R2) \ w y continuaen an(z0;R1, R2). Como consecuencia del teorema de Morera la funcion ges holomorfa en an(z0, R1, R2).

Como consecuencia del lema anterior∫|z|=R3

g dz =∫|z|=R4

g dz

Como ∫|z|=ρ

dz

z − w=

2π ı si |w| < ρ0 si |w| > ρ

De donde: ∫|z|=R4

f(z)z − w

dz − 2π ı f(w) =∫|z|=R2

f(z)z − w

dz

despejando f(w), obtenemos el resultado deseado.

Teorema 7.2.1 (El teorema de Laurent). Si f : Ω→ C es una funcion holo-morfa en una region que contiene un anillo an(z0;R1, R2) entonces existeuna sucesion de numeros complejos cnn∈Z tal que la serie:

∞∑n=−∞

cn(z − z0)n, (7.7)


converge absoluta y uniformemente a f(z) en an(z0; r,R). Los coeficientescn estan dados por:

cn =1

2πı

∫γ

f(z)(z − z0)n+1

dz, n ∈ Z

donde la curva γ : [0, 1] → Ω, esta dada como γ(t) = re2π ı t + z0, conR1 < r < R2.

La demostracion estara basada en los lemas anteriores:

Demostracion. Sea w ∈ an(z0 : R1, R2) y elijamos numeros reales Rk talesque

R1 < R3 < |w| < R4 < R2

Definamos

cn :=1

2π ı

∫|z|=r

f(z)(z − z0)n+1

dz

Como consecuencia del lema 1, los numeros cn no dependen de r.Como |w − z0| < R4, si |z − z0| = R4, entonces:

1(z − z0)− (w − z0)

=∞∑n=0

(w − z0)n

(z − z0)n+1

y la serie converge uniformemente. Ası

12π ı

=∫|z|=R4

f(z)z − w

dz =∑

cnwn

Si z esta en la cerradura de an(z0;R5, R6), y γ1, γ2 son las circunferenciascon centro en z0 y radios R3 y R4 respectivamente, como consecuencia dela formula integral de Cauchy

f(z) =1

2π ı

∫γ2

f(w)(w − z)n+1

dw − 12π ı

∫γ1

f(w)(w − z)n+1

dz

La primera de estas integrales define dos funciones, una es f2(z) para zen el interior de la region acotada por γ2 y otra para z en el exterior de γ2.Analogamente, la segunda integral define dos funciones, una es f1(z) para zen el exterior de γ1, y otra para z en el interior de γ1.

Si expandemos f2(z) en potencias de z − z0, usando las series


1w − z

=1

(w − z0)− (z − z0)=

1w − z0

(1

1− z−z0w−z0

)

=1

w − z0+

z − z0

(w − z0)2+

(z − z0)2

(w − z0)3+ . . .+

(z − z0)n

(w − z0)n+1+ . . . .

tenemos

f2(z) =∞∑n=0

(z − a)n1

2π ı

∫γ2

f(w)(w − a)n+1

dw.

Para representar f1(z), como

− 1w − z

=1

(z − z0)− (w − z0)=

1z − z0

(1

1− w−z0z−z0

)

=1

z − z0+

w − z0

(z − z0)2+

(w − z0)2

(z − z0)3+ . . .+

(w − z0)n

(z − z0)n+1+ . . . ,

que convergen si |z − z0| < |w − z0|, y convergen absoluta y uniformementecon respecto a z y w para

|w − z0| = R3, |z − z0| ≥ R5.

Multiplicando esta serie por f(w) e integrando termino a termino conrespecto a w a lo largo de γ1 tenemos

−f1(z) =∞∑n=1

(z − a)−n1

2π ı

∫γ1

f(w)(w − a)n+1

dw

Como las integrales dadas son independientes de la trayectoria de in-tegracion, y las curvas estan en el anillo R1 < |w − z0| < R2 y comoarg(w − z) se incrementa 2π cuando la tayectoria da una vuelta, tenemosque f(z) = f2(z)− f1(z).

En particular, esta expansion converge absoluta y uniformemente conrespectoa la variable z si R5 ≤ |z − z0| ≤ R6. De donde, la serie convergeabsolutamente si R1 < |z − z0| < R2

Los coeficientes cn = 12π ı

∫γ

f(w)(w−z0)n+1 dw dados en el teorema de Laurent

determinan la unicidad de la serie, esto es, si

f(z) =∞∑

n=−∞an(z − z0)n,


como consecuencia de la convergencia uniforme demostrada anteriormente,si r es un numreo fijo con R1 < r < R2, y m es un entero, entonces:

∫ 1

0f(r e2π ıt)e−2π ımt dt =

∞∑m=−∞

an

∫ 1

0rne2π ı(n−m)t dt = amr

m

de donde:

am = r−m∫ 1

0f(e2π ıt)e−2π ımt dt =

12πı

∫|z|=r

f(z)zm+1

dz = cm.

Definicion 7.2.2. Sea Ω un subconjunto abierto en C, z0 ∈ Ω, y supongaseque f es una funcion holomorfa en Ω\z0. Si r > 0 es un numero suficien-temente pequeno para que el anillo an(z0; 0, r) este contenido en Ω, tenemosuna expansion

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n, 0 < |z − z0| < r

la cual se denomina la serie de Laurent de la funcion f en el punto z0.El coeficiente c−1 del termino 1/(z− z0) se denomina el residuo de f en

z0, y lo denotaremos c−1 = Res(f, z0).

Notese que c−1 = Res(f, z0), el residuo de f en z0, es el unico numerocomplejo con la propiedad de que la funcion

f(z)− c−1

z − z0

tenga primitiva en an(z0; 0, r). Como consecuencia de esto, tenemos el sigu-iente resultado:

Proposicion 7.2.1. Si f es holomorfa en un abierto conexo Ω y tiene unasingularidad aislada en z0 con residuo c−1 en z0. Si γ(t) = z0 + re2πıt para0 ≤ t ≤ 1, es una circunferencia alrededor de z0, cuyo interior, salvo z0

esta contenida en Ω, entonces∫γf(z) dz = 2πıc−1

Demostracion. Como z0 es una singularidad aislada de f , entonces f admite

una expansion en serie de Laurent f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n, por lo tanto


∫γf(z) dz =

∫γ

( ∞∑n=−∞

cn(z − z0)n)dz =

∞∑n=−∞

∫γcn(z − z0)n

Como la aplicacion z 7→ (z − z0)n tiene primitiva para n 6= −1, por lo

que∫γcn(z − z0)n dz = 0 para n 6= −1 y

∫γc−1(z − z0)−1 dz = 2πıc−1. De

aquı se concluye el resultado.

Definicion 7.2.3. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto , y E ⊂ Ω un subconjuntodiscreto de Ω. Una funcion holomorfa en Ω \ E se denomina meromorfaen Ω si, para cada z0 ∈ E, existe r > 0 tal que B(z0, r) ⊂ Ω, y existendos funciones holomorfas en B(z0, r) tal que h no se anula en B(z0, r) yf(z) · h(z) = g(z) para cada z ∈ Ω \ E.

Es decir, una funcion es meromorfa si puede escribirse localmente comoel cociente de dos funciones holomorfas en cada uno de los puntos de E.

Supongamos que f es una funcion meromorfa definida en Ω, y definamosf : Ω → C∞ como f(z) = ∞ si z es un polo de f . Como por definicionz0 es un polo de f si lım

z→z0f(z) =∞, tenemos que f es una funcion con-

tinua de Ω en C∞. Ası, podemos pensar a las funciones meromorfas comofunciones holomorfas con singularidades en las cuales se puede remover ladiscontinuidad de f .

Lema 7.2.3. Sea r > 0, z0 ∈ C, y supongase que f es una funcion holomorfa

en B(z0, r) \ z0. Sea f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n la expansion en serie de

Laurent de f en z0. Entonces f es meromorfa sobre B(z0, r) si, y solo si,existe un entero positivo N tal que cn = 0 para cada n < −N .

Demostracion. Supongase que f es meromorfa en B(z0, r), y sea U un discocentrado en z0 sobre el cual hay definidas dos funciones holomorfas g, h, conh(z) 6= 0 para cada z ∈ U y h(z) · f(Z) = g(z) para cada z ∈ U ∩ (B(z0, r) \z0).

Sea h(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n = (z − z0)Nφ(z), dondeN es el mınimo n ≥ 0

tal que an 6= 0. Entonces φ(z0) = aN 6= 0, consecuentemente, existe un discoV centrado en z0, tal que V ⊂ U y φ(z) 6= 0 para cada z ∈ V . En particular,


la funcion g/φ es holomorfa en V . Sea∞∑n=0

bn(z − z0)n la expansion en serie

de Taylor de g/φ en z0. Entonces

f(z) =∞∑n=0

bn(z − z0)n−N , para z ∈ V \ z0

Como consecuencia de la unicidad de la expansion en serie de Laurent

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n, tenemos que cn = bn+N para cada n ≥ −N , y

cn = 0 para cada n < −N .

Recıprocamente, si f(z) =∞∑

n=−Ncn(z − z0)n, como consecuencia del lema

de Abel tenemos que (z − z0)Nf(z) =∞∑n=0

cn−N (z − z0)n es holomorfa en

B(z0, r)

Teorema 7.2.2. Sea Ω un conjunto abierto en C y sea E ⊂ Ω un conjuntodiscreto. Sea f una funcion holomorfa en Ω \ E. Entonces f es meromorfaen Ω si, y solo si, para cada z0 ∈ E, existe una vecindad U ⊂ Ω con U ∩ E = z0, talque alguna de las siguientes condiciones se satisface.

f|U\z0 es acotada, y como consecuencia del teorema de extension deRiemann se extiende a una funcion holomorfa, o bien;

lımz→z0z 6=z0

|f(z)| =∞.

Demostracion. Si f|U\z0 es acotada, entonces existe una funcion holomorfag definida en U tal que g(z) = f(z) para cada z ∈ U \ z0, y tenemos que1 · f = g sobre U \ z0.

Si |f(z)| → ∞ cuando z → z0, z 6= z0, entonces existe ρ > 0 tal queB(z0, ρ) = V ⊂ U y |f(z)| ≥ 1 para cada z ∈ V \ z0. Nuevamente, comoconsecuencia del teorema de extension de Riemann, existe una funcion hholomorfa en V tal que h(z) = 1/f(z) para cada z ∈ V \ z0. Esto es,h · f = 1 sobre V \ z0.

Reciprocamente, si z0 ∈ E, existe ρ > 0 es tal que V = B(z0, ρ) ⊂ Ω yV ∩ E = z0 sobre el cual existen funciones h, g holomorfas sobre V , h nonula en V tal que hf = g sobre V \ z0. De las expansiones en series de


Taylos de g y h, tenemos que existen k, l ∈ N y funciones φ, ψ holomorfasen V tales que g(z) = (z − a)kφ(z), h(z) = (z − a)lψ(z) y φ(z0) 6= 0ψ(z0) 6= 0. Sea r > 0 suficientemente pequeno para que φ y ψ no se anulenen U = B(z0, r). Entonces f(z) = (z − z0)k−lφ(z)/ψ(z) para z ∈ U \ z0.Luego entonces, si k ≥ l, la funcion f es acotada en B(z0, r

′) para r′ < r, sik < l |f(z)| → ∞ cuando z → z0, z 6= z0.

Definicion 7.2.4. Sea Ω un conjunto abierto conexo en C y sea f unafuncion meromorfa no identicamente nula en Ω.

Sea z0 ∈ Ω, y sea f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n la expansion en serie de

Laurent de f en z0.Se define el orden de f en z0, que denotaremos ordz0(f) como ınfn ∈

Z ; cn 6= 0.Si f es la funcion cero en Ω, se define ordz0(f) =∞

Como consecuencia de las definiciones, tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 7.2.2. Sea Ω un subconjunto abierto conexo de C, y f unafuncion meromorfa en Ω, no identicamente nula. Sea z0 ∈ Ω

1. z0 es un polo de f si, y solo si, ordz0(f) < 0. En este caso, f tiene unpolo de orden −ordz0(f) en z0.

2. f es holomorfa y tiene un cero en z0 si, y solo si, ordz0(f) > 0. Eneste caso, ordz0(f) es el orden del cero de f en z0.

3. f es holomorfa en z0 ∈ Ω si, y solo si, ordz0(f) ≥ 0

4. f es holomorfa en z0 y f(z0) 6= 0 si, y solo si ordz0(f) = 0.

5. Si f y g son funciones meromorfas definidas en Ω, entonces ordz0(f ·g) = ordz0(f) + ordz0(g).

6. Si f y g son funciones meromorfas definidas en Ω y λ ∈ C, λ 6= 0, en-tonces ordz0(λf) = ordz0(f), y ordz0(f+g) ≥ mınordz0(f), ordz0(g).Ademas, si ordz0(f) 6= ordz0(g), entonces ordz0(f+g) = mınordz0(f), ordz0(g).

Definicion 7.2.5. Sea f una funcion meromorfa sobre el conjunto abiertoΩ ⊂ C, y sea a ∈ Ω.

Decimos que f tiene un polo simple en z0 si ordz0(f) = −1.Decimos que f tiene un cero simple en z0 si ordz0(f) = 1.Si ordz0(f) = k > 0, decimos que f tiene un cero de orden k en z0. En

particular, un cero simple es un cero de orden uno.


Como consecuencia de lo visto anteriormente, z0 es una singularidad

escencial de una funcion f si, en la expansion de Laurent∞∑

n=−∞cn(z − z0)n

de f en z0, hay una infinidad de n < 0 con cn 6= 0.

Teorema 7.2.3 (El teorema de Casorati-Weierstrass). Sea z0 ∈ C, r > 0,an(z0; 0, r) = z ∈ C ; 0 < |z − z0| < r. Sea f una funcion holomorfaen an(z0; 0, r), y supongamos que z0 tiene una singularidad escencial de f .Entonces f(an(z0; 0, r)) es denso en C.

Demostracion. Supongamos que el resultado es falso, entonces existe c ∈ C,y δ > 0 tal que

f(an(z0; 0, r)) ∩ w ∈ C ; |w − c| < δ = ∅.

Entonces la funcion f = (f − c)−1 es holomorfa en an(z0; 0, r) y |g(z)| ≤δ−1. Por el teorema de extension de Riemann existe una funcion G holomorfaen B(z0, r), tal que G(z) = g(z) para cada z ∈ an(z0; 0, r). Entonces G esnunca nula sobre B(z0, r), G · (f − c) = 1 sobre an(z0; 0, r) y f = c + G−1

sobre an(z0, 0, r).Por lo tanto f es meromorfa en B(z0, r), lo cual es una contradiccion a

la hipotesis de que z0 es una singularidad escencial de f .

