Untersuehungen iiber sehliehte Abbildungen. Von

Arnold Marx in Spetzgart bei Uberlingen (Bodensee).

Die Forderung, da[~ eine im Innern des Einheitskreises (E.K.) regu- ]~e hbbildung

co

(1) f ( z ) = z + Z c. z" r ~ = 2

sehlicht sei, unterwirft bekanntlich den Verlanf der Funktion und ihrer Ableitung Beschr~inlmngen, die ihren Ausdruck in den Koebeschen Ver- zerrungss~tzen finden ~). Die geometrische Bedeutung dieser S~itze ist be- kannt. In der vorliegenden Arbeit wird auBer den schlichten Funk'tionen (1) selbst der Wertevorrat gewisser anderer mit diesen nahe verwandter Funk- tionsbildungen untersucht, insbesondere der im E.K. gleichfalls regut~ren (abet keineswegs notwendig schlichten) Funktionen

co z = l _ _ ~ Z d , z n,

(2) f(z) n=l

eine Fragestellung, die u. a. auch zu geometrisch interessanten Resultaten fiihrt. Ihre Ubertragung auf F,ml~tionen, die den E.K. sogar stern/drmig in bezug au/ den Punkt f(O) bzw. den E.K. lconvex abbilden, fiihrt zu weiteren und teilweise sch~feren Ergebnissen.

I. Abschni t t .

Inhaltsiibersicht.

Wit bezeichnen im Iolgenden mit ~ die Gesamtheit der im E.K. re- gulden und scMichten Funktionen der Gestalt (1);

1). Vgl. L. Bieberba~h, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. H, zweite Auflage (Leipzig u. Berlin 1931), S. 71-83. Dieses Buch wird im fo]genden kurz ,B." zitiert.

A. Marx. Schtichte Abbfldungen. 41

mit ~ t die Teilmenge yon ~ der Funktionen, die den E.K. in bezug auf den tbmkt f(0) sternf5rmig abbilden;

mit ~ die Teilmenge yon ~ (aber auch yon ~ t ) der Funktionen, die den E.K. konvex abbilden.

Unter einer Funktion f(z) wollen wir, sofern nichts anderes gefordert wird, stets einen Repr~sentanten der Klasse ~ verstehen, ebenso denken wit uns z bei FeJalen anderer Festsetzmagen auf den offenen E.]C i z ! < 1 beschriinkt.

Setzen wir (3 ) u ( ~ ) = ~ - r f--(~-- l @ ~.~ d,z ,

~r

so folgt bereits aus den Ungleichungen

(4) (1 :z )" ~ !f(z) i ~ ( 1 - z

des Verzerrungssatzes~'), dag die Ungleichungen

(5 ) o < i u (~)i < 4

gelten. Wit bezeichnen fernex mit ( ~ ( r ) (bzw. (~e~(r), qg~(r)) die kteinste

Menge der komplexen Ebene, die den gesamten Wertevorrat der Ftmk- tionen u(z) flit z l__~< r < 1 enth~It, wenn r lest ist und f(z) sgmf2iehe Ihm~ionen der Klasse ~ (bzw. ~t , ~) durchlguft. Die Vereinigungsmenge der (~e(r) (bzw. (~t(r), (~$~(r)) l~ir alle r < 1 sei mit (~e (bzw. (~et, ( ~ ) bezeichnet. Es ist dann zungchst ldar, dag fiir jedes r die Menge ~e2(~ ) iha~gl~/ffZ(s n ( ~ ( r ) , g~(r)., in (~e~(r), also auch, dag .~e~ in ( ~ , ( ~ in q6~t ent-

t. ~]ine weitere triviale Eigenschaft der Mengen (~'-'m~;ihre ~ m - metrie zur reeUen Achse. Sie folgt daraus, dag mit f(z) stets auch f(z) z ~ Klasse ~ (bzw. ~t , ~) geh~irt.

Wir versuchen, die Gebiete (da~ es sich um solche hande!t, ist auch ohne die folgenden Ausfiihrungen leichr einzusehen) C~ abzuschiitzen bzw. zu ermitteln und erhalten dabei die folgenden Resultate:

Satz A. 1. ~ ist identisch mit der punktierter, o//enen Kreisscheibe 0 -< l u] < 4. (Die Ungleichungen (5) kSnnen also flit i z! < 1 nicht ver- sch~ixft werden.)

2. ~ (r) liegt ganz im abgeschlassenen Innern der Kurve

( 6~ ) ~ = (1 + o ~'~)'0 (0 __< ~ < 2 ~),

9 Vgl. B., s. 78.

42 A. Marx.

wobei

(6b)

gesetzt ist.

Sa tz B. Kurve

(7) Satz C.

Kreises

(s)

o = l/ .~tog i--S

Get(r) ist identisch mit dem abgeschlassenen lnnern der

u = ( 1 (o =< <

53~(r) ist identisch mit dem abgeschlossenen lnnern des

u = l ~ - r e '~ (0 ~ q~ < 2~) .

Im II. Abschnitt dieser Arbeit wird der Satz A bewiesen. Der Beweis seines ersten Teils beruht auf einer Veral]gemeinerung elner von Herrn K. LSwner herriihrenden SchluSweise. Herr LSwner wandte sie an ge- legentlich der Absch~tzung der soft ,Verschiebung" bei sehlichter konformer Abbildung des ~,uBeren des E.K.a).

Der zweite Teil des Satzes A, der fiir geniigend kleine 1 -- r wegen (4) trivial ist, ist bereits in einer friiher verSffentlichten Note enthalten, deren Inhalt hier ausfiihrlich reproduziert wird4).

Als wichtigste Anwendung dieses Satzes behandeln wir die Frage nach der soft Sternschranke. Es ist eine bekannte Aufgabe, die grSBte Kreis- scheibe um den Nullpunkt der z-Ebene zu ermitteln, deren in der w-Ebene gelegenes Bild bei ]eder Abbildung w-= f (z) aus ~ konvex bzw. beziiglich w ~ 0 stern]6rmig ausf~illt'~), Die Radien dieser Kreise seien mit R k (Rundungsschranke) bzw. R~ (Steraschranke) bezeielmet. W~ihrend nun Herr R. Nevanllnna ~) die Zahl R k zu

(9) R k = 2 -- ]/3 = 0 ,2679 . . .

ermittelt hat, steht die Bestimmung der Sternschranke R, noch aus. Den Zusammenhang mit der hier behandelten FragesteUuag zeigt das leicht zu beweisende Kriberium: Es ist dann und nut dann I z ' l= r < R,, wenn /ar sdmtliehe Funktionen aus

(10) f(z) ~ - ~ - - > 0

3) Vgl. G. P61ya und G. SzegS, Aufgaben mad Lehrsiitze aus der Analysis, Bd. H, (Berlin 1925), Abschnitt IV, Aufgabe 145, S. 25, '26, 200.

4) A. Marx, Zwei S~itze fiber schliehte Funktionen (Sitzungsber. d. Pr. Ak. d. Wis~., Phys.-Math. Klasse 1929, S. 96--I00), hier kurz mit ,M." zitiert.

9 V~. B., s. 82-s3. ~) R. Nevanlinna, Uber die schlichten Abbilduugen des Einheitskreises (Oev. av

Finaka Vetenak.-Soe. FSrh. 1919-1920, Avd. A, No. 7). ~) M., S. 97.

gleichtmgen

(13)

5ZW.

(14)

Schhchte Abbfldungen. 43

Die im folgenden zu 5eweisende Absch~itzung der Sternschranke lautet: Es ist ( l l a ) r ,~ R~,

wobei r die positive Wurzel der transzendenten Gleichung

(115 ) r log ~ ---- 2 -k ~- 4 - - . -k 2~--Y- 1 ~- . . . . 1

bedeutetS). Es ist r - ~ 0,6479 . . . . Eine interessante Erg~inzung hierzu ist die von Herrn G. Szeg5 ~) herriihrende obere Absch~itzung: Es ist

(11c) R~__< 4 12 -- 5 = 0,6568 . . . .

Ihr Beweis beruht auf der Betrachtung der Funktionen

Z-2- CZ 2

(12a) f ( z ) - (1-- z)-"'

die nach ehaer Bemerkung von Herrn Szeg59) dann und nut dann zu gehSren, wenn

1 1 ( 1 2 5 ) c + ~ ~ y

gilt. Tritt bier das Gleichheitszeichen ein und ist c 4=--1, so stellen die Funktionen (12 a) die -- bis auf Drehungen des Bildgebietes -- allgemeinste Ab- bildung des E.K. auf die liings einer Halbgeraden aufgeschlitzte w-Ebene dar.

