Теорія графів

ПланВступ...............................................2

Основні поняття і терміни теорії графів.............2

Застосування теорії графів.........................12

Соціальні мережі.................................12

Когнітивні карти.................................14

Моделі представлення знань. Семантичні мережі... .15

Висновки...........................................17

Контрольні запитання...............................18

Список літератури..................................19

Вступ

Виникненнчя теорії графів сягає 1736 року, коли ЛеонардЕйлер опублікував розв’язок «задачі про кенігсберзькімости». Хоча використання терміну «граф» почалося тількиу ХХ столітті.З розвитком обчислювальної техніки та обчислювальнихметодів теорія графів стала повноцінною дисципліноювходячи у склад предмету дискретної математики аботеоретичних основ інформатики. Методи математикивикористовувалися не тільки у фізиці, а й активно почалипроникати в інші дисципліни та сфери людської діяльності.Одним із інструментів проникнення є теорія графів. Своє застосування графи знайшли у політичних науках ідотичних до політології, як соціологія, психологія,теорія управління, теорія комунікації, теорія інформації,економіка тощо. У розділі коротко подаються основні поняття і термінитеорії графів, задачі і галузі застосування. В кінцірозділу наводиться перелік питань для самоконтролю.

Основні поняття і терміни теорії графів.

Перш, ніж розпочати огляд термінології, введемо поняттямножини.

Множина — це сукупність однотипних оєктів, елементів.Позначається великими латинськими літерами (A, B, M, N,…), а елементи множини маленькими (a, b, m, n, …).Множина може бути скінченною або нескінченною.

Порожня множина не має жодного елемента. Вираз означає,що елемент a належить множині B. Всі елементи множини M єтакож елементами множини N записується виразом .Операції над множинами і детальніше про множини див.[16].

Нехай V деяка непорожня скінченна множина, а Е множинавсіх двоелементних підмножин (невпорядкованих пар різнихелементів) множини V. Графом (неорієнтованим графом) Gназивається пара множин (V,E).

Елементи множини V називаються вершинами графа G, а елементимножини E ребрами графа G.

Традиційно ребра неорієнтованого графа записуються малимилатинськими літерами е1, е2, … як елементи множини Е, або задопомогою круглих фігурних дужок з елементами множини V,які утворюють ребро {v,w}, оскільки порядок вершиннеістотний.

Граф, який складається з однієї вершини, називаєтьсятривіальним.

Нехай задано граф G =(V,E ). Якщо {v,w}Е, то кажуть, що вершиниv i w є суміжними, у протилежному випадку вершини v i w єнесуміжними. Якщо е=(v,w) — ребро графа, то вершини v i wназиваються кінцями ребра е. У цьому випадку кажуть також,що ребро е з’єднує вершини v i w. Вершина v і ребро еназиваються інцидентними, якщо v є кінцем е.

Два ребра суміжні, якщо вони мають спільну вершину.Одним зі способів задання графа G =(V,E ) є задання кожної з

множин V і E за допомогою переліку їх елементів.Приклад. Граф G1=(V1,E1), V1={v1,v2,v3,v4} і E1={(v1,v3), (v1,v4),

(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4)} — це граф із чотирма вершинами іп’ятьма ребрами.

Граф G =(V,E ) зручно зображати графічно. Вершинам графа G єточки площини; точки, що відповідають вершинам v i w,з’єднуються лінією, коли v i w суміжні вершини.

Приклад. На рис. 1 зображений графічно граф G1 з попередньогоприкладу.

G1

Рис. 1.

Графи можна задавати також за допомогою матриць,занумерувавши всі вершини графа G натуральними числамивід 1 до n. Матрицею суміжності A графа G називаєтьсяквадратна nхn-матриця, в якій елемент aij i-го рядка і j-гостовпчика дорівнює 1, якщо вершини vi та vj з номерами i таj суміжні, і дорівнює 0 в іншому випадку.

v1

v3

v2

v4

Приклад. Для графа G1

A1=0011001111011110

Очевидно, що матриці суміжності графів симетричні.Занумеруємо всі вершини графа G числами від 1 до n і всі

його ребра числами від 1 до m. Матрицею інцидентності Bграфа G називається nхm-матриця, в якій елемент bij i-горядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершина vi зномером i інцидентна ребру ej з номером j, і дорівнює 0 упротивному разі.

Приклад. Для графів G1

B1=11000001101010101011

Ще одним способом завдання графів є списки суміжності. Кожнійвершині графа відповідає свій список. У список, щовідповідає вершині v, послідовно записуються всі суміжніїй вершини.

Приклад. Для графів G1 маємо список G1: v1: v3,v4 v2: v3,v4 v3: v1,v2,v4 v4: v1,v2,v3 Граф G1=(V1,E1) називається підграфом графа G =(V,E ), якщо

V1 V i E1 E.Важливі класи підграфів складають підграфи, які отримуються

в результаті застосування до заданого графа операціївилучення вершини і/або операції вилучення ребра.

Операція вилучення вершини v з графа G =(V,E ) полягає увилученні з множини V елемента v, а з множини E всіхребер, інцидентних v.

Операція вилучення ребра e з графа G =(V,E ) це вилученняелемента e з множини E. При цьому всі вершинизберігаються.

Графи називаються ізоморфними, якщо вони відрізняютьсяфактично лише ідентифікаторами (іменами) своїх вершин.

Степенем (v) вершини v називається кількість ребер,інцидентних вершині v.

Вершина степеня 0 називається ізольованою, а вершина степеня1 кінцевою (або висячою) вершиною.

