TEORI KINETIK GAS

Jika kita dapat melihat pergerakan molekul-molekul gas

kita akan melihat bahwa molekul-molekul gas tersebut bergerak

dengan kecepatan yang berbeda-beda. Jarak antar molekul yang

cukup jauh, relatif dibanding dengan ukuran molekul tersebut,

menyebabkan molekul gas bergerak dengan bebas. Maksud dari

pergerakan bebas adalah molekul-melokul tersebut dapat

bergerak dalam arah sembarang. Hal itu menyebabkan molekul

udara saling bertumbukan satu sama lain. Juga terhadap

dinding dimana molekul udara tersebut berada. Ternyata,

perilaku gas semacam itu dapat dijelaskan dengan konsep

kinematika dan dinamika rata-rata gas.

Pada bab ini kita akan membahas mengenai gas secara umum

dengan mengadopsi sebuah teori yang secara khusus mempelajari

tentang perilaku gas dalam jumlah yang sangat besar yaitu

teori kinetik gas.

Bab yang akan dipelajari:

1. Model Molekuler Gas Ideal

2. Kalor Jenis Molar Gas Ideal

3. Proses Adiabatik gas Ideal

4. Ekuipartisi Energi

5. Hukum Distribusi Boltzmann

6. Distribusi Kecepatan Molekuler atau jalan Bebas Rata-rata

Tujuan Pembelajaran:

1. Mendefinisikan hubungan antara tekanan, volume dan

temperatur gas

2. Menjelaskan bahwa interaksi antar molekul zat menentukan

sifat zat

3. Mendefinisikan hubungan tekanan dan temperatur gas dengan

energi kinetik molekulnya

4. Menjelaskan bagaimana besar kapasitas molar dapat

menunjukkan kondisi rotasi dan vibrasi molekul

5. Menentukan faktor penyebab benda berada dalam fase gas,

cair atau padat

Jumlah molekul dalam sebuah wadah dapat kita hitung

dengan mudah. Jumlah molekul, katakanlah, dalam sebuah balon

ulang tahun berisi sekitar 6 x 1023 molekul. Angka ini dapat

Anda hitung dengan mudah. Misalnya gas dalam balon tersebut

kita asumsikan sebagai gas ideal, atau hampir mendekati sifat

tersebut. Dengan konsep gas ideal kita dapat menentukan jumah

molekul dengan persamaan:

Dengan k menunjukkan konstanta Boltzmann. Persamaan gas

ideal yang lebih familiar lainnya yaitu pV = nRT dapat kita

gunakan untuk menentukan jumlah mol gas,

Dengan R menyatakan konstanta gas universal. Kita telah

mengetahui bahwa perbandingan antara R/k tidak lain adalah

bilangan Avogadro, NA = 6,02 x 1023 molekul, yang menyatakan

jumlah molekul gas, apapun jenis gas tersebut, dalam 1 mol

gas. Molekul dan atom terdiri dari elektron-elektron yang

terikat pada inti atom. Massa electron jauh lebih kecil

dibanding massa proton dan neutron, dua partikel yang

menyusun inti atom. Massa proton dan neutron hamper sama

yaitu sekitar 1,67 x 10-27kg = 1,67 x 10-24 g. Berat suatu atom

atau molekul dengan demikian bergantung pada jumlah massa

inti atom. Jika A menyatakan jumlah total proton dan neutron

maka berat molekul didefinisikan sebagai:

Jika berat satu mol molekul adalah A gram maka jumlah

molekul dalam sistem tersebut dapat kita tentukan dengan

cara:

Jumlah molekul N itu kemudian didefinisikan sebagai

bilangan Avogadro, NA. Jumlah molekul sdemikian banyaknya itu

menempati volume sebesar 22,4 L. Ingat bahwa pada keadaan

STP, volume 1 mol gas adalah 22,4 L. Volume tersebut

ekuivalen dengan 22,4 x 10-3 m3. Dalam perkiraan yang

kasar kita dapat menghitung ruang yang ditempati setiap satu

molekul gas yaitu:

Ukuran volume yang sangat kecil sekali. Namun ukuran

volume ini sungguh sangat besar dibanding dengan ukuran

setiap molekul yang hanya:

Ternyata volume molekul jauh lebih kecil dibanding dengan

ruang yang ditempati. Fraksi ruang yang ditempati molekul

dengan demikian hanya sebesar:

Jadi setiap molekul hanya menempati sepersepuluh ribu

dari keseluruhan ruang yang tersedia baginya. Semakin ideal

sifat suatu gas maka semakin sedikit tumbukan yang terjadi

antar gas tersebut. Dalam konteks ini, yang dimaksud dengan

gas ideal adalah segerombolan molekul gas saling independen

satu sama lain, bergerak dalam orientasi yang bervariasi dan

jarang bertumbukan. Namun demikian, coba Anda ingat lagi bab

tentang kesetimbangan termal pada gas, tumbukan yang jarang

ini memiliki peranan penting dalam proses termodinamika.