Die Theorie der im III. Abschnitt behandelten sternfSrmigen und kon- vexen Abbildungen hgngt eng zusammen mit der Theorie der im E.K. regulgren Funktionen von positivem Realteil. Denn das Bestehen der Un-

= f'(=)

(z F'(z))' > 0 F'(z)

ist bekanntlich ~) notwendig und hinreichend fiir die ZugehSrigkeit yon f(z) zu ~ t (5zw. F(z) zu ~). HierauI 5eruht die AufklErung so vieler Funk- tionseigenschaSten dieser speziellen Klassen, die bei den Funktionen aus noch nicht gegliickt ist.

Beachtet man, dab die Funktionen

(15) f(z) ( I - ~=) e ( i e i = l )

s) Vgl. M., S. 97. Dort finder sich nur die schw~here Ungleichung r ~ R~. 9) Ohne Beweis in einer etwas anderen Formulierung mitgeteflt M., S. 100 (FuB-

note ~).

44 A. Marx.

zur Kla~se ~ t 1~ und die Fnn~;ionen

Z

(16) F(z) -~ t - ~ z

zur Klasse ~ gehSren ~) und dai~ fiir sie

(17) zf'(z) (z F'(z))' l+~z f(z) F'(z) 1-~z

gilt, so erkennt man auf Grund der bekannten Abbildungseigenschaft~n yon (17), daft fiir die Bilaung zf ' (z ) : f(z) ( f (z)aus ~t )bzw. (zF'(z)) ': .F'(z) (F(z) aus ~) die Funktionen (15)bzw. (16) die genauen ,Bildschranken" liefern r2).

Die S~tze B und C lehren, dal3 dieselbe Eigenschaft den Funktionen (15) und (16) auch bei der so viel einfacheren Bildung f ( z ) : z bzw..F(z):z zukommt. Der Beweis ist nicht schwierig. Satz B erweist sich als gqui- valent mit einem Satz yon Herrn W. l~ogosinski13). Satz C folgt aus B, w~hrend andererseits B keine Folge von C ist.

Wit beschhftigen uns im Abschnitt III weiterhin mit einigen Folge- rungen aus diesen Sgtzen.

Die Yoraussetzung (13) ergibt bekanntlich scharfe Schranken fiix den Ausdruck ~ ( z f ' ( z ) ) ' : f ' ( z ) . 1') Es war dagegen nicht bekannt, welche Bedingungen umgekehrt aus der Voraussetzung (14) flit den Ausdruck z F'(z) : F(z) folgen. Wit geben die genauen Bfldschranken fiir diese Funk- tionen an. Insbesondere gilt

zF'(z) 1 (18)

=1)

1o) Diese Funktionen, die auch die scharfen Sehranken der Ungleichungen (4) ]iefern, bflden den E.K. auf die vol]e w(=f(z))-Ebene ab, mit Ausnahme einer Halbgeraden mit dem Endpunkt - ~ - : 4, deren Verlgngerung dutch w = 0 geht.

1~) Hier ist das Bfldgebiet eine Halbebene, deren Begrenzungsgerade im Ab- stande 1 : 2 yore Nullpunkt durch den Punkt - ~ : 2 geht.

i~) Vg]. W. Rogosinski, Uber Bfldschranken bei Potenzreihen und ihren Ab- schnitten (Math. Ze~tschr. 17 (1923), S. 260-76) , Satz ~ .

~8) In der ebcn zitierten Arbeit, Satz IV.

~4) VgL B., S. 76 und 8]. Wie aus S. 76 hervorgeht~ fo]gen diese Abschgtzungen schon aus der Schlichtheit der zu betrachtenden Funktionen. Da alas Gleichheits- zeichen nut f~r die Funktionen (15) eintritt, liefern sie auch fiir die Klasse ~ t die scharfen Schranken. Der genaue Wertevorrat der Funktionen (zf'(z))':f'(z) ist in- dessen, auch fOx die Klasse ~ t , nicht bekannt. -- Die Kenntnis des Minlmllmg des Realtefls. dieses Ausdrucks reicht bereits zur Ermitt tung der Rundungsschranke R~ aus, die, wie sich aui diese Weise zeigt, yon den Funktionen (15) angenommen wird, also fiir die Funktionen alas ~t die gleiche ist wie fiir die Funktionen aus ~ .

Schlich~e Abbildungen. 45

Die ZugehSrigkeit yon F(z)zur Klasse ~ zieht also die ZugehSrigkeit yon F~(z):z zur g l~se ~ t nach sich~).

W/ihrend die genauen Schranl~en flit den Fldvheni~zhalt J(r) des Bild- gebietes yon l zi__~< r < 1 bei einer Abbildung aus ~ t bzw. ~-nmlt te lbar aus dem ersten Bieberbachschen Fl~chensatz *~) und dem Majoranten- charakter tier Funktionen (15) bzw. (16)folgen, l~a, nte man bisher die genauen oberen Schranken fiir die Bogenldnge L(r) des Bitdes eines Kreises 1 l z t ~ - r < 1 bei einer Abbildung der bier betrachteten Art nicht. Es liil~t sich zeigen, dall auch hier die Funktionen (15) bzw. (16) die oberen Schranken liefern. (Die unteren liefert natiirlich die identische Ab- bildung [(z) -~ z.l~))

Eine weitere Bemerktmg betrifft das Drehungsproblem der Abbildungen der Klasse ~ . Herr Bieberbach hat die Frage nach der maximalen Richtungs~nderung eines Linienelementes bei einer schUchten Abbildung des E.K. gestellt und im wesentlichen beantwortet~S). Es handelt sich bier um eine Abseh/itzung des Argumentes yon f'(z). W/ihrend Herr Bieberbach a. a. O. gezeigt hat, daI] fiir die Klasse ~ wieder die Funktionen (16) die Rolle der Schrankenfunktionen iibernehmen, ist ihm der Beweis der gleiehen Eigenschaft der Funktionen (15) fiir die Klasse ~ zwar fiir den ganzen

~) Dasselbe gilt dann natiirlich such fiir die ungerade Funktion F(z ~) :z. ,t) Vgl. B., S. 80. Der FlRcheninhalt J(r) des Bildes des Kreises z. ~ r < 1

bei einer Abbfldung aus ~ hat den Weft

4 1 9 ) J(r)=zt(r'+2,cz zr~§ c~i"r~+...), woraus sich unmittelbar der erste Flgchensatz

(20) J(r) > = r ~

ergibt, mit dcm Zus~tz, dal~ in (19) das Gleichheitszeichen nur for [ ( z ) = z eintritt. Ebenso folgt aus (19), unter Beriicksichtigung der Ungleichungen . c~ <~n fiir die Klasse ~t , bzw. i c~ i <: 1 fiir die K]asse ~ (vgl. B., S. 94), dal~ das Maximum yon J ( r ) yon den Funktioncn (15) bzw. (16) errcicht wird.

1~) Dies gilt fiir beliebige im E.K. regul~kre Funktioaen f ( z ) mit f ; ( 0 ) = I. In �9 der Tat folgt axis

2=

o fOr r > 0

o

Is) L. Bieberbach, Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes for schlichte kon- forme Abbildungen (Math. Zeitschr. 4 (1919), S. 295-305) . - Vgl. such die neuere Bemerkung yon M. KSsaler, Eine Verschii~Crung des Drehungasatzes yon L. Bieberbaeh <Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver. 41 (1931), S. 80 -82 ) .

46 A. Marx.

E.K. [z] <: 1, nicht aber fiir die einzelnen Kreise [z[ ~ r < 1 gehmgen. Diesen Beweis fiihren wit fiir geniigend kleine Werte yon r. Hierbei be- st~tigt sich eine yon Herrn Bieberbaeh gei4u/~erte Vermutung~9).

Schliel~lieh erw~i~nen wit noch, dab sieh aus dem Satz C aueh Bild- sehranken flit die Absehnitte der Funktionen f(z):z (f(z) aus ~ t ) bzw. $ ' ( z ) : z (.F(z)aus ~) herleiten lassen. Es handelt sieh dabei im wesent- lichen um eine Ubertragung eines yon Herrn Rogosinski herriihrenden Satzes auf unser spezieUes Problem"~

II. A b s c h n i t t .

w

Beweis von Satz A, 1.

