Matematika Dasar

Rencana Penilaian Akhir

• Komponen Penilaian 1. Nilai UTS : 25%2. Nilai UAS : 40%3. Tugas Mandiri : 15%4. Kehadiran : 10%

5. Tugas Terstruktur : 10%

Kontrak Belajar...• Ketika berada dalam kelas Handphone boleh dihidupkan namun harus dalam keadaan silent.

• Bagi yang terlambat max.15 menit dipersilahkan masuk dan lebih dari jam yg ditentukan boleh masuk tapi tidak diabsen.

• Lebih baik jujur atau anda tidak lulus.

Pertemuan Materi I Penjelasan GBPP dan kontrak

perkuliahan serta Pengantar Matematika / Fungsi Real

II Turunan dan Aplikasi

III Integral

IV Fungsi TransendenV Teknik Integral VI Barisan dan Deret

VII Kuis

Pertemuan Materi VIII Persamaan Differensial Biasa

IX Kalkulus fungsi vektor

X Fungsi Peubah Banyak

XI Integral Rangkap

XII Kalkulus Integral Vektor

XIII Kalkulus Integral Vektor

XV Kuis / latihan soal

REFERENSI BUKU...

Mursita Danang, 2009. Matematika Dasar : Untuk perguruan Tinggi, Rekayasa Sains. Jakarta

Mmmm.....tidur saja ...

Bilangan Real

Sistem Bilangan Real (Fungsi Persamaan dan

Pertidaksamaan)

R: Bilangan Real

Irasional Rasional

Pecahan Bulat

Bulat negatif

Bulat Positif

atau cacah

Bilangan nol

Bilangan asli

Hukum penjumlahan dan perkalianKomutatif: a+b=b+a ; a.b=b.aAsosiatif: a+(b+c)=(a+b)+c ; a(bc)=(ab)cDistributif: a(b+c)=ab+ac

n mnm

n mnm

nn

nn

ppp

pqqp

qpq

p

qpqp

aa

aa

aa

aa

baabaa

aaa

aaaperpangkaHukum

1

1)()(

.tan

1

Nilai mutlak x =

0 x

0 x

Koordinat kartesius

x

y

2122

12),( yyxxQPdjarakrumus

p

q(x2,y2)

(x1,y1)

2,22121 yyxx

Titik tengah potongan garis dari p dan q adalah

1.1 Persamaan kuadrat

0: 2 cbxaxkuadratpersamaanumumbentuk

Persamaan kuadrat diselesaikan dengan cara:1. Memfaktorkan2. Melengkapkan kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat4. Menggambar grafik fungsi

cbxaxxf 2)(

1.1.1 Persamaan kuadrat - memfaktorkan

0)3)(2(0652

xxxx

Jadi penyelesaiannya adalah x1=2 dan x2=3

0)3)(12(0352.40)3)(2(065.30)3)(3(096.2

0)2)(2(04.1

2

2

2

2

xxxxxxxxxxxx

xxxContoh soal

1.1.2 Persamaan kuadrat – Melengkapkan kuadrat

431231

319)1(9)1(

09)1(09)1()12(

092

1

1

2

2

2

2

xxxxxx

xxxx

Pada hakekatnya, tiap bentuk kuadrat dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapannya.

222 2)( bababa

1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat

aacbbxatau

aacbbx

adalahcbxaxkuadratpersamaananPenyelesai

24

24

02

2

2

1

2

2215

)1(2)6)(1(4)5()5(

24

3215

)1(2)6)(1(4)5()5(

24651

065

22

2

22

1

2

aacbbx

aacbbx

cbaxx

soalContoh

Latihan Soal

322324

2124

)1(2)1)(1(4)4()4(

322324

2124

)1(2)1)(1(4)4()4(

141014

2

2

2

1

2

x

x

cbaxx

1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat

321610

)1(2)21)(1(4)10()10(

721610

)1(2)21)(1(4)10()10(

2110102110

2

2

2

1

2

x

x

cbaxxsoalContoh

a

b

1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat

acxxdan

abxx

adalahakarkalihasildanjumlahmakacbxaxpersamaanakarakaradalahxdanxJika

2121

221

.

0

0))(( 21 xxxx

Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara

1. Memakai faktor

2. Memakai rumus kuadrat

0)( 21212 xxxxxx

01070)5)(2(

2

xxxx

010710.

