Rencana Penilaian Akhir
• Komponen Penilaian 1. Nilai UTS : 25%2. Nilai UAS : 40%3. Tugas Mandiri : 15%4. Kehadiran : 10%
5. Tugas Terstruktur : 10%
Kontrak Belajar...• Ketika berada dalam kelas Handphone boleh dihidupkan namun harus dalam keadaan silent.
• Bagi yang terlambat max.15 menit dipersilahkan masuk dan lebih dari jam yg ditentukan boleh masuk tapi tidak diabsen.
• Lebih baik jujur atau anda tidak lulus.
Pertemuan Materi I Penjelasan GBPP dan kontrak
perkuliahan serta Pengantar Matematika / Fungsi Real
II Turunan dan Aplikasi
III Integral
IV Fungsi TransendenV Teknik Integral VI Barisan dan Deret
VII Kuis
Pertemuan Materi VIII Persamaan Differensial Biasa
IX Kalkulus fungsi vektor
X Fungsi Peubah Banyak
XI Integral Rangkap
XII Kalkulus Integral Vektor
XIII Kalkulus Integral Vektor
XV Kuis / latihan soal
REFERENSI BUKU...
Mursita Danang, 2009. Matematika Dasar : Untuk perguruan Tinggi, Rekayasa Sains. Jakarta
R: Bilangan Real
Irasional Rasional
Pecahan Bulat
Bulat negatif
Bulat Positif
atau cacah
Bilangan nol
Bilangan asli
Hukum penjumlahan dan perkalianKomutatif: a+b=b+a ; a.b=b.aAsosiatif: a+(b+c)=(a+b)+c ; a(bc)=(ab)cDistributif: a(b+c)=ab+ac
n mnm
n mnm
nn
nn
ppp
pqqp
qpq
p
qpqp
aa
aa
aa
aa
baabaa
aaa
aaaperpangkaHukum
1
1)()(
.tan
1
Nilai mutlak x =
0 x
0 x
Koordinat kartesius
x
y
2122
12),( yyxxQPdjarakrumus
p
q(x2,y2)
(x1,y1)
2,22121 yyxx
Titik tengah potongan garis dari p dan q adalah
1.1 Persamaan kuadrat
0: 2 cbxaxkuadratpersamaanumumbentuk
Persamaan kuadrat diselesaikan dengan cara:1. Memfaktorkan2. Melengkapkan kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat4. Menggambar grafik fungsi
cbxaxxf 2)(
1.1.1 Persamaan kuadrat - memfaktorkan
0)3)(2(0652
xxxx
Jadi penyelesaiannya adalah x1=2 dan x2=3
0)3)(12(0352.40)3)(2(065.30)3)(3(096.2
0)2)(2(04.1
2
2
2
2
xxxxxxxxxxxx
xxxContoh soal
1.1.2 Persamaan kuadrat – Melengkapkan kuadrat
431231
319)1(9)1(
09)1(09)1()12(
092
1
1
2
2
2
2
xxxxxx
xxxx
Pada hakekatnya, tiap bentuk kuadrat dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapannya.
222 2)( bababa
1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat
aacbbxatau
aacbbx
adalahcbxaxkuadratpersamaananPenyelesai
24
24
02
2
2
1
2
2215
)1(2)6)(1(4)5()5(
24
3215
)1(2)6)(1(4)5()5(
24651
065
22
2
22
1
2
aacbbx
aacbbx
cbaxx
soalContoh
322324
2124
)1(2)1)(1(4)4()4(
322324
2124
)1(2)1)(1(4)4()4(
141014
2
2
2
1
2
x
x
cbaxx
1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat
321610
)1(2)21)(1(4)10()10(
721610
)1(2)21)(1(4)10()10(
2110102110
2
2
2
1
2
x
x
cbaxxsoalContoh
a
b
1.1.3 Persamaan kuadrat – rumus kuadrat
acxxdan
abxx
adalahakarkalihasildanjumlahmakacbxaxpersamaanakarakaradalahxdanxJika
2121
221
.
