Actes IAF 2013

Reseaux de preferences conditionnelleset logique possibiliste

Didier Dubois1 Henri Prade1 Faycal Touazi1

1 IRIT, Universite de Toulouse, 118 route de Narbonne, Toulousedubois,prade, faycal.touazi@irit.fr

Resume

Les “CP-nets” constituent un format compact de re-presentation des preferences, bien connu en IntelligenceArtificielle, qui peut etre vu comme une contrepartiequalitative des reseaux bayesiens. Dans le cas d’attri-buts binaires, ils permettent de representer des ordrespartiels particuliers sur des interpretations booleennes,ou des preferences strictes sont definies entre des inter-pretations qui different par le basculement de la valeurd’une seule variable. Ils satisfont l’independance prefe-rentielle exprimee ici par un principe “ceteris paribus”.La popularite de cette approche a motive des comparai-sons avec d’autres cadres representationnels tels que lalogique possibiliste. Dans cet article, nous discutons laquestion de savoir s’il est toujours possible de representerexactement l’ordre partiel d’un CP-net au moyen d’unebase de formules en logique possibiliste avec une seman-tique appropriee. Des resultats annonces dans la littera-ture sont remis partiellement en question. Des exemplescanoniques presentant des structures topologiques dif-ferentes montrent que dans certains cas, identifies dansl’article, seule une representation approchee est obte-nue. La discussion d’un autre exemple montre certainsaspects discutables de l’ordre propose par le CP-net as-socie et la difficulte de reconcilier les deux cadres repre-sentationnels.

Abstract

CP-nets are a well-known compact graphical repre-sentation of preferences in Artificial Intelligence, that canbe viewed as a qualitative counterpart to Bayesian nets.In case of binary attributes it captures specific partialorderings over Boolean interpretations where strict pre-ference statements are defined between interpretationswhich differ by a single flip of an attribute value. It res-pects preferential independence encoded by the ceterisparibus property. The popularity of this approach hasmotivated some comparison with other preference repre-sentation setting such as possibilistic logic. In this paper,we focus our discussion on the possibilistic representa-

tion of CP-nets, and the question whether it is possibleto capture the CP-net partial order over interpretationsby means of a possibilistic knowledge base and a suitablesemantics. We show that several results in the literatureon the alleged faithful representation of CP-nets by pos-sibilistic bases are questionable. To this aim we discusssome canonical examples of CP-net topologies where theconsidered possibilistic approach fails to exactly capturethe partial order induced by CP-nets, thus shedding lighton the difficulties encountered when trying to reconcilethe two frameworks.

1 Introduction

La representation et le traitement des preferencesont ete etudies dans le domaine de l’intelligence artifi-cielle (IA), la recherche operationnelle, et les bases dedonnees ; voir [6] pour une introduction. Les“CP-nets”[5] sont particulierement populaires en IA commecadre pour exprimer des preferences conditionnelles,sur la base d’une representation graphique. L’idee estque les preferences des utilisateurs expriment que,dans un contexte donne, une situation partiellementdecrite est strictement preferee a la situation opposee,d’une maniere ceteris paribus (c’est-a-dire touteschoses egales par ailleurs). Cependant, l’applicationsystematique du principe ceteris paribus introduit desrestrictions dans l’expression des preferences. Ce faita motive la comparaison des CP-nets avec la logiquepossibiliste [9] puisque celle-ci fournit un autre cadresouple pour representer les preferences [2, 1]. Dansla logique possibiliste, les propositions classiquesexpriment des buts, et les poids sont les niveauxde priorite qui expriment a quel point ces objectifssont imperatifs. Le merite d’une representation despreferences fondee sur une base logique est egalementla capacite de pouvoir raisonner sur les preferences,

en particulier pour traiter leur possible incompatibi-lite. Une serie de publications [7, 8, 14, 12, 10] ontaborde la question de la representation des CP-nets al’aide d’une base de formules en logique possibiliste.Puisque les CP-nets peuvent laisser des incompara-bilites entre les interpretations, la representation enlogique possibiliste doit utiliser des poids symboliquespartiellement ordonnes [3] pour laisser la place a desincompatibilites. Il a ete egalement remarque que lesCP-Nets privilegient implicitement les contraintes depreference associees a des nœuds peres par rapport acelles associees aux nœuds fils dans la representationgraphique.

Cependant, la representation en logique possibilistedes CP-nets preconisee dans [14, 12, 10] n’est pastoujours totalement fidele mais peut rester localementapproximative. Le but de cet article est d’etudier endetail cet etat de fait, en precisant egalement quandl’approche ne fournit pas une representation exactedes CP-nets.

L’article est organise comme suit. Premierement,un bref historique sur la logique possibiliste, puisles CP-nets et leur codage en logique possibilisteavec des formules ayant des poids symboliques, sontrappeles dans les sections 2 et 3. Ensuite, dans lasection 4, nous discutons les differents ordres partielsqui peuvent etre utilises pour comparer les vecteursde poids symboliques qui refletent la violation despreferences associees a chaque interpretation. Utiliseen tant que tel, chacun des ordres consideres nouspermet de capturer l’ordre induit par le CP-netsur des structures graphiques specifiques, mais neparvient pas sur d’autres, comme indique en sec-tion 5. La section 6 indique sur quelles structuresparticulieres, la representation possibiliste existanteest exacte, et montre plus generalement commentdes approximations par en-dessous et par en-dessuspeuvent etre obtenues dans tous les cas. Section7 aborde brievement les travaux connexes et pre-sente un dernier exemple qui souligne la difficultede capturer exactement l’ordre des CP-nets en logique.

Cet article est une traduction de [?] (etendue pource qui est de la discussion de la section 7).

2 Logique possibiliste

Nous considerons un langage propositionnel ou lesformules sont notees p1, ..., pn, et Ω est l’ensemblede ses interpretations. Soit BN = (pj , αj) | j =1, . . . ,m une base possibiliste ou pj est une formulepropositionnelle et αj ∈ L ⊆ [0, 1] est son niveau de

priorite [9]. La conjonction et la disjonction logiquessont notees par ∧ et ∨. Chaque formule (pj , αj) signi-fie que N(pj) ≥ αj , ou N est une mesure de neces-site, c’est-a-dire, une fonction d’ensemble satisfaisantla propriete N(p ∧ q) = min(N(p), N(q)). Une mesurede necessite est associee a une distribution de possibi-lite π, et est definie comme suit :

N(p) = minω 6∈M(p)

(1− π(ω)) = 1−Π(¬p),

ou Π est la mesure de possibilite duale de N et M(p)est l’ensemble des modeles induits par le langagepropositionnel sous-jacent pour lequel p est vrai.

La base BN est associee a la distribution de possi-bilite

πNB (ω) = minj=1,...,m

π(pj ,αj)(ω)

sur l’ensemble des interpretations, ou π(pj ,αj)(ω) = 1si ω ∈ M(pj), et π(pj ,αj)(ω) = 1 − αj si ω 6∈ M(pj).Une interpretation ω est d’autant plus possible qu’ellene viole aucune formule ayant un niveau de prioriteeleve. Donc, si ω 6∈ M(pj), πNB (ω) ≤ 1 − αj , et siω ∈

⋂j∈JM(¬pj), πNB (ω) ≤ minj∈J(1 − αj). C’est

une description “par en-dessus” de πNB , qui est la dis-tribution de possibilite la moins specifique, en accordavec la base de connaissances BN . Une base possi-biliste BN peut-etre transformee en une base ou lesformules pi sont des clauses (sans modifier la distribu-tion πNB ). Nous pouvons encore voir BN comme uneconjonction de clauses ponderees, c’est-a-dire, commeune extension de la forme normale conjonctive.

3 Reseaux de preferences conditionnelleset leur codage en logique possibiliste

Un CP-net [5] est une representation de naturegraphique, qui exploite la dependance conditionnelledes propositions, dans la structuration des preferencesfournies par l’utilisateur. Le modele fait penser a desreseaux bayesiens, mais la nature de la relation entreles nœuds d’un reseau est generalement assez faible,par rapport aux relations probabilistes dans les re-seaux bayesiens. L’objectif de l’usage du modele gra-phique est de capturer les declarations qualitativesd’independance conditionnelle sur les preferences.

Definition 1. Un CP-net N sur un ensemble de va-riables booleennes V = X1, · · · , Xn est un grapheoriente, ayant pour nœuds X1, · · · , Xn, tel qu’un arcexiste entre Xi et Xj si la preference sur la variableXj est conditionnee par la valeur de Xi. Chaque nœudXi ∈ V est associe avec une table de preferences condi-tionnelles CPT (Xi), qui indique la preference stricte

(xi > ¬xi or ¬xi > xi) pour chaque instantiation desvariables ui associees aux nœuds parents de Xi (s’il ya lieu).

Un ordre de preference satisfait completementun CP-net N si et seulement s’il satisfait chaquepreference conditionnelle de N . Dans ce cas, l’ordrede preference est dit consistant avec N . On notepar Pa(X) l’ensemble des parents directs de X, etpar Ch(X) l’ensemble des successeurs directs (fils)de X. L’ensemble d’interpretations d’un groupede variables S ⊆ V est note par Ast(S), avecΩ = Ast(V ). Etant donne un CP-net N , pour chaquenœud Xi, i = 1, . . . , n, chaque entree dans la tablede preference conditionnelle CPTi est de la formeφ = ui : ?xi > ?¬xi, ou ui ∈ Ast(Pa(Xi)), ? esta remplacer par rien si la preference est xi > ¬xi,et par ¬ sinon. Une telle preference est codee enlogique possibiliste par une contrainte de la formeN(¬ui ∨ ?xi) ≥ α > 0, ou N est une mesurede necessite [9], ce qui est equivalent ici a unecontrainte sur une mesure de necessite conditionnelleN(?xi|ui) ≥ α, et donc a Π(¬ ? xi|ui) ≤ 1−α < 1, ouΠ(p) = 1 − N(¬p) est la mesure de possibilite dualeassociee a N . Elle exprime que d’avoir ¬ ? x est enquelque sorte peu satisfaisant, avec une possibilitede ¬ ? x bornee par une valeur maximale 1 − α. Ilest clair que la satisfaction de ¬ ? x est d’autant plusimpossible que α est grand.

Le codage d’un CP-net en logique possibiliste esteffectue comme suit :

– Selon les conventions ci-dessus, chaque entree dela forme ui : ?xi > ?¬xi dans la table de pre-ference conditionnelle CPTi du nœud Xi, i =1, . . . , n est codee par la clause en logique pos-sibiliste (¬ui ∨ ?xi, αi), ou αi > 0 est un poidssymbolique.

– Puisque le meme poids est attache a chaqueclause construite a partir de CPTi, l’ensembledes clauses ponderes induites par CPTi est doncequivalent a la conjonction ponderee de φi =(∧ui∈Ast(Pa(Xi))

(¬ui∨?xi), αi), une par variable,ou a la paire de clauses ponderes (φ+

i , φ−i ) de la

forme :

(¬(∨ui∈A+iui) ∨ xi, αi), (¬(∨ui∈A−i

ui) ∨ ¬xi, αi),

ou A+i , A

−i est une partition de Ast(Pa(Xi)),

tel que xi > ¬xi sur A+i et ¬xi > xi sur A−i .

– Des contraintes additionnelles sur les poids sontajoutes. Le poids αi attache au nœud Xi, est sup-pose etre strictement plus petit que le poids dechacun de ses parents : α∗i (max(αi < α∗i )).

Une base possibiliste partiellement ordonnee (Σ,Σ)est construite a partir d’un CP-net de la facon sui-vante, ou Σ represente la relation d’ordre sur lescontraintes de preference. Notons Fω ⊆ Σ, l’ensembledes formules falsifiees par l’interpretation ω ∈ Ω. Pourchaque interpretation ω, on associe un vecteur ~ω(Σ)obtenu comme suit. Pour chaque formule pondereeφ+i ∧φ

−i dans la base possibiliste Σ satisfaite par ω, on

met 1 dans le ieme composante du vecteur, et 1−αi si-non, en accord avec la semantique de la logique possibi-liste [9]. Par construction, L = 1, 1−αi, i = 1 . . . , n,avec 1 > 1− αi,∀i. Le vecteur ~ω(Σ) a un format spe-cifique. A savoir sa composante vi (un par nœud duCP-net) se trouve dans 1, 1 − αi pour i = 1, . . . , n.Nous considerons les differents ordres partiels possiblespour comparer ces vecteurs dans la section suivante.

Exemple 1. [5]. Figure. 1(a) illustre un CP-net surdes preferences pour une tenue de soiree. Il impliqueles variables J , P , et S, qui se rapportent respective-ment a la veste, au pantalon et a la chemise :

Figure 1 – Le CP-net et l’ordre partiel induit par luisur l’exemple 1

– Le noir (b) est prefere au blanc (w) pour la vesteet le pantalon : Pb > Pw, ce qui nous donne laformule φP = (Pb, α), et Jb > Jw, et la formuleφJ = (Jb, β).

– La preference d’une chemise rouge plutot queblanche est conditionnee par la ou les couleurs dela veste et du pantalon : s’ils ont la meme cou-leur, alors une chemise blanche rendra la tenuetrop terne, et donc une chemise rouge est prefereedans ce cas : Pb∧Jb : Sr > Sw ; Pw∧Jw : Sr > Sw,ce qui donne la formule φ−S = (¬(J = P )∨Sr, γ).

– Sinon, si la veste et le pantalon sont de cou-leurs differentes, alors une chemise rouge rendrala tenue trop inharmonieuse, et donc une che-

mise blanche sera preferee. Pb ∧ Jw : Sw > Sr ;Pw ∧ Jb : Sw > Sr, ce qui donne la formuleφ+S = ((J = P ) ∨ Sw, γ).

4 Relations d’ordre partiel entre vecteurs

Dans cette section nous allons presenter un certainnombre de relations d’ordre partiel dans le but de lesutiliser pour generer un ordre particulier sur les inter-pretations. Dans la section 3, nous avons montre com-ment coder un CP-net en logique possibiliste. Puisquenous pouvons associer un vecteur a chaque interpreta-tion en accord avec les formules de la base possibiliste,pour comparer deux interpretations, il suffit de com-parer leurs vecteurs associes. Nous donnons d’abord ladefinition de relations d’ordre particulieres sur les vec-teurs, et ensuite nous discutons la facon de retrouverl’ordre partiel des CP-nets lorsque nous comparons lesinterpetations de la base des formules possibilistes, enutilisant ces techniques de comparaison de vecteurs.Soient ~v = (v1, ..., vk), ~v′ = (v′1, ..., v

′k) ∈ Lk deux vec-

teurs, ou L est partiellement ordonnee par > :

Definition 2 (Pareto). ~v Pareto ~v′ si et seulementsi ∀i, vi ≥ v′i et ∃j, vj > v′j.

Definition 3 (Pareto symetrique). ~v SP ~v′ si etseulement s’il existe une permutation σ des com-posantes de ~v′, qui donne le vecteur ~v′

σ, telle que

~v Pareto ~v′σ.

L’ordre discrimin, notee discrimin est defini dansle cas d’une echelle totalement ordonnee de la fa-con suivante : les composantes des vecteurs identiquessont supprimees, et la comparaison se fait sur la basedu minimum des composantes restantes pour chaquevecteur. Puisqu’ici les minimums ne correspondentpas toujours a une valeur unique, mais a des sous-ensembles de Lk, nous proposons la procedure suivantepour comparer les vecteurs :

Definition 4 (discrimin). Soit D(~v, ~v′) = j|vj 6= v′jun ensemble d’indices de composante ou les deux vec-teurs ~v et ~v′ different. Ensuite v discrimin v′ ssimin(vi|i ∈ D(~v, ~v′) ∪ v′i|i ∈ D(~v, ~v′)) ⊆ v′i|i ∈D(~v, ~v′) \ vi|i ∈ D(~v, ~v′), ou min ici retourne lesous-ensemble des valeurs incomparables les plus pe-tites (par rapport a. >).

Dans le cas standard d’une echelle totalement or-donnee, l’ordre leximin est defini comme suit : premie-rement, les vecteurs sont re-ordonnes d’une manierecroissante, puis en appliquant l’ordre discrimin auxvecteurs re-ordonnes. Puisque nous travaillons dansune configuration partiellement ordonnee, le reordon-nement des vecteurs n’est plus unique, et nous devonsgeneraliser la definition de la maniere suivante :

Definition 5 (leximin). Premierement, on supprimetoutes les paires (vi, v′j) telles que vi = v′j dans ~v et~v′ (chaque composante supprimee ne peut etre utili-see qu’une seule fois dans le processus de suppres-sion). Ainsi, on obtient deux vecteurs r(~v) et r(~v′) quin’ont pas de composantes communes parmi les compo-santes restantes, c’est-a-dire r(~v)∩ r(~v′) = ∅. Ensuite,v lex v′ ssi min(r(~v) ∪ r(~v′)) ⊆ r(~v′).

Dans ce qui suit, nous allons appliquer ces ordresaux vecteurs particuliers lies au codage possibilistedes CP-nets, comme il est explique dans la section 3,ou les valeurs possibles d’une composante i de vecteursont soit 1 soit 1 − αi (les αi etant tous distincts).Sur ces vecteurs particuliers, les ordres leximin etdiscrimin coıncident. En effet, puisque la valeur d’unelement du vecteur est soit ‘1’ soit ‘1−αi’, et puisquechaque formule possibiliste attachee a un nœud dansle CP-net, est associee a un poids different αi, noussommes surs que 1 − αi est present seulement dansune composante. Avec ces hypotheses, la differenceentre leximin et discrimin est que leximin supprimequelques composantes avec une valeur ‘1’, car c’estla seule valeur d’une composante qui puissent etredans des positions differentes des vecteurs. Mais noussavons que ‘1’ est la valeur la plus grande, donc celane peut pas affecter le resultat de l’application del’operateur min. C’est pourquoi les ordres leximinet discrimin coıncident sur ces vecteurs particuliers.Donc, dans la suite, nous mentionnons que l’ordreleximin.

Ces ordres ont deja ete utilises pour capturer l’ordredes CP-nets : Pareto symetrique (PS), discrimin dans[12, 14], ou leximin dans [10] ou l’ordre min dans [7, 8].Dans la section suivante, nous presentons une analysecomparative de ces differentes options et nous souli-gnons quand chaque ordre ne parvient pas a capturerexactement l’ordre du CP-net.

5 CP-nets vs logique possibiliste : contre-exemples

Il a ete affirme que l’ordre des CP-nets peut etre cap-ture a l’aide du codage explique dans la section 3 enappliquant l’ordre Pareto symetrique [12, 14] rappeledans la section 4, ou l’ordre leximin [10], aux vecteurs~ω(Σ). Ce n’est en effet vrai que pour des familles par-ticulieres de CP-nets, comme le montre l’exemple ci-dessous. Mais le codage possibiliste des CP-nets avecl’utilisation de l’un des ordres precedemment cites neconduit pas toujours a une representation exacte desCP-nets dans le cas general, comme nous allons le voirsur d’autres exemples.

Considerant l’exemple 1, a nouveau, le tableau 2donne les degres de satisfaction des clauses possibi-listes codant les trois preferences elementaires, et leshuit interpretations possibles (choix), ou α, β, γ sontles poids attaches aux nœuds J, P, S, respectivement.

Table 1 – Options possibles dans l’Exemple 1.Ω φ1 φ2 φ3

PbJbSr 1 1 1PbJbSw 1 1 1- γPbJwSw 1 1-β 1PwJbSw 1-α 1 1PbJwSr 1 1-β 1-γPwJbSr 1-α 1 1-γPwJwSr 1-α 1-β 1-γPwJwSw 1-α 1-β 1

Nous introduisons les contraintes suivantes, α > γet β > γ entre les poids symboliques, qui donnent lapriorite aux contraintes associees aux nœuds peres J, Psur celles correspondant au nœud fils S. Ensuite, l’ap-plication de l’ordre Pareto symetrique, ou de l’ordreleximin, nous permet d’ordonner les interpretations.On peut verifier que l’ordre des interpretations obte-nus par ces deux ordres appliques aux vecteurs ~ω(Σ)coıncide avec l’ordre induit par le CP-net, comme in-dique sur la Figure. 1(b) :

– bbr N bbw N bww N bwr N bwr N wwr Nwww.

– bbr N bbw N wbw N wbr N wwr N www.

Afin de fournir une discussion claire sur la represen-tation en logique possibiliste, nous etablissons d’abordque la preference entre les vecteurs d’interpretations,qui ne different que par un seul “flip” de variable, de-pend uniquement des instantiations de la variable cor-respondante et de ses fils :

Proposition 1. Soit Xi un nœud dans un CP-net Net Yi = V \ Xi ∪ Pa(Xi). Soit (Σ,Σ) une baseen logique possibiliste avec des poids partiellement or-donnes associee au CP-net N . Si le CP-net contient lapreference ui : xi > ¬xi (resp : ui : ¬xi > xi), la pre-ference associee depend uniquement des instantiationsde la variable Xi et de celles de ces fils.

Preuve : Soient ω+ = uixiyi et ω− = ui¬xiyi,ui ∈ A+

i . Puisqu’ils partagent la meme affectation devariables sur Pa(Xi), ces deux interpretations satis-font de la meme facon φ+

j et φ−j ,∀Xj ∈ Pa(X). Onnote par FPa l’ensemble des formules φ+

j , φ−j , Xj ∈

Pa(Xi) falsifiees par ω+, ω− (ce sont les memes pourles deux interpretations) ; et par FY l’ensemble des for-mules φ+

j , φ−j , Xj ∈ Yi \ Ch(Xi) falsifiees par ω+, ω−

Figure 2 – Elementary cases of CP-nets

(c’est-a-dire que Xj n’est pas un descendant directde Xi ni l’un de ses parents) ; et par FChω+ l’ensembledes formules φ+

j , φ−j , Xj ∈ Ch(Xi) falsifiees par ω+

et FChω− l’ensemble des formules falsifiees par ω−. Ona alors Fω+ = FPa ∪ FY ∪ FChω+ et Fω− = FPa ∪φ+

i ∪ FY ∪ FChω− . Donc on a Fω+ \ Fω− = FChω+ etFω− \ Fω+ = φ+

i ∪ FChω− . Du fait de la construc-tion de (Σ,Σ), on a que φ+

i est strictement prefe-ree a toutes les formules de FChω+ ∪ FChω− . Alors on a∀φ ∈ Fω+ \ Fω− , φ+

i Σ φ.Soit Xk un fils de Xi. Notons que par construction,

ω+ |= φ+k et ω− |= φ−k . On a par ailleurs, ω+ |= ¬φ−k

si seulement si ω+ |= uk, et ω− |= ¬φ+k si seulement si

ω− |= uk. Il y a donc trois cas pour le nœud fils Xk :– Soit ω+ |= uk et ω− |= ¬uk (alors φ−k ∈ FChω+ ,

mais φ+k 6∈ FChω+ ) ;

– Soit ω+ |= ¬uk et ω− |= uk (alors φ+k ∈ FChω− ,

mais φ−k 6∈ FChω− ) ;– Soit ω+ |= ¬uk et ω− |= ¬uk, et FChω− ∪ F

Chω+ ne

contient pas de formules relatives a la variable Xk.Maintenant, il clair que ~ω+(Σ) et ~ω−(Σ) ne differentque sur des elements relatifs aux nœuds fils de Xi eta elle-meme.

