Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral

P schl-Teller Hiperbolik Terdeformasi-Q Plus Manning Rosen

untuk Spin Symetri dengan Metode Nikiforov-Uvarov

Dewi Aysiah , Suparmi, Cari

Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret

Email: dewi.aysiah@gmail.com

Abstrak - Persamaan Dirac untuk potensial non-sentral P schl-Teller hiperbolik

terdeformasi-q plus potensial Manning Rosen diselesaikan dengan menggunakan metode

Nikiforov-Uvarov (NU). Penyelesaian dengan metode NU dilakukan dengan cara mereduksi

persamaan satu dimensi menggunakan subtitusi variabel dan fungsi gelombang baru yang

sesuai sehingga menjadi persamaan tipe hipergeometri. Diperoleh persamaan energi

relativistik dalam fungsi gelombang untuk spin Dirac bagian atas dan bawah. Energi

relativistik untuk spin simetri diperoleh dengan persamaan energi relativistik menggunakan

software MATLAB, dimana tingkat energi dari potensial non sentral p schl-teller Hiperbolik

terdeformasi-q plus manning rosen untuk spin simetri mengalami peningkatan karena

pengaruh dari konstanta potensial maupun karena pengaruh dari nilai , sementara ketika

dipengaruhi oleh bagian sudut energi mengalami penurunan. Fungsi gelombang bagian radial

dan bagian sudut diselesaikan dalam penelitian ini yang divisualisasikan menggunakan

software MATLAB. Hasil analisis menunjukkan semakin besar gangguan yang dilakukan

potensial Manning-Rosen maka bilangan kuantum orbital l meningkat yang mengakibatkan

perubahan pada fungsi gelombang bagian sudut dan fungsi gelombang bagian radial.

Kata kunci: Persamaan Dirac, Potensial non-sentral P chl-Teller, Potensial Manning

Rosen, metode Nikiforov-Uvorov

Abstract - The Dirac equation for non-central P schl-Teller Hyperbolic q-deformed potential

plus Manning Rosen potential for spin symmetry is solved analytically using Nikiforov-

Uvorov (NU) method. the solving of Dirac equation using NU method is done by reducing

one dimension equation using proper variable substitution and new wave function, so that it

became hypergeometri type equation. We got relativistic energy equation inside wave

function for Dirac spin up and spin down. Relativistic energy for spin symmetry is acquired

by using relativistic energy equation with MATLAB as the software used, where as the energy

level for non-central P schl-Teller Hyperbolic q-deformed potential plus Manning Rosen

potential for spin symmetry is increasing, it caused from the potential constant or the value

of , while when it disturb by Manning Rosen Potensial the energy level is decreasing.

Beside the energy level, the wave function for radial, angular, and azimuthal part are

produced in this research which is visualized with MATLAB as the software. The result

showed that the greater the perturbation from Manning Rosen potential, the greater orbital

quantum number l, It caused the change to the eigenstate of radial and angular part.

Keyword: Dirac equation, non-central P schl-Teller potential, Manning Rosen potential,

Nikiforov-Uvorov method

I. PENDAHULUAN

Dalam mekanika quantum, adanya partikel yang bergerak dalam suatu medan potensial

yang kuat harus memperhatikan efek relativistic, salah satu contohnya yaitu partikel dalam

akselerator. Ketika suatu partikel memperhatikan efek relativistik, maka perilaku dari suatu

partikel dapat dijelaskan menggunakan persamaan Dirac atau persamaan Klein-Gordon [1].

Satu partikel yang bermuatan akan dipengruhi oleh beberapa energy potensial.

Potensial-potensial yang mempengaruhi tersebut antara lain potensial Coulomb, Morse,

Symmetrical Top, Rosen–Morse, Manning-Rosen, Pӧschl-Teller dll Pada makalah ini akan

diselesaikan potensial non sentral P schl-Teller yang dialami oleh elektron dalam suatu atom.

Selain melakukan gerakan mengitari inti atomnya, elektron juga rotasi yang kompleks,

struktur multi elektron dalam atom, interaksi molekul yang berbentuk cincin, inti yang

dibelokkan, korelasi keadaan sistem fluida kuantum yang dipengaruhi oleh potensial non

sentral P schl-Teller[2].

Persamaan Dirac merupakan persamaan yang sukar untuk diselesaikan dalam bentuk

eksponensial, perlu adanya fungsi tertentu untuk mempermudah penyelesaian persamaan

tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah menggunakan metode Nikifarov-

Uvarov seperti yang telah dilakukan [2] dengan pemisahan variabel bagian radial dan bagian

angulernya. Kemudian mereduksi persamaan Dirac menjadi persamaan diferensial orde 2 tipe

Hipergeometri. Persamaan diferensial tipe Hipergeometri memiliki bentuk penyelesaian

paling umum. Jika persamaan tipe Hipergeometri telah diperoleh, tingkat-tingkat energi dan

fungsi gelombangnya dapat diperoleh dengan mudah.

II. LANDASAN TEORI

A. Metode Nikiforov-Uvorov

Persamaan tipe hipergeometri yang diperoleh dari Persamaan Dirac dengan substitusi

variabel yang sesuai dimana yang merupakan kordinat trasformasi [3] dapat

diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov[5] disajikan sebagai

, (1)

dimana and adalah polynomial yang pada umumnya berderajat dua, dan adalah polynomial berderajat satu yang merupakan fungsi tipe Hypergeometrik[6]

Persamaan (1) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel

yaitu

(2)

dengan (2) dan memilih fungsi yang dperioritaskan, (1) berubah menjadi

(3)

Persamaan (3) akan berubah menjadi (4) dimana .

(4)

dan fungsi gelombang bagian pertama dinyatakan sebagai

(5)

dimana merupakan polynomial berderajat satu dan parameter dapat dicari

menggunakan persamaan

(6)

dan

(

) √(

)

(7)

Nilai di dalam akar pada (7) dapat ditentukan dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat

dibawah akar harus merupakan kuadrat sempurna dari polynomial berderajat satu sehingga

diskriminan dari pernyataan kuadrat di bawah akar nol.

Lebih lanjut energi eigen nilai yang baru pada (15) dinyatakan sebagai

, n = 0, 1, 2, (8)

di mana , (9)

Energi eigen nilai dapat diperoleh dari (8) dan (9). Untuk memperoleh energi eigen

nilai dan eigen fungsi dari sistem bound-state maka dipersyaratkan bahwa .

Penyelesaian bagian kedua fungsi gelombang , yn(s), yang dapat dinyatakan dalam relasi

Rodrigues disajikan sebagai

(10)

dimana Bn adalah konstanta normalisasi, dan fungsi bobot memenuhi kondisi yang

dinyatakan sebagai

(11)

Persamaan gelombang system diperoleh dengan cara mensubtitusikan variable (2), (4), dan

(10).

B. Persamaan Dirac

Persamaa Dirac tak bergantung waktu dengan massa unit relativistik (

dapat ditulis sebagai

( ( )) ( ) (12)

Dimana merupakan operator momentum, merupakan potensial vektor, merupakan potensial skalar , dan matrik Dirac yang didefinisikan sebagai berikut:

(

), (

) (13)

dengan dan menjelaskan matrik Pauli dan matric 2 2 , berturut-turut.

Karena pengaruh dari definisi dan , representasi Dirac-Pauli menjadi

(

) (14)

dengan mensubtitusikan (14) dan (13) ke dalam (12), maka didapatkan

[ ] (15)

[ ] (16)

Ada beberapa kasus khusus untuk persamaan Dirac antara lain Spin Simetri dan Pseudo

Spin simetri. Dimana untuk kasus Spin Simetri dan untuk

kasus Pseudo Spin simetri . Pada kasus Spin simetri yang

eksak nilai sehingga pada kasus khusus Spin Simetri yang eksak nilai . Dengan potensial skalar sama dengan potensial vektor, (15) dan (16) berubah menjadi [4]:

[ ] (17)

(18)

Dengan mengeliminasi diantara (17) dan (18) didapatkan

[ ] [ ] (19)

C. Dirac untuk Potensial Non-Sentral Potensial Manning Rosen dan P schl-Teller

Hyperbolik terdeformasi-q

Potensial Non-Sentral Potensial Manning Rosen dan P schl-Teller Hyperbolik

terdeformasi-q dapat dituliskan sebagai berikut

(

)

(20)

Dari (19) dan (20) maka diperoleh:

[ (

(

)

(

)

) (

) ] [ ] (21)

Persamaan (21) dapat diselesaikan dengan memisahkan variable fungsi gelombang

menjadi tiga persamaan Dirac satu dimensi. Ketiga persamaan satu dimensi

dimensi dari (21) diperoleh persamaan

{ ( (

)) [ ]

}

(22)

{ (

)

} (

)

(23)

( )

(24)

Dimana (22) merupakan Persamaan Dirac bagian radial, (23) persamaan Dirac bagian sudut

dan (24) persamaan Dirac bagian azimuth.

III. METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan metode

Nikiforov-Uvarov. Persamaan Dirac untuk spin simetri yang eksak diredukdsi menjadi tiga

persamaan satu dimensi. Ketiga persamaan satu dimensi ini dibuat mirip dengan persamaan

Schrodinger satu dimensi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Nikiforov-

Uvarov hasil penyelesaian dari Persamaan dirac ini diperoleh berupa fungsi gelombang dan

tingkat energi dari persamaan Dirac.

Nilai tingkat energi yang dihasilkan dari persamaan Dirac ini tidak dapat dijelaskan

menggunakan solusi analitik, sehingga perlu adanya solusi numeric yang dapat di gunakan

untuk menjelaskan mengenai tingkat energinya. Solusi numeric dapat diperoleh dengan

menggunakan software Matlab 2010.

IV. HASIL DAN DISKUSI

A. Penyelesaian Persamaan Dirac bagian radial untuk Potensial Non-Sentral

Potensial Manning Rosen dan P schl-Teller Hyperbolik terdeformasi-q

Untuk menghitung eigen nilai dari (22) dibutuhkan adanya variable baru yang sesuai

yaitu , dmana

. Dengan menggunakan

pendekatan

(25)

Dan mengubah fungsi gelombang menjadi fungsi gelombang , dimana

(26)

√

(27)

√

(28)

Maka (24) menjadi

(

)

{ ( )

( )

} (29)

Dari (17) diperoleh Persamaan sebagai berikut

(

) (30)

(31)

{ ( )

( )

} (32)

Dengan menggunakan (5) didapatkan nilai

√(

) ( ( ) ( ) (

)

(

))

(33)

Untuk memperoleh bentuk persamaan dari menggunakan menggunakan diskriminan dalam

akar sama degan 0 untuk memperoleh akar kembar. Dengan {

}

,

, dan (

) , √

√ dan

√

√ sehingga nilai adalah

(34.a)

(34.b)

Setelah diperoleh nilai dan maka dapat diketahui nilai dari (34) sebagai

berikut

(35.a)

(35.b)

Nilai merupakan nilai untuk dan nilai merupakan nilai untuk .

Nilai digunakan untuk memperoleh persamaan . Untuk membuktikan bahwa (9)

bernilai negatif, maka yang dipakai adalah yang bernilai negatif. Dengan

menggunakan (9), (6) maka diperoleh

(36.a)

(36.b)

(37.a)

(37.b)

Lebih lanjut energi eigen nilai yang baru pada (37.a) dan (37.b) dengan menggunakan

(8) didapatkan sebagai

(38.a)

(38.b)

Untuk

(39)

sehingga nilai En dapat ditentukan sebagai berikut:

(40)

Sehingga besarnya Energi gelombang untuk Persamaan Dirac kombinasi potensial Manning

Rosen dan potensial P schl-Teller terdeformasi-q diperleh solusi sebagai berikut

{√

√

{ }

}

(41)

adalah bilangan kuantum radial, dengan bilangan kuantum

utama, bilangan kuantum obital .

Selanjutnya adalah menghitung fungsi gelombang radial dari Persamaan Dirac

kombinasi potensial Manning Rosen dan potensial P schl-Teller terdeformasi-q.