У будь-якому графі G =(V,E ) (v)=2|E |.

Справедливість цього твердження випливає з того, що кожнеребро графа інцидентне двом вершинам і, значить, у сумустепенів усіх вершин воно вносить дві одиниці.

У будь-якому графі G =(V,E ) кількість вершин непарного степеня парна.

Маршрутом (або шляхом) у графі G =(V,E ) називаєтьсяпослідовність

v1, e1, v2, e2, … , ek, vk +1

вершин vi і ребер ei така, що кожні два сусідні ребра вцій послідовності мають спільну вершину, отже, ei=(vi,vi +1),i=1,2,…,k. Вершина v1 називається початком шляху, а вершинаvk +1 кінцем шляху. Всі інші вершини цього шляхуназиваються проміжними, або внутрішніми, вершинами.

Кількість k ребер у маршруті називається довжиноюмаршруту. Кажуть, що цей маршрут з’єднує вершини v1 і vk +1

або веде з вершини v1 у вершину vk +1.Маршрут, в якому всі ребра попарно різні, називається

ланцюгом. Маршрут, в якому всі проміжні вершини попарнорізні, називається простим ланцюгом.

Маршрут v1, e1, v2, e2, … , ek, vk +1 називається замкненим(або циклічним), якщо v1=vk +1. Замкнений ланцюг називаєтьсяциклом, а замкнений простий ланцюг простим циклом.

Граф, усі ребра якого утворюють простий цикл довжиниn, позначається Cn.

Граф називається зв’язним, якщо будь-яка пара йоговершин може бути з’єднана деяким маршрутом.

Компонентою зв’язності (або зв’язною компонентою) графа Gназивається його зв’язний підграф такий, що він не євласним підграфом жодного іншого зв’язного підграфа графаG.

Відстанню між вершинами v і w зв’язного графа(позначається d (v,w)) називається довжина найкоротшогопростого ланцюга, що з’єднує вершини v і w.

Для будь-яких вершин v,w,  uV виконується 1) d (v,w)  0; d (v,w)=0 тоді і тільки тоді, коли

v = w; 2) d (v,w)=d (w,v); 3) d (v,w)  d (v,u)+d (u,w).

Ексцентриситетом e(v) довільної вершини v зв’язногографа G =(V,E ) називається найбільша з відстаней міжвершиною v і всіма іншими вершинами графа G, тобто e(v)=

{d(v,w)}.Діаметром зв’язного графа G (позначається D (G ))

називається максимальний з усіх ексцентриситетів вершинграфа G. Мінімальний з усіх ексцентриситетів вершинзв’язного графа G називається його радіусом і позначаєтьсяR (G ).

Вершина v називається центральною, якщо e (v)=R (G ).Центром графа G називається множина всіх йогоцентральних вершин.

Вершини v i w графа G називаються зв’язаними, якщо в G існуємаршрут, що з’єднує v і w.

Для різних практичних застосувань теорії графів важливою єпроблема систематичного обходу (перебору) всіх вершині/або ребер графа. Двома класичними методами розв’язанняцих проблем є: метод пошуку (обходу графа) вшир та методпошуку (обходу графа) вглиб.

Алгоритми, які шукають шляхи найменшої вартості називаютьсяалгоритмами пошуку найкоротших шляхів. Вони описані в[2,7,8].

Граф без циклів називається ациклічним.Ациклічний зв’язний граф називається деревом.Довільний ациклічний граф називається лісом. Дерева це особливий і дуже важливий клас графів. Особлива

роль дерев визначається як широким їхнім застосуванням урізних галузях науки і практики, так і тим особливимположенням, яке дерева займають у самій теорії графів.Останнє випливає з граничної простоти будови дерев. Частопри розв’язуванні різних задач теорії графів їхнє

дослідження починають з дерев. Зокрема, порівнюючинескладною є проблема перевірки ізоморфності дерев.

Існують й інші, рівносильні наведеному, означення дерева,які можна розглядати як характеристичні властивостідерева.

Для графа G  =(V,E ), |V |=n, |E |=m такі твердженнярівносильні:

1) G дерево (ациклічний зв’язний граф);2) G зв’язний граф і m =n 1;3) G ациклічний граф і m = n 1;4) для будь-яких вершин v і w графа G існує лише один

простий ланцюг, що з’єднує v і w ;5) G ациклічний граф такий, що коли будь-які його несуміжні

вершини v i w з’єднати ребром (v,w), то одержаний графміститиме рівно один цикл.

Кістяковим (каркасним) деревом зв’язного графа G =(V,E )називається дерево T = (V,ET) таке, що ET   E.

Кістяковим (каркасним) лісом незв’язного графа G =(V,E )називається сукупність кістякових (каркасних) деревзв’язних компонент графа G.

Для зв’язного графа G =(V,E ) можна вказати |E ||V |+1ребро, після вилучення яких отримаємо кістякове деревографа G.

Нехай граф G =(V,E ) має k компонент зв’язності. Дляотримання його кістякового лісу з графа G необхідновилучити |E | |V |+k ребер.

Число |E | |V |+k називається цикломатичним числом графа G іпозначається (G ).

Лема. 1). Для довільного графа G виконується (G )  0.2). Граф G є лісом тоді і тільки тоді, коли (G ) = 0.3). Граф G має рівно один простий цикл тоді і тільки тоді,

коли (G )=1.4). Кількість циклів у графі G не менша ніж (G ).