7)(

221

21

xxxx

xx

Dengan cara memfaktorkan

Dengan rumus kuadrat

1.2 Pertidaksamaan kuadrat

0000

2

2

2

2

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

Cara menyelesaikan:1. Dengan garis bilangan2. Dengan sketsa grafik

1.2.1 Pertidaksamaan kuadrat-dengan garis bilangan

)0,2()0,3(0)2)(3(

062

danadalahxsumbudenganpotongtitikxx

xx

-3 2

+ - +

Himpunan penyelesaian (x|-3<x<2)

1.2 .2 Pertidaksamaan dengan fungsi kuadrat / fungsi grafik

1. Fungsi kuadrat memiliki titik balik

2. Jika a>0, maka titik balik adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas

3. Jika a<0 titik balik adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah

4. Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat adalah

)44,2(

2

aacb

ab

abx 2

Pertidaksamaan dengan Fungsi Kuadrat : contoh soal

)41,1())1(4

)2)(1(4)3(,)1(23(

)44,2(

)0,2()0,1(

11.2)2)(1(4)3()3(21.2

)2)(1(4)3()3(2

42

40)(

23123)(

21

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

aacb

ab

puncaktitikKoordinat

danadalahysumbudenganpotongtitik

xataux

aacbbxatau

aacbbx

xfyjikadiperolehxsumbudenganpotongTitikcba

xxxf

1.3 Persamaan nilai Multak

yxyxyxyx

yx

yx

yxyxberlakuRyRxUntuk

xx

axatauaxaxaxaax

berlakuadanRaRxUntuk

,.3.2

0,.1

2

1.3.1 Persamaan nilai Multak contoh 1

400)4(4 0164 1616164 442

442

442

442

21

2

2

22

22

2

2

xxxxxx

xxx

x

x

x

1.3.1 Persamaan nilai mutlak / contoh 2

310)3)(1(

0340144

1)2()1()2(

121

310)3)(1(

034,2

03242

21

2

2

22

22

1

21

2

2

xatauxxx

xxxx

xx

xyuntuk

yatauyyy

yymakayxmisalkan

xx

140)1)(5(

0540944

3)2()3()2(

323

43

2

2

22

22

1

xatauxxx

xxxx

xx

xyuntuk

Jadi penyelesaiannya adalah x=-1, x=1, x=3 atau x=5

1.3.2 Pertidaksamaan nilai Multak

232

322

6644

3.2)4)(3(4)4()4(

0443012129

0164129)4(23

)4(23423

21

2

2,1

2

2

2

22

22

xatauxsehingga

xdanxmaka

x

xxxxxx

xx

x

1.3.2 Pertidaksamaan nilai Multak

311221212

212

23,320)3)(2(

0610611

611

21

2

2

2

xx

xx

yuntuk

yannyapenyelesaihimpunanydanydapatdiyy

yyxymisalkan

xx

xx

memenuhiRxtiapsehinggax

yuntuk

313

R x3,x-1|xadalah annyapenyelesaihimpunan Jadi

2. Garis Lurus

x

y

A (x1,y1)

B(x2,y2)

22

12

xxyy

xykemiringangradienm

bmxyadalahlurusgarisPersamaan

Bentuk umum persamaan Garis : Ax+By+c=0

2. Garis Lurus – contoh soal

Tentukan persamaan garis melalui titik (4,3) dengan kemiringan -1

77

34

)4(43)4)(1(

431

1

1

22

22

22

22

2

2

12

12

xyxy

yx

xxyx

xy

xxyykemiringan

Cara

2. Garis Lurus – Sejajar – Contoh soalTuliskan persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x+3y=6 dan melalui titik (3,-3)

132

3232

3)3(32

)3(33)3(3

233

32

3)3(

32

32

232

623632

22

22

22

22

2

2

2

2

xy

yx

yx

xxyx

xy

xykemiringan

mjadi

xy

xyyx

2. Garis Lurus – Tegak lurus

Dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduanya saling berbanding balik negatif

2

2

1

1

21

1yx

xy

mm

Fungsi dan Limit

Produk kartesiusPasangan bilangan (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutan kedua

Definisi: Jika A dan B adalah himpunan tidak kosong, maka produk kartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x adalah elemen A dan y adalah elemen B

BydanAxyxBA |),(

Misalkan A={1,2,3} dan B={a,b,c} maka produk kartesiusAxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c), (3,a),(3,b),(3,c)}BxA={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3), (c,1),(c,2),(c,3)}AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)}BxB={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}

RelasiMisalkan AxB adalah produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius AxBMisalkan A={1,2,3} dan B={a,b,c} maka produk kartesius AxB adalahAxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c), (3,a),(3,b),(3,c)}Relasi dari himpunan A ke B adalahR1={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}R2={(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}Contoh: Relasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B={0,1,2,3,4}

adalah himpunan F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} dapat dituliskan sebagai BydanAxxyyxF ,1|),(

Relasi dari himpunan A={0,1,4} ke himpunan B={-2,-1,0,1,2} adalah himpunan P={(4,2),(4,-2),(1,1),(1,-1)}, dapat dituliskan sebagai BydanAxyxyxF ,|),( 2

RelasiRelasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B={0,1,2,3,4} adalah himpunan