Penyelesaian dari dapat dilihat pada (2) dimana . Sehingga perlu

menghitung nilai dan . Dengan memasukkan nilai dari dan kedalam (4)

dan (10), sehingga diperoleh:

(42)

(43)

Setelah memperoleh nilai maka dapat ditentukan dengan menggunakan

](9) maka dihasilka

(44)

Dengan menggunakan

,

maka (44) menjadi

(45)

(46)

Dengan polynomial Jacobi dinyatakan sebagai

(47)

Sehingga fungsi gelombang bagian radial keseluruhan dari Persamaan Dirac kombinasi

potensial Manning Rosen dan potensial P schl-Teller terdeformasi-q adalah

(48)

Dengan merupakan konstanta normalisasi yang diperoleh sebagai berikut

√

(49)

Tingkat energi pada suatu atom bersifat diskrit yang dipengaruhi oleh bilangan

kuantum utama yang menentukan subkulit atom. Tingkat energi dari sutu atom Dirac

menunjukkan penurunanyang ditunjukkan pada data berikut:

Tabel.1. Tingkat Energi dengan variasi pengganggu

2 2 0.2 0 0 0 0 1 5 4 4.89 4.80 4.66 4.49

2 2 0.2 1 1 0 0 1 5 4 4.99 4.96 4.89 4.79

2 2 0.2 2 2 0 0 1 5 4 4.99 4.99 4.94 4.87

Hasil yang diperoleh dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai tingkat energi semakin

tinggi akibat konstanta potensialyang disebabkan oleh potensial Manning Rosen terhadap

potensial P schl-Teller sehingga semakin jauh dari inti besarnya energi yang dibutuhkan

semakin besar untuk mempertahankan keadaannya.

Tabel 2. Tingkat Energi dengan variasi q

Tabel 2. Tingkat Energi dengan variasi q

2 2 0.2 2 2 0 0 1 5 4.00 4.99 4.99 4.94 4.87

2 2 0.2 2 2 1 1 1 5 3.41 4.99 4.98 4.94 4.86

2 2 0.2 2 2 2 2 1 5 6.37 4.91 4.82 4.71 4.57

Pada Tabel 2 menunjukkan semakin besar factor deformasi semakin besar pula energi

ikat elektronnya pada kulit yang sama, sementara pada Tabel 3 menunjukkan bahwa semakin

besar factor pengganggu dari potensial Manning Rosen semakin kecil nilai energinya.

B. Penyelesaian Persamaan Dirac baian sudut untuk Potensial Non-Sentral Potensial

Manning Rosen dan P schl-Teller Hyperbolik terdeformasi-q

Persamaan Dirac bagian sudut ditunjukkan oleh (23). Persamaan (23) merupakan

bagian yang akan diselesaikan untuk mengetahui sifat dari suatu elektron pada gerak non-

sentral yang dialaminya. Persamaan (23) diselesaikan dengan mesubtitusi variable baru

berupa untuk merubahnya menjadi fungsi tunggal. Sehingga (23) menjadi

{

(

)

}

(50)

Dengan . Untuk membentuk Persamaan Perantara

Hypergeometry maka (50) dibagi dengan sehinga diperoleh

{

( )( ) (

)

} (51)

Dari (51) dapat diperoleh persamaan sebagai berikut

(52)

(53)

(

)

(54)

Dengan menggunakan Persamaan (5) maka diperoleh

√ (

)

(55)

Untuk memperoleh nilai , sehingga harus memiliki akar kembar. maka diskriminan

( ) harus sama dengan 0.

{ (

)

} (56)

Misalkan

(57)

(58)

Sehingga dengan mensubtitusikan Persamaan (58) dan Persamaan (57) ke Persamaan (55)

diperoleh

(

) (59)

Dan persamaan (56) menjadi

{ (

)

}

(

)

(

) √(

)

(60)

dengan menggunakan pada Persamaan (60) dan Persamaan (58) untuk menentukan nilai

maka sehingga diperoleh

(

) √(

)

(61)

(

) √(

)

(62)

Dari Persamaan (60) maka Persamaan (59) akan menjadi

(

( )

) untuk (63)

(

( )

) untuk (64)

Dengan syarat maka nilai pada Persamaan (63) dan Persamaan (64) yang

memenuhi syarat adalah Persamaan (64), sedangkan untuk nilai diperoleh

(

( )

) untuk (65)

(

( )

) untuk (66)

Dengan syarat maka nilai pada Persamaan (65) dan Persamaan (6) yang memenuhi

syarat adalah Persamaan (66).