Граф називається плоским, якщо його діаграму можна зобразитина площині так, що лінії, які відповідають ребрам графа,не перетинаються (тобто мають спільні точки тільки у

вершинах графа). Таке зображення називається плоскоюкартою графа.

Граф називають планарним, якщо він ізоморфний деякомуплоскому графу.

Наприклад, граф, зображений на рис. 2.а, планарний, оскількивін ізоморфний графу, зображеному поруч. Простий цикл,дерево і ліс це також планарні графи.

Очевидними є такі твердження.1). Будь-який підграф планарного графа є планарним.2). Граф є планарним тоді і тільки тоді, коли кожна його

зв’язна компонента планарний граф.Про планарні графи кажуть, що вони укладаються на площині або

мають плоске укладання.

а) б)Рис. 2.

Жордановою кривою будемо називати неперервну лінію, яка неперетинає сама себе. Гранню плоского графа назвемомножину точок площини, кожна пара яких може бути з’єднанажордановою кривою, що не перетинає ребер графа. Межеюграні будемо вважати замкнений маршрут, що обмежує цюгрань.

На рис. 3 зображено плоский граф із п’ятьма гранями.v13

v14

v3

v2v

1

v4

v5

v6

v10

v8

v9

v11

v12

v71 2

3

5

4

Рис. 3. ([9])

Отже, плоский граф розбиває всю множину точок площини награні так, що кожна точка належить деякій грані.Відзначимо, що плоский граф має одну, причому єдину,необмежену грань (на рис.3 це грань 5). Таку грань будемоназивати зовнішньою, а всі інші внутрішніми гранями.

Множину граней плоского графа позначатимемо через P.Степенем грані r називатимемо довжину циклічного шляху, що

обмежує грань r (тобто довжину межі грані r );позначається r.

Теорема Ейлера. Для будь-якого зв’язного плоского графаG =(V,E ) виконується рівність

|V ||E |+|P |=2.При дослідженні плоских графів особливе місце займають графи

K5 i K3,3, зображені на рис. 4.

K5 K3,3

Рис. 4.

Теорема. Графи K5 i K3,3 не є планарними.Значення графів K5 i K3,3 полягає в тому, що всі інші

непланарні графи містять у собі підграфи "подібні" до K5

або K3,3. Характер цієї подібності розкривається задопомогою таких понять.

Елементарним стягуванням графа G =(V,E ) називаєтьсявилучення в графі G деякого ребра (vi,vj)E і злиття вершинvi i vj в одну вершину v, причому v інцидентна всім тимвідмінним від (vi,vj) ребрам графа G, які були інцидентніабо vi , або vj.

Кажуть, що граф G стягується до графа G , якщо G  можнаотримати з G за допомогою послідовності елементарнихстягувань.

Приклад. На рис. 5 зображено графи G i G , при цьому Gстягується до G .

G G Рис. 5.

Наведемо важливу теорему теорії графів.Теорема Куратовського. Граф G є планарним тоді і тільки тоді,

коли він не містить підграфів, що стягуються до K5 абоK3,3.

Нехай G =(V,E ) довільний граф, а Nk={1,2,...,k }.Будь-яке відображення f :V  Nk, яке ставить у відповідність

кожній вершині v V деяке натуральне число f (v) Nk,називається розфарбуванням графа G. Число f  (v) називаєтьсякольором або номером фарби вершини v.

Розфарбування f графа G називається правильним, якщо для будь-яких його суміжних вершин v і w виконується f  (v)  f (w).

Мінімальне число k, для якого існує правильне розфарбуванняграфа G, називається хроматичним числом графа G іпозначається (G ).

Мінімальним правильним розфарбуванням графа G називаєтьсяправильне розфарбування для k=(G ).

Справедливими є такі твердження.Якщо кожна зв’язна компонента графа G потребує для свого правильного

розфарбування не більше k фарб, то (G )k.Граф є біхроматичний тоді і тільки тоді, коли він не має циклів непарної

довжини.Важливими є результати, які дозволяють оцінити значення

хроматичного числа (G ), виходячи з певних характеристикта властивостей графа G.

Теорема. Позначимо через (G ) найбільший зі степенів вершинграфа G, тоді (G )  (G )+1.

Як наслідок, для правильного розфарбування довільногокубічного графа достатньо чотири фарби.

Так склалося історично, що окреме місце в теорії графівзаймають дослідження з розфарбування планарних графів.

Пов’язано це зі славетною проблемою або гіпотезою чотирьохфарб.

Грані плоскої карти назвемо суміжними, якщо їхні межі маютьпринаймні одне спільне ребро.

Гіпотеза чотирьох фарб виникла у зв’язку з розфарбуваннямдрукованих географічних карт (звідси й термін "плоскакарта") і формулювалась так:

“Грані довільної плоскої карти можна розфарбувати не більше ніжчотирма фарбами так, що будь-які суміжні грані матимуть різнікольори”.

Згодом з’явилось інше, рівносильне, формулювання гіпотезичотирьох фарб.

Для правильного розфарбування вершин довільного планарного графапотрібно не більше чотирьох фарб.

Справедливі наступні твердження.Теорема. Планарний граф є біхроматичний тоді і тільки тоді,

коли степені всіх його граней парні.Теорема. Для правильного розфарбування довільного планарного

графа потрібно не більше шести фарб.Початок теорії графів пов’язують із задачею про

кенігсберзькі мости. Сім мостів міста Кенігсберга булирозташовані на річці Прегель так, як зображено на рис.6,а.