Wit beweisen zun//chst den folgenden H i l f s s a t z . Zu jedem Paar yon ZaMen ~ ( 0 ~ q o ~ 2 ~ ) , ~ ( ~ 1 > 0 )

lii~t sich eine fiir 0 < I z i < 1 regul/ire und schlichte, nicht verschwindende, auf I z i = 1 stetige "Funktion

1 (22) p ( z ) • + a o ~ a l z ~ - . ' a ~ �9 -'T" n 2: - F , , *

finden, die die Ungleichung

(23) !P(e '~) q- 4i < ~2 effiillt.

Um dies einzusehen , betrachten wit die diesen Voraussetzungen ge- nfigenden Funlrtionen p (a:f l , 5; z), die den E.K. z i = 1 auf einen , h u h eiseniSrmigen", die Punkte 0; - -a (a :> 0); - -~ -- i 5 (8 > 0); - - a q - f l - iS ( 0 ~ f l _ _ ~ a ) verbindenden Schlitz abbiIden. Diese Funktionen h/ingen

( o ) stetig yon den Parametern a : f l 1 ~ _ ~ und 5 ab, und nach be- kannten S~itzen gilt ffir ~edes /?

( 2 4 ) l i m a = 4 . b-~0

Die Gleichung "c~ ) i j O l ~ , ~ ; e ir ~- - - ~ - - ~ d

hat flit jedes feste Wertetripel a, fl, 5 genau zwei LSstmgen ~o, und diese LSsungen hi~ngen stetig yon den Parametern ab. Insbesondere ist ~o = 0 eine LSsung Iiir a ~ - 8 , s) w~hrend fiir f l - * 0 , 5--*0 die Zahlen ~o gegen

• ~ konvergieren, da dann p gegen die Funktion _ 1 _ 2 ,-i-z strebt. Aus

lo) L. Bieberbkch, Neuere Forsehungen im Gebiet der konformen Abbildung (Gbamik hrv. prirod, drustva g. XXXIII g. 1921, S. 18).

2o) A. a. O. FuBnote ~-), Satz H.

Schliehte Abbildungen. 47

einfachen Stetigkeitsbetrachtungen folgt d~her, dab jeder Weft e '~o mit einem q~o des halboffenen Intervalls 0 ~ ~o < ~z oder ~ <: 99 ~ 2 zr in den Wert

i - - ~ - - ~ 5 iibergefiihrt werden kann. Die Betrachtung des Gremzfalles

fl = 0, a = 0 und cl'6, Ubergang zu der Funktion ~ grgeben dasselbe Re- sultat auch fiir 9% = n und die Werte des lnterval]s n < ~o ~ 2 n oder 0 ~ ~o < ~t. Mit Riicksicht auf die Grenzwertgleichung (24) ist daher die Ediillbarkeit der Ungleichung (23) naehgewiesen.

Fiir r o ~ r < 1 Iolgt hieraus, sofern 1 - r o geniigend klein ist,

Auger den obigen Werten ~0 und ~1 sei nun welter eine Zahl ~} vorgegeben, 0 <: ~ < 1. Bei geeigneter Wahl der Parameter a, fi, 6 liegt dann der Punkt - - 4 ( 1 - - v ~) auf dem obigen Schlitz, so dab p(z) + 4 ( 1 -- 0) fiir i z i < 1 nicht verschwindet. Setzt man schliel]lich

1 f ( z ) = p(z)..+-4(1-~)'

so gehSrt f(z) zur Klasse ~ , und es gilt

= + 4 (1 -

Die letzte Gr6Be unterscheidet sich bei passender .Wahl von ~ und r o be- liebig wenig von - 4 v a e i~, womit Satz A, 1 bewiesen ist.

w

Beweis yon Satz A , 2 . ~ )

Es sei f(z) eine beliebige Funktion der Klasse ~ . Die zu beweisende

Formel lautet dann

(25) i / < wobei ~ die Bedeutung (6b) hat. Xach einer Bemerkung yon Herrn G. Faber '~) ist mit f(z) auch die ungerade Funktion

f;- (z ~) = z q- a~ z 3 a _ . . . ~ a ~ _ 1 z ~"-1 + . . .

schlicht. Also liefert

(26) g(z) = f-�89 (z-"-)

eine schlichte Abbildung des Xulleren des E.K. z > 1 und besitzt eine

�9 t) Vgl. M., S. 98, 99. ~-) G. Faber, Neuer Beweis eines Koebe-Bieberbaehschen Satzes fiber konforme

Abbildung (Mfinchner Ber. (1917), S. 39-42).

4 8 A. Marx.

Entwickltmg der Form b, (27) g ( z ) = z + ? + ~ + . . . ~ - ~ , : ~ + . $ ~ * ' *

Nach dem zweiten Bieberbachschen Fl~chensatz ~ ist also

(28) l b a i ~ + 3 1 b a i ~ + . . . + ( 2 n - - 1 ) i ~ , _ ~ t " ~ . . . . = < l .

Nun folgt flit Izl > 1 aus (26) und (27)

f~-:~) und, wenn man auf beiden Seiten z ~ dutch z ersetzt, flit I z ! < 1

z ~ _ ( l § 2 4 7 2 4 7 (29) t(~) Zum Beweise yon Satz A, 2 geniigt es hiernach zu zeigen, da~ fiir i zi = r < 1

(30) gilt. (31)

I b l z + b a z ~ ' + . . . + b . ~ . , _ ~ z " + . . . i < = e = r log 11~-+~

Aus der Schwarzschen Ungleichung

~ 8, + ~ 8~ + . . . + ~. 8,, +-.-

=<- r + . . . ~8~+ 8~+... +~;~+ .. . .

w

D i e F u n k t i o n e n

1. Herr R. Nevanlinna hat den eine Funktion der Klasse ~ , so ist

~

z z f ' ( z ) a n d f---~-Z~'-"

folgenden Satz bewiesen-~): Ist f(z',

l + r = ! f (z) i ~ 1 - r das Gleichheitazeichen trit t nut bei den Ftml,'tionen (15) ein.

~a) B., S. 72, 73. at) R: ~r Uber die konforme Abbfldung yon Sterngebieten (Oev. av

Finska Vetensk. -- Soc. F6rh. 1920-21, Avd. A, No. 6).

wobei a,~_ 0, ft, ~_ 0 (n = 1, 2 . . . . ), folgt abet fiir

_ r" ( n ~ - 1 , 2 , 3 . . . . ) (32) ~ = ~ n - i l b ~ . _ l i ; 8~ 1~-~ die Ungleichung

(33) Jb, z + b ~ z ~ - + . . . ~ b .l �9 ~ - - 2 ~ n _ 1 Z a § �9 .

< ibl!r + lb~J,': + . . .+]b~ ,_ , i r "+ . . .

< r .. ,,. ]/ r~" i § - - § ~, § r'--Y'-~- = " . - ' 3 . . . . § ~ - 2 y + . . . .

woraus sieh, mater Beriieksiehtigung yon (28), die Behauptung (25) ergibt.

Sehlichte Abbildungen. 49

Die Ung|eichungen (34) lassen sich, wie man mit tIilfe yon (4) un- mittelbar erkennt, Ms spezielle Folgerung aus einem allgemeineren Satze ablelten:

f ( z ) durchlau]e sdmtliche Funktionen aus ~ . Dana er]i~llen die

z f ' ( z ) au] der Kreisscheibe i zl~ ~ r < 1 einen Be- Werte der Funktionen ~ =

reich ~ ( r ) , der mi t dem im Verhdltnis 1 : ( 1 - r ' ) yore Nul lpunkt aus gestreckten Bereich q~u ( r ) iibereinstimmt.

Zum Beweise betraehten wir eine feste, im iibrigen beliebige Stelle z o mit lzoi <: 1 und eine betiebige Funktion f ( z ) aus ~ . Wir bilden dann die Funlaion

/ _ _ Z ,.2_ Z ~ �9

(35) h(z) . . . . z -k- d~z" + . . . § d . z" § . . . . f'(zo) (1 - i zo ]")

die offensichtfich auch zu ~ gehSrt. beiden Funktionen die Beziehungen

f(zo) h (Zo) = f'(~o) (1 - i Zo i~) '

Hieraus folgen die Gleichungen

(363) zof'(zo) _ I zo f(zo)

und

(36b) z0 f(zo)

An der Stelle z o bestehen zwischen

1

h'(z~ = f'(zo) (1 - ; zo i~) "~"

1 - ]z o *,0" h(zo)

- - = ( 1 - ! Z o o ~ z~ h'(zo) h (z0) '

die die Richtigkeit unserer Behauptung in Evidenz setzen.