F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} BydanAxxyyxF ,1|),(

Relasi dari himpunan A={0,1,4} ke himpunan B={-2,-1,0,1,2} adalah himpunan P={(4,2),(4,-2),(1,1),(1,-1)}, dapat dituliskan sebagai BydanAxyxyxF ,|),( 2

1234

A B

123

0

4

1

421-1

-2

0

0

A B

FungsiRelasi dari himpunan A ke B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B

A B

x Y=f(x)

)(: xfyxy

y = f(x) disebut rumus atau aturan untuk fungsi fx disebut peubah (variabel) bebasy disebut peubah (variabel) tak bebas

FungsiContoh soal: Misalkan y=f(x)=x-1, di mana x=bulat positif; -1<x<5

1234

AB

123

0

Sehingga fungsi f={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}Daerah asal (Domain) fungsi f adalah DF={1,2,3,4}Daerah kawan (Kodomain) fungsi f adalah KF={0,1,2,3,4,5}Daerah hasil (Range) fungsi adalah RF={0,1,2,3}

45

Fungsi

)(: xfyxy

Supaya nilai F(x) adalah real maka harus ditentukan daerah asalContoh:

}1|{,1,14)(

xdanRxxDjadixmakax

xf f

3;1|310)3)(1()(

)3)(1(1

341)( 2

xxdanRxxDjadixdanxsehinggaxxmakarealbernilaixgSupaya

xxxxxg

g

};32|{320)3)(2(

065

)(sup;65

5)(

2

2

RxxatauxxDjadixatauxsehinggaxx

xx

makarealbernilaixhayaxx

xh

h

a

b

c

Jenis-jenis fungsi – fungsi konstan / fungsi tetapFungsi konstan mempunyai ciri khusus yaitu untuk semua unsur himpunan A berkaitan hanya dengan sebuah unsur dari himpunan B

tetapankkxf ,:

1234

AB

a

Jenis-jenis fungsi – fungsi identitasFungsi identitas mempunyai ciri khusus yaitu semua unsur dalam himpunan A berkaitan dengan dirinya sendiri

1234

A B

1234

xxIxxI )(,:

Jenis-jenis fungsi – fungsi linear

Fungsi yang ditentukan dengan rumus y=f(x)=mx+n, m dan n adalah tetapan dan m tidak samadengan 0. Grafik y=f(x)=mx+n memotong sumbu X di titikdan memotong sumbu Y di titik n

mnx

Jenis-jenis fungsi – fungsi kuadrat

cbxaxxfyxf 2)(:

Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Fungsi surjektifFungsi disebut fungsi surjektif – onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau

BR f BAf :

Fungsi disebut fungsi surjektif – into atau fungsi kedalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan bagian dari himpunan B atau

BAf :BR f

1234

A B

a

b234

AB

abcde

Fungsi surjektif onto

Fungsi surjektif into

1

Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Fungsi injektif atau fungsi satu-satu

BAf :Fungsi disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap)()(, 212121 afafberlakuaadanAaa

234

AB

bcde

1

f

a

Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Bijektif

BAf :Fungsi disebut sebagai fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi bijektif

234

A B

bcde

1

Aljabar fungsi

Jika diketahui fungsi f(x) dan g(x) dan n adalah bilangan rasional

nn xfxfditulisnbilangandenganxffungsiPerpangkaxgxfx

gfditulisxgdanxffungsiPembagian

xgxfxgfditulisxgdanxffungsiPerkalianxgxfxgfditulisxgdanxffungsiSelisihxgxfxgfditulisxgdanxffungsiJumlah

)()()(tan)()()()()(

)()())(()()()()())(()()()()())(()()(

Fungsi komposisi xgkomposisifdibacaxgf ),)((

x y=g(x)

z=f(y)

))(()( xgfxh

fg

Def

...(3)........................................(x).......z rumusdengan ditentukan zx:h sehingga C,z kedipetakan A xTiap C.A :h Fungsi

....(2)........................................f(y)......z rumusdengan ditentukan zy:f sehingga C,z kedipetakan y Tiap C.B :f Fungsi

....(1)........................................g(x)......y rumusdengan ditentukany x:g sehingga B,y kedipetakan A xTiap B.A :g Fungsi

h

B

A B C

Fungsi komposisi

f(g(x))g)(x)(fh(x) Sehingga f(g(x))h(x)

sehingga 4persamaan ke 1persamaan Substitusi......(4)........................................f(y)......h(x)

2persamaan 3Persamaan g)(x)?(fh(x) komposisi fungsi menentukan cara Bagaimana

x y=g(x)

z=f(y)fg

A B C

))(()( xgfxh

Fungsi komposisi – Domain - Result

x y=g(x)

z=f(y)fg

A B C

))(()( xgfxh

f

g

f

R

D

D

g)(f

g)(f

g

R f fungsi hasildaerah daribagian himpunan adalah g)(f komposisi fungsi hasildaerah c.

D g fungsi asaldaerah daribagian himpunan adalah g)(f komposisi fungsi asaldaerah b.

R kosonghimpunan bukan f fungsi asaldaerah dan g fungsi hasildaerah antarairisan a.adalah g)(f komposisi fungsi menjadi idikomposisdapat gdan f fungsiagar Syarat

Fungsi invers

x

A B

y=f(x)

y=f(x)

f

inversf 1x

dan Bb|ab,:f erurut pasangan tdengan dinyatakanA B :fadalah f fungsi dari invers maka

Bbdan |ba,:f erurut pasangan tdengan dinyatakan BA :f fungsi Jika

Definisi

1-

Aa

Aa

f(x) invers fungsimerupakan yang )(fn mendapatkauntuk )(f paday Ganti 3Langkah

)(f nama diberi pertamalangkah paday fungsi sebagaiBentuk x 2Langkah

y fungsi sebagaibentuk x dalam f(x)ypersamaan Ubah 1Langkah

invers fungsin mendapatkauntuk Cara

1-1-

1-

xy

y

Fungsi invers dari fungsi komposisi

x y=g(x)

z=f(y)

fgA B C

))(()( xgfxh

z=f(y)

y=g(x)

x

1f1g

))(()()()( 1111 xfgxgfxh

))(()()())(()()(

:

111

111

xgfxfgxfgxgf

Rumus

Fungsi invers dari fungsi komposisi

26x-

24)2(

24(x)f

)](([g))((g (x)g)(f

24x(x)g 2(x)f

24y x 2-y x

2x-4yg(x) 2xyf(x) komposisi invers Fungsi b.

6-2x22x-4 2g(x)f(g(x))g)(x)(f komposisi Fungsi a.

(x)g)(fdan g)(x)(f rumuscarilah 2x -4g(x) ,2f(x) fungsimisalkan

1-

11-11-1-

1-1-

1-

x

xfxf

x

x

Latihan Soal

Limit Fungsi dan Kekontinuan

1. Pengertian Limit • Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel didalam fungsi yang bersangkutan terus menerus bekembang mendekati suatu nilai tertentu.

• Fungsi F(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L keduanya konstanta) maka L disebut limit fungsi F (x) untuk x mendekati a begitu pula untuk fungsi g(x) = G. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi ;

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Misal (limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xgxf

xgxf

ax

axax

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

2.

3.

4. nax

nax

xfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

5. bila n genap L harus positif

1.

222 )1(11sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

011sin)1(lim 2

1

xx

x

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11sin)1(lim 2

1

xx

x

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)11sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

maka

AO

B

C

D

OC= cos ; CB= sin

Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOBSehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;

cos

1sincos

Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sinlim10

it

Sehingga : 1sinlim0

it

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.22tan5

4.44sin3

lim2tan54sin3lim

00

xx

xx

xxxx

xx

2.22tanlim5

4.44sinlim3

0

0

xx

xx

x

x

37

2.22tanlim5

4.44sinlim3

02

04

xx

xx

x

xx 0 ekivalen dgn 4x 0

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(limxgxf

ax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLibawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiibawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

Contoh 11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab a. 021lim2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b.

021lim 21

x

x

11lim 2

2

1 xx

x

akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehinggabernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

c.

0lim

xx

x

xx sinlim

danf(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena

Limit di Tak HinggaLxf

x

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2()1(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

xx

x

4252lim 2

xx

x

Jawab

)2()(lim

2

2

42

522

x

xx

x xx

)2()(

lim2

2

4

52

x

xx

x

= 0

Contoh Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2)

33(3lim

2

22

xxxxxxxxx

x

xxxxxx

x

33lim

2

22

xxxx

x

33lim

2

xxx

xx

xx

)1()1(lim2312

3||2 xx

xxx

xx

xx

231

3

1)1(lim

21

)11(1lim

231

3

xx

xx

Latihan soal

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

a

(ii)

1L2L Karena limit kiri(L1)

tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada)(lim xf

axL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada)(lim xf

axada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a

º

ContohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

xxxf

2,32,2

4)(

2

xx

xx

xfa. b.

Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)

f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3

42lim)2()2)(2(lim2

4lim22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika)()(lim afxf

ax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,12,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2)2()(lim

2fxf

x

aaxxfxx

2)(lim)(lim22

141)2()2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1

f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

141)2()2( 2 aaf

141lim)(lim 222

aaxxfxx

Selalu dipenuhi

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi• Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan

f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a. Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

Lxgax

)(lim )()(lim))((lim Lfxgfxgf

axax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax

4313cos)( 2

4

xxxxxf

))(()( xhgxf

4313)( 2

4

xxxxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinuJawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}