а)б)

Рис. 6. ([9])

Задача полягає в тому, чи можна, починаючи з будь-якої точки(А,B,C або D), здійснити прогулянку (обхід) через усімости так, щоб пройти кожен міст тільки один раз іповернутися у вихідну точку.

C

A D

B

Оскільки суттєвими є тільки переходи через мости, то планміста можна зобразити у вигляді графа G , вершинами якогоє береги і острови (точки А,В,С і D), а ребрами мости(див. рис. 6,б). Тоді задачу про кенігсберзькі мостиможна мовою теорії графів сформулювати таким чином: чиіснує в графі G цикл, який містить усі ребра цього графа?Інше відоме формулювання цієї проблеми виглядає так: чиможна намалювати фігуру, що зображає граф G, невідриваючи олівця від паперу і не повторюючи ліній двічі,почавши і закінчивши цю процедуру в одній з вершинфігури? Вперше відповідь на це питання дав Л.Ейлер у 1736році. Робота Ейлера, яка містить цей розв’язок,вважається початком теорії графів.

Цикл, який містить усі ребра графа, називається ейлеровимциклом. Зв’язний граф, який має ейлерів цикл, називаєтьсяейлеровим графом.

Теорема Ейлера. Зв’язний граф G є ейлеровим тоді і тількитоді, коли степені всіх його вершин парні.

Оскільки для графа G з рис. 6,б умови теореми Ейлера невиконуються, то в задачі про кенігсберзькі мостивідповідь негативна.

Якщо G ейлерів граф, то будь-який його ейлерів циклнеєдиний і відрізняється від інших ейлерових циклів графаG принаймні або зміною початкової вершини і/або зміноюпорядку проходження.

Для знаходження деякого ейлерового циклу в ейлеровому графіG можна застосувати так званий алгоритм Фльорі.

Існує ще один різновид обходу графа, який має різноманітніпрактичні застосування і називається гамільтоновимциклом. Простий цикл, який проходить через усі вершиниграфа, називається гамільтоновим циклом. Граф називаєтьсягамільтоновим, якщо він має гамільтонів цикл.

У теорії досліджуються й інші типи графів. Наприклад,мультиграф граф, в якому припускаються кратні ребра,тобто будь-які дві вершини можна з’єднати декількомаребрами. Псевдограф мультиграф, який може мати петлі,тобто ребра, що з’єднують вершину саму з собою. Гіперграф граф, в якому ребрами можуть бути не лише двоелементні,але довільні підмножини множини вершин. Нарешті, важливою

для різноманітних практичних застосувань є модель, яканазивається орієнтованим графом або орграфом.

Орієнтованим графом, або орграфом, G називається пара множин(V,E ), де Е V V. Елементи множини V називаються вершинамиорграфа G, а елементи множини Е дугами орграфа G  =(V,E ).Отже, дуга це впорядкована пара вершин. Відповідно, Vназивається множиною вершин і Е множиною дуг орграфа G.

Якщо е= (v,w) дуга, то вершина v називається початком, авершина w кінцем дуги е. Кажуть, що дуга е веде з вершини v увершину w або виходить з v і заходить у w. Дугу е і вершини vта w називають інцидентними між собою, а вершини v i wсуміжними.

Дуга (v,v), в якій початок і кінець збігаються називаєтьсяпетлею. Надалі розглядатимемо тільки орграфи без петель.

Як і звичайний граф, орграф G =(V,E ) може бути заданийшляхом переліку елементів скінченних множин V i E,діаграмою або за допомогою матриць.

Діаграма орграфа відрізняється від діаграми звичайного графатим, що дуги орграфа зображаються стрілками ,що йдуть відпочатку до кінця дуги.

Пронумеруємо всі вершини орграфа G =(V,E ) натуральнимичислами від 1 до n; одержимо множину вершин V у вигляді{v1,v2,...,vn}. Матрицею суміжності А орграфа G називаєтьсяквадратна матриця порядку n, в якій елемент і-го рядка і j-го стовпчика

1, якщо (vi,vj)E ;aij =

0, у протилежному випадку.

Занумеруємо всі вершини орграфа G =(V,E ) числами від 1 до n,а дуги числами від 1 до m. Матрицею інцидентності Ворграфа G називається nm-матриця, в якій елемент і-горядка і j-го стовпчика

1, якщо вершина vi є початком дуги ej ; bij = 1, якщо вершина vi є кінцем дуги ej ;

0, якщо вершина vi і дуга ej неінцидентні.

Півстепенем виходу вершини v (позначається +(v)) орграфа Gназивається кількість дуг орграфа G, початком яких євершина v. Півстепенем заходу вершини v (позначається —(v))

орграфа G називається кількість дуг орграфа G, кінцем якихє вершина v.

Теорема. Для будь-якого орграфа G =(V,E ) виконуються рівностіv V

+(v) = v V

—(v)= |E |.Значна частина властивостей та тверджень стосовно звичайних

графів може бути без змін сформульована і для орграфів.Зокрема, це стосується цілих розділів, таких, наприклад,як планарність або розфарбування графів, в яких наявністьорієнтації ребер не є суттєвою. Певні особливості возначеннях, постановках задач та методах їх розв’язуваннявиникають при дослідженні проблем, пов’язаних змаршрутами, зв’язністю, обходами графів тощо.

Маршрутом або шляхом в орграфі G =(V,E ) називаєтьсяпослідовність його вершин і дуг

v1, e1, v2, e2, … , ek, vk +1

така, що ei = (vi,vi +1), i=1,2,...,k. Кажуть, що цей маршрут веде звершини v1 у вершину vk +1. Число k дуг у маршруті називаєтьсяйого довжиною.