2. Aul~er den Ungleichungen (34) verctient die nachstehende Folgerung des soeben bewiesenen Satzes lnteresse:

Jede /iir die Klasse ~ universelle Abschdtzung des Argumentes yon z f ' (z)

f(z)z be'/, /estem z zieht die gleiche Abschdtzung /iir das Argument yon f(z----)

nach sich und urngekehrt"5).

Eine derartige Absch/itzung wird fiir ein gewisses Intervall yon Werten [ z l = r dutch Satz A ermSghcht. In der Tat folgt aus der fiir jedes x mit ! x[ < 1 geltenden Ungleichung

(37) I arg (1 + x)] _< arc sin ix '

~) Fiir die Bier und im folgenden auf t re tenden mehrdeutigen Funkt ionen axg x = ~ log x, arc sin x usw. denken wir uns stets deron Hauptzweig e ing~etz t , eL h. es soil arg 1 = O, arc sin 0 = 0 uaw. gelten, u n d die iibrigen Fartktion~werte sollen a u s diesen speziellen dutch stetige Fortsetzung: hervorgehen.

Matlmmatiseh~ A n i O n . 107. 4

~iO A. Marx.

fii~ ~6)

die Abseh~tzung

r l + r

a r g ? . / (38) z f (z) r / ~ 2a rcs ine"

. arg f~ f~ - i j

Insbesondere gilt daher, solange ~ < 1 ist, also flit r < r o =: 0,8335 . . . , die aueh geometriseh interessante Abseh~itzung

a t - f ( z ) B T < ~ -

3. B e m e r k u n g . Die Existenz universeller Schranken fiir die Funk-

tionen jar. - f ( z ) -~7) g - T - i im ganzen Einheitskreise ] z I < 1 Iolgt schon aus (4).

in der Tat l~iflt sich diese Ungleiehung in der Form

log 1 < l o g J / ~ ] = ~ l o g f(z) < log 1 ( 1 + i z ) 2 = z = (~ - i~ l ) ~

sehreiben, woraus sieh in bekannter Weise Sehranken ffir

: = ! f ( z ) i a r g f ( z ) i ~log -

ergeben. Eine zweite MSglichkeit, zu dem gleieh~n Resultat zu gelangen, besteht

in einer naheliegenden Verallgemeinerung des Ansatzes in w 2. Man betrachte an Stelle der Funktionen (26) die ebenialls im Xul]eren des Einheitskreises regul~en mad schliehten Funktionen

(26') g,,(~) = t - ; - ( z - ' ) (,, = 2, 3, 4 . . . . ) ,

die sich offenbar in der Form

(27') g , ( z ) = z + b , - , z - ' * ~ + . - . + b , , - ~ - " ' + ~ + . . . (i~ >1) darstellen lassen. An die Stelle yon (29) trit t bier die Gleiehung

(29') z ?(~i = (1 + b,-;z + b,,_lz~ + . . . + b,,_lz" +,..)" (izl < 1).

~) D. h. fiir r < to, wobei r o die zwisehen 0 und 1 gelegene Wurzel der trans- zendenten Gleiehung

log 1 + r r e r~ re= l _ r = T + - ~ + . . - + ~-~-S~+ . . . . 1

bedetrtet. Es ist r o = 0,8385 . . . .

i_ ~f'fz)! ~) Also nat~trlich auch fiir die Funktionen ~B f . ~ - I .

Sch]Jchte Abbilclungen~ 51

Wegen

(28') (v--1) ib,,_~i~+(2~,--1)[b.,_al~'+...+(n~'--l)[b,,, ,_xi~-f-.. .~l

ist es mSglich, die Zabl v bei festem ' l z ] = r < 1 so 'zu wKhlen, dal~

(30') Ib,_az-t--b~,,_az~-~...-~-b,,,_,z'*-k-...! ~_~ e, < l

ist. Dann ist (vgl. (29) und (37))

(38') ] arg . <: ~arc sin e~.

w

Untere Absch~tznng yon R . . ~8)

Nach dem Kriterium (13) bildet die der Klasse ~ angehSrende Funktion f(z) den Kreis !z! = r < 1 dann und nut dana in bezug auf den Nullpunkt stemfSrmig ab, wean auf diesem Kreise die Ungleichung

zf '(z) (89) t- 7>0

erfiillt ist. Insbesondere ist also (vgl. die Definition yon R,, S. 42) dana und nuz dann ]z I ----- r < R,, wenn (39) fiir s~mtliche Funktionen aus gilt. Auf Grund dieses Kriterinms hat Herr R. Nevaalinna die Absch/itzung

(40) R~ > 0,47

gefunden 39).

1. Zur unteren Absch/~tzung yon R~ stehen ans die Ungleichungen (38) zur Verfiigung. Es geniigt danaeh in der Tat, ] z i ~ - r so zu w~hlen, dail

. ~ + r 2 arcsm ~ < 3 '

d~ h~

r log < 1

gilt. Bezeichnen ~ also (vgL S. 43) mit r die zwi~hen 0 und 1 gelegene Wurzel der transzendenten Gleichtmg

(41) r log 1_-~ -~ 2 + ~- q- . . . -t- 2 -~- i -~ . . . . 1,

so ist ~ n i i e t ~ die Ungleiehu_~g

(42) r<___R. bewiesen. Um die Richtigkeit yon ( l l a ) einzusehen, lmben wir nut noeh zu zeigen, dalt bei den verschiedenen zum Beweise yon (42) benutzten

2s) Vgl. M., S. 99. ~) R. Nevanlinna, a. ~. O., Fullnote ~).

4*

52 A. Marx.

Absch~tmmgen nicht durchweg das Gleichheitszeichen eintreten k~nn. Wir werden erkennen, dab eine in [ z I > 1 mit Auanahme des unendlich Fernen regul/ixe Fnnlction g(z) der Gestalt (27), die all diesen Bedingungen ge-

t niigt, keine schlichte Abbildung yon I z i > 1 vermittelt. Nehmen wit im P:~egenteil an, dies sei der Fall! Da mit f ( z ) s t e t s

auch i f ( e z ) ( I s f - = 1) zur Klasse ~ gehSrt, dfiden wi~ z.B. voraussetzen, dal~ die durch (26) definierte Funktion f ( z ) an der Stelle r der Gleichung

r (43) = 0

geniigt. Dann muB sowohl in der Ungleichung (37) als auch in der Schwatzschen Ungleichung (31) da~ Zeichen = eiatteten. In (37) ist dies nut dann der Fall, wenn die Yektoren 1, x, 1 + x ein rechtwinkliges Dreieck bestimmen, wenn also wegen (29) die Yektoren

1, b l r + b ~ ~ " . . . . . . _ . . . r + . . . + b . , . , , _ l r + ., l + b ~ r + b z r , ' ~ + + b . , , ~r,"--b

ein gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck mit dem Vektor 1 als Hypotenuse - I + i --I - i bilden. Der mi~tlere Ausdruck mul~ danach gleieh ~ oder } sein.

Wit k6nnen annehmen, indem wir nStigenfalls f (z) stat t f ( z ) betrachten, dab

1+i (44) b l r + b a r ' * + " ' + b ~ . - l r " + . . . . 2

is~;. Bei der Schwarzsehen Ungleiehung (31) tritt das Gleiehheitszeichen nut fiir zueinander proportionale Zahlenteihen a,,, fl,~ (n = 1, 2, 3 . . . . ) ein; unter unserer Annahme folgt also aus (32)

r b s = 2 r ~- r* (45) b~ -~ 2 T . . . . . . . . . -3- . . . . b.~ a = 2 2 n - 1

Danach ist auch

(46) blr + bar ~ ~ . . . ~ b~,~_,r" + . . .

= 2 V" -~- + . . . ~- 2 ~ _ 1 + . ~--- ~ 2 log l + r . "" 1 - i - - .5"

Durch Vergleich von (44) und (46) finder man

(47 ) = + i ) .

Dutch (45) und (47) ist g ( z ) eindeutig bestimmt; and zwar ist

b 1 . b~ 1 "" + $ ) ( z - { - ~ -~-~- q ( 2 n - 1 ) z * ' - ' - ~ - ' " ) "

z + ~ - + . ~ + . . . . z - - (1 . r ~ . . . r" ,

,+L l + i ] / r log z (48) O(z) = z ~--

( i " 1 - - - -

.Z

Schlichte Abbildungen, 53

Die so gefundene Funktion g (z) ist auch auf dem Kreiso I z t = 1 regul~. W~re nun g ( z ) in r~z! ~ 1 schlicht, so wiirde aus der Bedingung

der die Koeffizienten von g ( z ) geniigen, folgen, dal]-das Bild des Kreises i z ] = 1 bei der Ahbildung g ( z ) ein zweimal durchlaufener analytischer

, i _~ 1, die den Endpunk'ten yon J Jordanbogen J ist An den Stellen von i z ! entsprechen, hSrt die Winkeltreue der Abbildung auf, so dal~ an diesen Stellen g ' ( z ) - ~ 0 sein mug. Es ist aber

g ' ( z ) = ~ + i ~ ~-~_~+0 (~r z : = l ) ,

so da~ g (z) tats~ichlich keine schlichte Abbi]dung yon z: > 1 liefern kann. Damit ist die Ungleichung ( l l a ) , d. h.

(49) & > r bewiesen.

2. Bemerkung. Zum Beweise der oben angefiihrten Abschgtzung (40) bat Herr R. Nevanlinna wesentlich die Ungleichungen (34) herangezogen. Es ist bemerkenswert, dal] sich auch bei Benutzung des Kriteriums (39) mit Hilfe des Fl~hensatzes ein wesentlich sch~irferes Result~t erzielen l~iBt. In der Tat folgt aus (26) und (27) nach einer leiehten Rechnung die in ] z i < 1 geltende Identitiit

z f ' ( z ) _ 1 - - b l z - - 3 b a z ~ - - . . . - ( ' 2 n - l )b~_~ z ~ - . . .

f ( z ) 1 ~ b 1 z -}- b a z ~- - - . . . --}- be ~ _ l z " + . . .

Die Bedingung (39), die sich also auch in der Form

1 - bl z - . . . - - (2 n - - 1 ) b . ~ _ l z'~ - . . . , l + b l z + . . . + b o n _ l z , + . . . -i- l

1 - - b l z - - . . . - - ( 2 n - - 1 ) b e , , _ ~ z ' ~ - , . .

:> : l + b l z _ i _ . . . + b ~ _ i z , , + . . . ~ 1 oder

!1 - - bsz ~ ( n - - 1) b~ , , _ l z ' ~ - . . . I o I n : > i b ~ z T 2 b s z ' + . . . T n b ~ , , _ ~ z + . . .

schreiben lii~t, ist flit ]zj-~ r • 1 erfiillt, wenn

}b l ] r + 3 1 5 8 ] r ~ - - ] - . . . ~ ( 2 n - 1 ) b~,_~ r " + . . . < : l

ist. Aus der Schwarzschen Ungleichung (31) folgt aber flit

a~---- 2]/2~--1[b~,_11, f l , = J / 2 n - l r " ( n = 1 , 2 , 3 , . . . )

I b~l,- + 3]b~ i,~ + . . . + (2,~ - 1)i b,._~ I,-" + .. .

1/]b~]: + 3 j b a l " + . . . + ( 2 n - - l ) J b , , _ a ] ~ + . . .

x ] / r ~ + 3 r ' + . . . + ( 2 n - - 1 ) r ' ~ " + . . . ,

54 & Marx.

so da~, wegen (28), nut r~ (I + r ~) r ~ q - a r i + . . . + ( 2 n - l ) r ~ " + . . . = - < 1 (I - r~)'

ediiUt zu sein braucht. Dies ist fqir r < 1 = 0,5773... richtig. )a

(52)

l ~ r

w

0bere Absch~tzung von R ~ .

Die obere Abschgtzung yon R~, die im folgenden bewiesen witd, be- ruht auf der Betrachtung gewisser spezieller Funktionen der Klasse ~ , auf die reich Herr Szeg5 anfmerksam gemacht hat.

Die Abbildungen w = f ( z ) der Form (15) liefern bekanntlich ein Bildgebiet in der w-Ebene, das yon einer Halbgeraden begrenzt wird. Zu ~ geh6rige Abbildungen dieser Art woUen wit kurz ,gers21inlge Schlitz- abbildungen" nennen. Wit stellen uns zuniichst die Aufgabe, den expliziten Ausdxuck s~imtlicher gera~llnigen Schlitzabbildungen zu ermitteln.

Die Funktion

(50) k(z)= =1,

bildet den Einheitskreis I z ! < 1 schlicht auf eine Halbebene ~ ab, die den Nu]lpunk't enthiilt bzw. nicht enthglt, je nachdem v q > 1 bzw. v ~ l ist. Wit betrachten nun die Funktionen

1-bt~ (51) f ( z ) - - k ~ ( z ) - 1 2

2 ( 1 - - ~ ) ( l - z ) ~

Sie geh6ren dann und nut dann zut Klasse ~ , wenn v~ <: 1 ist. Die Funk- tion (51) in der zuletzt angegebenen Form behiiit ihren Sinn auch flit e # = 1. Sie reduziert sich dann auf die (zu ~ gehSrige) Funktion

Z

f ( z ) - - 1 - z

(53) 1 + ~ 2 ~ c

[olgt hieraus die Richtigkeit der Bedingung (12b) ~ die Schlichtheit der l~,lnle~ionen (12 a).

Fiir ~ = 1 (wit schliel~en den Fall e --= 1 wieder aus) liefern die Funk- tionen (51) gera~linige Schlit~abbfldungen. Wit behaupten, dal] diese, bis au/ Drehungen um den Nullpunkt, die a//gem~'nsten Funk~onen dieser Art sind. In der Tat geht bei der Abbildung (51) (mit ~ = 1) der Ein- heitskreis I z[ = 1 in eine Halbgerade S~ fiber, deren Endpnnlrt unserer

Schliehte Abbildungen. 55

Herleitung zufolge der Bfldpnnkt yon z ~ - ~ (d. h. k ( z ) = O) ist. Aus

(51) folgt 1_~

2 1 y f ( ~ ) ---- _ _ (1-~)~ 2 1 - ~ "

Durchl/iuft also das Argument 9 yon 7 das Interval[ 0 < cp < 2 ~, so durchl/iuft f(7), d. h. der Endpunkt yon S,, die Parallele zur imagin/iren Achse durch den Punkt a Welter ist (bei beliebigem Vorzeichen der Wurzel)

~_�89 ~- 1

f(~�89 = 2 ~ 1 1 2 ~

( 1 - ~ ~ ) ' ~ .

l geht. so daB jeder der Schlitze S, durch den Punkt --~ Es sei nun eine geradlinige Schlitzabbildung w == f ( z ) des Einheits-

k-reises vorgelegt. Der Schlitz in der w-Ebene sei mit S bezeichnet. Dann enth/ilt S jedenfalls einen Punkt im Abstand ~ vom Nullpunkt. Denn anderenfalls h/it-ten ~mtliche Punkte von S einen grSBeren Betrag als und das Bildgebiet bei der kbbildung w = f ( z ) enthielte eine yon einer

1 Geraden im Abstande :~, vom Nullpunkt begrenzte Halbebene, was dutch die Existenz der Fmaktionen (16) ausgeschlossen ist. Dutch eine Drehung yon S in S ' 1/il]t es sich dann erreichen, dab ein beliebiger der h6chstens

erh/ilt. Wir w/ihlen zwei Punkte vom Betrage �89 auf S gerade den Weft --~ femer diesen Punkt so, dab der Schlitz S ' mit einem der Schlitze S, eine Halbgerade gemeinsam hat. Dann miissen aber S ' und S, ganz zusammen- fallen, da sonst wieder das Bildgebiet einer Funktion aus ~ das einer anderen enthalten wiirde. Die zugeh6rigen F-nktionen stimmen dann natiirlich aueh iiberein. Damit ist die Behauptung, dal] die Funktionen (51) fiir ~ ~ 1 die aUgemeinste geradlinige Schlitzabbildung liefern, bewiesen.

Wit nutzen nun unsere Kenntnis der Fnnktionen (51) zur oberen Abseh/itzung yon R~ aus. Nach w 3 ist fiir eine derartige hbsch/itzung der Radius jedes Kreises ! z I ~ r < 1 brauchbar, auf dem an einer Stelle z ffir eine geeignete Funk~ion f ( z ) aus

Z

~t-~=0 gilt. Wir bestimmen den ldeinsten Radius ~ dieser Art fiir siimtliche Funktionen (51) (I e [ = 1, 0 "< 0 < 1). Die Bedingung

(54) 3t (1-~)~ 1+*~ > 0 1 - - - - z 2

oder ~ ( 1 - - z ) ~ ( 2 -- 5 - - ~ 0 ~ ) > 0

~6 .~_ Marx.

ist bei iestem z iiir alle ~ ([e I = 1 ) und a lh 0 ( 0 _ ( 0 _ ( 1 ) dann and nu~ d~n~ exfiillt, wenn

( 1 - z ) ~ ( 2 - ~ ) > ~ 11 - ~ I ~

gilt. Hieraus folgt iibrigens schon, daft ~ von einer geradlinlgen Schlitz- abbitdung angenommen wird. Die letzte Bedingung ]~J~t sich - - mit der Bezeichnung ~ z ~ - x - - in der Form

2 -- r - - r s - ( 5 - - 2 r ~ - r ~ ' ) x + 4 z ~" > 0

schreiben. Das Minimum der linken Seite in x liegt fiir - - c c < x < ~ an der Stelle

5 - 2 r + r 2 8

die, z. B. flit 0,6 ~ r _~< 1 (auf solche Werte diirfen wit uns wegen R, > 0,6 beschr '~ken) unterhalb yon r bleibt. Die Ungleichung (54) ist daher (in dean yon uns betracht~ten Interval]) gleichwertig mit

2 _ r rs (5 - -2r+r~)~ > 0 16

oder 7 + 4 r - - 14 r ~-- 1 2 r s - r 4 > 0.

Die Zahl e ist somit die zwischen 0 und 1 gelegene Wurze! der biquadra- tischen Gleichung

( 5 5 3 r , + 12 r 3 + 14 ~ - 4 r - 7 = ( r + 1) ~ ( r "~ + 10 r - 7) = 0 ,

d.h. der quadratischen Gleiehung

(55) r ~ + 10 r -- 7 = O.

Sie hat den Weft

= 4 ]/2 -- 5 ---- 0,6568 . . . .

Damit ist die Behauptnng (11c) bewiesen. Es sei bemerkt , da$ sich auch auf Grund des Kriteriums (39) flit

die obere Absch/itmmg yon R, mit I-lille der Funktionen (51) kei~ besseres Resultat erzielen liillt~ In der Tat bilden die in w 3 betrachteten Fmlk- tionen f(z) und h(z) den Einheitskreis ]z I < 1 auf einander ~ihnliche Gebiete ab, so dab in unserem Falle die Funktionen h(z) wieder gerad- llnige Schlitzabbildungen sin& Fiir die Gesamtheit der geradllnigen Schlitz-

abbildungen stimmt aber nach w 2 das MaYimuln von targ zf'(z)~i f - - -~- I bei

arg f (z) i iiberein~~ !

feztcm z mit dem Maximum yon z i

3o) Es ist natiirlich m6glich, in der soeben fiir die Funktionen (51) gelSsten Minimum g~ufgabe das Oleichheitszeichen zu diskutieren. Man erh~lt auf diese Weise die, bis ~uf Drehungen um den Nullpunkt und Spiegelungen an der reellen Achse,

(Fortse~zung der Fu~no te ~o) a a i n~chster Seite.)

Scb.lichte Abbildungen. 57

I I I . A b s c h n i t t .

w

Beweis yon Satz B.

Der auf S. 44 erw~hnte Satz yon Herrn Rogosinski lautet: Die Funktion

(56) g (z) = a x z -~- a., z" + . . . -~ a , z " + . . .

sei im Einheitskre'me I z l < 1 regul~ir, und es sei-daselbst

(57) ~ z g ' ( z ) > - -1 .

Dann nimmt g(z ) auf der Kreisscheibe ] z ] ~ r < 1 nut Werte aus dem sbgeschlossenen Inneren der Kurve

u , ( ~ ) = log (1 - r e'~)"

an. Nut die (den oben genannten Voraussetzungen geniigenden) Funktionen

(58) g(z) = log 1 (I 1=1) (l - ~ z ) ~

erreichen diese Schranken. Es sei nun f ( z ) eine behebige Funktion der Klasse ~ t . Dann hat

die in l z! < 1 regul~ire Funkl~on

g( z ) = log f (z ) Z

die Gestalt (56) und geniigt der Bedingung (57), da

1 + zg ' ( z ) - - z f ' ( z ) f ( ' - )

ist. Die Funlrtionen (58) liefern also Bildschranken fiir I o - f ( z ) und da g - - ~ ,

g (z) auf einen Streifen der Breite 2 ~ parallel zar reellen Achse beschr~nkt ist, so da~ der Ubergang zur Exponentialfunktion erlsubt ist, liefert such

eindeutig bestimmte geradlinige Schlitz~bbildung fl (z), ffir die der Ausdruck ~ (f(z):z) fiir einen Weft des Kreises !z ] = r = 4 V2-- 5 verschwindet. Aber auch diejenige geradllnlge Schlitzabbfldung f2(z), die den Kreis i z i= ~ nicht mehr sternfSrmig ab- bfldet, fftr die also an einer passenden Stelle yon z! =~ ~ ( z f ' ( z ) : f ( z ) ) = O ist, ist auf Grund der Ausfiihrungen in w 8 dutch fl(z) eindeutig bestimmt (in demselben Sinne wie fl(z)). Es ergibt sich, dab der Endpunkt des zu f~(z) gehSrigen Schlitzes

1 4}/~-}/-2, der Endpunkt des zu f~(z) gehSrigen Schlitzes den Betrag den Betrag

16 ~) u~(~) durchl~uft bei festem r, 0 < ~ < 2 ~ eine konvexe Jordankurve, die

innexhalb eines in bezug auf die reelle Achse symmet~chen Streifens der Breite 2 symmetrisch zur reellen Achse vcr.IRuft~

58 A. ~t~x.

1 (l_~z)----- ~ Bildschranken fiir f(z).z Damit ~st Satz B bewiesen und zugleich

erkanat, daft nur die Funktionen (I5) die gefundenen Bildschranken wirklich erreichen.

Es ist ohne weiteres klar, dag sich auch umgekehrt der Rogosinskische Satz aus B herleiten lg~t.

w

Beweis yon Satz C.

1. Es geniigt, den Satz C in der Gestalt

( (59) ! Fzz) > 2 91

zu beweisen, wobei F(z) eine beliebige Funktion der Klasse ~ ist. In der

Tat helgt das, dal] die Funktion 2 F(z) _ 1 im Einheitskreise ]z J < 1 Z

einen positiven Realteil besitzt, so dab ihre Werte im Kreise i z! ~ r < 1 tq-z in dem Kreise gelegen sind, tier aus ! z i ~ r dutch die AbbHdung w -- 1--z

entsteht~e). Das ist aber identisch mit der Behauptung von Satz C.

Auf Grand des Kriteriums (14) sind flit eine betiebige Funktion F(z) 1

aus ~ die Funktionswerte ~ (I z I < 1) auf den Bereich (~er, also, nach

~/ ,1 auf die Kreisscheibe ~ 1 I Satz B, die yon F (~) . F (z) -- li < 1 beschfiinkt.

Daraus fo|gt, da/~ 1

9t ~/F'(z) :> v (]z < 1) gilt, so daft die Funktion

2 ]fFT(z) -- 1 = qb(z) : 1 ~al zq -a .2z~q - ...-~-a,~z"-q-...

in ]z] < 1 gleichfa]ls yon positivem Realteil ist. Man hat

Z

0

Nun kann man eine derartige Fun ~l~tion O(z) Ms die Grenzftmktion einer passenden Folge yon rationalen Funktionen der Gestalt

g .> 0 , Z g . = l , i .1=1 ~ = 1 . = I

darste.llen, wobei die Folge in jedem Kreise ] z ] ~ r, r < 1, gleichm~taig

~s) VgL W. Rogosinski a.a. O, FuBnote 1~), Satz H.

Schliehte Abhildungen. 59

konvergiert . Dann konvergier t aber die entsprechend mi t den Funkt ionen

z

= j \ - ~- 0

gebildete Folge yon W(z), und zwar wieder gleichm~iflig in jedem Kreise

!z[=<_r, r < l . Es ist abet

= 1-=,,:) = - (~-=.r d~'

so dab es geniigt, die Ungleichtmg (59) ~ die spezielle Funkt ion

z

de F(,) = f i l - =,5 in-

o

naehzuweisen. Dieses Integral ist gleich

1 - ~ z z 1 log bzw.

e, - =~ 1 -- ~, z (l --=,,z)'

je naehdem e, + % bzw. e, = % ist. I m zweiten Fall ist die Behauptung klar, wit kSnnen uns also auf den ersten Fall besehr/inken. Unsere einzige Aufgabe ist es also, die Ungleichung

1 1--r/z 1 (ie;-~-} r/i =1,'~ (60) ~R ~ log l _ e g ~> 9~ \e=~=r] ,[z! .<l]

zu beweisen a3).

2. Du tch die Subst i tut ion

z = e ~ z '

(bei beliebiger Wahl der Wurzel) geht die lJnke Seite yon (60) fiber in

I

1 1 log 1-(,~;,)'-"z' 1 ~ p 1 " ( ~ = ) ~ _ ( ~ ) ~ z l _ ( ~ ) ~ z ,

Wit setzen _ I (o < =).

as) Die somit als hinreiehend fiir die Riehtlgkeit von Satz C erkannte Be- dingung (60) ist auch notwendig. In der Tat liefert die Funktion

log l - , / z =z - i - . . .

eine konvexe Abbildung des Einheitskreises, und zwar, wie man leieht erkennt, die allgemeinate Abbildung aus ~ yon 1 z I < 1 auf einen yon zwei parallelen Geraden be- grenzten Streifen.

60 A. Marx.

Beim Beweise yon (60)diirfen wit uns aaf die Betrachtung von z-Werten vom Betrage 1 besct~s ifir die der Logarithmus regul~ir ist. Wir setzen also

z ' = e '~ (-~<~=<~). Die Behauptung lautet dann

p (~, #) = ~ - - :og e - i ~ - - e i~ 1 - - e i{@-r

(61)

Die Fn~lrtion w

ebene ~ ab, die den Punkt w = 1 im Inneren enth~lt und deren Be- grenzungsgerade dutch w = 0 geht. Die Neigung dieser Geraden erh~ilt man leicht, wenn man v~ = ~ g + ~o setzt. In der Tat ist dann

1 _ e - - - = + ' z ~ ) 1 + r COS (~ e i ~ w = 1 - - e - ' ~ 2

-= ~ 2 si~ ~ t~ - e ' ~ - ~ - - - - - - 5 >

bildet den Einheitskreis ! z'l ~ 1 auf eine Halb- 1 - - e - l c e z ~

Das Argument der Punkte der Begrenzung yon ~ ist also ~ bzw. ~ - ~. Da bei der Abbildung von [z'i < 1 auf ~ z ' = e - ~ in w = 0 , z'-=e i~ in w = co iibergeht und der Umlauissinn erhalten bleibt, ist das A~gument % der Randpunkte von ~ genauer

(62) % = { q~ ffir [ # t > ~ , ~ - n mr [#[<~.

Die Behauptung (61) geht demnach fiber in

1 { o, }, --4sin~ ~ m ~ l o g l _ c o s ( O _ ~ ) - - 2 a o c o s O > g .

Die Funktion p (~, 0) ist in ~ gerade, so dal~ es geniigt, die Intervalle

zu betrachten. Wit zeigen, daft fiir 0 ~ # < ~ ein absolutes Minlmum von p ( ~ , ~ ) als Funktion yon v ~ an dex SteUe 0 = 0 , fiir ~ < : v~=<n an der SteUe # = ~ liegt. Dies folgt aus

(63) 4sin ~ ( ~ , ~ ) ~ 0 fiir 0 ~ 0 < ~ , ~a [ = < 0 fiir ~<0_<_~.

Es ist aber

(64) 4,<mqo Op(~,#) 1-eos (#+~) 2sin#sin~ + 2a~s in~ ~a - - cos# log 1 - c o s ( # - q ) + ~osa-cc~q

Schlichte Abbildungen. 61

und

(65) 4s in~ aa = V~-~=--~-~.~ __<o.

Die Ungleichung (63) ist daher Kit alle ~, 0 < ~ < =, e.rKillt, wenn sie flit

< T an der Stelle ~=-~z,

v ~>q~ an der Stelle ~----0

gilt. An beiden Stelten ist aber auf Grund von (64) und (62)

4 s in~ ~ ( ~ ' a) : 0.

Fiir v~ = ~ bzw. v~ = 0 geht dann (61) in die triviale Behauptang

> 1 sin ~o b z w .

x--q9 sin ~o

tiber. Damit ist (61) bewiesen. Fiir die Funktionen

bfldet

~--q~

s m ( ~ - ~) > 1

(0 < ~ < =)

iV(Z)= 1 1- z (I l=1)

F(z) _ 1 W - - - -

2~ l - - g 2 ;

den Kreis [ z [ < 1 auf die voUe Halbebene

1 9 ~ w > y

ab, so dab diese Funktionen flit die Funktionen F(z) und z z ~ der Klasse

die genauen Bildschranken liefern. Damit ist 8atz C vollst~ndig bewiesen.

w z F ' (z)

Ermit t lung tier Bf ldschranken yon F(z) "

Ist F(z ) eine Funktion der Klasse ~, so liefert die nach der Vor- schrift der Formel (35) mit F(z) gebildete Funktion H(z) gleichfalls eine zu ~ gehSrige Abbildung des Einheitskreises. Die in II , w 3 bewiesenen S~tze behalten also ihre Giiltigkeit, wean man iiberall das Wort .schlicht" dutch die Worte .schlicht trod konvex" ersetzt. Insbesondere ergibt sich also aus (36a) mit H_ilfe yon Satz C Kir jede Funktion F (z) aus

z F ' ( z ) ~. 1 1 1 (66) ~R F I ~ - 1--Z~r.(1 -- r) = ~ > ~ (iz[ = r < 1),

62 A. Mark

und da fiir die Funktionen (16)

z F ' ( z ) 1 $'(z) - - l - s z

ist, ist die Schranke �89 in (66) genau. angefiihrten Satzes yon Herin Rogoslngld die gesuchten schranken.

Fiir die Funlr~on

f ( z ) = F % ) = z + . . . z

(67)

folgt aus (66)

(1~I=1)

Daraus folgen wegen des a. a. O. s4) genauen Bild-

~ = 29~zF'(z) F(z) 1 > O,

so dal~ die Aussage (66) mit der ZugehSrigkeit der Funktion (67) zur Klasse ~ t gleichwertig ist.

w

Untersueh-ng der Tragweite der in diesem Absehnitt bewiesenen S~tze.

Wit wollen jetzt zus~mmenfassend die gegenseitige Beziehung der Be- dingungen untarsuchen, die in den S~itzen B und C sowie in dem in w 3 bewiesenen Satz vorkommen. Wit betrachten also die in l z l < 1 reguliiren, dutch F(0) ---= 0, F ' (0 ) = 1 normierten Funktionen F(z) , deren Ableitung nicht verschwindet, und die ferner in : ]z i < 1 einer dem folgenden vier Bedingungen unterworfen sind:

(z F" (z) )" a) ~ F(z) :> 0

i} F(z) 1 d) ~t >

(notwend~g und hinreichend flit die Zugeh5rig- keit yon F(z) zur Klasse ~) ,

(notwendig ~ die ZugehSrigkeit yon F(z) zur Klasse ~, notwendig und hinreichend fiir die

y~(z) ZugehSrigkeit yon zur Kla~qe ~t) ,

(notwendig flit die ZugehSriglre~t yon F ( z ) zur

K]~se ~) .

Wit zeigen den folgenden Sachverhalt: In der bier angegebenen Reihen- folge zieht jede der drei ersten Ungleichungen die auf sie folgenden nach sich, und jede von ilmen ist yon den auf sie folgenden unabh~ngig.

u) Fu6note ~); Satz IL

Schlichte Abbfldungen. 63

Dal~ zma~hst a) die drei iibrigen Beziehungen zur Folge hat, bildete den Inhalt der vorhergehenden Ausfiihnmgen (w167 1 - - 3 ) . Insbesondere ist c) wegen (13) mad (14) mit Satz B identisch. Nach der in w 2 erfolgten Herleitung yon Satz C ist also auch ldar, da~ d) aus c) folgt.

Weiter ist leicht einzusehen, dad~ d) aus b) folgt. Wit brauchen zu

�9 diesem Zweck nut Satz B auf die Ftmktion F~(z) anzuwenden. Abet auch Z

c) folgt alas b). In der Tat ist ja

= F ( z ) r F - - - ~ - " ~ '

so da6 wir nut den leicht zu bes~tigenden Satz anzuwenden haben, dab das (geeignet definierte) geometrische Mittel zweier komplexer Zahlen u~, u.,, die der gleichen Halbebene

angehSren, ebe~fall.q in dieser Halbebene enthalten ist~5). Um nun die Unabhi~ngigkeit der Ungleichungen a) bzw. b) bzw. c)

von b), c), d) bzw. von c), d) bzw. yon d) einzusehen, geniigt es nach dem eben Bewiesenen offenbar festzustellen, dal~ a) von b), b) yon c), c) von d) unabh~ingig ist.

1. Wit setzen zun~chst

/ ~ ( z ) z l~l-z ~

Dann ist zF'(z) 1 (zF'(z))' _ _ lq-2z a ?(z) - - l -z"- ' F'(z) 1-z"- '

so dad3 b)erf i i l l t ist, a) dagegen nicht, da der letzte Ausdruck fiir z ~ - i den Weft -- �89 annimmt.

2. Weiter setzen wit

1 l + z 1 z F(Z) = ~log l ~ z + 2 1--z~ = Z + . . . .

Dann ist

also c) erfiillt.

(z) -- 1 -- z ~'

b) ist jetzt nieht riehtig, da

z F'(z) -~- 4 1 F(z) (l-z~-) * 1_ l + z 2

z l~ ~---~ + l_z~

~) Dies folgt aus der Konvexit~t dee Bfldbereiches yon 3t u ~ �89 bei der Ab- 1

bfldung u t = l o g u , was wiederum rait der ZugehSrigkeit yon log 1-=~ z = - - l o g ( l - - z ) zu ~ gleichwertig ist.

64 A. M~-x.

flit z = i den Weft 1 1

erh~ilt.

3. Schliel~lich gilt flit die Funktion

F ( z ) =

die Ungleichung d), nicht abet c), da

fiir z = i verschwindet. Damit sind unsere Behauptungen vSllig bewiesen.

(69)

und

(70)

sehlieBlich

(71)

w

Weitere Folgerungen aus Satz C.

1. Na~h Satz C ist flit eine beliebige Funktion F(z) der Klasse die Ftmktioa

qb (z) = 2 F(~) _ 1

flit [z I < 1 yon positivem Re~lteil. Man kann sie also als die Grenz- hmktion einer Folge yon rationalen Ftmktionen der Form

(68) qs* (z) = 2 ----F*(z)z 1 ~ - ~ g, l - e , z ,=1 .=1 I ,1= 1

darstellen, wobei die Folge in jedem Kreise !z [ ~ r, r < 1, gleichm~id~ig konvergiert. Fiir F*(z) folgt aus (13)

g~ F*(z)-~ Z Z l_e,,z

. I

( l -* ,z)~ '

( l ~ , z ) ~ "

Die Folge. der qb*(z) bow. F*(z) entsprechenden Funktionen f*(z) kon- vergi~t gegen eiae Ftmktion f(z) der Klasse ~t , uad umgekehrt ist jede Funldyion f(z) yon ~ t in dieser Weise darstellbar.

Sehlichte Abbildungen. 65

Um die B o g e n l g n g e L(r) der Bilder der Kreise Izl=r.< 1 bei den Abbildtmgen aus ~ bzw. S t abzuschiitzen, geniigt es, dies flit die eben eingefiihrten rationalen Funktionen zu tun. Man hat

L(r) F*'(re'~)lrdq~= (1-~re'~)'- rdq~ (z=re i~) 0 0 . =

< g, [ 1 - - e , r e ~ l 2 '

d . h . 2 ~

f d~ 2 z r (72) L(r) ~ r = o il-rei~]~" 1--r"

und entspreehend erh~lt man

2 ~

(73) L(r) < r J -- ~t+--Sre'---~: dq~ o ' l - r e * ~ 1 3

(flit die Klasse ~) ,

(fiir die Klasse S t ) .

Diese Schranken lassen sich nicht verbessern, da sie von den Funktionen (16) bzw. (15) erreicht werden.

Die Ungleichung (72) besagt, dal~ die Bogenl~nge der Kreislinie i z[ = r < .1 bei der Abbildung w-~ f(z) aus K hSchstens im Verhiiltnis l : ( 1 - - r : ) vergr61~ert wird. (73) zeigt, dab bei der Klasse S t die Bogen- liinge L (r) (fiir r--~ 1) hSchstens wie 1:(1 -- r) "~ unendlich wird. Der Vet. zerrungssatz (4) wiirde

2. Wie bereits in Herr Bieberba~h, dab bildungen aus S t die

nur 1 : (1 -- r) 3 liefernZ6).

der Einleitung (S. 46) erwiihnt wurde, vermutet bei der Abschiitztmg der Drehung fiir die Ab- Funktionen (15) die scharfen Sehranken liefern.

~) Wie Herr Szeg5 bemerkt hat, kann die Bogenliinge L (r) auch bei den Funktionen der Klasse ~ nicht starker unendlich werden Ms 1 : ( 1 - r ) e. Dies folgt aus einer bekannten yon Herrn J. E. Littlewood (0n inequalities in the theory of functions, Proc. of the London Math. Soc. (2) 23 (1924), S. 481-519, insbes. S. 498, Theorem 20) herriihrenden Abschgtzung des sog. Hardyschen Mittelwertes fiir. die Funktionen aus ~ , im Verein mit der oberen Abschittzung (34). Man erhiilt so

2 ~ 2:*

r f " ( r e '~) L ( r ) = r f [ f ' ( r e " ) ] d q ~ = f [f(re'~) ~ dq~

o o 2~t

l q - r f 1 - I - r . r 4~ < 1 - r 3 if(re '~) I d~ < i - : ~ i - - r < ( l~) ' -"

0 Mattmmatisehe Amaalen. 107. 5

66 A.-Mazx.

Wit wollen diese Vermutung dahjn erweitera, dall die Funktion

Z t

(l-z)

flit die Ableitung f '(z) tier Funktionen der Klasse ~ t die genauen Bfld- schr~nl~en liefert. Als Begriindung mSge ]tier einerseits die Bemerkung dienen, da~, falls eine solche Funlction in der Klasse ~ t iiberhaupt existiert, diese nut die Fnn~ion (15) sein kann, da diese bereits das Maximum und Minimum des Betrages annlmult, was ~ die Bildschrankeneigenschaft not- wendig ist. Andererseits zeigen wit, dal~ diese Funktionen die erw~,hnte Rolle jedenfaUs in einem Teflbereieh yon I z ! < 1 spielen, mad zwar sicher in dem Kreise I z ! ~ e < 1, clessen Inheres yon der Funktion

l + z (1 -z)~

sehlieht mad konvex abgebildet wird. Die Existenz einer derartigen Kreis: seheibe liegt auI der Hand. Die Riehtigkeit der Behanptung folgt ma- mittelbar aus (71), da die Funktionen auf der reehten Seite von (71) nut

Wert~ aus der konvexen Hiille des Wertevorrats von l+r#~ ffir Izl~_~r (1-rei~) 8

annehmen. Fiir J, zl___< ~ erreicht dann auch der Ausdruck

! arg f'(z) !

bei den Funktionen (15) sein Maximum. Dies ist indessen aueh noch auf jedem Kreise ]z l= r < 1 der Fall, auf dem

l+z (74) ____ 0 gilt. Wegen

arg 1 + r e ~ I < 4 arc sin r I ( 1 - r ~ % * ! =

ist (74) fiir jeden Weft z mit ]z I = r < 1 erfiillt, fiir den

d.h,

ist.

4 arc sin r < ~-,

= sm~ = 0,382 ...

3. Ffir die Ahschnitte der Funktionen --,F(z) F'(z) =__,f(z) if(z) ~f. l a ~ n sieh Bildsch~-l~en ~ngeben, die in gewi~.~n Teil~eisen yon I zt < 1 dm:eh keine b e . ~ e n ersetzt werden k6nnem Bezeietmen wit niim- lich mit B~(z) den n-ten Abschnitt yon $'(z), mit s,(z) den n-ten Ab-

Schlichte Abbildungen. 67

schnitt yon f ( z ) ( n = 2 , 3 . . . . ) usf., so liefert der auf S. 46 zitierte Satz yon Herrn RogosinskV 7) das iolgendo Resultat:

S.(z) Das Bild der Kreisscheibe [z[ ~ r ,< 1 bei der Abbildung w -- z

P , s,,(z) bzw. w = s,~(z) usf. liegt in der konvexen Hiille bzw. w = S n ( z ) = z

des Bildes dieses Kreises, das yon dem Polynom

(75) w = l + z + z ~ ' q - . . . ~- z " - t

bzw.

(76) w ~- 1 ~- 2z-J- 3z ~ -~ . . . + n z " - 1

bzw.

(77) w = 1 q- 4 z ~, 9 z ~ -q - . . . -q- nO'z " - I

usf. entworfen wird. Diese Schranken sind jedenfalls fiir solehe Werte z ( i z i ~ r < 1) genat~ fiir die die aarch das eolynom (75) bzw. (76) bzw. (77) usf. bewirkte Abbildung yon i z! ~ r konvex ausf~llt.

a') Bzw. eine sinngemRBe Ubertragung dieses Satzes auf iihnliche Funktionen- typen.

(Eingegangen am 27. 11. 1931.)