No solo esto es cierto, se tiene el Teorema de Picard que asegura queexiste a lo mas un valor c ∈ C tal que c /∈ f(an(z0; 0, r). Este teorema formaparte de un curso avanzado, por lo cual, no queda incluido en el presentetexto.

Teorema 7.2.4 (El teorema de Picard). Sea R > 0, z0 ∈ C, an(z0; 0, R) =z; 0 < |z−z0| < R. Sea f una funcion holomorfa en an(z0; 0, R), y supon-gamos que f tiene una singularidad esencial en z0. Entonces f(an(z0; 0, R))contiene a todos los numeros complejos con a lo mas una excepcion.

Para una demostracion, puede verse [N, pg. 95, Cap. 4].

7.3. Residuos

Como consecuencia de lo visto en la seccion anterior, si lımz→z0

(z − z0)f(z)

existe y es no cero, entonces f tiene un polo simple en z0, y este lımitecoincide con el residuo de f en z0. Aplicaremos este resultado para obtenerun metodo para calcular el residuo.

7.3. RESIDUOS 217

Proposicion 7.3.1. Sean g y h funciones holomorfas en z0 y supongaseque g(z0) 6= 0, h(z0) = 0, y h′(z0) 6= 0. Entonces f(z) = g(z)/h(z) tiene unpolo simple en z0 y

Res(f, z0) =g(z0)h′(z0)

.

Demostracion. Sabemos que

lımz→z0

h(z)− h(z0

z − z0= h′(z0) 6= 0,

por lo tanto

lımz→z0

z − z0

h(z)=

1h′(z0)

.

Por lo tantolımz→z0

(z − z0)g(z)h(z)

=g(z0)h′(z0)

esite y es igual al residuo de f en z0.

En general, si g(z) tiene un cero de orden k y h(z) tiene un cero deorden l con l > k, entonces g(z)/h(z) tiene un polo de orden l − k, puesg(z) = (z− z0)kφ(z), h(z) = (z− z0)lψ(z), donde φ(z0) 6= 0 y ψ(z0) 6= 0. Ası

g(z)h(z)

=φ(z)/ψ(z)(z − z0)l−k

donde la funcion φ/ψ es holomorfa en z0. Generalizando el resultado anteriortenemos:

Proposicion 7.3.2. Supongase que g(z) tiene un cero de orden k en z0 yque h(z) tiene un cero de orden k + 1, entonces g/h tiene un polo simplecon residuo

Res(gh, z0

)= (k + 1)

g(k)(z0)h(k+1)(z0)

Demostracion. Como g(z) tiene un cero de orden k en z0, como consecuenciadel teorema de Taylor tenemos que

g(z) = (z − z0)kg(k)(z0)k!

+ (z − z0)k+lφ(z)

donde φ(z) es holomorfa en una vecindad de z0 y φ(z0) 6= 0. Analogamente

h(z) = (z − z0)k+1h(k+1)(z0)(k + 1)!

+ (z − z0)k+1ψ(z)


con ψ(z) holomorfa en una vecindad de z0 y ψ(z0) 6= 0.Por lo tanto

(z − z0)g(z)h(z)

=g(k)(z0)

k! + (z − z0)φ(z)h(k+1)(z0)

(k+1)! + (z − z0)ψ(z)

cuando z → z0, este valor converge al cociente de los lımites

(k + 1)g(k)(z0)h(k+1)(z0)

.

En particular, esto muestra que

lımz→z0

(z − z0)f(z)g(z)

= (k + 1)g(k)(z0)h(k+1)(z0)

.

Para polos de orden mayor o igual que 2, podemos desarrollar formulasque nos permitan calcular el residuo, por ejemplo:

Proposicion 7.3.3. Si f tiene una singularidad aislada en z0 y si k es elmınimo entero positivo tal que lım

z→z0(z − z0)kf(z) existe. Entonces f(z) tiene

un polo de orden k en z0 y si escribimos φ(z) = (z − z0)kf(z), entonces φpuede definirse en forma unica en z0 tal que φ es holomorfa en z0 y

Res(f, z0) =φ(k−1)(z0)(k − 1)!

.

Demostracion. Como lımz→z0

(z − z0)kf(z) existe, φ(z) = (z − z0)kf(z) tiene

una singularidad removible en z0, y en una vecindad de z0 tenemos que

φ(z) = (z−z0)kf(z) = c−k+c−k+1(z−z0)+. . .+c−1(z−z0)k−1+c0(z−z0)k+. . .

y ası

f(z) =c−k

(z − z0)k+

c−k+1

(z − z0)k−1+ . . .+

c−1

(z − z0)+ c0 + c1(z − z0) + . . .

Si c−k = 0, entonces lımz→z0

(z − z0)k−1f(z) existe, lo cual contradice la

hipotesis. Por lo tanto z0 es un polo de orden k. Finalmente, considerandola expansion de φ en serie de Taylor en z0, y derivando k−1 veces, obtenemosque φ(k−1)(z0) = (k − 1)!c−1.

7.4. EL TEOREMA DEL RESIDUO 219

7.4. El Teorema del Residuo

Teorema 7.4.1 (El Teorema del Residuo). Sea Ω un subconjunto abiertode C y sea E un conjunto discreto en Ω. Sea γ una curva cerrada en Ω \Ela cual es homotopica a la curva constante en Ω.

Entonces, para cada funcion holomorfa en Ω \ E, el conjunto a ∈E; n(γ, a) 6= 0 es finito y tenemos

12πı

∫γf(z) dz =

∑a∈E

Res(f, a) · n(γ, a).

Demostracion. Sea γ : [0, 1] → Ω \ E, y sea H : I × I → Ω una homotopıafijando γ(0) = γ(1) de γ a una constante. Sea K = H(I × I), como K es laimagen bajo una funcion continua de un conjunto compacto K es compacto,ası K ∩ E es finito. Si a ∈ E y a /∈ K, entonces H es una homotopıade γ a una constante en C \ a, por lo tanto n(γ, a) = 0. Por lo quea ∈ E ; n(γ, a) 6= 0 esta contenido en E ∩ K. y este conjunto es finito.Supongamos que E ∩K = a1, . . . , ap, y sea gj la parte principal de f en

aj . Entonces f −

p∑j=1

gj

es holomorfa en un conjunto abierto U ⊃ K, y

γ es homotopica a una constante en U . Como consecuencia del teorema deCauchy ∫

γf dz =

p∑j=1

∫γgj dz.

Sea gj(z) =−1∑

n=−∞c(j)n (z − aj)n, z 6= aj . La serie converge uniformemente

sobre im(γ) ası

∫γgj dz =

−1∑n=−∞

c(j)n

∫γ(z − aj)n dz = 2πıc(j)

−1 · n(γ, aj)

ya que (z − aj)n tiene primitiva sobre C− aj para n 6= 1. Por lo tanto


12πı

∫γf dz =

p∑j=1

n(γ, aj)c(j)−1

=p∑j=1

n(γ, aj) ·Res(f, aj)

=∑a∈E

n(γ, aj)Res(f, aj)

pues n(γ, a) = 0 si a ∈ E, a 6= aj .

Como consecuencia de este teorema podemos dar otra demostracion de la formula integral de Cauchy

Corolario 7.4.1 (La formula integral de Cauchy). Sea Ω un conjunto abier-to en C y sea γ una curva cerrada en Ω, homotopica a una constante. Seaf una funcion holomorfa en Ω y z0 ∈ Ω \ im(γ). Entonces

12πı

∫γ

f(z)z − z0

dz = n(γ, z0)f(z0).

Demostracion. La funcion g(z) = f(z)/(z − z0) es holomorfa en Ω \ z0y Res(g, z0) = f(z0). Como consecuencia del teorema del residuo, tenemosque

12πı

∫γ

f(z)z − z0

dz = n(γ, z0)f(z0).

Supongamos que f es holomorfa y tiene un cero de orden m en z0,entonces f(z) = (z − z0)mφ(z) con φ(z0) 6= 0.

Entoncesf (z)f(z)

=m

z − z0+φ′(z)φ(z)

y φ′/φ es holomorfa en una vecindad de z0.Por otra parte, supongamos que f tiene un polo de orden m en z0, esto

es, f(z) = (z − z0)−mφ(z), donde g es holomorfa y φ(z0) 6= 0. Entonces

f (z)f(z)

=−mz − z0

+φ′(z)φ(z)

y nuevamente φ′/φ es holomorfa en una vecindad de z0.Usando el analisis anterior podemos deducir el siguiente resultado:


Teorema 7.4.2 (EL Principio del Argumento). Sea f una funcion mero-morfa en Ω con polos p1, . . . , pm y ceros z1, . . . , zm contados de acuerdo asu multiplicidad. Si γ es ua curva cerrada homotopica a una constante enΩ y que no pase por los puntos p1, . . . , pm, z1, . . . , zn, entonces

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)

=n∑k=1

n(γ, zk)−m∑j=1

n(γ, pj).

Demostracion. Aplicando repetidamente las expresiones obtenidas en el parrafoanterior tenemos que

f ′(z)f(z)

=n∑k=1

1z − zk

−m∑j=1

1z − pj

+φ′(z)φ(z)

,

donde φ es holomorfa y nunca nula en Ω. Como g′/g es holomorfa, comoconsecuencia del teorema de Cauchy tenemos

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)

=1

2πı

∫γ

n∑k=1

1z − zk

−m∑j=1

1z − pj

+φ′(z)φ(z)

dz

=n∑k=1

n(γ, zk)−m∑j=1

n(γ, pj)

Usando la definicion de orden de una funcion en un punto, podemosreescribir este resultado como:

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)

dz =∑

a∈Zf∪Pf

n(γ, a)orfa(f)

donde Zf = z1, . . . , zn es el conjunto de ceros de f y Pf = p1, . . . , pmes el conjunto de polos de f .

El porque se denomina el principio del argumento, se debe a lo siguiente:Si pudieramos definir log f(z), entonces log f(z) serıa una primitiva de f ′/f ,

tendrıamos ası que∫γf ′/f = 0. Como ningun cero o polo de f esta sobre

im(γ) para cada z ∈ im(γ) existe un disco B(z, rz) en el cual se puede definiruna rama de log f(z). Las bolas forman una cubierta abierta de im(γ), y porel teorema de la cubierta de Lebesgue existe un numero positivo ε tal que


para cada z ∈ im(γ) podemos definir una rama de log f(z) sobre B(z, ε).Usando la continuidad uniforme sobre γ (donde γ : [0, 1] → Ω), existe unaparticion 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 tal que γ(t) ∈ B(γ(tj−1), ε) para tj−1 ≤t ≤ tj y 1 ≤ j ≤ k. Sea `j la rama de log f definida en B(γ(tj−1), ε) para1 ≤ j ≤ k. Como γ(tj) ∈ B(γ(tj), ε)∩B(γ(tj+1), ε), podemos elegir `1, . . . , `ktales que `1(γ(t1)) = `2(γ(t1)); `2(γ(t2)) = `2(γ(t2)); . . . ; `k−1(γ(tk−1)) =`k(γ(tk−1)). Si γj denota la restriccion de γ al intervalo [tj−1, tj ], como `′j =f ′/f , entonces∫

γj

f ′

fdz = `j(γ(tj))− `j(γ(tj−1)) para 1 ≤ j ≤ k.

Entonces ∫γ

f ′

fdz =

j∑k=1

∫γj

f ′

fdz = `k(γ(1))− `1(γ(0)).

Como γ es una curva cerrada, entonces γ(0) = γ1 = z0, por lo que existe unentero K tal que `k(γ(1))− `1(γ(0)) = `k(z0)− `1(z0) = 2πıK. Como 2πıKes un numero imaginario, tenemos que Im(`k(z0))− Im(`1(z0)) = 2πK. Esdecir, cuando z se desplaza a lo largo de γ, arg f(z) cambia por 2πK.

Teorema 7.4.3 (El teorema de Rouche). Sean f y g funciones meromorfasen una vecindad de B(z0, R), sin cero o polos sobre la circunferencia γ =z; |z − z0| = R. Si Zf , Zg (Pf , Pf ) son los numeros de ceros (polos) de fy g en el interior de γ contados de acuerdo con sus multiplicidades y si

|f(z) + g(z)| < |f(z)|+ |g(z)|

sobre γ, entoncesZf − Pf = Zg − Pg.

Demostracion. De las hipotesis∣∣∣∣f(z)g(z)

+ 1∣∣∣∣ < ∣∣∣∣f(z)

g(z)

∣∣∣∣+ 1

sobre γ. Si λ = f(z)/g(z) y si λ es un numero real positivo la desigualdadanterior nos da que λ+1 < λ+1, lo cual es una contradiccion. Ası, la imagende la curva γ bajo la funcion meromorfa f/g esta contenida en Ω = C\[0,∞).Si ` es una rama de logaritmo sobre Ω entonces `(f(z)/g(z)) es una primitivabien definida de (f/g)′/(f/g) en una vecindad de γ. Entonces


0 =1

2πı

∫γ

(f/g)′

(f/g)

=1

2πı

∫γ

(f ′

f− g′

g

)= (Zf − Pf )− (Zg − Pg)

Este enunciado del teorema de Rouche fue descubierto por Irving Glicks-berg (Amer. Math. Monthly, 83 (1976), 186-187). En el enunciado clasico sesupone que f y g satisfacen la desigualdad |f + g| < |g|. Aunque la versiondebil nos permite dar diversas aplicaciones, por ejemplo, es posible dar otrademostracion del Teorema Fundamental del Algebra.

Si p(z) = zn + a1zn−1 + . . .+ an, entonces

p(z)zn

= 1 +a1

z+ . . .+

anzn

y como lımz→∞

p(z)/zn = 1, existe R > 0 suficientemente grande tal que, si

|z| = R entonces ∣∣∣∣p(z)zn− 1∣∣∣∣ < 1,

es decir, |p(z)− zn| < |z|n si |z| = R. Por el Teorema de Rouche p(z) debetener n ceros en el interior de |z| = R.

Teorema 7.4.4 (El teorema de Hurwitz). Sea Ω una region y supongamosque fn es una sucesion de funciones holomorfas en Ω la cual converge af . Supongase que f no es identicamente nula, sea z0 ∈ Ω y tomemos R > 0tal que B(z0, R) ⊂ Ω y f(z) 6= 0 para |z−z0| = R. Entonces existe un enteropositivo N tal que para n ≥ N , f y fn tienen el mismo numero de ceros enB(z0, R).

Demostracion. Como f(z) 6= 0 para |z − z0| = R, sea

δ = ınf|f(z)|; |z − z0| = R > 0.

Como fn converge uniformemente a f sobre z; |z − z0| = R ası existeun entero N tal que si n ≥ N y |z−z0| = R entonces fn(z) 6= 0 si |z−z0| = Ry

|f(z)− fn(z)| < 12δ < |f(z)| ≤ |f(z)|+ |fn(z)|.


Como consecuencia del Teorema de Rouche f y fn tienen el mismonumero de ceros en B(z0, R)

Corolario 7.4.2. Si Ω es una region y fn es una sucesion de funcionesholomorfas en Ω la cual converge a f en Ω y fn nunca se anula en Ω,entonces f es identicamente nula, o bien, f es nunca nula.

Definicion 7.4.1. Sean Ω y Ω′ dos conjuntos abiertos en C. Una aplicacionholomorfa f : Ω → Ω′ es una funcion holomorfa definida en Ω tal quef(Ω) ⊂ Ω′. Decimos que f es un isomorfismo analıtico de Ω sobre Ω′ siexiste una aplicacion holomorfa g : Ω′ → Ω tal que g f es la aplicacionidentidad en Ω y f g es la identidad en Ω′. Si Ω = Ω′ y f : Ω → Ω es unisomorfismo analıtico, entonces f se denomina un automorfismo analıticode Ω.

Si f : Ω→ Ω′ es una aplicacion holomorfa, diremos que f es localmenteun isomorfismo analıtico si para cada a ∈ Ω existe una vecindad U tal quef(U) = U ′ es abierto y f|U es un isomorfismo analıtico sobre U ′.

Proposicion 7.4.1. Sea Ω un conjunto abierto en C, y f una funcion holo-morfa en Ω, y a ∈ Ω. Entonces f ′(a) 6= 0 si, y solo si, existe una vecindadU de a tal que f|U es inyectiva.

Demostracion. Sea γ(t) = a+ re2πıt para 0 ≤ t ≤ 1. Entonces n(γ, b) = 1 sib ∈ B(a, r), mientras que n(γ, b) = 0 si r < |w − a|.

Supongase que existe r1 > 0 tal que B(a, r1) ⊂ Ω y f|B(a,r1) es inyectiva.Sea 0 < r < r1 tal que f ′(z) 6= 0 para 0 < |z − a| ≤ r.

Supongamos que f ′(a) = 0, como f es inyectiva sobre B(a, r1), el unicocero de f−f(a) es el punto a. Como consecuencia del principio del argumento

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)− f(a)

dz = orda(f − f(a)) ≥ 2, ya que f ′(a) = 0.

Sea δ = ınf |z−a|=r |f(z) − f(a)| > 0, y sea w ∈ C, |w − f(a)| < δ.

La funcion w 7→ 12πı

∫γ

f ′(z)f(z)− w

dz es claramente continua en B(f(a), δ). y

como consecuencia del principio del argumento solo toma valores enteros.Por lo tanto

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)− w

dz = orda(f − f(a)) ≥ 2, w ∈ B(f(a), δ),

Por otra parte, como consecunecia del principio del argumento


12πı

∫γ

f ′

f − wdw =

∑b∈B(a,r),

f(b)=w

ordb(f − w).

Por la eleccion de r, f ′(z) 6= 0 si z ∈ B(z, r), z 6= a. Ası, si w 6= f(a),w ∈ B(f(a), δ) tenemos ordb(f − w) = 0 o 1 si b ∈ B(z, r). Por lo que∑

b

ordb(f − w) ≥ 2

para cada w ∈ B(f(a), δ), w 6= f(a), ası deben existir al menos dos pun-tos distintos b1, b2 ∈ B(a, r) con f(b1) = w = f(b2), lo cual contradice lahipotesis de que f|B(a,r1) es inyectiva. Por lo cual f ′(a) 6= 0.

Reciprocamente, si f ′(a) 6= 0, y elegimos r tal que B(a, r) ∩ z ∈Ω ; f(z) = f(a) = a.

Como f ′(a) 6= 0 debemos tener orda(f − f(a)) = 1, por lo que

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)− f(a)

dz = 1

Si δ = ınf|z−a|=r

|f(z)− f(a)| entonces δ > 0 y ademas,

12πı

∫γ

f ′(z)f(z)− w

dz = 1, para |w − f(a)| < δ.

El principio del argumento implica que existe un unico punto z ∈ B(a, r)tal que f(z) = w, w ∈ B(f(a), δ). Ası. si U = B(a, r)∩ f−1(B(f(a), δ)), f|Ues inyectiva y f(U) = B(f(a), δ).

Teorema 7.4.5. Sean Ω,Ω′ dos subconjuntos abiertos de C, y sea f : Ω→Ω′ una aplicacion holomorfa. Si f es biyectiva, entonces f es un isomorfismoanalıtico de Ω sobre Ω′.

Demostracion. Por el teorema de la aplicacion abierta, f−1 es una aplicacioncontinua de Ω′ en Ω.

Como consecuencia de la proposicion anterior, f ′(z) 6= 0 para toda z ∈ Ω.Sea a ∈ Ω, b = f(a) y sea r > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω. Definamos

δ := ınf|z−a|=r

|f(z)− b|. Como f−1 es continua, existe ε > 0, con 0 < ε < δ tal

que f−1(B(b, ε)) ⊂ B(a, r).Sea w0 ∈ B(b, ε), z0 = f−1(w0), entonces f(z0) = w0 y

f ′(z)f(z)− w0

=1

z − z0+ h(z), z ∈ Ω


donde h es holomorfa en Ω, ya que ordz0(f − w0) = 1 y f(z) 6= w0 siz ∈ Ω \ z0, tenemos f(z) − w0 = (z − z0)φ(z) con F holomorfa en Ω yφ(z) 6= 0 para cada z ∈ Ω, ası h = φ′/φ.

De donde

zf ′(z)f(z)− w0

=z

z − z0+ zh(z) =

z0

z − z0+ 1 + zh(z)

Ası

f−1(w0) = z0 =1

2πı

∫γ

zf ′(z)f(z)− w0

dz w0 ∈ B(b, ε).

La funcion w 7→ 12πı

∫γ

zf ′(z)f(z)− w

dz es holomorfa en B(b, ε. Ya que a ∈ Ω

y b ∈ Ω′ son arbitrarios, se sigue que f−1 es holomorfa en Ω′.

Corolario 7.4.3. Si Ω,Ω′ son abiertos en C y f : Ω→ Ω′ es una aplicacionholomorfa, entonces f es localmente un isomorfismo analıtico si, y solo si,f ′(z) 6= 0 para cada z ∈ Ω.

7.5. Aplicaciones del teorema del residuo

El teorema del residuo suele utilizarse para evaluar integrales definidasmediante el calculo de ciertos residuos, a continuacion descirbiremos alfunesclases de integrales en las que este teorema se aplica.

7.5.1. Integrales de tipo∫∞−∞ f(x) dx.

Proposicion 7.5.1. Supongamos que f es holomorfa sobre un conjuntoabierto que contenga al semiplano superior H = z; Imz ≥ 0, salvo para unnumero finito de singularidades aisladas ninguna de las cuales se encuentrasobre el eje real, y que existen constantes M > 0 y p > 1 y un numero realR tal que |f(z)| ≤M/|z|p siempre que z ∈ H y |z| ≥ R. Entonces∫ ∞

−∞f(x) dx = 2πı

∑a∈H

Res(f, a)

Demostracion. Si r > R y consideramos la curva γr = γr,1(t)+γr,2(t) dondeγr,1(t) = t para −r ≤ t ≤ r, y γr,2(t) = reıt para 0 ≤ t ≤ π, y elegimos rsuficientemente grande para que γr contenga en su interior todos los polosde f que estan en el semiplano superior. Como consecuencia del teorema delresiduo

7.5. APLICACIONES 227

∫γr

f(z) dz = 2πı∑a∈H

Res(f, a)

Por otra parte ∫γr

f(z) dz =∫ r

−rf(x) dx+

∫ π

0f(reıθ)ıreıθ dθ

Como |f(z)| ≤M/|z|p siempre que z ∈ H y |z| ≥ R, entonces lım|z|→∞ |f(z)| =0, de donde ∣∣∣∣∫ π


∣∣∣∣ ≤ π · Mrp r =πM

rp−1

y como p > 1, lımr→∞ 1/rp−1 = 0, por lo que

lımr→0

∣∣∣∣∫ π


∣∣∣∣ = 0.

Entonces

lımr→∞

∫ r

−1f(x) dx = 2πı

∑a∈H

Res(f, a)

Como f es continua en R y como |f(z)| ≤M/|z|p para |x| ≥ R, entoncesf es integrable como funcion de x ∈ R, de donde

lımr→∞

∫ r

−rf(x) dx =

∫ ∞−∞

f(x) dx

De aquı concluimos que∫ ∞−∞

f(x) dx = 2πı∑a∈H

Res(f, a)

Corolario 7.5.1. Si f = p/q donde p y q son polinomios con coeficientesreales tales que deg g ≥ deg f + 2 y q no tiene ceros reales, entonces∫ ∞

−∞f(x) dx = 2πı

∑a∈H

Res(f, a)


Demostracion. Sea n = deg p, entonces deg q ≥ n+ p con p ≥ 2. Como p esun polinomio, si |z| ≥ | existe M1 > 0 tal que |p(z)| ≤M1|z|, analogamenteexisten M2 > 0 y R > 1 tal que |q(z)| ≥M2|z|n+p si |z| ≥ R.

Por lo tanto ∣∣∣∣p(z)q(z)

∣∣∣∣ ≤ M1

M2

1|z|p≤ M1

M2

1|z|2

para |z| ≥ R. Por lo cual se satisfacen las hipotesis de la proposicion anteior.

Ejemplo 18.

La funcion f(z) = (z4 + 1)−1 es holomorfa salvo en las raıces cuar-tas de −1, ninguna de las cuales se encuentra sobre el eje real, por lo quecumple las hipotesis del corolario anterior. Las raıces cuartas de la unidadson eπı/4, e3πı/4, e5πı/4, e7πı/4, corresponden a polos son simples de f y sololos dos primeros estan en el semiplano superior. El residuo en uno de talespuntos z0 s 1/4z3

0 = −z0/4, ası

Res(f, eπı/4) +Res(f, e3πı/4) =−14

(eπı/4 + e3πı/4)

=−14eπı/4(1 + eπı/2)

=−14

(1 + ı√

2

)(1 + ı)

= − ı

2√

2

7.5.2. Transofrmadas de Fourier

A continuacion presentaremos una tecnica que permita evaluar integrales

de la forma∫ ∞−∞

f(x) cos(ωx) dx y∫ ∞−∞

f(x) sin(ωx) dx, las cuales se denom-

inas las transformadas de fourier seno y coseno de f . Si f es una funciondefinida sobre el eje real para el cual estas integrales tienen sentido, las dosintegrales anteriores pueden relacionarse con la expresion

F (w) =∫ ∞−∞

f(x)e−ıωx dx

la cual define una nueva funcion denominada la transformada de Fourierde f . Esta tiene gran importancia en ecuaciones diferenciales. Si ω y f(x)


son reales, las transformadas de Fourier seno y coseno son las partes real eimaginaria de las transformadas de Fourier∫ ∞

−∞f(x) cos(ωx) dx = ReF (ω)

∫ ∞−∞

f(x) sin(ωx) dx = −ImF (ω)

Si ω es real y f satisface ciertas condiciones, estas integrales puedenevaluarse usando la siguiente proposicion

Proposicion 7.5.2. Si ω > 0, y f es holomorfa sobre un conjunto abiertoque contenga al semiplano superior H = z; Imz ≥ 0, excepto para unnumero finito de singularidades aisladas ninguna de las cuales esta sobreel eje real. Supongamos que |f(z)| → 0 cuando z → ∞ en H, entonces la

integral∫ ∞−∞

f(x)eıωx dx existe en el sentido de que lımc→∞

∫ c

0f(x)eıωxdx y

lımc→∞

∫ 0

−cf(x)eıωxf(x)dx existen, entonces∫ ∞

−∞f(x)eıωx dx = 2πı

∑a∈H

Res(f(z)eıωz, a).

Si f(x) es real para x ∈ R, entonces∫ ∞−∞

f(x) cos(ωx) dx y∫ ∞−∞

f(x) sin(ωx) dx

son iguales respectivamente a sus partes real e imaginaria.

Demostracion. Sea ω > 0, y sea γ el contorno del rectangulo con vertices(−x1, 0), (x2, 0), (x2, y1), (−x1, y1), donde y1 > x1, x2 > 0 y x1, x2, y1 seeligen suficientemente grandes para que en el intreior de γ se encuentrentodos los polos de f pertenecientes al semiplano superior. Por el teoremadel residuo ∫

γf(z)eıωz dz = 2πı

∑a∈H

Res(f(z)eıωz, a).

A continuacion estimaremos el modulo de las siguientes integrales:

I1 =∫ y1

0eıω(x2+yıf(x2 + yı)ı dy;

I2 =∫ −x1

x2

eıω(x+y1ıf(x+ y1ı) dx;


Como ε es arbitraria

lımx1→∞x2→∞

∫ x2

−x1

f(x) · eıωxf(x) dx

existe y es igual a 2πı∑a∈H

Res(f(z)eıωz, a).

Corolario 7.5.2. Si f(x) = p(x)/q(x) con p(x) y q(x) polinomios, deg q >deg p y q no tiene ceros sobre el eje real, entonces∫ ∞

−∞f(x)eıωx dx = 2πı

∑a∈H

Res(f(z)eıωz, a).

Demostracion. Si f(x) = p(x)/q(x), con deg q ≥ deg p + 1, para |z| ≥ 1,existe un M1 > 0 tal que |p(z)| ≤ M1|z|n, donde n = deg p, y existe R > 1y M2 > 0 tal que para |z| ≥ R tenemos |q(z)| ≥M2|z|n+1. De donde

|p(z)||q(z)|

≤ M1

M2|z|

para |z| ≥ r, por lo cual se satisfacen las hipotesis de la proposicion anterior.

Ejemplo 19.

Deseamos mostrar que:∫ ∞0

cosxx2 + 1

dx =πe−b

2.

Como la funcion x 7→ cosxx2 + 1

es par, entonces∫ ∞0

cosxx2 + 1

dx =12

∫ ∞−∞

cosxx2 + 1

dx

A continuacion calcularemos los residuos de eız/(z2 + 1) en el semiplanosuperior. Notamos que el unico polo en el semiplano superior es ı, el cual esun polo simple, por lo que

Res

(eız

z2 + 1, ı

)=e−1

2ı,

ası ∫ ∞−∞

cosxx2 + 1

dx = Re

(2πı

(e−1

2ı

))= πe−1.


7.5.3. Integrales Trigonometricas

Sea R(x, y) una funcion racional de las variables x, y cuyo denominadorno se anula sobre la circunferencia unitaria. Entonces∫ 2π

0R(cos θ, sin θ) dθ = 2π

∑a∈∆

Res(f(z), a),

donde ∆ = z; |z| < 1 y

f(z) =1ızR

(12

(z +

1z

),

12ı

(z − 1

z

)).

Demostracion. Si z = x+ ıy esta sobre la circunferencia unitaria, entonces

x =z + z

2=

12

(z +

1z

)y y =

z − z2

=12ı

(z − 1

z

).

Como R no tiene polos sobre la circunferencia unitaria, f tampoco, luegoentonces si γ parametriza la circunferencia unitaria, por el teorema del resid-uo ∫

γf = 2πı

∑z∈∆

Res(f, a)

Entonces

∫ 2π

0R(cos θ, sin θ) dθ =

∫ 2π

0R

(eıθ + e−ıθ

2,eıθ − e−ıθ

2ı

)ıeıθ

ıeıθdθ

=∫ 2π

0f(eıθ)ıeıθ dθ

=∫γf

lo cual demuestra esta proposicion.

Ejemplo 20.

Deseamos evaluar ∫ 2π

0

dθ

10− 6 cos θ.

Como consecunecia de la proposicion anterior


∫ 2π

0

dθ

10− 6 cos θ=

∫γ

dz

ız(10− 3

(z + 1

z

))=

∫γ

dz

ı(−3z2 + 10z − 3)

=∫

ı dz

(z − 3)(3z − 1)

Los polos del integrando son z = 3 y z = 1/3. Por lo cual el integrando tieneun polo en el interior del disco unitario, y el residuo es

ı

1− 9= − ı

8

Por lo que ∫ 2π

0

dθ

10− 6 cos θ=

2π8.

7.5.4. Evaluacion de series infinitas

En la presente secion desarrollamos un metodo para evaluar series de la

forma∞∑

n=−∞f(n) donde f es una funcion dada. Supongamos que f es una

funcion meromorfa con un numero finito de polos, ninguno de los cuales esentero, supongamos ademas que g(z) es una funcion meromorfa cuyos unicospolos son polos simples en los enteros, donde los residuos son todos 1. Ası,en los enteros, los residuos de f(z)G(z) son f(n). Entonces si γ es una curvacerrada que encierra los numeros −N,−N + 1, . . . , 0, 1, . . . , N , el teoremadel residuo nos dice que∫

γg(z)f(z) dz = 2πı

( N∑n=−N

f(n)

)+∑a∈Pf

Res(G(z)f(z), a)

donde Pf denota el conjunto formado por los polos de f .

Si∫γg(z)f(z) dz exhibe un lımite controlable cuando γ es grande, obten-

dremos informacion de la conducta lımite deN∑

n=−Nf(n) cuando n → ∞ en

terminos de los residuos de G(z)f(z) en los polos de f . Una G(z) apropiadaes G(z) = π cotπz. Por supuesto


∫γG(z)f(z) dz = 2πı

∑( los residuos de G(z)f(z) en el interior de γ),

ası si alguno de todos los polos de f es entero, necesitamos eliminar dichosterminos, ası

∫γG(z)f(z) dz = 2πı

[N∑

n=−Nf(n); n no es una singularidad de f

+∑ residuos de G(z)f(z) en las singularidades de f

]Teorema 7.5.1 (El teorema de la suma). Si f es holomorfa en C salvopor un numero finito de singularidades aisladas. Para N ∈ N, sea CN elcuadrado con vertices en los puntos (N + 1/2) · (−1 − ı), (N + 1/2) · (1 −ı), (N + 1/2) · (1 + ı), (N + 1/2) · (−1 + ı). Supongase que

lımN→∞

∫CN

(π cotπz)f(z) dz = 0

, entonces se satisface la formula de la suma

lımN→∞

N∑n=−N

f(n); n no es singularidad de f

= −∑ residuos de (π cotπz)f(z) en las singularidades de f

Si ninguna de las singularidades de f es un entero, entonces∑n=−N

Nf(x)

existe, es finita, y

lımN→∞

N∑n=−N

f(n) = −∑ residuos de (π cotπz)f(z) en las singularidades de f

Demostracion. Supongamos que ninguna de las singularidades de f es en-tero. Por el teorema del residuo∫

Cn

(π cotπz)f(z) dz = 2πıN∑

m=−NRes((π cotπz)f(z),m)

+2πı∑

a∈SingfRes(π cotπz)f(z), a),


donde SingF denota el conjunto de singularidades de f , y N es suficiente-mente grande para que contenga a Singf . Como cotπz = (cosπz)/(sinπz)y (sinπz)′ 6= 0 si z = n ∈ Z, tenemos que n es un polo simple de cotπz yRes(cotπz, n) = (cosπn)/(π cosπn) = 1/π, entoncesRes((π cotπz)f(z), n) =πf(n)Res((cotπz, n) = f(n). Ası la suma de los residuos de (π cotπz)f(z)

en los enteros −N,−N + 1, . . . , N − 1, N es igual aN∑

n=−Nf(n). Tomando

lımites sobre ambos lados de la ecuacion anterior para∫CN

(π cotπz)f(z) dz

y usando el echo∫CN

(π cotπz)f(z) dz → 0 cuando N →∞, obtenemos

lımN→∞

N∑n=−N

f(n) = −∑

a∈SingfRes((π cotπz)f(z), a).

Es importante notar que obtuvimos esta formula para el lımite de las sumas parciales simetricas de

∑∞−∞ f(n). Este

resultado no es cierto si se toman las dobles series infinitas, las cuales re-quieren calcular los lımites superiores e inferiores independientemente.

Ejemplo 21.

∞∑n=1

1n2

=π2

6

Demostracion. Aplicando el teorema anterior para la funcion f(z) = 1/z2.Como tan z tiene un cero simple en z = 0, la funcion cot z tiene un polosimple en este punto. Como el desarrollo en serie de Laurent de la funcioncotangente esta dado como

cot z =1z− 1

3z + . . .

entoncesπ cotπzz2

=1z3− 1

3· π

2

z+ . . .

Ası

Res

(π cotπzz2

, 0)

=−π2

3


Como la unica singularidad de f esta en z = 0, la formula de la suma nosda

lımN→∞

( −1∑n=−N

1n2

+∞∑n=1

1n2

)=π2

3

y, como 1/(−n)2 = 1/n2, obtenemos

lımN→∞

N∑n=

1n2

=π2

6

Concluimos ası que∞∑n=1

1n2

=π2

6.

Capıtulo 8

Funciones armonicas y elproblema de Dirichlet

8.1. Funciones armonicas

Las funciones armonicas de dos variables reales aparecen frecuentementeen la fısica como funciones potenciales de campos planos de vectores. Ası porejemplo, si una placa metalica plana ocupa la region Ω y su distribucion detemperatura permanece estacionaria, entonces la funcion t = u(x, y) que dala temperatura t del punto (x, y) ∈ Ω es una funcion armonica. Esta funcionarmonica es una funcion potencial del campo vectorial Q : Ω → R2 quedescribe el flujo de calor. Analogamente, si una region plana Ω esta ocupadapor un fluido que se mueve en regimen estacionario entonces el campo develocidades V : Ω → R2 tiene una funcion potencial que es armonica enΩ. Lo mismo ocurre con las funciones potenciales de campos electrostaticosplanos.

Definicion 8.1.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, conexo y sea u : Ω→ Runa funcion de clase C2(Ω). Diremos que u es una funcion armonica, ofuncion potencial, en Ω si

∆u(z) =(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)(z) = 0 para cada z ∈ Ω.

La ecuacion ∆u = 0 se llama la ecuacion de Laplace.

Ademas, es claro que la suma de dos funciones armonicas es una funcionarmonica, y si se multiplica una funcion armonica por una constante real seobtiene una funcion armonica. Como consecuencia de esto, el conjunto de

237

238 CAPITULO 8. FUNCIONES ARMONICAS

las funciones armonicas definidas en Ω, dotado de la suma de funciones, yel producto de funciones por escalares reales es un R-espacio vectorial.

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy tenemos que las partesreal e imaginaria de una funcion holomorfa son armonicas, esto es:

Proposicion 8.1.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, y f : Ω → C unafuncion holomorfa, entonces u = Re f y v = Imf son funciones armonicasen Ω

Demostracion. Como u y v son armonicas, al menos son de clase C2(Ω),aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = vy y uy = −vx, tenemosuxx = vxy, uyy = −vyx = −vxy, vyy = uyx = uxy y vxx = −uxy. De donde

∆u = uxx + uyy = vxy − vxy = 0 y ∆v = vxx + vyy = −uxy + uxy = 0.

Por lo que u y v son funciones armonicas en Ω.

Ahora nos planteamos si el problema recıproco sera cierto: es decir, ¿lasfunciones armonicas son la parte real de alguna funcion holomorfa?

Un respuesta parcial esta dada en el siguiente resultado, aunque comoveremos posteriormente, una funcion armonica en una region Ω no necesa-riamente es la parte real de una funcion holomorfa definida en Ω.

Proposicion 8.1.2. Sea Ω ⊂ C un subconjunto abierto no vacıo y seau : Ω→ R una funcion armonica en Ω, entonces, existe D un disco abiertocontenido en Ω y una funcion v : D → R tal que f = u+ ıv es analıtica enD

Demostracion. Consideremos la diferencial p dx+q dy con p = −∂u∂y, q =

∂u

∂x.

Como u y v son armonicas, p y q tienen derivadas parciales continuas en Ωy

∂p

∂y= −∂

2u

∂y2=∂2u

∂x2=∂q

∂x.

Se sigue de calculo que la diferencial p dx + q dy es localmente exacta.1 Enotras palabras, existe un abierto D ⊂ Ω y una funcion v : D → R tal quedv = p dx+ q dy, es decir, en D tenemos

∂v

∂x= p = −∂u

∂yy

∂v

∂y= q =

∂u

∂x

1Recordamos que: una diferencial p dx+ q dy es localmente exacta en Ω si es exacta enalguna vecindad de cada punto en Ω.

8.1. FUNCIONES ARMONICAS 239

luego entonces, como consecuencia del teorema de Lomann-Menchoof (teo-rema 3.3.1) la funcion f = u+ ıv es analıtica en D.

Definicion 8.1.2. Si f : Ω→ C es una funcion analıtica, entonces u = Re fy v = Imf reciben el nombre de armonicas conjugadas.

Ejemplo 22. Si f(z) = 4z2 − 3ız = 4(x+ ıy)2 − 3ı(x+ ıy) = (4x2 − 4y2 +3y) + ı(8xy − 3x), entonces u(x, y) = 4x2 − 4y2 + 3y, v(x, y) = 8xy − 3x.

Puesto que u y v satisfacen la ecuacion de Laplace, u y v son armonicasconjugadas.

Proposicion 8.1.3. Si Ω ⊂ C es un abierto conexo v1, v2 : Ω→ C son dosfunciones armonicas conjugadas de la funcion armonica u : Ω→ C entoncesv1 − v2 es una constante.

Demostracion. Como las funciones f1 = u+ıv1 y f2 = u+ıv2 son holomorfasen Ω, entonces g = f1 − f2 = 0 + ı(v1 − v2) es holomorfa en Ω. Aplicandolas ecuaciones de Cauchy-Riemann a la funcion g tenemos que

∂(v1 − v2)∂x

= 0 y∂(v1 − v2)

∂y= 0.

Y como Ω es conexto tenemos que v1 − v2 es una constante.

A continuacion mostramos algunos ejemplos de funciones armonicas.

Ejemplo 23. Las funciones armonicas mas simples son las funciones linea-les u(x, y) = ax+ by + c con a, b, c ∈ R

Es facil ver esto ya que uxx = uyy = 0, de donde ∆u = 0, ası, u esarmonica.

Ejemplo 24. La funcion u(reıθ) = rn cosnθ es armonica en C para cadan ∈ N.

Si z ∈ C se expresa en coordenadas polares como z = reıθ con r > 0 yθ ∈ [0, 2π] entonces, zn = rn(cosnθ+ ı sinnθ), de donde Re zn = rn cosnθ =u(reıθ). Como la funcion f(z) = zn es analıtica, entonces u = Re f esarmonica.

Ejemplo 25. Sean any bn dos sucesiones de numeros reales, si

1lım sup n

√an + bn

= R > 0,


entonces la serie trigonometrica

a0 +∞∑n=1

(an cosnθ + bn sinnθ)rn (8.1)

define una funcion armonica en B(0, R).

Sea z = reıθ, si cn = an − ıbn entonces

cnzn = (an − ıbn)rneınθ

= (an − ıbn)(rn cosnθ + ırn sinnθ)= (an cosnθ + bn sinnθ)rn + ı(an sinnθ − bn cosnθ)rn

Ası, Re cnzn = (an cosnθ + bn sinnθ)rn. Como la serie∞∑n=0

cnzn = f(z)

define una funcion holomorfa si

|z| < 1lım sup n

√|cn|

=1

lım sup n√|an + bn|

= R

concluimos que la serie 8.1 define una funcion armonica en B(0, R).

Ejemplo 26. La funcion log |z| es armonica en Ω = C \ 0, pero no poseefuncion armonica conjugada en dicho abierto.

Para mostrar que u(z) = log |z| es armonica en Ω sera suficiente mostrarque u que satisface la ecuacion de Laplace. Como u(x, y) = ln

√x2 + y2

entonces

∆u(x, y) =(∂2u

∂x2+

∂2

∂y2

)(x, y) =

y2 − x2

(x2 + y2)2+

x2 − y2

(x2 + y2)2= 0.

Por otra parte, u no puede tener una armonica conjugada en Ω, para veresto, consideremos el abierto Ω0 = C\z ∈ R; z ≤ 0, la funcion identidad enΩ0, que denotaremos 1Ω0 , es nunca nula en el conjunto simplemente conexoΩ0, como consecuencia del corolario 6.1.4 existe una funcion holomorfa g :Ω0 → C tal que 1Ω0(z) = exp(g(z)), en esta rama, podemos tomar la funcionlogaritmo principal

log(z) = ln |z|+ ı arg z.

Si u(z) = log |z| tuviera armonica conjugada en Ω, existirıa una funcionarmonica v : Ω→ R tal que f = u+ ıv serıa holomorfa en Ω, y en particular,


en Ω0. Por ende, v y arg z searıan armonicas conjugadas de u |Ω0 . Como Ω0

es conexo, por la proposicion 8.1.3 las funciones v y arg z difieren por unaconstante, ası v serıa discontinua en cada punto de la recta z ∈ R; z ≤ 0,lo cual contradice el hecho que v ∈ C2(Ω).

Es decir, una funcion armonica en Ω no necesariamente es la parte realde una funcion holomorfa en Ω.

Proposicion 8.1.4. Si u : Ω→ R es una funcion armonica, entonces

f(z) =∂u

∂x− ı∂u

∂y(8.2)

es una funcion analıtica

Demostracion. Si escribimos U =∂u

∂x, V = −∂u

∂ytenemos

∂U

∂x=

∂2u

∂x2= −∂

2u

∂y2=∂V

∂y

∂U

∂y=

∂2u

∂x ∂y= −∂V

∂x

Como consecuencia de la proposicion 3.3.1 tenemos que f es una funcionanalıtica en Ω.

Lo anterior es la forma mas natural de pasar de funciones armonicas afunciones analıticas.

Dada la parte real, o imaginaria, de una funcion analıtica, la otra sepuede determinar salvo una constante aditiva arbitraria.

Ejemplo 27. Sea u(x, y) = x2 − y2 + xy, entonces u es armonica en C ypodemos determinar su armonica conjugada como sigue:

Como u(x, y) = x2−y2+xy, calculando las derivadas parciales de primery segundo orden tenemos que:

ux = 2x+ y uy = −2y + xuxx = 2 uyy = −2

de donde ∆u = 0, ası u es armonica en C. Como vy = ux = 2x+ y entonces

v(x, y) = 2xy +y2

2+ g(x). Por otra parte 2y+g′(x) = vx = −uy = −2y+x,


de donde g′(x) = x, ası g(x) = −x2

2+ c, de donde

v(x, y) = −x2

2+y2

2+ 2xy + c.

Notamos que la funcion f(z) = (1 − ı/2)z2 + c = u + ıv, con c ∈ R esholomorfa.

De manera general, dada una funcion u armonica en un abierto conexoΩ ⊂ C, conocemos las derivadas parciales de su armonica conjugada v atraves de las condiciones de Cauchy-Riemann, cuando esta exista, de man-era que el calculo de primitivas de funciones reales de una variable realo, equivalentemente, el calculo de las funciones potenciales de la forma di-ferencial −uy(x, y) dx + ux(x, y) dy nos lleva, en casos sencillos al menos,a expresiones explıcitas para la funcion v (salvo constantes aditivas). Esteprocedimiento es facilmente “automatizable”, y resulta comodo llevarlo acabo mediante programas de calculo simbolico como Maple o Mathematica.Esquematicamente, podrıamos proceder ası: dada u(x, y),

1. calcular la derivada parcial de u respecto de x, ux(x, y);

2. calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);

3. integrar−uy(x, y) respecto de x, es decir, obtener una primitivaW (x, y)de −uy(x, y) como funcion solo de x;

4. calcular su derivada parcial respecto de y, Wy(x, y);

5. calcular φ(y) = ux(x, y)−Wy(x, y);

6. integrar φ(y) respecto de y, es decir, obtener una primitiva Φ(y) deφ(y);

7. calcular W (x, y)−Φ(y): esta sera una funcion v(x, y) armonica conju-gada de u (y las demas diferiran de ella en la adicion de una constantereal).

Tengase en cuenta que Maple o Mathematica no proporcionan constantesde integracion. Ademas, el numero de funciones cuyas primitivas puede cal-cular explıcitamente es limitado.

Hay tambien un “metodo complejo”para tratar el problema, el denomi-nado metodo de Milne-Thomson (ver Needham, T.: Visual Complex Analy-sis. Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512.513), que, aunque precise ciertas


condiciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfasf con parte real prefijada u. Su justificacion se basa en los siguientes resul-tados: toda funcion holomorfa es analıtica (y su derivada tambien), y dosfunciones analıticas en un abierto conexo Ω son iguales si y solo si coincidenen un conjunto de puntos de Ω que tenga al menos un punto de acumulacionen Ω.

Sea Ω ⊂ C un abierto conexo que corte al eje real, con lo cual la intersec-cion de Ω con R contendra al menos un segmento abierto. Dada entonces unafuncion u armonica en Ω, notemos que la funcion dada en Ω por f1(x+ ıy) =ux(x, y)− ıuy(x, y) es holomorfa en Ω. Supongamos que sabemos encontraruna funcion g holomorfa en Ω tal que g′(x) = f1(x) = ux(x, 0) − ıuy(x, 0)para todo x ∈ Ω ∩ R: entonces g′(z) = f1(z) por el principio de prolon-gacion analıtica, y la parte real de g difiere de u en una constante real. Lafuncion f = g + c, para una constante real c adecuada, tiene como partereal u. El metodo de Milne-Thompson es tambien facilmente traducible aMaple o Mathematica. Pero tanto si se usa este metodo como el anterior,sigue siendo necesario verificar los resultados obtenidos y valorar el alcancede los procedimientos empleados, muy especialmente debido a que los pro-gramas de calculo simbolico, en general, no tienen en cuenta el dominio delas funciones que intervienen, manipulando tan solo nombres de funciones ofunciones dadas por formulas, por decirlo de alguna manera.

El metodo de Milne-Thompson puede esquematizarse ası: dada u(x, y),

1. calcular la derivada parcial de u respecto de x, ux(x, y);

2. calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);

3. calcular ux(x, 0), es decir, sustituir y por 0 en ux(x, y);

4. calcular uy(x, 0), es decir, sustituir y por 0 en uy(x, y);

5. sustituir x por z en ux(x, 0)− ıuy(x, 0) para obtener f1(z);

6. integrar f1(z) respecto de z, es decir, obtener una primitiva g(z) def1(z);

7. calcular f(z) = g(z)− Re g(x0) + u(x0, 0) para cualquier x0 ∈ Ω ∩ R.Entonces f(z) + ıc, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte realu;

8. si se busca una funcion armonica conjugada de u, hallar la parte imag-inaria de f(z).


Proposicion 8.1.5. La composicion de una funcion holomorfa con unafuncion armonica es una funcion armonica, esto es, si Ω1,Ω2 ⊂ C sonabiertos, f : Ω1 → C es una funcion holomorfa con f(Ω1) ⊂ Ω2 y g : Ω2 → Res una funcion armonica, entonces g f : Ω1 → R es una funcion armonica.

Demostracion. Sean u = Re f y v = Imf , entonces

g f(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)).

Aplicando la regla de la cadena

∂(g f)∂x

=∂g

∂u

∂u

∂x+∂g

∂v

∂v

∂x∂(g f)∂y

=∂g

∂u

∂u

∂y+∂g

∂v

∂v

∂y

Derivando nuevamente con respecto a la variable x tenemos

∂2(g f)∂x2

=∂g

∂u

∂2u

∂x2+∂g

∂v

∂2v

∂x2+∂2g

∂u2

(∂u

∂x

)2

+2(∂2g

∂v∂u

)∂u

∂x

∂v

∂x+∂2g

∂v2

(∂v

∂x

)2

.

De manera analoga

∂2(g f)∂y2

=∂g

∂u

∂2u

∂y2+∂g

∂v

∂2v

∂y2+∂2g

∂u2

(∂u

∂y

)2

+2(∂2g

∂v∂u

)∂u

∂y

∂v

∂y+∂2g

∂v2

(∂v

∂y

)2

.

Luego entonces

∆(g f) =∂2(g f)∂x2

+∂(g f)∂y2

=∂g

∂u

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)+∂g

∂v

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)+∂2g

∂u2

[(∂u

∂x

)2

+(∂u

∂y

)2]

+∂2g

∂v2

[(∂v

∂x

)2

+(∂v

∂y

)2]

+2(∂2g

∂v∂u

)(∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y

)Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene que(

∂u

∂x

)2

+(∂u

∂y

)2

=(∂v

∂x

)2

+(∂v

∂y

)2

,


y∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0,

de donde

∆(g f) = ∆g

[(∂u

∂x

)2

+(∂u

∂y

)2]

= (∆g)|f ′|2

Como g es armonica, entonces ∆g = 0, de donde ∆(g f) = 0

Basados en la ecuacion 8.2 tenemos

f dz =(∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy

)+ ı

(−∂u∂ydx+

∂u

∂xdy

)(8.3)

En esta expresion la parte real es la diferencial de u,

du =∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy.

Si u tiene a v como su armonica conjugada, entonces la parte imaginariapuede escribirse como

dv =∂v

∂xdx+

∂v

∂vdy = −∂u

∂ydx+

∂u

∂xdy.

En general, no hay una funcion conjugada univaluada, y en estas circun-stancias es mejor no utilizar la notacion dv. En su lugar escribiremos

∗ du = −∂u∂ydx+

∂u

∂xdy.

la cual se denomina la diferencial conjugada de du . Como consecuencia de8.3 tenemos

f dz = du+ ı ∗ du (8.4)

Proposicion 8.1.6. Sea Ω ⊂ C un abierto conexo. Si u : Ω → R es unafuncion armonica, entonces la forma diferencial

∗ du = −∂u∂ydx+

∂u

∂xdy

es cerrada en Ω.


Demostracion. Como vimos anteriormente 8.2 la funcion

f(z) =∂u

∂x− ı∂u

∂y

es holomorfa.Aplicando el teorema de Cauchy-Goursat a la funcion f(z) tenemos que

la forma diferencial

f(z) dz = du+ ı ∗ dues cerrada. Como du es exacta, en particular es cerrada, por lo cual ∗ dutambien es cerrada.

Proposicion 8.1.7. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto. Para una funcionarmonica u : Ω→ R los siguientes enunciados son equivalentes:

1. La forma diferencial ∗ du = −uy dx+ ux dy es exacta en Ω.

2. Existe una funcion armonica v : Ω→ R tal que F = u+ıv es holomorfaen Ω. (Esto es, existe una funcion armonica conjugada de u en Ω).

Cuando se cumplen estas condiciones, cada primitiva v de la forma di-ferencial ∗ du es una funcion armonica conjugada de u en Ω.

Demostracion. Supongamos que la forma diferencial ∗ du = uy dx+ux dy esexacta en Ω. Si existe una funcion diferenciable v : Ω→ R tal que dv = ∗ duentonces F = u+ ıv es diferenciable en Ω y su diferencial es

dF (z) = du(z) + ıdv(z) = du(z) + ı ∗ du(z) = f(z)dz

donde f(z) = ux − ıuy, es decir, las coordenadas complejas de la aplicacionlineal dF (z) respecto a la base dz, dz son (f(z), 0), y esto significa que Fes holomorfa en Ω. Por lo tanto v es una funcion armonica conjugada de u.

Reciprocamente, si v es una funcion armonica conjugada de u, con lasecuaciones de Cauchy- Riemann para la funcion holomorfa f = u + iv seobtiene que ∗ du = −uy dx+ ux dy = vx dx+ vy dy = dv, luego ∗ du = dv esexacta.

En las condiciones de la proposicion anterior si Ω es conexo y la formadiferencial ∗ du es exacta, para conseguir una funcion armonica conjugadade u en Ω basta obtener una primitiva v de la forma diferencial ∗ du. Segunlos resultados generales sobre integrales de lınea esto se logra mediante laintegral de lınea v(z) =

∫γz∗ du donde γz es una curva suave por partes en

Ω con punto inicial z0 ∈ Ω y punto final variable z ∈ Ω.


Corolario 8.1.1. Sea Ω ⊂ C abierto, z0 ∈ Ω y supongase que r > 0 estal que B(z0, r) ⊂ Ω. Si u es una funcion armonica en B(z0, r) entonces uposee una funcion armonica conjugada dada explıcitamente por la formula

v(x, y) =∫ y

y0

ux(x, t) dt−∫ x

x0

uy(s, y0) ds

donde x0 = Re z0 y y0 = Imz0.

Demostracion. Como la forma ∗ du es cerrada, entonces ∗ du posee primitivaen B(z0, r), por ende, es exacta en B(z0, r). De acuerdo con la proposicionanterior existe una funcion armonica v : B(z0, r) → R tal que F = u + ıves holomorfa en B(z0, r). Segun la observacion anterior, la funcion armonicaconjugada v se obtiene mediante la integral de lınea de la forma ∗ du a lolargo de la trayectoria con punto inicial z0 = x0+ıy0 y punto final z = x+ıy,dada como la suma de la trayectoria que unen los puntos x0 + ıy0 con x+ ıy0

y la trayectoria que une los puntos x+ ıy0 con el punto x+ ıy. Escribiendoexplıcitamente esta integral se obtiene el resultado.

La independencia de la trayectoria queda demostrada por el siguienteresultado

Proposicion 8.1.8. Sea Ω ⊂ C un abierto. Si u es armonica en Ω entonces∫γ∗ du =

∫γ−∂u∂ydx+

∂u

∂xdy = 0 (8.5)

para todo ciclo γ homologo a cero en Ω.

Demostracion. Como consecuencia del teorema de Cauchy, la integral def dz se anula a lo largo de cualquier ciclo homologo a cero en Ω. Por otraparte, la integral de la diferencial exacta du se anula a lo largo de todo ciclocerrado.

Proposicion 8.1.9. Si u : Ω→ R es armonica, entonces u es infinitamentediferenciable.

Demostracion. Si z0 = x0 + ıy0 es un punto fijo en Ω y δ es tal queB(z0, δ) ⊂ Ω, como consecuencia del corolario 8.1.1 u tiene una funcionarmonica conjugada v en B(z0, δ). Es decir, f = u + ıv es analıtica, y con-secuentemente, infinitamente diferenciable en B(z0, δ). Consecuentemente ues infinitamente diferenciable.


Teorema 8.1.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, conexo no vacıo. Lossiguientes enunciados son equivalentes:

a) C∞ \ Ω es conexo.

b) Para toda f : Ω → C holomorfa, existe F : Ω → C holomorfa tal queF ′ = f .

c) Toda funcion armonica u : Ω→ R posee una funcion armonica conju-gada.

d) Para cada funcion holomorfa f : Ω → C tal que 0 6∈ f(Ω) existe unafuncion holomorfa g : Ω→ C tal que eg = f .