Kita akan menggunakan metode statistic untuk menganalisis

perilaku gas ideal. Seperti kita ketahui bahwa jumlah molekul

gas yang sangat banyak merupakan argumen tersendiri yang

menguatkan berlakunya metode statistik. Salah satu sifat dari

statistic adalah semakin banyak konstituen yang menjadi

elemen suatu sistem maka deviasi dari analisis kita semakin

kecil dan dalam batasan-batasan tertentu asumsi-asumsi kita

menjadi valid.

19 - 1 Tekanan dan Kinematika Molekuler

Perhatikan sebuah wadah yang

telah diisi dengan gas ideal yang

terdiri atas N molekul gas yang

memiliki massa masing-masing m dan

bergerak bebas satu sama lain.

Dalam teori kinetik gas, molekul-molekul gas tersebut

bergerak dengan kecepatan yang

berbeda-beda dan dalam arah yang

berbeda-beda pula. Karena dalam

sistem tersebut terjadi tumbukan

baik antar molekul maupun antara

molekul dengan dinding wadah maka

sifat dari tumbukan tersebut juga bermacam-macam. Dalam

mekanika Newton, tumbukan adalah salah satu mekanisme

transfer energi dimana proses tersebut sangat berkaitan

Gambar 19.1a salahsatu molekul bermassam bergerak dengankecepatan v dankelajuan vx. Kitaasumsikan molekulbergerak ke arah sumbux dan dengan demikian

dengan gaya. Seperti telah diketahui bahwa laju transfer

momentum tidak lain adalah gaya, F = dp/dt.

Tumbukan dapat kita lihat dalam perspektif tekanan.

Beberapa sifat gas dapat kita karakterisasi sebagai

berikut.

Kecepatan rata-rata molekul dalam wadah adalah nol.

Kita simbolkan kecepatan rata dengan tanda . Dengan

demikian . Walaupun kecepatan rata-rata

molekul gas nol tetapi kelajuannya tidaklah nol.

Kita asumsikan kelajuan rata-rata molekul gas adalah

sehingga . Kita dapat mendefiniskan akar

kelajuan rata-rata sebagai berikut:

Dengan vrms menyatakan akar kelajuan rata-rata atau

root means square. Energi internal sistem dipengaruhi

secara dominan oleh energy kinetik molekul gas.

Interaksi interatomik atau molekuler dapat diabaikan

karena jarak pisah antar molekul yang cukup jauh. Energi

kinetik sistem diberikan oleh persamaan:

(19-1)

Dimana EK menyatakan energi kinetik per molekul

sedangkan N menyatakan jumlah total molekul dalam

sistem. Kelajuan rata-rata adalah jumlah kelajuan

molekul pada sumbu koordinat

x, y dan z:

Seperti kita ketahui bahwa secara makroskopik keseluruhan gas

tidaklah mengalami pergerakan. Dengan demikian kita dapat

menarik kesimpulan bahwa komponen kelajuan tersebut haruslah

simetris satu sama lain artinya komponen kelajuan pada arah x

haruslah sama dengan komponen kelajuan pada arah y

dan z.

Nilai kelajuan rata-rata dapat kita tentukan

dengan persamaa berikut:

(19-2)

Perhatikan Gambar 19.1b, tekanan gas dihasilkan dari

tumbukan yang terjadi secara kolektif antara molekul gas

dengan dinding wadah dimana gas itu ditampung. Pada

level perhitungan kuntitatif kita dapat mengasumsikan

model tumbukan yang terjadi adalah tumbukan tunggal

antara molekul gas dengan dinding. Setelah kita

mengetahui besar tumbukan yang terjadi maka untuk sekian

banyak jumlah molekul kita dapat menentukan jumlah total

tumbukan yang terjadi per satuan waktu. Jika kita

mengetahui laju tumbukan per detik maka kita dapat

mengetahui gaya yang dihasilkan dari tumbukan tersebut.