0
0))(( 21 xxxx
Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara
1. Memakai faktor
2. Memakai rumus kuadrat
0)( 21212 xxxxxx
1.2 Pertidaksamaan kuadrat
0000
2
2
2
2
cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
Cara menyelesaikan:1. Dengan garis bilangan2. Dengan sketsa grafik
1.2.1 Pertidaksamaan kuadrat-dengan garis bilangan
)0,2()0,3(0)2)(3(
062
danadalahxsumbudenganpotongtitikxx
xx
-3 2
+ - +
Himpunan penyelesaian (x|-3<x<2)
1.2 .2 Pertidaksamaan dengan fungsi kuadrat / fungsi grafik
1. Fungsi kuadrat memiliki titik balik
2. Jika a>0, maka titik balik adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas
3. Jika a<0 titik balik adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah
4. Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat adalah
)44,2(
2
aacb
ab
abx 2
Pertidaksamaan dengan Fungsi Kuadrat : contoh soal
)41,1())1(4
)2)(1(4)3(,)1(23(
)44,2(
)0,2()0,1(
11.2)2)(1(4)3()3(21.2
)2)(1(4)3()3(2
42
40)(
23123)(
21
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
aacb
ab
puncaktitikKoordinat
danadalahysumbudenganpotongtitik
xataux
aacbbxatau
aacbbx
xfyjikadiperolehxsumbudenganpotongTitikcba
xxxf
1.3 Persamaan nilai Multak
yxyxyxyx
yx
yx
yxyxberlakuRyRxUntuk
xx
axatauaxaxaxaax
berlakuadanRaRxUntuk
,.3.2
0,.1
2
1.3.1 Persamaan nilai Multak contoh 1
400)4(4 0164 1616164 442
442
442
442
21
2
2
22
22
2
2
xxxxxx
xxx
x
x
x
1.3.1 Persamaan nilai mutlak / contoh 2
310)3)(1(
0340144
1)2()1()2(
121
310)3)(1(
034,2
03242
21
2
2
22
22
1
21
2
2
xatauxxx
xxxx
xx
xyuntuk
yatauyyy
yymakayxmisalkan
xx
140)1)(5(
0540944
3)2()3()2(
323
43
2
2
22
22
1
xatauxxx
xxxx
xx
xyuntuk
Jadi penyelesaiannya adalah x=-1, x=1, x=3 atau x=5
1.3.2 Pertidaksamaan nilai Multak
232
322
6644
3.2)4)(3(4)4()4(
0443012129
0164129)4(23
)4(23423
21
2
2,1
2
2
2
22
22
xatauxsehingga
xdanxmaka
x
xxxxxx
xx
x
1.3.2 Pertidaksamaan nilai Multak
311221212
212
23,320)3)(2(
0610611
611
21
2
2
2
xx
xx
yuntuk
yannyapenyelesaihimpunanydanydapatdiyy
yyxymisalkan
xx
xx
memenuhiRxtiapsehinggax
yuntuk
313
R x3,x-1|xadalah annyapenyelesaihimpunan Jadi
2. Garis Lurus
x
y
A (x1,y1)
B(x2,y2)
22
12
xxyy
xykemiringangradienm
bmxyadalahlurusgarisPersamaan
Bentuk umum persamaan Garis : Ax+By+c=0
2. Garis Lurus – contoh soal
Tentukan persamaan garis melalui titik (4,3) dengan kemiringan -1
77
34
)4(43)4)(1(
431
1
1
22
22
22
22
2
2
12
12
xyxy
yx
xxyx
xy
xxyykemiringan
Cara
2. Garis Lurus – Sejajar – Contoh soalTuliskan persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x+3y=6 dan melalui titik (3,-3)
132
3232
3)3(32
)3(33)3(3
233
32
3)3(
32
32
232
623632
22
22
22
22
2
2
2
2
xy
yx
yx
xxyx
xy
xykemiringan
mjadi
xy
xyyx
2. Garis Lurus – Tegak lurus
Dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduanya saling berbanding balik negatif
2
2
1
1
21
1yx
xy
mm
Produk kartesiusPasangan bilangan (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutan kedua
Definisi: Jika A dan B adalah himpunan tidak kosong, maka produk kartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x adalah elemen A dan y adalah elemen B
BydanAxyxBA |),(
Misalkan A={1,2,3} dan B={a,b,c} maka produk kartesiusAxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c), (3,a),(3,b),(3,c)}BxA={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3), (c,1),(c,2),(c,3)}AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)}BxB={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}
RelasiMisalkan AxB adalah produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius AxBMisalkan A={1,2,3} dan B={a,b,c} maka produk kartesius AxB adalahAxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c), (3,a),(3,b),(3,c)}Relasi dari himpunan A ke B adalahR1={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}R2={(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}Contoh: Relasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B={0,1,2,3,4}
adalah himpunan F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} dapat dituliskan sebagai BydanAxxyyxF ,1|),(
Relasi dari himpunan A={0,1,4} ke himpunan B={-2,-1,0,1,2} adalah himpunan P={(4,2),(4,-2),(1,1),(1,-1)}, dapat dituliskan sebagai BydanAxyxyxF ,|),( 2
RelasiRelasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B={0,1,2,3,4} adalah himpunan
F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} BydanAxxyyxF ,1|),(
Relasi dari himpunan A={0,1,4} ke himpunan B={-2,-1,0,1,2} adalah himpunan P={(4,2),(4,-2),(1,1),(1,-1)}, dapat dituliskan sebagai BydanAxyxyxF ,|),( 2
1234
A B
123
0
4
1
421-1
-2
0
0
A B
FungsiRelasi dari himpunan A ke B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B
A B
x Y=f(x)
)(: xfyxy
y = f(x) disebut rumus atau aturan untuk fungsi fx disebut peubah (variabel) bebasy disebut peubah (variabel) tak bebas
FungsiContoh soal: Misalkan y=f(x)=x-1, di mana x=bulat positif; -1<x<5
1234
AB
123
0
Sehingga fungsi f={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}Daerah asal (Domain) fungsi f adalah DF={1,2,3,4}Daerah kawan (Kodomain) fungsi f adalah KF={0,1,2,3,4,5}Daerah hasil (Range) fungsi adalah RF={0,1,2,3}
45
Fungsi
)(: xfyxy
Supaya nilai F(x) adalah real maka harus ditentukan daerah asalContoh:
}1|{,1,14)(
xdanRxxDjadixmakax
xf f
3;1|310)3)(1()(
)3)(1(1
341)( 2
xxdanRxxDjadixdanxsehinggaxxmakarealbernilaixgSupaya
xxxxxg
g
};32|{320)3)(2(
065
)(sup;65
5)(
2
2
RxxatauxxDjadixatauxsehinggaxx
xx
makarealbernilaixhayaxx
xh
h
a
b
c
Jenis-jenis fungsi – fungsi konstan / fungsi tetapFungsi konstan mempunyai ciri khusus yaitu untuk semua unsur himpunan A berkaitan hanya dengan sebuah unsur dari himpunan B
tetapankkxf ,:
1234
AB
a
Jenis-jenis fungsi – fungsi identitasFungsi identitas mempunyai ciri khusus yaitu semua unsur dalam himpunan A berkaitan dengan dirinya sendiri
1234
A B
1234
xxIxxI )(,:
Jenis-jenis fungsi – fungsi linear
Fungsi yang ditentukan dengan rumus y=f(x)=mx+n, m dan n adalah tetapan dan m tidak samadengan 0. Grafik y=f(x)=mx+n memotong sumbu X di titikdan memotong sumbu Y di titik n
mnx
Jenis-jenis fungsi – fungsi kuadrat
cbxaxxfyxf 2)(:
Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Fungsi surjektifFungsi disebut fungsi surjektif – onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau
BR f BAf :
Fungsi disebut fungsi surjektif – into atau fungsi kedalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan bagian dari himpunan B atau
BAf :BR f
1234
A B
a
b234
AB
abcde
Fungsi surjektif onto
Fungsi surjektif into
1
Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Fungsi injektif atau fungsi satu-satu
BAf :Fungsi disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap)()(, 212121 afafberlakuaadanAaa
234
AB
bcde
1
f
a
Fungsi berdasarkan daerah hasil (R) : Bijektif
BAf :Fungsi disebut sebagai fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi bijektif
234
A B
bcde
1
Aljabar fungsi
Jika diketahui fungsi f(x) dan g(x) dan n adalah bilangan rasional
nn xfxfditulisnbilangandenganxffungsiPerpangkaxgxfx
gfditulisxgdanxffungsiPembagian
xgxfxgfditulisxgdanxffungsiPerkalianxgxfxgfditulisxgdanxffungsiSelisihxgxfxgfditulisxgdanxffungsiJumlah
)()()(tan)()()()()(
)()())(()()()()())(()()()()())(()()(
Fungsi komposisi xgkomposisifdibacaxgf ),)((
x y=g(x)
z=f(y)
))(()( xgfxh
fg
Def
...(3)........................................(x).......z rumusdengan ditentukan zx:h sehingga C,z kedipetakan A xTiap C.A :h Fungsi
....(2)........................................f(y)......z rumusdengan ditentukan zy:f sehingga C,z kedipetakan y Tiap C.B :f Fungsi
....(1)........................................g(x)......y rumusdengan ditentukany x:g sehingga B,y kedipetakan A xTiap B.A :g Fungsi
h
B
A B C
Fungsi komposisi
f(g(x))g)(x)(fh(x) Sehingga f(g(x))h(x)
sehingga 4persamaan ke 1persamaan Substitusi......(4)........................................f(y)......h(x)
2persamaan 3Persamaan g)(x)?(fh(x) komposisi fungsi menentukan cara Bagaimana
x y=g(x)
z=f(y)fg
A B C
))(()( xgfxh
Fungsi komposisi – Domain - Result
x y=g(x)
z=f(y)fg
A B C
))(()( xgfxh
f
g
f
R
D
D
g)(f
g)(f
g
R f fungsi hasildaerah daribagian himpunan adalah g)(f komposisi fungsi hasildaerah c.
D g fungsi asaldaerah daribagian himpunan adalah g)(f komposisi fungsi asaldaerah b.