Маршрут, в якому всі дуги попарно різні, називаєтьсяланцюгом. Маршрут, в якому всі вершини попарно різні,називається простим ланцюгом. Маршрут називається замкненим(або циклічним), якщо v1=vk +1. Замкнений ланцюг називаєтьсяциклом, а замкнений простий ланцюг простим циклом, абоконтуром.

Орграф називається ациклічним (або безконтурним), якщо він немає жодного циклу.

Якщо існує маршрут, який веде з вершини v у вершину w, токажуть, що вершина w є досяжною з вершини v. У цьомувипадку відстанню d (v,w) від вершини v до вершини wназивається довжина найкоротшого маршруту, що веде з v y w.Відстань між вершиною v i вершиною w, яка є недосяжною з v,позначається символом .

Повним орграфом (або турніром) називається орграф G, в якомубудь-які дві вершини є інцидентними одній і тільки однійдузі орграфа G.

Для повних орграфів справедливі такі твердження:У будь-якому повному орграфі завжди є принаймні одне джерело і

принаймні один стік.

У будь-якому повному орграфі існує простий ланцюг, який приходить черезусі вершини орграфа.

Послідовність v1, e1, v2, e2, … , ek, vk +1 називається напівмаршрутом,якщо при побудові ігноруємо орієнтацію дуг орграфа.Аналогічно означаються напівланцюг, напівцикл і напівконтур.

Орграф називається сильно зв’язним, якщо будь-які дві йоговершини є досяжними одна з одної. Орграф називаєтьсяоднобічно зв’язним, якщо для будь-яких двох його вершинпринаймні одна з них є досяжною з іншої. Орграфназивається слабо зв’язним, якщо для будь-яких двох йоговершин існує напівмаршрут, що веде з однієї вершини віншу.

Маршрут в орграфі G назвемо кістяковим, якщо він містить всівершини орграфа G. Сформулюємо необхідні та достатніумови для кожного з типів зв’язності.

Теорема. Орграф є сильно зв’язним тоді і тільки тоді, коливін має замкнений кістяковий маршрут.

Теорема. Орграф є однобічно зв’язним тоді і тільки тоді, коливін має кістяковий маршрут.

Теорема. Орграф є слабо зв’язним тоді і тільки тоді, коли вінмає кістяковий напівмаршрут.

Орграф, у якому є джерело і немає жодного напівконтура,називається кореневим деревом. Вхідне дерево це орграф, якиймає стік і не має жодного напівконтура.

Орграф називається функціональним, якщо кожна його вершина маєпівстепінь виходу, рівний 1. Орграф називаєтьсяін’єктивним, якщо півстепінь заходу кожної його вершинидорівнює 1.

Ейлеровим контуром в орграфі G називається контур, що міститьвсі дуги орграфа G. Ейлеровим орграфом називається орграф, уякому є ейлерів контур. Ейлеровим ланцюгом називаєтьсяланцюг, що містить усі дуги орграфа.

Гамільтоновим контуром називається контур, що містить усівершини орграфа. Орграф, який має гамільтонів контур,називається гамільтоновим орграфом. Простий ланцюг, щомістить всі вершини орграфа, називається гамільтоновим.

Застосування теорії графівГраф є математичною моделлю найрізноманітніших об’єктів,

явищ і процесів, що досліджуються і використовуються внауці, техніці та на практиці. Коротко опишемонайвідоміші застосування теорії графів, які мають хоча бмінімальне значення дотичне до політології.

Наприклад, у вигляді графа можуть бути зображені: транспортні мережі; інформаційні мережі; карти автомобільних, залізничних і повітряних шляхів, газо-

і нафтопроводів; моделі ігор; генеалогічні дерева тощо.Приклади застосування теорії графів: знаходження циклів графів (когнітивні карти): гамільтонів цикл: обійти всі вершини графа, побувавши в

кожній з них лише один раз (задача комівояжера); ейлерів цикл: обійти всі ребра (контроль дієздатності

мережі); фарбування графів: розфарбування географічних карт,

укладання розкладів, розміщення ресурсів тощо (політичнікарти, геоінформаційні системи);

знаходження центрів графа: вершин, максимальна відстань відяких до всіх інших вершин графа є мінімальною (“столиць”)

тощо.

Соціальні мережі.

У суспільних, політичних процесах важливе місце займаєфактор комунікації. Часто постає проблема побудовимоделей поширення інформації між індивідами суспільства.Для простоти можна вважати, що кожен індивід, якийволодіє певною інформацією, передає її двом, трьом абобільше індивідам. Кількість власників цієї інформаціїзростатиме у геометричній прогресії. Розв’язок такоїзадачі є очевидним. Для адекватності моделі необхідноврахувати той випадок, що є особини суспільства, яківолодіють інформацією з альтернативних джерел, а інші, здеяких причин, не зможуть нею володіти. Процес

комунікації вже буде нелінійним. Існує ряд іншихприхованих факторів, які призводять до утворення стійкихоб’єднань носіїв інформації.

Соціальна мережа (англ. social network) — соціальна структура(математично — граф), яка складається з групи вузлів,якими є соціальні об’єкти (люди чи організації), ізв’язки між ними (соціальні взаємозв’язки). Фактичнозасновником аналізу соціальних мереж вважаютьамериканського соціолога Якоба Леві Морено [1], якийдосліджував взаємозв’язки між людьми, створюючисоціограми. Сам термін був введений у 1954 роцісоціологом «Манчестерської школи» Джеймсом Барнсом.

Одним з найважливіших прикладів аналізу соціальних мереж єексперимент американського соціолога Марка Грановеттера(1970), який довів [3], що для багатьох задач (напр.пошук роботи, передвиборча агітація, …), слабкі зв’язки єефективніші за сильні (феномен «малих світів»). Длястійкості соціальної мережі велике значення маютьіндивіди, через яких проходить великий масив інформації,це експерти, інформаційні оператори та ін. Дослідженнядзвінків користувачів мобільних телефонів англійськимивченими довели, що якщо вилучити з мережі сильні зв’язки,то мережа збереже свою цілісність завдяки слабимзв’язкам. В протилежному випадку, забравши слабі зв’язки,семантична мережа розпадеться на менші під мережі.

Незважаючи на великі розміри соціальних мереж, існуєпорівняно мала відстань між буд-якими вузлами мережі. Доцього висновку прийшов американський психолог СтенліМілграм (1967), який стверджував, що «всього шістьрукостискань відокремлює його від аборигена Австралії»[2]. Пізніше було доведено [4], що середня відстань міжбудь-якими вузлами мережі зростає як логарифм відзагальної кількості вузлів.

Для аналізу соціальних мереж використовуються кількісні таякісні характеристики, які визначаються з допомогоюматематичного апарату теорії графів. Визначимо деякіпоняття.

Шлях між вузлами мережі — це послідовність вершин і ребер,які зв’язують дві вершини. Відстань між вузлами –

кількість кроків від одної вершини до іншої. При аналізісоціальних мереж методами теорії графів виділяють задачіобчислення параметрів окремих вузлів, обчисленняпараметрів мережі, виокремлення мережевих підструктур.

Для окремих вузлів виділяють наступні параметри [6]:1. Вхідна степінь вузла – кількість вхідних

ребер графа;2. Вихідна степінь вузла – кількість вихідних

ребер графа;3. Відстань між двома вибраними вузлами;4. Середнє значення відстані від будь-якого до

інших вузлів;5. Ексцентриситет – найбільша відстань від

вузла до решти;6. Центральність – загальна кількість зв’язків

даного вузла відносно інших;

Загальні параметри мережі:1. Кількість вузлів;2. Кількість ребер;3. Густина – відношення кількості ребер до можливої

кількості ребер в мережі з заданою кількістю вузлів;4. Кількість симетричних, транзитивних і циклічних

тріад;5. Середнє значення відстані між вузлами;6. Діаметр – найбільша відстань мережі.

Існує декілька задач стосовно соціальних мереж [7]:1. Визначення під мереж або кластерів соціальних

мереж, між якими є слабі зв’язки, а всерединікластерів присутні сильні зв’язки (див. розділ«Кластерний аналіз»).2. Виокремлення частин мережі, які не зв’язані між

собою.3. Знаходження блоків і вузлів-перемичок. Вилучення

вузла-перемички призводить до розпаду мережі нанезв’язні частини.4. Виявлення груп еквівалентних вузлів, які мають

подібні профілі зв’язків.

Когнітивні картиІсторично вперше застосування когнітивної карти у вигляді

знакового графа для аналізу слабоформалізованихпроблемних областей належить Аксельроду [8].

Знаковий граф — це граф, ребра якого мають ваги +1 або -1,де знак + позначає позитивний зв'язок, знак - позначаєнегативний зв'язок. Вага шляху дорівнює добутку ваг йогоребер, тобто позитивний, якщо кількість негативних реберу ньому парна, і негативний, якщо це кількість непарна.Детальніше про когнітивні карти див. розділ «Когнітивнікарти».

Одна з основних задач, що розв'язується у термінах знаковихграфів — це задача про стійкість. У цій задачі ребра графаінтерпретуються як деякі відносини і не обов’язковопричинно-наслідкові. Якщо відносини симетричні, тоситуація представляється неорієнтованим знаковим графом,вершини якого відповідають суб'єктам відносин.

Рис. 7. ([8])

Неорієнтований знаковий граф збалансований, якщо всі йогоцикли позитивні. З малюнка видно, що перші два графизбалансовані, третій — ні. У цьому випадку всі вершиниможна розбити на два класи так, що ребра, що з'єднуютьвершини одного класу, позитивні, а ребра, що з'єднуютьвершини різних класів, негативні. У збалансованійситуації всі суб'єкти відносин розбиті на дві коаліції,що перебувають в опозиції. Така ситуація стійка в томусенсі, що немає передумов для зміни ситуації. Прикладом єдвопартійна парламентська система в США. Якщо ситуація

стійка, то буде зберігатися й надалі, інакше будуть зміничерез додавання нових відношень (ребер) чи їх вилучення

У випадку несиметричних відносин когнітивна карта будеорієнтованим знаковим графом. Позитивний цикл — це контурпозитивного зворотного зв'язку; якщо факторам доданідеякі ваги, то збільшення ваги фактору в циклі веде дойого подальшого збільшення й, в остаточному підсумку, донеобмеженого зросту. Негативний цикл протидіє відхиленнямвід початкового стану, однак можлива нестійкість увигляді значних коливань, що виникають при проходженніпорушення по циклі. Розрізняють випадки лінійного,експонентного росту значень факторів або знакозміннийзріст значень факторів.

Використання знакових графів в моделюванні когнітивних картмає ряд недоліків, бо не враховується сила впливуфактора. Виходом з цієї ситуації може бути використанняфункціональних графів (ваги ребер мають функціональнузалежність напр. від часу), у яких параметри залежностіодержані внаслідок статистичного аналізу даних.