Gambar 19.1b salahsatu molekulbermassa m bergerakdengan kecepatan vdan kelajuan vx. Kitaasumsikan molekulbergerak ke arahsumbu x dan dengandemikian kita

Gambar 19.1 menunjukkan model skematis dari tumbukan

tunggal yang terjadi antara molekul dengan dinding.

Karena kita telah mengasumsikan bahwa tumbukan hanya

terjadi pada satu arah saja yaitu x maka hanya komponen

kecepatan pada arah x saja yang mengalami perubahan.

Jika kita definisikan kecepatan awal molekul sebelum

tumbukan adalah

Maka kecepatan setelah tumbukan adalah

Tanda minus pada komponen kecepatan vx menunjukkan

bahwa molekul mengalami tumbukan yang bersifat elastik

dan bergerak pada arah berlawanan dari arah semula.

Perubahan momentum molekul dengan demikian dapat

dituliskan sebagai:

Momentum yang ditransfer dari molekul ke dinding

adalah negatif dari perubahan momentum molekul yaitu:

(19-3)

Berdasarkan diagram pada Gambar 19.1, persamaan (19-

3) menjadi valid dan argumentatif karena dinding ditekan

oleh molekul ke arah kanan atau searah dengan gerak

mula-mula molekul. Tanda vector pada variabel kecepatan

dan juga diganti dengan skalar karena molekul

bergrak dalam satu dimensi. Jika kita asumsikan terdapat

molekul sejumlah N yang menumbuk dinding pada selang

waktu sangat singkat dt maka jumlah tumbukan yang terjadi

dapat kita tentukan yaitu:

(19-

3)

V menyatakan volume gas. A menyatakan luas penampang

dinding yang dikenai tumbukan. Komponen persamaan vxdt

tidak lain menyatakan jarak yang ditempuh oleh molekul.

Angka muncul karena tumbukan antara molekul terjadi

setelah molekul yang lain menabrak dinding. Untuk

menentukan total momentum yang ditransfer maka kita

cukup mengalikan persamaan (19-3) dan (19-4):

(19-5)

Telah disebutkan diawal bahwa laju perubahan

momentum menyatakan gaya. Dari persamaan (19–5) kita

dapat menentukan besar gaya yang dilakukan pada luas

permukaan A yang dihasilkan dari proses tumbukan yaitu:

Dengan demikian tekanan yang bekerja pada dinding

dapat kita tentukan dengan mudah yaitu:

Dengan mensubstitusikan persamaan (19-2) untuk vx kita

peroleh:

(19-6)

Persamaan (19-6) merupakan persamaan umum untuk gas

ideal. Kita telah menurunkan persamaan yang berlaku

untuk sistem makroskopik dengan menggunakan variabel

mikroskopik. Persamaan (19-6) merupakan sebuah

kesimpulan penting dari investigasi kita. Mungkin akan

lebih jelas jika U pada persamaan (19-6) kita nyatakan

secara eksplisit dalam variabel termodinamika,

sehingga persamaan (19-6) menjadi:

(19-7)

Persamaan (19-7) tidak lain adalah persamaan gas

ideal. Pada bab sebelumnya kita penasaran dengan asal

usul persamaan tersebut termasuk apa sebenarnya arti

dari tekanan p dan temperatur T. Seperti telah

disimpulkan secara eksplisit pada persamaan (19-6),

tekanan pada sistem gas ideal merupakan hasil dari

tumbukan yang terjadi secara random pada gas. Dari

persamaan (19-7), kita dapat menginterpretasikan apa itu

temperatur T. Pada bab-bab sebelumnya kita hanya

mengidentifikasi temperatur sebagai besaran yang

berhubungan dengan laju perpindahan energi dari satu

benda ke benda yang lain. Energi internal gas ideal

dapat kita tuliskan sebagai . Perhatikan

persamaan (19-1) dan persamaan gas ideal yang baru saja

kita tulis sebelumnya. Dari dua persamaan tersebut kita

dapat menuliskan:

(19-8)

Berdasarkan persamaan (19-8), kita dapat

mendefmisikan temperatur sebagai energi kinetik rata-rata dari

molekul-molekul gas dalam sebuah sistem. Perhatikan bahwa

interpretasi tersebut tidak melibatkan variabel jumlah

molekul N. Dari persamaan (19-8) kita dapat menentukan

kecepatan rata-rata molekul atau vrms:

(19-9)

Persamaan (19-9) dimodifikasi lebih lanjut untuk

mendapatkan relasi berikut ini:

(19-10)

Yang mana M menyatakan berat molekul rata-rata.

19 – 2 Ditribusi Kecepatan Gas

Fungsi distribusi kecepatan F menyatakan peluang

distribusi kecepatan pada sistem molekuler gas. Fungsi

distribusi kecepatan pertama kali dicetuskan oleh James

Clerk Maxwell pada tahun 1859. Jika kita mendefinisikan

jumlah molekul sebagai fungsi kecepatan adalah N

maka:

jumlah gas yang memiliki kecepatan antara

dan

d3v adalah volume kotak dimana gas berada. Besamya volume

kotak ini adalah:

Karena jumlah total molekul adalah N maka:

Dengan demikian fungsi distribusi dapat kita

tuliskan sebagai:

(19-11)

Persamaan (19-11) dapat kita interpretasikan bahwa

fungsi d3v menyatakan probabilitas molekul memiliki

kecepatan antara dan . Dengan demikian, kita

dapat menentukan kecepatan

kuadrat rata-rata molekul

yaitu:

(19-

12)

Untuk sistem gas ideal yang memiliki energi kinetik

rata-rata maka fungsi distribusi dapat

dinyatakan sebagai:

(19-13)

Persamaan distribusi kecepatan dinyatakan oleh:

Persamaan (19-13) dapat kita gunakan untuk

menentukan kecepatan rata-rata molekul, seperti yang

Gambar 19.2 Sebuahmolekul memilikipeluang memilikikecepatan v padasegmen volumesebesar d3v = dvx

telah kita definisikan pada persamaan (19-10). Untuk

menentukan kecepatan rata-rata kita gunakan persamaan

(19-12) dengan mengganti fungsi F dengan persamaan (19-

13), kita peroleh:

(19-

14)

Kita memperoleh persamaan dala3m bentuk integral

yang kelihatannya sangat rumit. Oleh karena itu, kita

akan menyelesaikan persamaan integral tersebut dengan

cara sebagai berikut:

Kita definisikan:

(19-15)

Dengan menyisipkan persamaan (19-15) ke persamaan (19-

14) kita peroleh:

(19_16)

Dengan mengkombinasikan persamaan (19–16), persamaan

integral yang masih saja sulit untuk diselesaikan, kita

peroleh relasi berikut ini:

(19-17)

Dengan menyisipkan persamaan (19-17) ke persamaan (19-

16) kita peroleh:

(19-

18)

Dengan relasi yang dihasilkan pada persamaan (19–18)

kita dapatkan kecepatan rata-rata vrms sebagai berikut:

(19-

19)

Persamaan (19-19) identik dengan persamaan yang

telah kita turunkan sebelumnya yaitu persamaan (19-9).

19 - 3 Distribusi Maxwell – Boltzmann

Gas ideal dapat terdiri dari molekul yang memiliki

atom-atom tunggal seperti Helium dan Argon atau molekul

yang memiliki atom-atom tidak tunggal seperti nitrogen,

oksigen, bahkan molekul air (H20). Pada sub bab

sebelumnya kita telah mendiskusikan persamaan-persamaan

dimana kita tidak memperhatikan bagaimana komposisi

atom-atom tersebut dalam menyusun molekul. Oleh Ludwig

Boltzmann, ternyata dibuktikan bahwa jenis atom yang

berbeda memiliki perilaku termodinamika yang berbeda

pula.Fungsi distrbusi pada persamaan (19-13) memiliki

bentuk umum sebagai berikut:

Boltzmann menggeneralisasi distribusi kecepatan

menjadi sebuah distribusi yang menjelaskan peluang

setiap molekul yang diberikan energi sebesar E. Boltzmann

menemukan bahwa energi kinetik EK molekul secara

keseluruhan sama dengan energi totalnya yaitu E

sehingga:

(19-

20)

Persamaan (19-20) disebut dengan distribusi Maxwell -

Boltzmann. Persamaan (19-20) sudah merangkum seluruh

variabel fisis yang mungkin dimiliki oleh sistem gas

baik yang monoatomik, diatomik maupun poliatomik. Kita

dapat membayangkan bahwa molekul-molekul gas tidak hanya

bergerak secara translasi saja melainkan dapat juga

berotasi dan bervibrasi. Molekul juga dapat melakukan

kombinasi gerak bertranslasi sambil berotasi, atau

bertranslasi, bervibrasi dan berotasi.

Distribusi Maxwell - Boltzmann dapat digunakan untuk

menjelaskan bagaimana dinamika molekul-molekul gas.

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini:

Gambar 19.3 Tiga macam gerak yang dapat dilakukan oleh

molekul diatomic.

Kita mulai dengan menganalisis sistem molekul

diatomik yang mengalami gerak rotasi. Perhatikan Gambar

19.4. Molekul yang mengalami gerak translasi dan rotasi

sekaligus memiliki komponen energi kinetik translasi dan

rotasi sehingga energi totalnya adalah:

Jika kita jabarkan maka kita peroleh:

Karena molekul tidak momen

inersia pada sumbu z = 0 maka suku

ketiga pada persamaan energi

kinetik rotasi adalah nol. Kita

dapat menentukan energi rata-rata

dengan menggunakan distribusi

Maxwell - Boltzmann. Dengan

sedikit aljabar kita peroleh

energi rata-rata untuk molekul diatomic adalah sebagai

berikut:

(19-21)

Energi yang dimiliki oleh

molekul diatomik lebih besar

disbanding dengan energi molekul

monoatomik yang hanya .

Hal ini dikarenakan pada molekul

monoatomik tidak terdapat

kontribusi energi rotasi seperti halnya pada molekul

diatomik. Namun persamaan (19–21) belum mencantumkan

salah satu aspek energi lagi yaitu energi vibrasi

molekul. Dua atom yang berikatan satu sama lain dapat

melakukan vibrasi. Dengan demikian energi total molekul

harus ditambah dengan energi vibrasi ini. Energi vibrasi

secara umum dapat kita tulskan dalam bentuk persamaan;

Yang mana k menunjukkan konstanta “pegas” yang

menghubungkan antara atom satu dengan yang lain.

Memodelkan atom-atom berikatan satu sama lain

berdasarkan konfigurasi Hooke cukup valid hingga batas-

batas tertentu. Setelah melalui beberapa langkah

perhitungan energi total molekul diatomik diperoleh

sebesar:

(19-22)

Jika kita perhatikan dengan seksama, setiap mode

gerakan memberikan kontribusi energetik terhadap sistem

Gambar 19.4 Molekuldiatomik yangterdiri dari atomdapat mengalamirotasi pada ketigasumbu yaitu sumbu x,y, dan z. Rotasi padasumbu z menghasilkanmomen inersia rotasinol sehingga momen

dalam orde yang hampir seragam yaitu . Molekul

tunggal yang terdiri dari atom monoatomik memiliki tiga

mode gerak yaitu translasi pada arah x, y, dan z. Masing-

masing memberikan konstribusi energi sebesar

sehingga energi totalnya adalah . Pada kasus

molekul yang tersusun atas atom diatomik, mode gerak

molekul bertambah yaitu mode rotasi dan vibrasi. Masing-

masing juga memberikan konstribusi sebesar . Mode

gerak yang dimiliki oleh atom atau molekul disebut

dengan derajat kebebasan. Pada molekul diatomik, molekul

memiliki derajat kebebasan 7 yaitu 3 dari gerak

translasi, 2 dari gerak rotasi dan 2 dari gerak vibrasi.

Setiap derajat kebebasan memebrikan kontribusi energi

sebesar terhadap energi total sistem. Pernyataan

semacam ini disebut dengan teorema ekipartisi. Untuk

molekul yang memiliki n derajat kebebasan maka energi

totalnya dapat kita nyatakan sebagai:

(19-23)

Setiap gas ideal, serumit apapun struktur

molekulnya, tetap mematuhi hukum gas ideal. Karena

energi dalam suatu sistem kita nyatakan sebagai U = N <E>

maka secara umum, energi dalam yang dimiliki oleh sistem

dengan n derajat kebebasan adalah:

(19-24)

Dari persamaan (19-24) kita dapat mendefinisikan

satu besaran lagi yaitu kapasitas panas molar gas, Cv.

Ingat kembali hubungan antara energi nternal U dengan

kapasitas panas Cv dan temperatur, U = CVT. Kapasitas molar

Cv untuk sistem yang memiliki n derajat kebebasan adalah:

(19–25)

Setiap molekul memiliki kapasitas panas molar yang

berbeda-beda yang bergantung pada derajat kebebasan yang

dimiliki oleh atom-atom penyusunnya. Dengan mengetahui

kapasitas molar suatu gas maka kita dapat memprediksi

mode gerak apa saja yang mungkin dimiliki oleh gas

tersebut. Persamaan (19–25) menunjukkan pada kita bahwa

semakin besar derajat kebebasan maka semakin besar nilai

kapasitas molar gas. Dengan pernyataan serupa dapat

disimpulkan bahwa semakin besar kapasitas molar suatu

gas maka semakin banyak derajat kebebasan yang dimiliki

oleh gas tersebut.