En raison de la structure particuliere des CP-nets,et puisque nous avons montre que la preference estuniquement liee a un nœud et leurs nœuds fils (Pro-position 1), nous devons considerer les trois structureselementaires suivantes :

– Cas A : Deux nœuds peres et un nœud fils (voirFigure 2(a)) (aussi Figure. 1) ;

– Cas B : un nœud pere et deux nœuds fils (voirFigure 2(b)) ;

– Cas C : Un nœud pere, un nœud fils et un nœudpetit-fils (voir Figure 2(c)).

Donc, tout CP-net est une combinaison de ces troiscas elementaires (avec peut-etre plus de nœuds peresou plus de nœuds fils). Compte tenu de ces troisstructures de base, les exemples suivants montrentdans quel cas l’ordre particulier induit par (Σ,Σ)ne parvient pas a correspondre exactement a l’ordre

des interpetations induit par le CP-net. Tout d’abord,considerons l’exemple suivant :

Exemple 2. V = X,Y, Z est un ensemble devariables. Les contraintes de preference sont commesuit : φ1 = x > x, φ2 = y > y, φ3 = (X≡Y : z >z,¬(X≡Y ) : z > z), φ4 = (x : z > z, x : z > z), φ5 =(x : y > y, x : y > y) et φ6 = (y : z > z, y : z > z).Les bases possibilistes des differents cas de la Figure 2sont obtenus comme suit :

- Σa = φ1, φ2, φ3 : φ1 = (x, α1), φ2 =(y, α2), φ3 = (((¬(x ∧ y) ∧ ¬(¬x ∧ ¬y)) ∨ z) ∧ (¬(x ∧¬y) ∧ ¬(¬x ∧ y)) ∨ ¬z), α3), et min(α1, α2) Σa

α3,- Σb = φ1, φ4, φ5 avec φ4 = ((¬x ∨ z) ∧ (x ∨¬z), α4), φ5 = ((¬x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y), α5), avec α1 Σb

max(α4, α5),- Σc = φ1, φ5, φ6 avec φ6 = ((¬y∨z)∧(y∨¬z), α6)

et α1 Σcα5 Σc

α6.

Table 2 – Les choix possibles dans l’Exemple 2.Ω φ1 φ2 φ3 φ1 φ4 φ5 φ1 φ5 φ6

xyz 1 1 1 1 1 1 1 1 1xyz 1 1 1-

α3

1 1-α4

1 1 1 1-α6

xyz 1 1-α2

1-α3

1 1 1-α5

1 1-α5

1-α6

xyz 1 1-α2

1 1 1-α4

1-α5

1 1-α5

1

xyz 1-α1

1 1-α3

1-α1

1-α4

1-α5

1-α1

1-α5

1

xyz 1-α1

1 1 1-α1

1 1-α5

1-α1

1-α5

1-α6

xyz 1-α1

1-α2

1 1-α1

1-α4

1 1-α1

1 1-α6

xyz 1-α1

1-α2

1-α3

1-α1

1 1 1-α1

1 1

Les resultats sont comme suit :

– Dans le 1er cas (Na), les ordres Pareto symetriqueet leximin sont en mesure de capturer l’ordreCP-net exactement. Par contre, l’ordre min neparvient pas a distinguer entre les interpretationsxyz, xyz, xyz, xyz et entre xyz, xyz.

– Dans le 2eme cas (Nb), l’ordre Pareto symetriquen’est pas capable de capturer l’ordre CP-net exac-tement, et laisse les deux interpretations ω = xyzet ω′ = xyz incomparables (tandis que le nœudX dans le CP-net assure que xyz N xyz). Apart cela, la representation obtenue est exacte. Lesvecteurs associes a ces deux interpetations sont :~ω(Σ) = (1, 1−α4, 1−α5) et ~ω′(Σ) = (1−α1, 1, 1).

Ces vecteurs sont incomparables par Pareto sy-metrique. En effet @ σ tel que ~ω(Σ) PS ~ω′

σ(Σ),

puisque 1 − α1 < min(1 − α4, 1 − α5) tandis que1 > max(1−α4, 1−α5). Par contre, l’ordre min esten mesure de comparer ces deux interpretationsxyz min xyz, mais il ne parvient pas a distin-guer entre les interpretations xyz, xyz, xyz, xyzet entre xyz, xyz. Mais l’ordre leximin captureexactement l’ordre CP-net ici.

– Dans le 3eme cas (Nc), les deux ordres leximinet min ne parviennent pas a capturer exactementl’ordre du CP-net : les deux interpretationsω = xyz et ω′ = xyz deviennent comparablestandis que le CP-net ne peut pas les compa-rer. Puisque ~ω(Σ) = (1, 1 − α5, 1 − α6) et~ω′(Σ) = (1 − α1, 1, 1), avec min(~ω(Σ)) = 1 − α5,min(~ω′(Σ)) = 1 − α1 et 1 − α1 < 1 − α5, on aω lex ω′ et ω min ω

′. Mais dans ce cas, l’ordrePareto symetrique capture exactement l’ordre duCP-net.

Pour resumer, comme on l’observe dans l’exemple,l’ordre Pareto symetrique ne compare pas deux in-terpretations quand la variable concernee a plus d’unnœud fils comme dans Cas B (Figure. 2 (b)). Parcontre, dans Cas C (Figure. 2 (c)) les ordres leximinet min brisent l’incomparabilite de certaines interpre-tations dans l’ordre induit par le CP-net.

6 Les relations entre les preferences en lo-gique possibiliste et les CP-nets

Comme indique dans l’exemple 2 de la section prece-dente, l’ordre Pareto symetrique n’est pas assez raffinepour capturer l’ordre CP-net en general, tandis quel’ordre leximin peut trop comparer certaines interpre-tations qui sont incomparables dans le CP-net. Danscette section, nous allons etablir les conditions danslesquelles l’approche possibiliste peut capturer exacte-ment l’ordre du CP-net. Est-ce que l’ordre Pareto sy-metrique est toujours moins raffine (au sens large) quel’ordre CP-net ? Est-ce que l’ordre leximin est tou-jours plus raffine (au sens large) que l’ordre CP-net ?Tout d’abord, nous prouvons que toute comparaisonstricte obtenue par l’ordre Pareto symetrique est vraiedans l’ordre CP-net.

Proposition 2. Soit N un CP-net acyclique et(Σ,Σ) la base partiellement ordonnee associee a ceCP-net. Soit PS l’ordre partiel associe a (Σ,Σ).

∀ω, ω′ ∈ Ω, ω PS ω′ ⇒ ω N ω′

Preuve de la proposition 2 :Supposons que ω PS ω′. Cela signifie qu’il existe une

permutation σ de ~ω′(Σ) de telle sorte que lorsqu’oncompare le resultat de cette permutation avec ~ω(Σ),ce dernier est superieur ou egal, composante par com-posante, a ~ω′

σ(Σ). Il y a deux cas : soit pour une com-

posante, ou il n’y a pas d’egalite, la comparaison entreles deux vecteurs est de la forme 1 > 1− ασ(i), ou il ya au moins une composante ou la comparaison prendla forme 1−αj > 1−ασ(k). Cela correspond respecti-vement a deux situations differentes :

– i) ω′ falsifie plus de formules dans Σ que ω, etFω ⊂ Fω′ , ou Fω (resp. F ′ω) note l’ensembledes nœuds falsifies par l’interpretation ω (resp.ω′). Cela correspond a un cas deja rencontre, ouFω′ \Fω correspond exactement aux formules fal-sifiees dont la priorite ασ(i) est impliquee dans lesinegalites observees 1 > 1−ασ(i) ; il est connu queFω ⊂ Fω′ implique ω N ω′.

– ii) ω′ falsifie au moins une formule dont la prioriteest plus grande que celle d’une autre formulefalsifiee par ω, notamment 1 − αj > 1 − ασ(k),ce qui est equivalent a αj < ασ(k). En effet, ily a au moins une composante dans ~ω′(Σ) de laforme 1 − ασ(r) qui est un element minimal deceux des deux sous-vecteurs sur lesquels ~ω(Σ) et~ω′(Σ) different. Elle correspond a une formulede preference ayant la priorite maximale ασ(r),violee par ω′ et non par ω. De plus, les contraintesαj < ασ(k) ≤ ασ(r) revelent que les nœuds ayantces priorites dans le CP-net, sont liees par unchemin dans le CP-net reliant un ancetre Xσ(r)

(ayant une priorite maximale) a un descendantXj . L’ensemble de ces chemins peut etre associea une chaıne de flips d’amelioration a partir deω′ jusqu’a ω, donc par transitivite on a aussiω N ω′.

Nous avons remarque qu’il y a des cas ou l’ordre Paretosymetrique avec le codage possibiliste capture exac-tement l’ordre des CP-nets. La proposition suivanteindique une classe de situations particulieres ou c’esteffectivement le cas.

Proposition 3. Soit N un CP-net acyclique tel quechaque nœud a au plus un fils. Soit (Σ,Σ) la basepossibiliste partiellement ordonnee associee au CP-netN et PS l’ordre partiel associe a (Σ,Σ). Alors,

∀ω, ω′ ∈ Ω, ω PS ω′ ⇐⇒ ω N ω′

Preuve de la Proposition 3 :⇒) Supposons que ω N ω′. On sait que ω domineω’ (c’est-a-dire ω N ω′) si seulement s’il existe unechaıne de flips d’aggravations qui consiste a chan-ger l’instantiation d’une seule variable a chaque fois.Cela signifie qu’il existe une sequence ω0, · · · , ωk telle

que ω N ω0 N · · · ωk N ω′, ou ω Nω0, . . . , ωk N ω′ sont des preferences ceteris pari-bus. Nous avons montre dans la Proposition 1 que detelles preferences sont liees a la variable concernee (cequi correspond ici a la variable changee) et a ses fils.Puisque nous avons suppose que chaque nœud possedeau plus un nœud fils, les vecteurs d’evaluation de cha-cune des deux interpretations dans la chaıne de flipsd’aggravations different sur au plus deux elements cor-respondant a la variable changee et a son nœud fils.Puisque nous donnons la priorite au nœud pere surle nœud fils, les deux interpretations sont classees parPS . Donc on a ω PS ω0 PS · · · PS ωk PS ω′,et finalement ω PS ω′ par transitivite.⇐) Par la proposition 2, on a : si ω PS ω′ alorsω N ω′.

Nous avons egalement remarque sur quelquesexemples que l’ordre leximin est plus raffine quel’ordre induit par le CP-net. La proposition suivanteetablit que toute comparaison stricte obtenu par unCP-net est egalement vrai dans son homologue possi-biliste en utilisant l’ordre leximin :

Proposition 4. Soit N un CP-net acyclique. Soit(Σ,Σ) sa base possibiliste partiellement ordonnee as-sociee. Soit lex l’ordre partiel associe a (Σ,Σ).Alors,

∀ω, ω′ ∈ Ω, ω N ω′ ⇒ ω lex ω′

Preuve de la Proposition 4 :Puisque N est transitive, il suffit de prouver que celaest vrai pour deux interpretations ω N ω′ ou il existeun flip d’aggravation, et par transitivite nous obte-nons le cas ou il y a une chaıne de flips d’aggravationspuisque l’ordre leximin est aussi transitif. Nous avonsmontre dans la Proposition 1 que de telles preferencessont liees a la variable concernee et a ses fils. Donc ωet ω′, le min(vi ∈ ~ω(Σ) ∪ vi ∈ ~ω′(Σ)) ⊆ vj ∈(~ω′(Σ) \ vj ∈ (~ω(Σ)). En effet, en cas de viola-tion l’evaluation d’une preference associee a un nœudpere est toujours plus petite que n’importe quelle autreevaluation associee a ses fils ; le min penalise alors l’in-terpretation qui falsifie les preferences du nœud pere.Nous avons donc ω lex ω′.

7 Travaux connexes et discussion finale

La representation des preferences en logique possi-biliste a ete initialement preconisee dans [2, 1]. Sonutilisation avec des poids symboliques pour l’approxi-mation des CP-nets booleens acycliques [5] et les TCP-nets [15], a ete discutee dans [7, 8, 13]. Puis, une repre-sentation des CP-nets a ete proposee avec l’utilisation

de l’ordre Pareto symetrique [14, 12], et rappelee dans[11, 10] en utilisant l’ordre leximin. Ces representa-tions ont ete presentees comme etant fideles dans lecas general (sans fournir les preuves). Il s’avere que larepresentation en utilisant l’ordre Pareto symetriquen’est exacte que pour une famille particuliere de CP-nets. Nous avons montre que c’est effectivement le caspour les CP-nets ou les nœuds ont au plus un nœud fils.Nous avons egalement prouve qu’en general c’est uneapproximation par en-dessous, tandis que l’utilisationde l’ordre leximin conduit a une approximation paren-dessus. Ainsi, la semantique possibiliste qui pour-rait mener a une representation exacte de tout CP-net(acyclique) dans le cas general est encore a trouver (sielle existe). Cependant, l’ordre partiel induit par l’ap-proche CP-net peut paraıtre quelque peu discutable,comme on peut le voir dans la suite. Ce fait met enquestion l’exacte representabilite des CP-nets avec uneautre approche qui traite les preferences d’une manieregenerale, comme l’approche possibiliste.

Figure 3 – CP-net d’Example 3

Exemple 3. Considerons le CP-net de la Figure 3sur les variables V = X,Y, S, Z, T. Soient les in-terpretations ω = xyzst, ω′ = xyzst, ω′′ = xyzst etω′′′ = xyzst.

On remarque que ω falsifie les preferences desdeux nœuds petits-fils S, T , mais ω′ falsifie lespreferences des deux nœuds fils Y, Z. Par ailleurs,ω′′ falsifie les preferences du nœud pere X et ω′′′

falsifie les preferences du nœud fils Z et d’un nœudpetit-fils T . L’ordre donne par le CP-net est le suivantω N ω′ N ω′′, ω N ω′′′, mais il ne dit riensur ω′′′ vs. ω′′ et ω′. Ainsi, falsifier les preferencesdes nœuds petit-fils S, T (comme dans ω) est mieuxque de falsifier les preferences des nœuds fils Y,Z(comme dans ω′), ce qui est mieux que de falsifierles preferences d’un nœud pere X (comme dans ω′′),

ce qui est en accord avec les priorites implicitesde CP-net. Mais il est genant que la violation despreferences d’un nœud fils Z et d’un nœud petit-fils T(comme dans ω′′′) soit incomparable avec la violationdes preferences de deux nœuds fils Y,Z (comme dansω′), et aussi incomparable avec la seule violation despreferences d’un nœud pere X (comme dans ω′′).Ce comportement n’est pas valide par l’approchepossibiliste en utilisant l’ordre leximin.

Il est clair que les CP-nets et la logique possibilistetraitent les preferences chacun a sa maniere. Meme siles resultats ci-dessus fournissent des approximationspar en-dessus et par en-dessous d’un CP-net. De facongenerale la traduction des CP-nets en logique possibi-liste fournit une base pour discuter les ordres obtenusdans les deux cadres. Prenons l’exemple comparatif ci-dessous pour affiner cette comparaison.

Exemple 4. Soient deux CP-nets Na et Nb (voir Fi-gure 4) sur les quatre variables suivantes X,Y, S, T.Nous avons les bases possibilistes suivantes qui codentles preferences des deux CP-nets Na et Nb : Σa =φ1, φ2, φ3, φ4 avec φ1 = (x, α1), φ2 = ((¬x ∨ y) ∧(x ∨ ¬y), α2), φ3 = ((¬x ∨ s) ∧ (x ∨ ¬s), α3), φ4 =((¬x ∨ t) ∧ (x ∨ ¬t), α4) et Σb = φ1, φ2, φ

′3, φ′4 avec

φ′3 = ((¬y ∨ s) ∧ (y ∨ ¬s), α3), φ′4 = ((¬y ∨ t) ∧ (y ∨¬t), α4).

Figure 4 – Les 2 CP-nets Na et Nb de l’exemple 4

Considerons les interpretations suivantes ω = xyst,ω′ = xyst et ω′′ = xyst. Notons que leurs vecteursassocies ~ω(Σa) = ~ω′(Σb) = (1, 1 − α2, 1 − α3, 1)et ~ω′(Σa) = ~ω(Σb) = (1, 1 − α2, 1, 1 − α4) et~ω′′(Σa) = ~ω′′(Σa) = (1 − α1, 1, 1, 1), sont les memestriplets de vecteurs dans les deux bases possibilistes.Ces trois interpretations ont non seulement les memestriplets de vecteurs de poids dans les deux CP-nets,mais aussi les memes contraintes sur les poids sym-boliques qui sont utilises dans la comparaison de cesvecteurs. Cependant, les deux CP-nets ne classent pasces interpretations ω, ω′ et ω′′ de la meme facon :

– dans le CP-net Na : ω est preferee a ω′′ mais estincomparable avec ω′. De plus, ω′ est preferee aω′′.

– dans le CP-net Nb : toutes les interpretations sontincomparables.

Mais, dans le cadre de l’approche possibiliste,puisque les interpretations sont associees aux memestriplets de vecteurs dans les deux CP-nets, nousobtenons le meme ordre partiel des vecteurs :l’incomparabilite totale en utilisant l’ordre Paretosymetrique, ce qui est en accord avec l’ordre CP-netsur Nb mais pas sur Na ; et si on utilise l’ordre leximin,on a une comparabilite identique sur Na a celle del’ordre CP-net, mais pas sur Nb. Cette situation estproblematique pour les CP-nets, puisque les memesinterpretations avec les memes vecteurs conduisent ades conclusions differentes. Cela signifie que lors de lacomparaison des interpretations, les CP-nets prennenten compte des informations supplementaires qui nesont pas directement exprimees par les preferencessur les nœuds (la priorite des nœuds peres est plusgrande que celle de ses nœuds fils), mais qui viennentde leur structure globale. Est-ce legitime en ce quiconcerne la representation des preferences ? Quelle estcette information supplementaire ?

Dans le CP-net Nb, on considere les quatre interpre-tations ω1 = xyst, ω2 = xyst, ω3 = xyst et ω4 = xyst.Le CP-net donne l’ordre ω1 Nb

ω2 Nbω3, ω4

mais laisse ω3 et ω4 incomparables (meme situationque dans l’Exemple 3). En effet, dans les CP-nets, ilest vrai que falsifier les preferences de deux nœudspetit-fils (soit ω1), est moins grave que de falsifiercelle de deux nœuds fils (soit ω2), qui est encore moinsgrave que de falsifier les preferences d’un nœud pere(ω3). En se basant sur un argument de transitivite, ilserait naturel de conclure que falsifier les preferencesd’un nœud fils et d’un nœud petit-fils (ω4) doit etremois grave que de falsifier les preferences d’un nœudpere (ω3). Cependant, le CP-net ne conclut pas danscette situation et laisse les deux interpretations ω3 etω4 incomparables.

On a vu dans la section 3 que la traduction(eventuellement approchee) des CP-nets en logiquepossibiliste peut etre realisee en introduisant unerelation d’ordre entre les poids symboliques attachesaux formules possibilistes qui codent les preferencesdes nœuds du CP-net, le CP-net donnant la prioriteaux nœuds peres sur ses nœuds fils. D’un point de vuerepresentation des preferences, cet etat de fait peutetre genant si les preferences les plus importantesne sont pas effectivement celles associees aux nœudsperes [14, 11]. De plus, il s’avere que cette priorite

entre les nœuds dans les CP-nets n’est pas transitiveen general, comme le montre l’exemple ci-dessus,contrairement a ce que la representation graphiquesemble exprimer. Cela peut remettre en questionla fiabilite de la representation des preferences del’utilisateur par ces reseaux orientes acycliques. Ainsi,on peut penser que les CP-nets prennent en comptedes informations supplementaires qui bloquent cettetransitivite dans le cas d’une comparaison de deuxinterpretations : la premiere falsifie les preferencesd’un nœud pere et l’autre falsifie les preferences d’unnœud fils et d’un nœud petits-fils. Cependant lecadre possibiliste suppose la transitivite des priorites.Prenons φ1, φ2 et φ′3, les trois formules possibilistesqui codent les preferences dans la base possibiliste Σbde l’exemple 4. Notons la relation “plus important”par le symbole 7→. Puisque nous avons φ1 7→ φ2 etφ2 7→ φ′3, donc on en deduit la relation φ1 7→ φ′3 quireflete comment les preferences de l’utilisateur sontexprimees (d’un point de vue transitivite entre lescontraintes de preferences et meme d’un point devue representation graphique). Alors, si on considerel’exemple precedent, il est clair qu’en logique possi-biliste, il est mieux de falsifier les preferences d’unnœud fils et d’un nœud petit-fils (dans l’exemplec’est ω4) que de falsifier les preferences d’un nœudpere (respectivement ω3), c’est-a-dire que nous avonsω1 Σb

ω2 Σbω4 Σb

ω3.

Plusieurs questions restent donc ouvertes, notam-ment celle de determiner les differentes points de di-vergences entre les CP-nets et le cadre possibiliste, sioui ou non tous les informations implicitement codeesdans un CP-net peuvent etre exprimees dans une lo-gique propositionnelle ponderee, et quel est le cadrequi est le plus en accord avec la representation fideledes preferences de l’utilisateur.

8 Conclusion

L’interet d’une representation de preferences avecun cadre logique tel que celui de la logique possibi-liste repose d’abord sur la nature logique de la re-presentation et constitue une alternative a l’introduc-tion d’une relation de preference a l’interieur d’un lan-gage de representation, comme, par exemple, dans [4].Par ailleurs, la representation possibiliste est expres-sive (voir [10]), et peut capturer des ordres partielsgrace a l’utilisation des poids symboliques, sans etreoblige d’imposer des valeurs de priorite sur les prefe-rences (comme pour les CP-nets ou la preference estdonnee aux nœuds peres par rapport aux nœuds fils).Il reste encore beaucoup a faire. Tout d’abord, la ques-tion d’une representation exacte d’un CP-net reste ou-

verte. Par ailleurs, recemment, une tentative a ete faite[10] pour representer un cadre plus generale les CP-theories [16] en logique possibiliste (en introduisant denouvelles inegalites entre les poids symboliques afinde prendre en compte l’idee des CP-theories pour ex-primer que certaines preferences tiennent quelles quesoient les valeurs de certaines variables specifiees), oul’ordre leximin semble fournir une approximation paren-dessus. Cela reste a confirmer et a developper da-vantage. La comparaison des CP-nets avec les reseauxbayesiens possibilistes serait egalement une piste derecherche interessante.

9 Remerciements

Les auteurs sont reconnaissants a Nic Wilson pourses commentaires utiles sur leur precedent papier deworkshop [10].

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