Моделі представлення знань. Семантичні мережі.Мережна модель подання знань — це граф, як правило,

орієнтований, вершини якого відповідають певним поняттям,сутностям, а дуги - відношенням та зв'язкам між ними[10].

Для моделювання механізму пам’яті людини базованого наасоціативному зв’язку доцільно застосовувати семантичнімережі.

Семантична мережа —- це орієнтований граф, вершиниякого – поняття, а дуги – відношення між ними. Мережнімоделі формально залежать від множини інформаційниходиниць, множини типів зв’язків між інформаційнимиодиницями, відображення, що задається між інформаційнимиодиницями, що входять у зв'язки з заданого набору типівзв'язків.

Вершини графа можуть являти собою: поняття, події,властивості.

Мітки вершин являють собою деякі імена, словаприродної мови.

Мітки дуг позначають елементи множини відношень.Незалежно від особливостей середовища, що

моделюється, можна припускати, що будь-яка більш-меншскладна його модель відображає які-небудь узагальнені,конкретні й агрегатні об'єкти.

Узагальнений об'єкт — це загальновідоме поняття, якеподає певним чином клас об' єктів проблемного середовища.

Конкретний (індивідний) об 'єкт - це певним чином виділенаодинична (індивідна) сутність.

Агрегатний об'єкт - об'єкт проблемного середовища, щоскладений певним чином з інших об'єктів, які є йогочастинами. Агрегатним може бути як узагальнений, так іконкретний об'єкт.

У термінах описаної типізації об'єктів проблемногосередовища визначаються і зв 'язки між об 'єктами.

Родовидовий зв 'язок може існувати між двомаузагальненими об'єктами (наприклад, між об'єктами«транспорт» - рід і «літак» - вид). Усі властивостіродового поняття, як правило, властиві й видовому(спадкування властивостей).

Зв 'язок «є представником» може існувати між узагальненимі конкретним об'єктами. Він має місце в тому випадку,коли конкретний об'єкт належить класу, відображуваномувідповідним узагальненим об'єктом (наприклад, конкретнийоб'єкт «Петренко» є представником узагальненого об'єкта«студент»). Множина властивостей конкретного об'єктамістить у собі підмножину властивостей, якою віннаділяється як представник тих чи інших узагальненихоб'єктів.

Зв'язок «є частиною» може існувати між агрегатнимоб'єктом і яким- небудь іншим об'єктом проблемногосередовища. При цьому, частиною конкретного агрегатногооб'єкта не може бути узагальнений об'єкт.

У семантичних мережах використовують три основні типиоб'єктів: поняття, події і властивості.

Поняття — постійні елементи предметної області(концепти) - визначають абстрактні або фізичні(конкретні) об'єкти. В природній мові - це частішеіменники.

Властивості описують характеристики понять (колір,розмір, якість та ін.), і подій (час, місце, тривалість).

Події відповідають діям, які відбуваються в предметнійобласті і подаються дієсловом.

Дуги відображають семантичні відношення, які умовноможливо розділити на чотири типи:

-лінгвістичні (час, стан, вид, вага, колір, агент,джерело, приймач та ін.);

-логічні (заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція,імплікація);

-теоретико-множинні (частина - ціле, елемент -множина, клас - підклас, підмножина, близькість та ін.);

- квантифікаційні (квантори загальності, існування,нечіткі квантори: багато, кілька, часто та ін).

Лінгвістичні відношення відображають смисловий зв'язокміж подіями, поняттями або властивостями.

Логічні відношення - це операції, що використовуються вчисленні висловлювань (диз'юнкція, кон'юнкція, інверсія,імплікація).

Теоретико-множинні відношення - це відношення частини іцілого, відношення підмножина, відношення елемент множини(приклади: зв'язки типу «це»: «АКО – A Kind Of»,спадкування: ІS-А; зв'язки «має частину»: «Has Part», «єчастиною»:«PART-OF»).

Квантифікаційні відношення - це логічні кванториспільності та існування. Вони використовуються дляподання таких знань як «будь-який двигун необхіднодіагностувати», «існує технік А, що діагностує двугун В».

У залежності від типів та характеру зв 'язків у моделівиділяють:

-Класифікаційні мережі — використовують відношенняструктуризації. Такі мережі дозволяють у базах знаньуводити різні ієрархічні відношення між інформаційнимиодиницями.

-Функціональні мережі — характеризуються наявністюфункціональних відношень. Їх часто називаютьобчислювальними моделями, тому що вони дозволяють описуватипроцедури обчислення одних інформаційних одиниць черезінші. У таких мережах дуги відбивають той факт, що

вершина, з якої йде дуга в деяку іншу вершину, граєстосовно цієї вершини роль аргументу. Опис, що відповідаєдеякій вершині, задає ту процедуру знаходженнярезультату, що відповідає даній вершині-функції.

-Сценарії - використовують каузальні відношення, атакож відношення «засіб - результат», «знаряддя - дія» іт. п.

Виділяють такі найбільш загальні види семантичних мереж:означальні, доказові, імплікаційні, виконувані, такі, щонавчаються, і гібридні.

Означальні мережі (definitional networks) підкреслюютьпідтип (subtype) або відношення «є» (is-a) між типомконцепту й підтипом, що визначається. Тутвикористовується спадкування.

Доказові мережі (assertional networks) призначені длядоказу суджень. Деякі доказові мережі використовуються якмоделі концептуальних структур, що лежать в основісемантики природної мови.

Імплікаційні мережі (implicational networks) -спеціальний різновид логічної семантичної мережі, у якійяк первинне відношення для з'єднання вузліввикористовується операція імплікація.