R kosonghimpunan bukan f fungsi asaldaerah dan g fungsi hasildaerah antarairisan a.adalah g)(f komposisi fungsi menjadi idikomposisdapat gdan f fungsiagar Syarat
Fungsi invers
x
A B
y=f(x)
y=f(x)
f
inversf 1x
dan Bb|ab,:f erurut pasangan tdengan dinyatakanA B :fadalah f fungsi dari invers maka
Bbdan |ba,:f erurut pasangan tdengan dinyatakan BA :f fungsi Jika
Definisi
1-
Aa
Aa
f(x) invers fungsimerupakan yang )(fn mendapatkauntuk )(f paday Ganti 3Langkah
)(f nama diberi pertamalangkah paday fungsi sebagaiBentuk x 2Langkah
y fungsi sebagaibentuk x dalam f(x)ypersamaan Ubah 1Langkah
invers fungsin mendapatkauntuk Cara
1-1-
1-
xy
y
Fungsi invers dari fungsi komposisi
x y=g(x)
z=f(y)
fgA B C
))(()( xgfxh
z=f(y)
y=g(x)
x
1f1g
))(()()()( 1111 xfgxgfxh
))(()()())(()()(
:
111
111
xgfxfgxfgxgf
Rumus
Fungsi invers dari fungsi komposisi
26x-
24)2(
24(x)f
)](([g))((g (x)g)(f
24x(x)g 2(x)f
24y x 2-y x
2x-4yg(x) 2xyf(x) komposisi invers Fungsi b.
6-2x22x-4 2g(x)f(g(x))g)(x)(f komposisi Fungsi a.
(x)g)(fdan g)(x)(f rumuscarilah 2x -4g(x) ,2f(x) fungsimisalkan
1-
11-11-1-
1-1-
1-
x
xfxf
x
x
1. Pengertian Limit • Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel didalam fungsi yang bersangkutan terus menerus bekembang mendekati suatu nilai tertentu.
• Fungsi F(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L keduanya konstanta) maka L disebut limit fungsi F (x) untuk x mendekati a begitu pula untuk fungsi g(x) = G. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi ;
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Misal (limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xgxf
xgxf
ax
axax
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim
2.
3.
4. nax
nax
xfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
5. bila n genap L harus positif
1.
222 )1(11sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
011sin)1(lim 2
1
xx
x
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
11sin)1(lim 2
1
xx
x
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)11sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
maka
AO
B
C
D
OC= cos ; CB= sin
Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOBSehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;
cos
1sincos
Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sinlim10
it
Sehingga : 1sinlim0
it
1sinlim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh
2.22tan5
4.44sin3
lim2tan54sin3lim
00
xx
xx
xxxx
xx
2.22tanlim5
4.44sinlim3
0
0
xx
xx
x
x
37
2.22tanlim5
4.44sinlim3
02
04
xx
xx
x
xx 0 ekivalen dgn 4x 0
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(limxgxf
ax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLibawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiibawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
Contoh 11lim
2
1
xx
xa.
11lim 2
2
1
xx
x xx
x sinlim
b. c.
Jawab a. 021lim2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
11lim
2
1 xx
x
b.
021lim 21
x
x
11lim 2
2
1 xx
x
akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehinggabernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
c.
0lim
xx
x
xx sinlim
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
Karena
Limit di Tak HinggaLxf
x
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL
x
Contoh Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab
)2()1(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
4252lim 2
xx
x
4252lim 2
xx
x
Jawab
)2()(lim
2
2
42
522
x
xx
x xx
)2()(
lim2
2
4
52
x
xx
x
= 0
Contoh Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxx
3lim 2)
33(3lim
2
22
xxxxxxxxx
x
xxxxxx
x
33lim
2
22
xxxx
x
33lim
2
xxx
xx
xx
)1()1(lim2312
3||2 xx
xxx
xx
xx
231
3
1)1(lim
21
)11(1lim
231
3
xx
xx
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
)()(lim afxfax
(ii)
(iii)
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
a
(ii)
1L2L Karena limit kiri(L1)
tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada)(lim xf
axL ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iv)
a
f(a)
f(a) ada)(lim xf
axada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
a
º
ContohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
24)(
2
xxxf
2,32,2
4)(
2
xx
xx
xfa. b.
Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3
42lim)2()2)(2(lim2
4lim22
2
2
x
xxx
xx
xxx
)2()(lim2
fxfx
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika)()(lim afxf
ax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,12,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2)2()(lim
2fxf
x
aaxxfxx
2)(lim)(lim22
141)2()2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1
f kontinu kanan di x=2
)2()(lim2
fxfx
141)2()2( 2 aaf
141lim)(lim 222
aaxxfxx
Selalu dipenuhi
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi• Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan
f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a. Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
Lxgax
)(lim )()(lim))((lim Lfxgfxgf
axax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax