Mencari Energi Eigen dan Fungsi PotensialMenggunakan Metode CPM

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Komputasi Nuklir

Disusun Oleh:

Annas Nasrudin [1211703004]

Atikah Mayangsari [1211703006]

Lida Maulida [1211703021]

Siti Mariam [1211703033]

Rida Sri Wulandari [1210703028]

Jurusan Fisika

Fakultas Sains dan TekhnologiUniversitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati

Bandung2013

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Berbicara mengenai fisika inti tidak akan terlepas dari

konsep fisika atom. Untuk masalah hamburan dalam mekanika

kuantum kasus 1 dimensi (1D) banyak menjelaskan gagasan

aktual dengan berbagai pendekatan, sehingga banyak artikel

yang membahas lebih lanjut mengenai hamburan dalam mekanika

kuantum untuk kasus 1D. Hamburan dari potensial penghalang 1D

dapat diselesaikan dengan persamaan Schrödinger tidak

bergantung waktu. Terdapat dua jenis metode untuk

menyelesaikan persamaan Schrödinger; yaitu metode analitik dan

numerik. Dengan menggunakan metode numerik, seperti pada

metode pendekatan potensial, didapatkan hasil yang akurat.

Salah satu metode numerik yang digunakan adalah Metode

Gangguan Konstan .

Dalam fisika inti, potensial osilator harmonik, potensial

step dan potensial sumur berhingga adalah berbagai model

bentuk potensial inti. Sampai saat ini model potensial inti

belum dapat diketahui bentuknya. Banyak teori yang bermunculan

untuk menggambarkan bentuk potensial inti yang sebenarnya.

Untuk dapat menentukan besar tingkat energi sebuah inti

atom dapat diketahui apabila bentuk dari sebuah inti dapat

diketahui. Dengan memasukan parameter potensial inti kedalam

persamaan Schrodinger maka tingkat energi sebuah inti atom

dapat kita ketahui besarnya. Karena solusi umum dari persamaan

Schrodinger adalah Fungsi Eigen dan Energi Eigen.

1.2 Tujuan

Mencari nilai Eigen dan bentuk potensial dari beberapa

jenis potensial seperti potensial Step, Potensial Sumur

Berhingga, Potensial Sumur Tak Hingga, Potensial Osilator

Harmonic 3D, dan Potensial Atom Hidrogen.

1.3 Rumusan Masalah

Bagaimana cara menentukan tingkat energi dari Potensial

Step, Potensial Sumur Berhingga, Potensial Sumur Tak Hingga,

Potensial Osilator Harmonic 3D, dan Potensial Atom Hidrogen

dengan menggunakan Metode Gangguan Konstan (Constant

Perturbation Method)

BAB II DASAR TEORI

2.1 Persamaan Schrodinger

Persamaan Schrodinger adalah gambaran gerak

partikel mikroskopik yang bermassa m dan memiliki

energi sebesar E dan dipengaruhi potensial V yang

akan dilalui partikel tersebut. Secara umum

persamaan Schrodinger ada dua jenis. Yaitu,

persamaan Schrodinger yang teriket waktu (time

dependent) dan yang bebas waktu (time independent)[2]

2.1.1 Persamaan Schrodinger Terikat Waktu (Time

Dependent)

Persamaan Schrodinger terikat waktu adalah

penggambaran gerak partikel mikroskopik secara

matematik yang bermassa m dan memiliki energi

sebesar E yang dipengaruhi potensial yang terikat

waktu V(r,t) [3] . seacara umum persamaan

Schrodinger terikat waktu dapat dituliskan:

Ĥ ψ(r,t) = i ℏ ∂ψ(r ,t)

∂t = - ℏ2

2m ∇2ψ(r,t)+ V(r ,t)ψ(r ,t)

(2.1)

Dimana ψ(r,t) adalah solusi atau fungsi gerak

partikel (nilai eigen) dari partikel tersebut:

ψ(r,t)=ψ(r)f(t) = ψ(r) e(−iEt

ℏ) dan ψ(r) = ∑Cnψn

(2.2)

Persamaan Schrodinger terikat waktu satu dimensi

dapat dituliskan:

Ĥ ψ(x,t) = i ℏ ∂ψ(x,t)

∂t = - ℏ2

2m∂2ψ(x,t)

∂x2+V(x,t)ψ(x ,t)

(2.3)

Persamaan Schrodinger terikat waktu tiga dimensi

koordinat kartesian adalah

Ĥ ψ(x,y,z,t) = i ℏ ∂ψ(x,y,z,t)

∂t = -

ℏ2

2m ∇2ψ(x,y,z,t)+ V(x,y,z,t)ψ(x,y,z,t) (2.4)

Dimana potensial dituliskan dalam bentuk tiga

dimensi

V(x,y,z)=VX(x) + Vy(y) + Vz(z)

(2.5)

Dan nilai eigen dari persamaan Schrodinger terikat

waktu tiga dimensi koordinat kartesian dapat

dituliskan:

ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)f(t) = (2π)(−3 /2) eikr ; e−iwt =

(2π)−3/2 ei(kr−wt)

dimana eikr = eikxeikyeikz

2.1.2 Persamaan Schrodinger Bebas Waktu (Time

Independent)

Persamaan Schrodinger terikat waktu adalah

penggambaran gerak partikel mikroskopik secara

matematik yang bermassa m dan memiliki energi

sebesar E yang dipengaruhi potensial yang bebas

waktu V(r) dalam kata lain hanya terdapat fungsi

posisi. Secara umum persamaan Schrodinger terikat

waktu dapat ditulis:

Ĥ ψ(r) =E ψ(r) = - ℏ2

2m ∇2ψ(r)+ V(r)ψ(r)

(2.8)

Nilai eigen dari partikel tersebut dapat diambil

dari fungsi gerak terlibat waktu [4] yaitu :

ψ(r) = ∑Cnψn

(2.9)

Persamaan Schrodinger bebas waktu satu dimensi

adalah:

Ĥ ψ(x) =E ψ(x) = - ℏ2

2m∂2ψ(x)

∂x2+ V(x)ψ(x)

(2.10)

Dan persamaan Schrodinger bebas waktu tiga dimensi

dalam koordinat kartesian dituliskan:

Ĥ ψ(x,y,z) =E ψ(x,y,z,t) = -

ℏ2

2m ∇2ψ(x,y,z)+V(x,y,z)ψ(x,y,z) (2.11)

Dimana fungsi Eigen untuk persamaan Schrodinger

bebas waktu tiga dimensi dalam koordinat kartesian

dapat dituliskan:

ψ(x,y,z,t) = X(x) Y(y) Z(z)

ψ(x,y,z,t)= (2π)(−3 /2) eikr

ψ(x,y,z,t)= = (2π)−3/2 eik.xeik.yeik.z (2.12)

2.1.3 Potensial Sumur tak Hingga

Sebuah partikel terjebak di dalam seuah potensial

sumur tidak berhingga, partikel tersebut tidak mungkin

keluar dari potensial tersebut karena partikel tersebut

dibatasi dinding potensial yang tidak terhingga.

Potensial tersebut memiliki syarat batas, yaitu

V (x )={∞x<0danx>L00≥x≤L

(2.13)

Persamaan Schrodinger partikel di dalam sumur

potensial tidak berhingga tersebut dapat dituliskan

secara matematis

HΨ (x )=EΨ (x)=−ћ22m

∂2Ψ (x)∂x2

(2.14)

Partikel tersebut hanya bisa bergerak di dalam

sumur potensial, yaitu pada 0≥x≤L dimana besar nilaipotensial V (x )=0. Maka persamaan Schrodinger partikeldi dalam sumur potensial tidak berhingga tersebut

menjadi

∂2Ψ (x )∂x2 +

2mEћ Ψ (x )=0

(2.15)