Виконувані мережі (executable networks) містять деякиймеханізм, на зразок передачі маркера або приєднанихпроцедур, що дозволяє здійснювати виведення, передаватиповідомлення або шукати шаблони й асоціації.

Графи потоків даних (dataflow graph) - найпростішімережі з приєднаними процедурами, що містять пасивнівузли, які містять дані, і активні вузли, які подаютьфункції, що беруть дані від вхідних вузлів і надсилаютьобчислені результати вихідним вузлам.

Мережі, що навчаються (learning networks) будують аборозширюють свої уявлення, здобуваючи знання заприкладами. Нове знання може змінювати стару мережу задопомогою додавання і видалення вузлів і дуг або зміничислових значень, називаних вагами.

Системи, що використовують мережні подання, можутьзмінювати мережі такими способами: занесення в пам'ять є

зміна ваг, реструктуризація. Прикладом навчальних мереж єнейронні мережі.

ВисновкиУ розділі було розглянуто тільки основні терміни та деякітвердження і теореми теорії графів без доведень з оглядуна те, що для їх розуміння потрібна спеціальнаматематична підготовка, зокрема з математичного аналізу,математичної логіки, лінійної алгебри. І для розуміннязастосувань в політології теорії графів є достатнє знаннялише основних термінів.

Особливе значення для політолога має факт застосуванняграфів для моделювання суспільних відносин, можливістьпрогнозування їхнього розвитку. Також когнітивнекартографування як інструмент є корисним для розумінняполітичних процесів.

Додатково, що може пригодитися для роботи політолога — цеорганізація знань у вигляді семантичних мереж на основіспецифічної предметної області, створення структурнихсхем та дерев для прийняття рішень.

З розвитком обчислювальної техніки і накопиченнямстатистичних даних теорія графів буде знаходити своєзастосування щораз більше у суспільних науках.

Контрольні запитання1. Що таке неоріентований і оріентований графи?2. Що таке ребро, дуга, петля.3. Які властивості вершин графа?4. Які вершини суміжні?5. Які ребра суміжні?6. Які ви знаєте засоби подання графів?7. Що є матриця суміжності?8. Що є степенем, напівступенем заходу і напівступенем виходу?9. Що є простий граф, мультіграф та псевдограф?10. Яка різниця між порожнім і повним графом?11. Що декларують суміжність та інцидентність, що є позітивна та

негативна інцидентність?12. Яки графи є ізоморфними?13. Що є маршрутом, довжиною маршрута?14. Що є ланцюгом, простим ланцюгом, циклом, простим циклом?15. Яка різниця між ейлеровим циклом та гамільтоновим циклом?16. Що є підграфом, яка різниця між початковою та кінцевою

вершинами?17. Що є роздільним графом, крапкою зчленування, мостом?18. Що є деревом?19. Яка різниця між ексцентрисітетом, радіусом і центром?20. Яка різниця між графом та зваженим графом?21. Як визначається цикломатичне число?22. Який граф є біхроматичним?23. Що є хроматичним числом графа?24. Що є множиною внутрішньої стійкості, що є найбільш

внутрішньо стійкою множиною?25. Яка різниця між матрицею суміжності та інцидентності?26. Що є списком суміжності?27. Як задається зважений граф з допомогою списка суміжності?28. Перелічіть типові застосування теорії графів.29. Що таке соціальна мережа?30. Що таке семантична мережа?31. Що таке знаковий граф і де він використовується?32. Який вплив мають слабі зв’язки на стан соціальної мережі.

Список літератури

1. J. L. Moreno, Who Shall Survive?, Beacon House,Beacon, NY, 1934.

2.Stanley Milgram, «The Small World Problem»,Psychology Today, 1967, Vol. 2, 60-67

3.M.Granovetter, «The Strength of Weak Ties»; AmericanJournal of Sociology, Vol. 78, No. 6., May 1973,pp 1360—1380

4.Watts D.J., Strogatz S.H. Collective dynamics of ″small-world″ networks. //Nature. - 1998. - Vol. 393. pp.440–442.

5.Shi Zhou and Raul J. Mondragon. TopologicalDiscrepancies Among Internet Measurements UsingDifferent Sampling Methodologies, Lecture Notes inComputer Science (LNCS), Springer-Verlag, no.3391, pp. 207-217, Feb. 2005.

6.Прохоров А. Социальные сети и Интернет //КомпьютерПресс. - № 10. 2007.

7.Фурашев В.Н., Ландэ Д.В., Брайчевский С.М. Моделированиеинформационно-электоральных процессов:Монография.-К.:НИЦПИ АпрН Украины, 2007. – 182стр.

8.Кузнецов О.П. Когнитивное моделирование слабоструктурированных ситуаций.http://posp.raai.org/data/posp2005/Kuznetsov/kuznetsov.html

9.Трохимчук Р.М. Теорія графів. Навчальний посібник длястудентів факультету кібернетики - К.: РВЦ“Київський університет”, 1998. - 43 с.

10. Субботін С. О. Подання й обробка знань у системахштучного інтелекту та підтримки прийняття рішень:Навчальний посібник. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. –341 с.

11. Харари Т. Теория графов.- М.,1973.12. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников

О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И.- М., 1990.13. Зыков А.А. Основы теории графов.- М., 1987.

14. Оре О. Теория графов.- М., 1980.15. Уилсон Р. Введение в теорию графов.- М., 1977.16. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд-

во ин. лит-ры., 1962. – 319 с.