Demostracion. b) ⇒ c) Si u : Ω → R es una funcion armonica, entoncesf = ux − ıuy es holomorfa, por hipotesis, existe una funcion holomorfaF : Ω → C tal que F ′ = f y dF (z) = F ′(z) dz en particular dF (z) =f(z) dz = du + ı ∗ du, de donde ∗ du es exacta en Ω, es decir, u tiene unafuncion armonica conjugada.

c) ⇒ d) Si f : Ω → C es una funcion holomorfa tal que 0 6∈ f(Ω) comoconsecuencia de la proposicion 8.1.5 tenemos que la funcion u(z) = log |f(z)|es armonica en Ω. Por hipotesis, existe una funcion holomorfa g0 : Ω → Ctal que Re g0 = u Si z ∈ Ω, entonces

|f(z)e−g(z0)| = |f(z)|e− log |f(z)| = 1.

Como Ω ⊂ C es conexo, existe α ∈ R tal que f(z)e−g0(z) = eıα, de dondeg(z) = g0(z) + α es una funcion holomorfa en Ω tal que eg = f .

a) ⇒ b) De topologıa general sabemos que C∞ \ Ω es conexo si y solosi Ω es simplemente conexo. Ası, el resultado es consecuencia del corolario6.1.3.

d)⇒ a) Si z0 6∈ Ω la funcion h(z) = z−z0 no se anula en Ω, por hipotesisexiste g : Ω → C una funcion holomorfa tal que eg(z) = h(z) = z − z0 paracada z ∈ Ω, es decir, la funcion g(z) es una primitiva de 1/(z − z0) en Ω.Como consecuencia del teorema de independencia de trayectorias 5.3.4

12πı

∫γ

dz

z − z0= 0

para cada curva cerrada γ contenida en Ω.Si C∞ \ Ω no fuera conexo, existirian dos conjuntos cerrados ajenos no

vacıos A, B ⊂ C∞\Ω tales que Ω = A∪B. Como Ω es abierto en C entoncestambien es abierto en C∞. Por lo que C∞ \ Ω tambien es cerrado en C∞.


En particular A y B son cerrados en C∞ y por lo tanto son compactos. Si∞ ∈ B podemos garantizar que A = A ∩ C 6 es un subconjunto compactode C y C = B \ ∞ = B ∩ C es un subconjunto cerrado de C. Como A yC son disjuntos, dado un punto z0 ∈ A es posible construir una trayectoriacerrada γ en C \ (A ∪ C) = Ω suave por partes tal que

12πı

∫γ

dz

z − z0= 1

lo cual es una contradiccion.

Proposicion 8.1.10. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, conexo y sean u, v :Ω → R funciones armonicas en Si u |G = v|G para algun abierto no vacıoG ⊂ Ω entonces u = v.

Demostracion. Bastara demostrar el resultado cuando v = 0. Consideremosel conjunto Ω0 formado por los puntos a ∈ Ω para los que existe r > 0 talque u

∣∣B(a,r) es identicamente nula. Observemos en primer lugar que Ω0 es

abierto en Ω y que Ω0 6= (porque G ⊂ Ω0). Como Ω es conexo para concluirque Ω0 = Ω basta ver que Ω0 es cerrado en con su topologıa relativa.

Dado a ∈ Ω0 ∩ Ω existe una sucesion an ∈ Ω0 tal que lımn an = a. Sear > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω, de acuerdo con 8.1.1 existe f : B(a, r) → Cholomorfa tal que Re f = u

∣∣B(a,r) . Como la sucesion an converge al punto

a, existen n ∈ N y δ > 0 tales que B(an, δ) ⊂ B(a, r) y u∣∣B(an,δ) ≡ 0.

Como f(B(an, r)) no es abierto usando el teorema de la aplicacion abiertase obtiene que f es constante. Lo mismo le ocurre a su parte real u

∣∣B(a,r) , que

debe ser identicamente nula debido a que u(an) = 0. Ası. queda demostradoque a ∈ Ω0 y con ello que Ω0 ∩ Ω ⊂ Ω0.

Hay una generalizacion importante de la ecuacion 8.5 la cual se da parauna pareja de funciones armonicas, antes de ver esta generalizacion recor-damos de calculo que una diferencial p dx + q dy es localmente exacta si, ysolo si, ∫

γp dx+ q dy = 0

para toda γ = ∂R donde R es un rectangulo contenido en ΩComo consecuencia del teorema de Cauchy esta condicion se cumple si

f(z) dz = p dx+ q dy con f analıtica en Ω.

Proposicion 8.1.11. Si p dx+ q dy es localmente exacta en Ω, entonces∫γp dx+ q dy = 0


para cada ciclo γ homologo a cero en Ω.

Para una demostracion de este resultado pude consultarse [A, Teorema16, pg.144].

Proposicion 8.1.12. Si u1 y u2 son armonicas en una region Ω, entonces∫γu1 ∗ du2 − u2 ∗ du1 = 0 (8.6)

para cualquier ciclo γ que sea homologo a cero en Ω.

Demostracion. De acuerdo con la proposicion 8.1.11 basta mostrar el resul-tado para γ = ∂R, donde R es un rectangulo contenido en Ω- En R, lasfunciones armonicas u1 y u2 tienen funciones conjugadas univaluadas v1 yv2, y podemos escribir

u1 ∗ du2 − u2 ∗ du1 = u1 dv2− u2 dv1 = u1 dv2 + v1 du2 − d(u2v1)

donde d(u2v1) es una diferencial exacta, y u1 dv2 + v1 du2 es la parte imagi-naria de

(u1 + ıv1)(du2 + ıdv2).

La ultima diferencial puede escribirse como F1f2 dz donde f1(z) y f2(z) sonanalıticas en R. Como consecuencia del teorema de Cauchy la integral deF1f2 dz se anula, en particular, la integral de su parte imaginaria.

Si aplicamos la proposicion 8.1.12 con u1 = log r y u2 igual a una funcionarmonica u en B(0, ρ), con Ω = B(0, ρ) \ 0, y γ el ciclo C1−C2 donde C1

es la circunferencia de radio ri con 0 < ri < ρ recorrida en levogiro. Sobreuna circunferenica |z| = r tenemos ∗ du = r(∂u/∂r) dθ ası de la ecuacion 8.6se tiene

log r1

∫C1

r1∂u

∂rdθ −

∫C1

u dθ = log r2

∫C2

r2∂u

∂rdθ −

∫C2

udθ.

En otras palabras, la expresion∫|z|=r

udθ − log r∫|z|=r

r∂u

∂rdθ

es constante, y esto es cierto incluso si u solo se sabe que u es armonica enun anillo. Como consecuencia de 8.5 tenemos que∫

|z|=rr∂u

∂rdθ


es constante en el caso de un anillo y cero si u es armonica en todo el disco.Combinando estos resultados se tiene

Proposicion 8.1.13. La media aritmetica de una funcion armonica sobrecircunferencias concentricas |z| = r es una funcion lineal de log r,

12π

∫|z|=r

u dθ = α log r + β (8.7)

y si u es armonica en un disco α = 0 y la media aritmetica es constante.

En el ultimo caso β = u(0). Por continuidad, y cambiando a un nuevoorigen se tiene el siguiente resultado, que es el analogo de la formula integralde Cauchy.

Teorema 8.1.2 (El teorema del valor medio). Ses Ω ⊂ C un conjuntoabierto, si u : Ω→ R es una funcion armonica y B(z0, r) ⊂ Ω, entonces

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0u(z0 + reıθ) dθ. (8.8)

Demostracion. Sea R > 0 tal que B(z0, r) ⊂ B(z0, R) ⊂ Ω, como B(0, R) esun conjunto abierto simplemente conexo contenido propiamente en C, existef una funcion holomorfa en B(0, R) tal que u = Re f , como consecuenciadel principio de la media para funciones holomorfas, vease 5.3.7, tenemosque

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0f(z0 + reıt) dt

tomando las partes reales en ambos lados de la igualdad anterior se tiene

u(z0) = Re f(z0) = Re1

2π

∫ 2π

0f(z0 + reıt) dt =

12π

∫ 2π

0u(z0 + reıt) dt

Definicion 8.1.3. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, y u : Ω→ R una funcioncontinua, diremos que u tiene la propiedad del valor medio si B(z0, r) ⊂ Ωentonces

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0u(z0 + reıt) dt


Uno de los resultados que veremos posteriormente consistira en mostrarque cualquier funcion continua definida en una region que satisface la pro-piedad del valor medio es una funcion armonica. Uno de los principalesresultados que se usa para demostrar este hecho es el analogo del teoremadel modulo maximo para funciones armonicas.

Teorema 8.1.3 (Principio del modulo maximo (primera version)). Sea Ω ⊂C un conjunto abierto conexo y supongase que u : Ω → R es una funcioncontinua que satisface la propiedad del valor medio. Si existe un punto z0 ∈ Ωtal que u(z0) ≥ u(z) para todo z ∈ Ω entonces u es una funcion constante.

Demostracion. Consideremos el conjunto A definido por

A = z ∈ Ω; u(z) = u(z0).

Como u es una funcion continua el conjunto A es cerrado en Ω. Si a ∈ Apodemos elegir r > 0 tal que B(a, r) ⊂ Ω. Supongamos que existe un puntob ∈ B(a, r) tal que u(b) 6= u(z0); por hipotesis u(b) < u(z0). Por continuidad,u(z) < u(z0) = u(a) para toda z en una vecindad del punto b. Si ρ = |a− b|y b = a + ρeıβ, 0 ≤ β < 2π entonces existe un intervalo I $ [0, 2π] tal queβ ∈ I y u(a + ρeıθ) < u(z0) para toda θ ∈ I. Por la propiedad del valormedio

u(a) =1

2π

∫ 2π

0u(a+ ρeıt) dt < u(a),

lo cual es una contradiccion. Ası B(a, r) ⊂ A por lo tanto A es abierto, ypor conexidad de Ω, A = Ω, es decir, la funcion u es constante.

Teorema 8.1.4 (Principio del modulo maximo (segunda version)). Sea Ω ⊂C un conjunto abierto conexo y sean u, v : Ω → R dos funciones continuasy acotadas en Ω que tienen la propiedad del valor medio. Si para cada puntoa en la frontera extendida ∂∞Ω,

lım supz→a

u(z) ≤ lım ınfz→a

v(z)

entonces u(z) < v(z) para cada z ∈ Ω o bien u = v.

Demostracion. Fijemos a ∈ ∂∞Ω y para cada δ > 0 sea Ωδ = Ω ∩ B(a, δ).Por hipotesis,

0 ≥ lımδ→0

[supu(z); z ∈ Ωδ − ınfv(z); z ∈ Ωδ

= lımδ→0

[supu(z); z ∈ Ωδ+ sup−v(z); z ∈ Ωδ

≥ lım supδ→0u(z)− v(z); z ∈ Ωδ.


Ası, lım supz→a

[u(z)− v(z)] ≤ 0 para cada a ∈ ∂∞Ω. Por lo cual, basta

demostrar el teorema bajo la hipotesis v(z) = 0 para cada z ∈ Ω. Esto es,supongamos que para cada a ∈ ∂∞Ω

lım supz→a

u(z) ≤ 0 (8.9)

Por la primera version del principio del modulo maximo bastara mostrarque u(z) ≤ 0 para cada z ∈ Ω.

Supongamos que u satisface 8.9 y que existe un punto b ∈ Ω con u(b) >0. Sea ε0 tal que u(b) > ε y sea B = z ∈ Ω; u(z) ≥ ε. Si a ∈ ∂∞Ωentonces 8.9 implica que existe un δ = δ(a) tal que u(z) < ε para todaz ∈ Ω ∩ B(a, δ). Usando el lema de la cubierta de Lebesgue, puede elegirseuna δ independiente de a. Esto es, existe un δ > 0 tal que si z ∈ Ω yd(z, ∂∞Ω) < δ entonces u(z) < ε. Ası,

B ⊂ z ∈ Ω; d(z, ∂∞Ω) ≥ δ.

Porr tanto B es acotado en el plano, y como claramente B es cerrado, Bes compacto. Si B 6=, existe un punto z0 ∈ B tal que u(z0) ≥ u(z) paratoda z ∈ B. Como u(z) < ε para z ∈ Ω \ B, esto significa que u alcanza suvalor maximo en Ω. Por tanto u debe ser una funcion constante. Pero estaconstante debe ser u(z0) la cual es positiva, lo cual contradice 8.9

Corolario 8.1.2. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, conexo y acotado ysupongamos que w : Ω→ R es una funcion continua que satisface el princi-pio del valor medio en Ω. Si w(z) = 0 para toda z ∈ ∂Ω entonces w(z) = 0para toda z ∈ Ω.

Demostracion. Tomemos v = 0 y w = u en el teorema 8.1.4. Ası w(z) < 0para toda z o bien w(z) ≡ 0. Ahora tomemos w = v y u = 0, entoncesw(z) > 0 para toda z o bien w(z) ≡ 0. Como ambos casos se satisfacenw ≡ 0.

El principio del maximo tiene la siguiente consecuencia:

Corolario 8.1.3. Si u es una funcion continua definida en un conjuntoconexo, cerrado y acotado Ω ⊂ C y es armonica en el interior de Ω, entoncesu esta determinada unıvocamente por sus valores en ∂Ω.

Demostracion. Una funcion armonica satisface el principio del modulo maxi-mo, vease 5.4.3, esto implica que si dos funciones u y v son armonicas en unaregion Ω, continuas en Ω, y coinciden en ∂Ω, entonces u = v. Lo anterior es


consecuencia de que u − v tiene maximo y mınimo igual a 0, por lo tantou = v.

Para las funciones armonicas no es valido el principio de la identidadsimilar al de las funciones holomorfas, por ejemplo, la funcion u(z) = log |z|es armonica en C \ 0 y se anula sobre S1 = z; |z| = 1, pero no esidenticamente nula.

8.2. El nucleo de Poisson

El teorema del valor medio determina el valor de u en el centro deldisco. Pero basta con esto, pues usando una transformacion lineal podemosenviar cualquier punto en el centro. Para ser explıcitos, supongamos que ues armonica en B(0, R). La transformacion de Mobius

z = S(ζ) =R(Rζ + z0)R+ z0ζ

transforma el disco unitario cerrado con centro en el origen y radio 1 enel disco cerrado con centro en el origen y radio R, ademas S(0) = z0. Lafuncion u(S(ζ)) es armonica en el disco unitario cerrado con centro en elorigen y radio 1, y como consecuencia del teorema del valor medio tenemos

u(z0) =1

2π

∫|ζ|=1

u(S(ζ))d arg ζ.

Como

ζ =R(z − a)R2 − z0z

tenemos

d arg ζ = −ıdζζ

= −ı(

1z − z0

+z0

R2 − z0z

)dz =

(z

z − z0+

z0z

R2 − z0z

)dθ.

Sustituyendo R2 = zz el coeficiente de dθ en la ultima expresion puedereescribirse como

z

z − z0+

z0

z − z0=R2 − |z0|2

|z − z0|2

o equivalentemente, como

12

(z + z0

z − z0+z + z0

z − z0

)= Re

(z + z0

z − z0

).

8.2. EL NUCLEO DE POISSON 255

Obtenemos las dos formas de la formula de Poisson

u(z0) =1

2π

∫|z|=R

R2 − |z0|2

|z − z0|2u(z) dθ =

12π

∫|z|=R

Re

(z + z0

z − z0

)u(z) dθ

(8.10)En coordenadas polares

u(reıt) =1

2π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2u(Reıθ) dθ. (8.11)

Definicion 8.2.1. Sea a ∈ C, R > 0. Definimos el nucleo de Poisson paraB(a,R), la bola abierta con centro en a y radio R, como la funcion

Pa,R(z, t) = Re

(Reıt + (z − a)Reıt − (z − a)

), z ∈ B(a,R), t ∈ R.

Si φ es una funcion definida sobre z ∈ C; |z − a| = R, y si la funciont 7→ φ(a + Reıt) es integrable sobre el intervalo [0, 2π], se define la integralde Poisson de φ como la funcion

Pa,R(φ)(z) =1

2π

∫ 2π

0Pa,r(z, t)φ(a+Reıt) dt

Si a = 0 y R = 1, escribimos

P (z) = P0,1(z, 0) = Re

(1 + z

1− z

), para |z| < 1;

Si z = reıθ (r ≥ 0), escribiremos

Pr(θ) = P (reıθ) = Re

(1 + reıt

1− reıt

)=

1− r2

|1− reıθ|2

=1− r2

1 + r2 − 2r cos θ. (8.12)

Como consecuencia de 8.12 es claro que Pr(θ) es una funcion no negativa,par y periodica de periodo 2π, es decir, 0 ≤ Pr(θ) = Pr(−θ) = Pr(θ + 2π).

Para |z| < 1 se tiene que

1 + z

1− z= (1 + z)

∞∑n=1

zn = 1 + 2∞∑n=1

zn,


de donde

Pr(θ) = 1 + 2∞∑n=1

rn cosnθ =∞∑

n=−∞r|n|eınθ.

Ademas, si z ∈ B(a,R) tenemos que z = a+ reıθ, por lo que

Pa,R(z, t) = P (( rReı(θ−t)

).

Lema 8.2.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto, y supongamos que f : Ω→ Ces una funcion holomorfa, entonces f y f son funciones armonicas en Ω;en particular Re f = 1

2(f + f) tambien es armonica.

Demostracion.

∆cf =∂

∂z

(∂f

∂z

)= 0; ∆cf =

∂

∂z

(∂f

∂z

)=

∂

∂z

(∂f

∂z

)= 0.

Lema 8.2.2. El nucleo de Poisson satisface las siguientes propiedades:

1. Para t ∈ R fijo, el nucleo de Poisson Pa,R(z, t) es una funcion armonicaen B(a,R).

2. Pa,R(z, t) > 0 y

3. Para z ∈ B(a,R), 0 ≤ r < R se tiene que

12π

∫ 2π

0Pa,R(a+ reıθ, t) dθ = 1.

Demostracion. Para t fijo, es claro que la funcion ft(z) = (Reıt + z −a)/(Reıt − z + a) es holomorfa en B(a,R). Como consecuencia del lemaanterior Re (f) es armonica en B(a,R), luego entonces

Pa,R(z, t) = Re

(Reit + (z − a)Reit − (z − a)

)= Re ft(z)

es armonica en B(a,R).Supongamos 0 ≤ r < R, si z = a+ reıθ y ρ = r/R, entonces

Pa,R(z, t) = P (ρeı(θ−t)) = Pρ(θ − t).


Como 1 + ρ2 − 2ρ cos(θ − t) ≥ 1 + ρ2 − 2ρ = (1− ρ)2 > 0, tenemos que

Pa,R(z, t) = Pρ(θ − t) =1− ρ2

1 + ρ2 − 2ρ cos(θ − t)> 0.

Finalmente

∫ 2π

0Pρ(θ − t) dθ =

∞∑n=−∞

ρ|n|e−ınt∫ 2π

0eınθ dθ = 2π.

Lema 8.2.3. Sea 0 < δ < 12π. Entonces, para 0 ≤ θ ≤ 2π − δ se tiene

0 < Pr(θ) ≤1− r2

1− cos2 δpara 0 ≤ r < 1.

En particular, Pr(θ) → 0 cuando r → 1 uniformemente para δ ≤ θ ≤2π − δ.

Demostracion. Si π/2 ≤ θ ≤ (3π)/2, entonces cos θ ≤ 0, de donde 1 +r2 − 2r cos θ ≥ 1. Si δ ≤ θ ≤ π/2, tenemos que 0 ≤ cos θ ≤ cos δ, ası que1 + r2 − 2r cos θ ≥ 1 + r2 − 2r cos δ = 1− cos2 δ + (r − cos δ)2 ≥ 1− cos2 δ.Un argumento similar se aplca si (3π)/2 ≤ θ ≤ 2π − δ.

Teorema 8.2.1. Sea φ una funcion continua real valuada definida sobreS1 = z ∈ C; |z| = 1. Si z = reıθ, 0 ≤ r < 1, considere la integral dePoisson de φ:

u(z) =1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t)φ(eıt) dt.

Entonces, u es armonica en B(0, 1) = z; |z| < 1 y u(z) → φ(eıt)cuando z → eıt; ademas la convergencia es uniforme en t.

Demostracion. Si 0 ≤ r < 1 y z = reıθ, entonces


u(z) =1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t)φ(eıt) dt

=1

2π

∫ 2π

0Re

(1 + reı(θ−t)

1− reı(θ−t)

)φ(eıt) dt

= Re

1

2π

∫ 2π

0

[1 + reı(θ−t)

1− reı(θ−t)

]φ(eıt) dt

= Re

1

2π

∫ 2π

0

[eıt + reıθ

eıt − reıθ

]φ(eıt) dt

Definimos g : B(0, 1)→ C como

g(z) =1

2π

∫ 2π

0

eıt + z

eıt − zφ(eıt) dt.

Como u es la parte real de g basta demostrar que g es holomorfa enB(0, 1). Es decir, necesitamos mostrar que el siguiente lımite existe:

lımζ→0

z 6=0

g(z + ζ)− g(z)ζ

.

Como

g(z + ζ)− g(z)ζ

=1ζ

[1

2π

∫ 2π

0

(eıt + (z + ζ)eıt − (z + ζ)

− eıt + z

eıt − z

)φ(eıt) dt

]=

12π

∫ 2π

0

2eıt

[eıt + (z + ζ)][eıt − z]φ(eıt) dt

→ 12π

∫ 2π

0

2eıt

(eıt − z)2φ(eıt) dt

Como consecuencia del lema 8.2.2 si 0 ≤ r < 1 entonces

12π

∫ 2π

0Pr(θ − t) dθ = 1.

Luego entonces, dado t0 ∈ R fijo tenemos que


u(z)− φ(eıt0) =1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t)φ(eıt) dt− φ(eıt0)

=1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t)[φ(eıt)− φ(eıt0)] dt.

Como φ es continua en S1, dada ε > 0 podemos elegir δ > 0 tal que|φ(eıt) − φ(eıt0)| < ε si |eıt − eıt0 | < δ. Ademas, si |eıt − eıt0 | ≥ δ y eıθ

fuera suficientemente cercano a eıt0 , tendrıamos |eı(t−θ) − 1| ≥ 12δ. Como

consecuencia de los lemas 8.2.2 y 8.2.3, existirıa una constante C(δ) quedepende solo de δ tal que

|u(z)− φ(eıt0)| ≤ C(δ)(1− r2)∫ 2π

0|φ(eıt)− φ(eıt0)| dt

+ε1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t) dt

≤ (M + 2π|φ(eıt0)|)C(δ)(1− r2) + ε

donde M =∫ 2π

0 |φ(eıt)| dt. Si r es suficientemente cercano a 1, este numeroes menor a 2ε. Por lo cual u(z) → φ(eıt) uniformemente en t cuando z →eıt.

Por medio de un cambio de variable podemos reescribir este teoremacomo sigue:

Teorema 8.2.2. Sea a ∈ C, R > 0 y sea φ una funcion continua sobrez ∈ C; |z − a| = R. Entonces la funcion u sobre B(a,R) dada por

u(z) =Pa,R(φ)(z), si z ∈ B(a,R)φ(z), si |z − a| = R

,

es continua en B(a,R) y armonica en B(a,R).

Como una consecuencia inmediata del teorema 8.2.1 tenemos:

Corolario 8.2.1. Si u : B(0, 1) → R es una funcion continua que esarmonica en B(0, 1) entonces

u(reıθ) =1

2π

∫ 2π

0Pr(θ − t)u(eıt) dt


para 0 ≤ r < 1 y toda θ. Ademas, u es la parte real de la funcion holomorfa

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

eıt + z

eıt − zu(eıt) dt.

Corolario 8.2.2. Sea a ∈ C, ρ > 0, y supongase que φ es una funcioncontinua real valuada sobre z ∈ C; |z − a| = ρ; entonces existe una unicafuncion continua w : B(a, ρ) → R tal que w es armonica en B(a, ρ) yw(z) = φ(z) si |z − a| = ρ.

Demostracion. Consideremos f(eıθ) = φ(a + ρeıθ); entonces f es continuaen ∂B(0, 1) = z ∈ C; |z| = 1. Si u : B(0, 1)→ R es una funcion continuatal que u es armonica en B(0, 1) y u(eıθ) = f(eıθ) entonces

w(z) = u

(z − aρ

)es la funcion deseada sobre B(a, ρ)

Ahora es posible enunciar el recıproco del teorema del valor medio 8.1.2.

Teorema 8.2.3. Sea Ω ⊂ C abierto, si u : Ω→ R es una funcion continuaque satisface la propiedad del valor medio, entonces u es armonica.

Demostracion. Sea a ∈ Ω y elegimos ρ > 0 tal que B(a, ρ) ⊂ Ω; bastara de-mostrar que u es armonica en B(a, ρ). Como consecuencia del corolario 8.2.2existe una funcion continua w : B(a, ρ) → R que es armonica en B(a, ρ) ytal que w(a + ρeıθ) = u(a + ρeıθ) para toda θ. Como u − w satisface lapropiedad del valor medio y (u−w)(z) = 0 si |z−a| = ρ, como consecuenciadel corolario 8.1.2 tenemos que u ≡ w en B(a, ρ); en particular, u debe serarmonica.

La formula de Poisson 8.10 nos permite expresar una funcion armonicapor medio de sus valores en una circunferencia, lo cual tiene como conse-cuencia el siguiente resultado:

Teorema 8.2.4 (La desigualdad de Harnack). Si u : B(a,R) → R es con-tinua, armonica en B(a,R), y u ≥ 0, entonces para 0 ≤ r < R y toda θ setiene que

R− rR+ r

u(0) ≤ u(z) ≤ R+ r

R− ru(0) (8.13)

8.3. EL PRINCIPIO DE REFLEXION 261

Demostracion. Si R > 0 y 0 ≤ r < R, para |z| < r podemos escribir laformula de Poisson 8.10 como

u(z) =1

2π

∫ 2π

0

R2 − r2

|Reıθ − z|2u(Reıθ) dθ (8.14)

Como

R− rR+ r

≤ R2 − r2

|Reıθ − z|2≤ R+ r

R− r(8.15)

De la formula 8.14 obtenemos la siguiente estimacion

|u(z)| ≤ 12π

R+ r

R− r

∫ 2π

0|u(Reıθ)| dθ.

Como u(Reıθ) ≥ 0, podemos utilizar la primera desigualdad de 8.15 paraobtener

12π

R− rR+ r

∫ 2π

0u(Reıθ) dθ ≤ u(z) ≤ 1

2πR+ r

R− r

∫ 2π

0u(Reıθ) dθ.

Como la media aritmetica de u(Reıθ) es igual a u(0) tenemos que

R− rR+ r

u(0) ≤ u(z) ≤ R+ r

R− ru(0)

8.3. El principio de reflexion

Algunas funciones cumplen la condicion f(z) = f(z) en ciertos dominiosy otras no, por ejemplo, las funciones f(z) = z + 1 y g(z) = z2 tienenesa propiedad cuando el dominio es todo el plano, pero no ocurre lo mismopara h(z) = z + ı o k(z) = ız2. El teorema, conocido como el principio dereflexion, permite predecir cuando f(z) = f(z).

El principio de reflexion se basa sobre en el hecho de que si u(z) esuna funcion armonica, entonces u(z) tambien es armonica, y si f(z) es unafuncion holomorfa, entonces f(z) tambien es holomorfa. De manera masprecisa, si u(z) es armonica y f(z) es armonica en un abierto conexo Ω,entonces u(z) es armonica y f(z) es holomorfa como funcion de z en elconjunto Ω? que se obtiene reflejando Ω sobre el eje x; esto es, z ∈ Ω? si, ysolo si z ∈ Ω.


Teorema 8.3.1 (El principio de reflexion). Sea Ω ⊂ C un conjunto abiertoconexo que contiene al menos un segmento abierto I del eje x y cuya mitadinferior es la reflexion, respecto del eje x, de la mitad superior.

Entoncesf(z) = f(z)

en todo punto z ∈ Ω si, y solo si, f(x) ∈ R para cada x ∈ I.

Demostracion. Supongamos que Ω? = Ω, como Ω es conexa, esta debe inter-sectar el eje real a lo largo de, al menos, un intervalo abierto I. Supongamosahora que f(z) es analıtica en Ω y f(z) ∈ R sobre un intervalo del eje real.Como h(z) = f(z)− f(z) es holomorfa y se anula a lo largo de un intervalo,como consecuencia del principio de la identidad 5.3.1, h(z) debe ser identi-camente nula, es decir f(z) = f(z) en Ω. Si f = u+ ıv entonces u(z) = u(z),v(z) = −v(z).

Reciprocamente, si f(z) = f(z) y escribamos f = u+ ıv, entonces

u(z)− ıv(z) = u(z) + ıv(z).