Dengan memisalkan

k2=2mEћ2

(2.16)

Maka persamaan Schrodinger partikel tersebut menjadi

∂2Ψ (x )∂x2 =k2

(2.17)

Solusi umum dari persmaan Schrodinger tersebut adalah

Ψ (x )=Asinkx+Bcoskx (2.18)

Dengan memasukkan syarat batas pada x=0 dan nilai

Ψ (0)=0, maka solusi umum persamaan Schrodinger tersebutmenjadi

Ψ (x )=Asinkx (2.19)

Dan dengan memasukkan syarat batas pada x=L dan nilaiΨ (L)=0, maka akan didapatkan nilai k yaitu:

Ψ (L)=AsinkL

0=AsinkL

nπ=kL

k=nπL

(2.20)

Hubungan nilai energy eigen dengan memasukkan nilai k,

maka akan didapatkan nilai energy eigen yaitu:

k2=−2mEћ2

(2.21)

En=n2π2ћ2

2mL2

(2.22)

Dengan memasukkan nilai k ke dalam solusi umum

persamaan Schrodinger, yaitu:

Ψ (x )=Asin nπLx

(2.23)

Nilai A dapat kita ketahui dengan menormalisasi solusi

umum persamaan Schrodinger tersebut:

1=∫−∞

∞

Ψ (x )¿Ψ (x )dx=A2∫−∞

∞

sin2 nπL xdx

A=√2L (2.24)

Dengan memasukkan nilai k ke dalam solusi umum

persamaan Schrodinger, kita telah mendapatkan nilai

fungus eigen yang sudah ternormalisasi yaitu

Ψ (x )=√2Lsin nπL x

(2.25)

2.1.4 Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen

Pada permasalahan persamaan Schrodinger untuk

atom hydrogen harus kita ketahui bahwa massa protonmp jauh lebih besar dari massa electron me. Dengan

memandang partikel proton dan electron berotasi di

sekitar pusat massa. Karena proton dianggap diam,

maka kontribusi energy hanya diberikan oleh energy

kinetic electron yang bergerak

Ek= P2me

(2.26)

Untuk potensial yang bekerja pada atom hydrogen

adalah potensial Coulomb yang disebabkan oleh

interaksi antara electron dan proton

V (r )= −e2

4πϵ0

1r

(2.27)

Maka kita dapat tuliskan bentuk umum persamaan

Schrodinger untuk atom hydrogen

{−ћ2

2me∇2−

e2

4πϵ0

1r }Ψ (r )=EΨ (r )

(2.28)

Perlu diingat bahwa pada atom hydrogen mempunyai

koordinat bola, kita perlu merubah ∇2 ke bentuk

koordinat bola. Persamaan Schrodinger yang telah

dibentuk dari koordinat kartesian ke koordinat bola

−ћ22me

1r { ∂∂r (r2 ∂Ψ

∂r )− 1sinθ

∂∂θ (sinθ ∂Ψ∂θ )− 1

sinθ∂Ψ∂φ }−( e2

4πϵ01r )=EΨ

(2.29)

Untuk mendapatkan solusi umum persamaan

Schrodinger untuk atom hydrogen kita harus

melakukan pemisahan variable antara komponen

radial, azimuth, dan polar, bentuk solusi umum

persamaan Schrodinger untuk atom hydrogen dapat

kita tuliskan

Ψ (r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(∅)

(2.30)

Dengan memasukkan persamaan di atas dan

mengalikan (2mer2 /ћ2¿, persamaan Schrodinger atom

hydrogen menjadi:

1R1dr (r2dR

dr )+ 1Θsinθ

ddθ (sinθ dΘdθ )+ 1

Φsin2θd2Φd2∅2 +

2mer2

ћ2 (E+e2

4πϵ0r )=0(2.31)

Pisahkan antara komponen radial, azimuth, dan pola,

komponen radial dapat dipisahkan

1dr (r2 ∂R

∂r )+2mer2

ћ2 (E+e2

4πϵ0r )R=Rl(l+1)

(2.32)

Sedangkan untuk komponen azimuth polar dapat

dituliskan:

1Θsinθ

ddθ (sinθdΘdθ )+ 1

Φsin2θd2Φd2∅2=−l(l+1)

(2.33)

Komponen radial mempunyai solusi umum:

R≡Rnl=Nnlρle

−ρ2 Ln+l

2l+1(ρ)

(2.34)

Dengan nilai Nnl adalah konstanta normalisasi yang

dapat dituliskan

Nnl=√( 12πϵ0na0 )

3 n−l−12n (n+l)!

(2.35)

a0 adalah radius bohr. a0=ћ2 /mee

2, solusi lengkap

untuk komponen radial dapat dituiiskan sebgai

berikut

Rnl=√( 12πϵ0na0 )

3 n−l−12n (n+l )! ( r

2πϵ0na0 )le−r /4πϵ0na0Ln+l

2l+1( r2πϵ0na0 )

(2.36)

Untuk komponen azimuth memiliki bentuk

d2Φd2φ2+m

2Φ=0

(2.37)

Memiliki solusi umum yaitu

Φ≡Φm (φ )=Aeimφ (2.38)

Φm mempunyai syarat normalisasi

(Φm,Φn ¿=∫0

2π

Φm¿ (φ)Φn (φ )dφ=δmn

(2.39)

Dengan A=1

√2π, maka dapat dituliskan secara lengkap

solusi umum untuk komponen Azimut adalah:

Φm (φ)= 1√2π

eimφ

(2.40)

Sedangkan untuk komponen bagian polar, dapat

diselesaikan dari persamaan:

1sinθ

ddθ (sinθ dΘdθ )+{l (l+1 )− m2

sin2θ }Θ=0

(2.41)

Komponen polar memiliki solusi umum:

Θ (θ)≡Θlm (θ)=NellmPlm(cosθ)

(2.42)

Nlm adalah konstanta normalisasi dan Plm(cosθ) bentuk

eksplisit dari polinom legendre yang dapat

diselesaikan menggunakan persamaan Rodigues. NilaiNlm dan Pl

m(cosθ) dapat dituliskan:

Nlm=√2l+1 (l+m )!2 (l−m )!

(2.43)

Plm (cosθ)≡Pl

l (cosθ)= 12ll!

¿¿ (2.44)

Solusi lainnya dari persamaan Schrodinger atom

hydrogen yaitu tingkat energy hydrogen yang

diambil dari komponen radial:

λ=e2

2πϵћ2¿¿

(2.45)

En=mee

4

32π2ϵ0ћ21n2

(2.46)

2.2 Potensial Realistik Inti Atom Model Optik

Potensial Realistik Model Optik dapat juga

disebut realistik Wood-Saxon. Yaitu potensial

realistik yang diturunkan berdasarkan kerangka

model optik. Potensial ini diyakini merupakan

himpunan parameter global dan memenuhi prinsip-

prinsip simetri kekekalan isospin dalm gaya inti

serta kinematika dua benda. Dalam parameterisasi

baru ini menggunakan himpunan aras partikel tunggal

(single particle state) dan lubang tunggal (single hole

state).

Parameterisasi baru menurut Schwierz

menggunakan parameter yang sedikit berbeda.

Potensial partikel tunggal Wood-Saxon secara

lengkap merupakan tiga potensial yang disebabkan

kopling spin orbit VSO(r).

Hψ ( r )=Eψ (r )=[ P22m+Vsen(r)]ψ (r )

(2.47)

Dimana Vsen adalah penjumlahan dari tiga

potensial, yaitu potensial inti berupa fungsi Fermi

V(r) yang merupakan potensial inti model

kulit,potensial model optrik yaitu potensial

Coloumb VC(r) dan potensial yang disebabkan kopling

spin orbit VSO(r).

Vsen=VC (r )+V (r )+VSO

(2.48)

Bentuk persamaan schrodinger dari potensial

realistik ini dapat dituliskan :

Hψ ( r )=Eψ (r )=[l(l+1)ħ22mr

+VC(r)+Vr+1

2m2r ( ∂∂r VSO(r))l.s ]ψ (r )

(2.49)

Persamaan potensial ini berupa fungsi Fermi V (r ),

potensial Coloumb VC (r )dan potensial yang disebabkan

kopling spin orbit VSO(r).

V (r )=−V0

(1+exp(r−R)/a )

(2.50)

VC (r )=Zke2

R (32−12 (rR )

2

) (2.51)

Sedangkan untuk potensial kopling spin orbit dapat

dituliskan

VSO (r )=λV (r )

(2.52)

Secara sederhana maka didapatkan persamaan

potensial kopling spin orbit :

VSO (r )=λ−V0

(1+exp(r−R)/a)

(2.53)

Dan nilai l.s dapat dituliskan :

l.s=12

(j2−l2−s2 )

(2.54)

Parameter Rost didapatkan dari perhitungan

energi orbit al atom 208Pb sedangakan untuk

parameter optimized didapatkan dari perhitungan

potensialinti menggunakan parameter rost. Parameter

universal digunakan dengan menghitung energi spin dari

atom 146Gd. Parameter Chepurnov didapatkan dengan

menghitung energi interaksi isospin yang

dipengaruhi oleh spin orbit. Parameter Wahlborn

didapatkan dengan menghitung energi ikat proton

untuk atom 208Pb.

Nilai dari parameter persamaan diatas dapat dilihat

pada tabel di bawah ini:

Paramete

r

V0[Mev] R0[fm] a[fm] λ R0SO[fm]

Rost 49,6 1,347 0,7 31,5 1,28Optimize

d

49,6 1,347 0,7 36 1,3

Universa

l

49,6 1,347 0,7 35 1,31

Chepurno

v

53,3 1,24 0,63 23,8 1,24

Wahlborn 51 1,7 0,67 32 1,27

Tabel 2.1 : Parameter Literatur untuk neutron

Paramete

r

V0[Mev] R0[fm] a[fm] λ R0SO[fm]

Rost 49,6 1,347 0,7 31,5 1,28Optimize

d

49,6 1,347 0,7 36 1,3

Universa

l

49,6 1,347 0,7 35 1,31

Tabel 2.2 : Parameter Literatur untuk proton

2.3 Teori Pertubasi

Teori pertubasi adalah sebuah teori numerik

yang digunakan untuk menyelesaikan kasus persamaan

Schrodinger berupa nilai Eigen dan energi Eigen.

Teori Pertubation menggunakan pendekatan aproksimasi

deret pangkat [5]. Yaitu:

f(x) = ∑n=0

∞anx

n

(2.55)

maka untuk persamaan Schrodinger dapat dituliskan

dalam bentuk :

H = H0+λH1 + λ2H2 + ... = ∑

n=0

∞λnHn

(2.56)

Dimana 𝜆 adalah sebuah fungsi propagator. Solusi

dari persamaan Schrodinger tersebut berupa nilai

Eigen dan energi Eigen yang berupa deret pangkat:

𝜓 = ψ0+λψ1 + λ2ψ2 + ... = ∑

n=0

∞λnψn

(2.57)

E = E0+λE1 + λ2E2 + ... = ∑

n=0

∞λnEn

2.4 Metode gangguan konstan

Pada umumnya metode gangguan konstan (CPM)

terdiri dari beberapa tahap, tahap tersebut

digunakan untuk mempermudah penyelesaian persamaan

diferensial schrodinger yang sangat rumit bentuk

potensial penghalangnya. Tahap-tahap tersebut

adalah sebagai berikut:

1) Partisi potensial

2) Penyisipan fungsi propagator di suatu partisi

3) Mempropagasikan fungsi propagator ke semua

partisi

4) Menentukan nilai eigen dan energi eigen

Bentuk persamaan schrodinger dengan metode gangguan

konstan untuk satu dimensi dapat dituliskan:

y'' (x )=(V (x)−E)y (x ),→x∈ [a,b]

(2.58)

Dengan kondisi awal untuk setiap ujung intervalnya

adalah:

y (a)=y0

(2.59)

y' (a )=y0

(2.60)

V (x )adalah fungsi potensial yang terbatas dan energi

E adalah sebuah konstanta yang bersifat kontinu.

2.4.1 Partisi Potensial

Gambar 2.5 : Partisi Potensial

Potensial yang telah diplot bentuknya, dengan

mempartisi potensial tersebut dari interval

integrasi [a,b] dimana:

a=x0<x1<x2<…<xn=b

(2.61)

Partisi diatas tidak sama besar, dengan

memfokuskan pada interval I=[xn−1.xn ] dari panjang

partisi hi dimana xn−1 adalah titik awal dari

partikel potensial dan xn adalah akhir dari

partisi.

Dapat kita ambil selisih partisi terkecil

potensial tersebut adalah δ=[xn−xn−1 ] dengan

memisalkan X=xn−1 dan h=hi maka didapatkan

persamaan schrodinger satu dimensi menjadi:

y'' (δ+X )=(V (δ+X )−E)y (δ+X ),δ∈ [0,h ]

(2.62)

2.4.2 Fungsi Propagator

Fungsi Propagator adalah variabel yang

berfungsi untuk mempropagasi solusi eksak dari X

sampai dengan δ + X , dengan memasukkan propagator

u(δ) dan v (δ) kedalam persamaan Schrodinger satu

dimensi dengan kondisi awal:

u (0) = 1, u' (0) = 0

v (0) = 1, v' (0) = 1

(2.63)

dengan menggunakan Wronskian (W) yaitu:

W (u,v) = uv'−u'v = 1 (2.64)

Dimana fungsi propagator dapat ditentukan melalui

persamaan:

u u(δ) = ξ(Z(δ)) , v u(δ) = δη0(Z(δ))

(2.65)

Dimana

ξ(Z) = ¿ (2.66)

Dan

η0(Z) = ¿ (2.67)

Maka solusi umum dari persamaan Schrodinger satu

dimensi dapat dituliskan:

y(δ+X) = C1u(δ) + C2v(δ)

(2.68)

y'' (δ+X) = C1u'(δ) + C2v

'(δ)

(2.69)

Dengan memasukan kondisi awal maka diketahui bahwan

y(X) = C1 = α dan y(X) = C2 = β maka persamaan

Schrodinger satu dimensi tersebut dapat kita

tuliskan dalam bentuk matriks:

( y(δ+X)y'(δ+X)) = ( u(δ) v(δ)

u'(δ) v'(δ)) ( y(X)y'(X))

(2.70)

Untuk mendapatkan nilai y(X) dan y'¿) dapat

menginverskan matriks diatas menjadi:

( y(X)y'(X)) = (v

'(δ) −v(δ)−u(δ) u'(δ)) ( y(δ+X)

y'(δ+X)) (2.71)

2.4.3 Faktor Koreksi

Faktor koreksi bisa didapatkan menggunakan

approksimasi deret dari fungsi propagator:

u(δ) = u0+u1(δ) + u2(δ)+ ...

(2.72)

v(δ) = v0+v1(δ) + v2(δ)+ ...

(2.73)

u(δ) dan v (δ) adalah konstanta diagonal

matriks atau yang dapat dituliskan dengan V dan

nilai ΔV (δ + X) adalah faktor koreksi dari

pertubation yaitu , suku berukutnya dari u(δ) dan v

(δ) . Dimana hubungan antara faktor koreksi dan

potensial yang telah dipartisi dapat dituliskan:

ΔV (δ + X) = V (δ + X) V(2.74)

Dalam metode CP metode harus diketahui bahwa V

(δ) adalah polonomial dalam δ. Apabila Δ(δ) tidak

dalam bentuk polinomial, maka sangat sulit untuk

dihitung [9] . Maka nilai V (δ + X) dapat dihitung

dengan menggunakan nilai pendekatan V * (δ + X). V

* (δ + X) disebut sebagai pilot persamaan

referensi. Dengan mengasumsikan V (δ + X) dengan

menggunakan polinomial Legendre [6] .

V (δ + X) = ∑m=0

NVmh

mPm¿ (δ/h )

(2.75)

Dimana,

Vm = 2m+1hm+1 ∫

0

k

V (δ+X)Pm¿dδ

(2.76)

V0 = (1)h ∫

0

k

V(δ+X)dδ

Maka dengan memasukan V (δ + X) yang telah

dituliskan dalam bentuk polinomial Legendre.

Kedalam persamaan Schrodinger. Persamaan

Schrodinger yang memiliki orde N, dapat kita

tuliskan dengan bentuk:

yN(δ+X) = (Vn(δ+X)- E) yN(δ+X) , δ ϵ [0,h]

(2.77)

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Alat dan Bahan

Komputer

Paket Program MATLAB

3.2 Diagram Alir

3.3 Prosedur Percobaan

Menenentukan metode yang akan digunakan untuk mencari

solusi dari persamaan scharodinger. Metode yang kita

gunakan adalah metode CPM.

Memahami tahapan Algoritma dari Metode CPM, seperti:

o Membuat persamaan refrensai,

o Mencari solusi dari persamaan refrensi tersebut.

o Mencari fungsi propagator refrensi atau solusi

khusus dari refrensi.

o Membentuk persamaan untuk potensial refrensinya.

o Mencari potensial interval lain dengan menggunakan

fungsi propagator.

Pengujian persamaan potensial pada program MATSLISE,

inputan yang dimasukan merupakan nilai-nilai dari

potensial, syaratbatas dan interval-intervalnya

Pengolahan data yang nanti hasilnya berupa nilai energi

eigen dan bentuk dari gelombang fungsinya.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil

1) Potensial Step

a. Untuk daerah I

V0=5

0 x

V(x)

I II

b. Untuk daerah II

2) Potensial Sumur Berhingga

a. Untuk daerah I

V0=5

0 x

V(x)

5/2-5/2

IIIIII

b. Untuk daerah II

c. Untuk daerah III

3) Potensial Atom hydrogen

4) Potensial Sumur Takhingga

a. Untuk Daerah I

0 x

∞

7/2-7/2

II

V=0 IIII

b. Untuk daerah II

c. Untuk daerah III

5) Potensial OHS 3 dimensi

4.2 Pembahasan

Pada Simulasi untuk potensial Step, kami menggunakan

2 daerah, yaitu daerah I dan II. Kedua daerah ini

dibatasi oleh Sumbu x=0. Nilai eigen yang dihasilkan pada

daerah I cenderung mendekati nol dan fungsi eigen yang

dihasilkan berupa gelombang sinusoidal. Sedangkan untuk

daerah II nilai energy yang dihasilkannya lebih dari 5.

Untuk simulasi sumur potensial berhingga digunakan 3

daerah, yaitu daerah I, II, dan III.

BAB V KESIMPULAN

Metode CPM (Constant Pertubation Method) atau Metode

gangguan konsatan tidak dapat memberikan solusi untuk

semua jenis potensial. Ada beberapa kelemahan dari

metode CPM ini yaitu tidak dapat memberikan solusi

untuk bentuk potensial 3D. Metode CPM ini hanya untuk

menghitung potensial yang tidak konstan.

DAFTAR PUSTAKA