(

( )

) untuk (67)

(

( )

) untuk (68)

Nilai dapat ditentukan berdasarkan Persamaan (6). sebelum menentukan nilai

terlebih dahulu menentukan nilai , dan nilai , sehingga diperoleh:

(69)

(70)

dan dari Persaman (8) sebagai berikut

(71)

(72)

Untuk menentukan fungsi gelombang yang tepat diperlukan harga bilangan kuantum

utama yang ditentukan oleh harga bilangan kuantum radial dan harga bilangan kuantum

orbital yang dipengaruhi oleh dan yang merupakan gangguan dari faktor

sentrifugal. Dimana untuk ditemukan nilai bilangan orbital

( )

(73)

Dari Persamaan (60) , Persamaan (73) maka diperoleh

√(

) √(

)

( )

sehingga

√

(74)

√

(75)

Dengan

√ .

dan untuk didapatkan

√

(76)

Dari Persamaan (76) dan Persamaan (60maka diperoleh

√(

) √(

)

( )

Sehingga

√

(77)

√

(78)

Dengan

√ .

Dengan diperoleh persamaan bilangan orbital yang ditunjukkan pada Persamaan (74),

Persamaan (75), Persamaan (77), dan Persamaan (78), Karena nilai dari maka

persamaan bilangan orbital yang dipilih adalah untuk pada Persamaan (75) dan Persamaan

(78), sehingga :

√

√

(

√{ } )

(

√{ } )

(79)

Untuk kondisi dasar, yaitu nilai dan , maka nilai (bilangan kuantum

orbital) untuk potensial Pöschl-Teller termodifikasi plus faktor sentrifugal pada Persamaan

(4.74) menjadi :

(80)

Untuk memperoleh fungsi gelombang bagian pertama bagian sudut dari Persamaan

Dirac kombinasi potensial non-sentral Manning Rosen dan potensial P schl-Teller

terdeformasi-q menggunakan persamaan (5) sebagai berikut

(81)

Untuk memperoleh solusi dari , harus terlebih dahulu mencari nilai dari

yang diberikan pada Persamaan (10) sehingga memperoleh persamaan beriku:

(82)

Jika dimisalkan :

dan

(83)

maka diperoleh fungsi gelombang bagian kedua yaitu :

{ } (84)

(85)

(86)

Dengan

(87)

Dengan

merupakan polinomial Jacobi, maka diperoleh penyelesaian fungsi gelombang

sudut lengkap, yaitu :

(88)

(

)

(89)

Dengan

√

(90)

Persamaan (4.89) merupakan penyelesaian fungsi gelombang bagian sudut yang masih

mengandung beberapa variabel pengganti yang mengandung variasi nilai konstanta

dan .

C. KESIMPULAN

Persamaan Dirac bagian radial potensial non sentral P schl-Teller hiperbolik

terdeformasi-q plus Manning Rosen telah diselesaikan dengan menggunakan metode

Nikiforov-Uvorov dengan menghasilkan tingkat energi positif yang menunjukkan

peningkatan nilai. Sementara gangguan Potensial Manning Rosen memberikan efek

penurunan terhadap tingkat energinya.

PUSTAKA

[1] Xue-Ao,Zhang., Ke, Chen., Zheng-Lu, Duan. 2005. Bound States of Klein-Gordon

equation and Dirac equation for ring-shaped non-spherical oscillator and vector

potentials. Journal of Chinese Physical Sociaty. Vol. 14 No 1, Pp 42-44.

[2] Xian-Quan, HU., Guang, LUO., Zhi-Min, WU., Lian-Bin, NIU., Yan, MA. 2010.

Solving Dirac equation with New ring-shaped non-sentral Harmonic Oscilator

potential. Journal of Chinese Physical Sociaty. Vol. 53 No 1, Pp 242-246

[3] Yasuk, F., Durmus, A., Boztosun.,I. 2006. Exact Analytical Solution to the Relativistik

Klein-Gordon Equation with Non-Central Equal Scalar and Vector Potentials. Journal

of Mathematical Physics. Vol. 47. Pp 87-97.

[4] Durta, A. de SouzaI., and Hott, M.2006 . Dirac equation excat solution for generalized

asymmetrical Hartmann potentials. Physics Letters A.Volume 356, Issue 3 Pages 215–

219

[5] A.F. NIkiforov and V.B. Uvorov, Special Functions of Mathematical Physics,

Birckhauser, Basel, Swizerland, 1988

[6] Berkdemir, C. 2012. Aplication of the Nikiforov-Uvarov Method in Quantum

Mechanics, Theoritical Concepts of Quantum Mechanics (Edited by Prof. Mohammad

Reza Pahlavani). ISBN: 978-953-51-0088-1