En particular, si (x, 0) es un punto en un segmento del eje real contenido enΩ, y si z = x+ ıy ∼= (x, y) entonces

u(x, 0)− ıv(x, 0) = u(x, 0) + ıv(x, 0)

e igualando las partes imaginarias tenemos que v(x, 0) = 0. Por tanto, f(x) ∈R en ese segmento.

Teorema 8.3.2. Sea Ω ⊂ C un abierto conexo, y supongamos que Ω = Ω?.Denotemos por Ω+ = H+ ∩Ω la parte en el semiplano superior de la regionsimetrica Ω, y denotemos por I la parte del eje real en Ω. Supongamos quev(x) es una funcion continua en Ω+ ∪ I, armonica en Ω+, y cero en I.Entonces v tiene una extension armonica a Ω la cual satisface la relacionv(z) = −v(z). Bajo las mismas hipotesis, si v es la parte imaginaria de unafuncion analıtica f(z) en Ω+, entonces f(z) tiene una extension analıtica lacual satisface f(z) = f(z).

Demostracion. Para demostrar este teorema, consideremos la funcion

V (z) =

v(z) si z ∈ Ω+

0 si z ∈ I−v(z) si z ∈ (Ω+)∗

8.4. EL PROBLEMA DE DIRICHLET 263

Debemos mostrar que V (z) es una funcion armonica en I. Para esto, seax0 ∈ I y consideremos una bola B(x0, R) con centro en x0 contenida en Ω,y denotemos por

Px0,R(V )(z)

la integral de Poisson con respecto a esta bola formado con los valoresfrontera V . Entonces V − Px0,RV es armonica en la semibola superior. Seanula sobre la semicircunferencia, y por el teorema 8.2.2, tambien sobre eldiametro, ya que V tiende a cero por defincion y Px0,R se anula por simetrıa.Como consecuencia de los principios del maximo y el mınimo V = Px0,R enla semibola superior, el mismo argumento se utiliza para la parte inferior.Concluimos ası que V es armonica en B(x0, R), y en particular, en x0.

Para la parte restante del teorema, consideremos nuevamente una bolacon centro en I, extendamos la funcion v a toda la bola, entonces v tieneuna funcion armonica conjugada −u0 en la misma bola la cual podemos nor-malizar en forma tal que u0 = Re f(z) en la mitad superior. Consideremosla funcion U0(z) = u0(z) − u0(z). Sobre el diametro, que esta contenido en

R, es claro que∂U0

∂x= 0 y ademas

∂U0

∂y= 2

∂u0

∂y= −2

∂v

∂x= 0.

Consecuentemente la funcion analıtica

∂U0

∂x− ı∂U0

∂y

se anula sobre el eje real, y ası, es identicamente nula. Por lo cual U0 esuna funcion constante, y dicha constante es cero, consecuentemente u0(z) =u0(z).

Ya que la construccion puede repetirse sobre bolas arbitrarias, u0 de-bera coincidir en aquellas que se traslapen, ası puede extenderse a todaΩ.

8.4. El problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet es el mas importante en la teorıa de las funcionesarmonicas y consiste en lo siguiente: Dado un conjunto abierto Ω ⊂ C y unafuncion continua φ sobre ∂Ω, ¿existira una funcion continua h definida sobreΩ, armonica en Ω, tal que h |∂Ω = φ? Formalmente tenemos la siguientedefinicion:


Definicion 8.4.1. Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto y acotado, y sea φ : ∂Ω→R una funcion continua real valuada sobre ∂Ω. Diremos que el problema deDirichlet es soluble con valores frontera φ si existe una funcion h continuasobre Ω tal que h |Ω es armonica y h |∂Ω = φ.

Si el problema de Dirichlet con valores frontera φ es soluble para todafuncion continua φ definida sobre ∂Ω, diremos que el problema de Dirichletes soluble sobre Ω, y diremos que Ω es una region de Dirichlet.

El teorema 8.2.1 nos dice que la integral de Poisson da una solucion alproblema de Dirichlet en la bola unitaria con centro en el origen y cualquierfuncion φ continua definida en la frontera de la bola unitaria con centro en elorigen. Pero el caso de regiones arbitrarias es mucho mas difıcil. Los abiertossimplemente conexos son regiones de Dirichlet (vease [C, Vol. I, Cap. X, Cor.4.18, pg. 274]). Aunque aquı no demostraremos este resultado general, paraciertos abiertos simplemente conexos Ω $ C es posible demostrar que sonregiones de Dirichlet y obtener explıcitamente la solucion del problema deDirichlet a partir de la solucion del problema en B(0, 1).

Segun el teorema de la aplicacion de Riemann 4.3.3 todo abierto sim-plemento conexo Ω $ C es conformemente equivalente a B(0, 1). Cuandoun abierto simplemento conexo Ω $ C tiene la propiedad de que existe unisomorfismo conforme h : Ω → B(0, 1) que se puede extender a un homeo-morfismo h : Ω∞ → B(0, 1) diremos que Ω tiene la propiedad de extension.

En este caso la restriccion de h a la frontera ∂∞Ω es un homeomorfismoentre las fronteras ∂∞Ω y ∂B(0, 1), luego una condicion necesaria para queΩ tenga la propiedad de extension es que su forntera sea una curva cerradasimple sobre la esfera de Riemann, (en el caso de un abierto acotado Ω,sera una curva de Jordan en el plano, es decir, una curva cerrada homeo-morfa a una circunferencia). Esto es, una condicion necesaria para que unabierto acotado simplemente conexo Ω $ C tenga la propiedad de extensiones que su frontera sea una curva de Jordan. Esta condicion necesaria tam-bien es suficiente. Aunque no demostramos aquı este resultado, la idea es lasiguiente: en primer lugar se demuestra que si ∂Ω es una curva de Jordanentonces cada punto a ∈ ∂Ω es un punto forntera simple, lo cual significaque para cada sucesion an ∈ Ω con lım

n→∞an = a existe una funcion contin-

ua γ : [0, 1) → Ω con lımt→1

γ(t) = a, y una sucesion estrictamente creciente

0 < t1 < t2 < . . . < tn < tn+1 < . . . tal que γ(tn) = an para cada n ∈ N.Posteriormente se demuestra que si cada a ∈ ∂Ω es un punto frontera simpleentonces Ω tiene la propiedad de extension (vease [R, Cap. 14]).

Despues de lo antes mencionado, es facil dar un ejemplo de un abierto

8.4. EL PROBLEMA DE DIRICHLET 265

simplemente conexo sin la propiedad de extension: El conjunto Ω = B(0, 1)\x; 0 ≤ x < 1 no tiene la propiedad de extension, pues cada x ∈ [0, 1) esun punto frontera que no es simple.

Proposicion 8.4.1. Todo abierto simplemento conexo Ω $ C con la propiedadde extesnion es una region de Dirichlet.

Demostracion. Sea h : Ω→ B(0, 1) un isomorfismo conforme que se extiendea un homeomorfismo h : Ω∞ → B(0, 1). La restriccion h0 de h a la frontera∂∞Ω es un homeomorfismo entre las fronteras h0 : ∂∞Ω → ∂B(0, 1), luegotoda funcion continua φ : ∂∞Ω → R es de la forma φ = φ h0 dondeφ : ∂B(0, 1)→ R es continua. Sea u : B(0, 1)→ R la solucion del problemade Dirichlet en B(0, 1) dada por el teorema 8.2.1. La funcion continua u =u h : Ω∞ → R coincide con φ sobre la frontera ∂∞Ω y es armonica enΩ, luego entonces u es la solucion del problema de Dirichlet en Ω con lacondicion de frontera φ.

Ejemplo 28. El problema de Dirichlet en el semiplano superior

Para solucionar el problema de Dirichlet en el semiplano superior con-sideremos la transformacion de Mobius T : H+ → B(0, 1) dada por

T (z) =z − ız + ı

, entonces T−1(z) =ız + ı

−z + 1.

de donde

u(z) = u(T (z)) = Re

1

2πı

∫|ζ|=1

ζ + T (z)ζ − T (z)

φ(T−1(ζ))dζ

ζ

Con el cambio de variable t = T−1(ζ) la soluciondel problema de Dirich-let para la funcion continua φ : ∂H+ → R sera:

1π

∫ ∞−∞

yφ(t)(t− x)2 + y2

dt (8.16)

Bibliografıa

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[Z] F. Zaldivar, Fundamentos de Algebra. UAM-I, Mexico, 2003.

267

268 BIBLIOGRAFIA

Indice de figuras

1.1. Representacion de un numero complejo como punto en R2 . . 151.2. Representacion geometrica de la suma de numeros complejos. 151.3. El conjugado de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . 161.4. El modulo de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. El inverso de un numero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. El argumento de un numero complejo. . . . . . . . . . . . . . 201.7. El producto de dos numeros complejos. . . . . . . . . . . . . 221.8. La transformacion R−lineal ψw . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9. Las raıces quintas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10. La proyeccion estereografica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11. La proyeccion estereografica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12. Propiedades de la proyeccion estereofrafica. . . . . . . . . . . 331.13. Distancia cordal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1. Convergencia uniforme y no uniforme . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. Representacion geometrica de la formula de Euler. . . . . . . 873.2. Representacion del dominio de la funcion f(x) =

√z2 + 1 . . 94

3.3. Representacion de la superfice asociada a w = z2 . . . . . . . 983.4. Representacion del diagrama asociado a w = z3 . . . . . . . . 99

4.1. Geometrıa de la funcion f(z) = z2 . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2. Geometrıa de la funcion f(z) = exp z . . . . . . . . . . . . . 1114.3. Geometrıa de transformaciones conformes . . . . . . . . . . . 1134.4. El punto z∗ es el simetrico de z . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5. El punto z∗ es el simetrico de z . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6. Perfil de Joukowsky asociado a J(z) = z + 1/z . . . . . . . . 1294.7. Cırculo que pasa por −1 con radio a y angulo β. . . . . . . . 1304.8. Imagen de γ(t) = aeıt bajo J(z) para a > 1. . . . . . . . . . . 1314.9. Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = ıy0 +aeıt132

269

270 INDICE DE FIGURAS

4.10. Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = x0 +aeıt1324.11. Perfil de Joukowski asociado a la circunferencia γ(t) = z0 + aeıt1324.12. Perfil de Joukowski J(z) = z + b2/z . . . . . . . . . . . . . . 1344.13. La funcion cos(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1. Rectangulo cerrado en Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2. Rectangulos cerrados en Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.1. Homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Indice alfabetico

Angulo entre curvas, 109ındice de una curva, 192

Abel, Lema de, 59Diagrama de Argand, 15

Aplicacionconforme, 110de Mobius, 115dilatacion , 117fraccional lineal, 115homotecia, 117inversion , 117rotacion, 117traslacion, 117

armonicasconjugadas, 239

Cauchy-RiemannEcuaciones de, 75

conformeen C∞, 114

conformeisomorfismo, 114

Conformesabiertos, 112

Convergenciapuntual, 53radio de, 60uniforme, 53

CriterioM de Weierstrass, 56

de Cauchy, 48de Cauchy para convergencia uni-

forme de funciones, 55de comparacion, 50de la p−serie, 51de la raız, 52de la raız para series de poten-

cias, 60de la razon, 52de la razon para series de poten-

cias , 60Curva, 109, 140Curva

cerrada , 109, 140cerrada simple, 109de Jordan , 109extremos de una, 140inversa , 141reparametrizacion , 141simple , 109soporte, 141suave, 109suave por partes, 109suave por partes , 141suma de , 141traza, 141

Derivada, 71en infinito, 105

Derivadaparcial, 68

Derivada parcial

271

272 INDICE ALFABETICO

con respecto a z, 74con respecto a z, 74

DesigualdadCauchy-Schwarz, 20del triangulo, 18

desigualdadde Cauchy, 172

Desigualdad de la media, 171diferencial

conjugada, 245localmente exacta, 238

Dirichletregion de, 264solubilidad del problema, 264

Distancia cordal, 35

Eje imaginario, 15Eje real, 15El conjunto de ceros Zf , 168El conjunto de polos Pf , 233extesnion

propiedad de, 264

Formula de D’Moivre, 24Formula de Euler, 86Funcion

C−diferenciable, 71analıtica, 58coseno , 95exponencial, 87holomorfa, 58logaritmo, 90periodica, 89primitiva de una , 160seno, 95trigonometrica, 95

funcionarmonica, 237

Harnackdesigualdad de, 260

Identidad de Kakutani, 37Integral de lınea, 142, 147

Lımite, 29Lımite

al infinito, 38en infinito, 38

Lazo, 140Logaritmo, 90Logaritmo

rama de, 91, 92Longitud de arco, 147

matriz Jacobiana, 70Multiplicidad del cero, 169

Numero complejoamplitud, 20argumento, 20conjugado de un, 16definicion, 11forma polar de un, 21igualdad, 11inverso de un, 19modulo de un, 17Parte imaginaria, 16Parte real, 16producto, 11suma, 11

numero de vueltas de una curva, 192Numeros complejos

campo, 11producto de, 22

Orden de un polo, 206

Periodo, 89Plano extendido, 31Poisson

integral de, 255nucleo de, 255

INDICE ALFABETICO 273

formula de, 255polinomio caracterıstico, 175Principio

de continuacion analıtica, 163de la identidad, 168de la media, 171

principio del modulo maximo (1a. ver-sion), 252

principio del modulo maximo (2a. ver-sion), 252

propiedad del valor medio, 251Proyeccion estereografica, 32punto de acumulacion, 44

Raız n−esima, 94Radio de convergencia, 60Razon cruzada, 119Rectangulo

abierto, 150cerrado, 150vertices de un, 150

Regla de la cadena, 78

Seriearmonica, 48convergencia, 48convergencia absoluta, 49de potencias, 58geometrica, 50

Serie de funcionesconvergencia, 54convergencia uniforme, 54

Simetrıa, 123Simetrıa

principio de , 125Sucesion

convergente, 29de Cauchy, 29

TeoremaCauchy para rectangulos, 156

Cauchy-Goursat , 151Convergencia de funciones C− difer-

enciables, 161de Frobenius, 28de la adicion, 88de la aplicacion abierta de Rie-

mann, 112de la curva de Jordan, 109de la funcion inversa, 79de Taylor, 172Fundamental del calculo, 148Looman-Menchoff , 76

Transformacion lineal, 68Transformacion lineal

representacion matricial, 69Trayectoria, 109, 140

valor propio, 175

VARIABLE COMPLEJA Notas de clase

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