Bab 1Pendahuluan

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagaibidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas. Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini. Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar. Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki peternakan itu? Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknyapermasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswabisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar. Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satuper satu. B. Perumusan Masalah

1. Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku pembentuknya?

2. Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar? 3. Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar? 4. Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar?5. Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan

aljabar?C. Tujuan

1

1. Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk aljabar.

2. Mengetahui asal usul mengenai aljabar.3. Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.4. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar.5. Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi

soal pada aljabar.

Bab 2Pembahasan

A. 1. Pengertian Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

A.2. Suku-suku pembentuk dalam aljabar

Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada tiap-tiap suku.Contoh: 5x , artinya 5 adalah koefisien x 8y , artinya 8 adalah koefisien y a2, artinya 1 adalah koefisien a2

Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c, …. , x, y, z.Contoh: 3p, artinya p adalah variabel dari 3 4q, artinya q adalah variabel dari 4

Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.Contoh konstanta dari operasi berikut: 5x + 2xy2 + y – 35Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).

2

Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau hanya konstanta. Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.Contoh: 5x – 2y, a + b2

Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak (polinom).Contoh: a2 + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy2

B. Sejarah dan Asal Usul Aljabar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuriberasal dari bangsa Babilonia Kuno yangmengembangkan sistem aritmatika yang cukuprumit, dengan hal ini mereka mampumenghitung dalam cara yang mirip denganaljabar sekarang ini. Dengan menggunakansistem ini, mereka mampu mengaplikasikanrumus dan menghitung solusi untuk nilaiyang tak diketahui untuk kelas masalah yangbiasanya dipecahkan dengan menggunakanpersamaan Linier, Persamaan Kuadrat danPersamaan Linier tak tentu. Sebaliknya,bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India,

Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi,biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkanpersamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’sElements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasilkarya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitabElemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasiformula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahantertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan danmemecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclidmenulis buku yang berjudul "Elements". Dalam buku itu iamencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua

3

bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentukgeometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani kuno menuliskanpermasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka tidak dapatmemecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan menggunakangeometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan merekauntuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjaditerbatasi.

Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3,Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudulAritmetika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi sepertipenambahan dan pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya dalambentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yangdigunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai mengenalteori yang dimiliki negara jajahan tersebut. Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagaipenemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslimketurunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194Hijriah menurut kalender islam. Dibidan pendidikan, telahdibuktikan bahwa ialah seorang tokoh Islam yang berpengetahuanluas. Pengetahuan dan kemahiran al-Khawarizmi bukan hanyameliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang falsafah,logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam danilmu kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawadirinya menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalampenyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telahbekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi bekerja dalam sebuah observatoryatau tempat ilmu matematik dan astronomi yang ia gali lebihdalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin perpustakaankhalifah.

Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.

Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh al-Khawarizmi .Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang. 

Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasaldari kata arab “al-jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti “The Compendious Book onCalculation by Completion and Balancing”), yang ditulis olehMatematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara

4

tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampaisekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atassebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yangmendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanyapada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan iajuga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahanpersamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantusmenunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangatelementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain,Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentukumum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahaviradan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasilmemecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik danpolinom tingkat tinggi lainnya.

Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjutdari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentangdeterminan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Sekidi abad 17, diikuti  oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahunkemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Liniersecara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer jugamenyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan diabad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalahketerkonstruksian (constructibility)

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategoriberikut ini:

1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi padabilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta danvariabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaanMatematika yang melibatkan simbol-simbol. Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar,yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuanMatematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipunseperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika(seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disinibilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a,x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kitamenurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b +a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertamauntuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistembilangan riil.

Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secaralangsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematikayang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh“Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Halini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional darirumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh "Jika andamenjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10

5

rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalahfungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.

2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yangmempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan(fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;

3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari RuangVektor (termasuk Matriks);

4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama darisemua Struktur aljabar.

Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacamGrup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras overa field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur GeometriNatural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalambidang Topologi. 

C. Menyelesaikan Operasi Aljabar

Pada dasarnya, sifat - sifat penjumlahan dan pengurangan yangberlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan danpengurangan pada bentuk - bentuk aljabar, sbb:

a. Sifat Komutatifa+b=b+a, dengan a dan b bilangan riil.

b. Sifat Asosiatif(a+b) + c= a+ (b+c), dengan a,b dan c bilangan riil.

c. Sifat Distributifa(a+c)=ab+ac, dengan a,b dan c bilangan riil.

Pengurangan pada Aljabar

Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar

a. (4p²-10p-5) - (8p² + 10p + 15) Jawab : (4p²-10p-5) - (8p² + 10p + 15) = 4p² - 8p² - 10p - 10p - 5 -15                         = 4p² - 20p -20

6

b. (10p - 8) - (8p -10) Jawab : 10p - 8 – 8p + 10 = 2p + 2

c. 7x – 3x = 4x

d. 5pq – 3pq = 2pq

Penjumlahan pada Aljabar Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada bentuk aljabar. a. (10x² + 6xy - 12) + (-4x²- 2xy + 10)  Jawab : 10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10 = 6x2 + 4xy -2 b. 7x + 3x = 10x

c. 8x2 + 5x2 = 13 x2

d. –y2 + 7y2 = 6y2

Perkalian Aljabar

1. Perkalian suku satu dengan suku dua

Contoh soal:

a. 2(x + 3)              c. x(y + 5)b. –4(9 – y)             d. –9p(5p – 2q)

Jawab: a. 2(x + 3) = 2x + 6                b. –4(9 – y) = –36 + 4y          

c. x(y + 5) = xy + 5x d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq 2. Perkalian suku dua dengan suku dua

Contoh soal :a. (2x + 1)2 =

b. (3x + 2)(3x + 1) =

7

c. (x-5)(2x-3) =

d. (x – 2)(x - 2) =

e. (x + 1)(x + 1) =

Jawab :

a. (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1

b. (3x +2)(3x + 1) = 9x2 + 3x + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 1

c. Sesuai dengan contoh penyelesaian dibawah :

d. (x – 2)(x - 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4

e. (x + 1)(x+1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1

Pembagian Aljabar

Contoh soal :

a. 3x : 3 = b. 6x2 : 2x =

c. 8xyz : 4x = c. 10PQR2P =

Jawab : a. 3x : 3 = x

b. 6x2 : 2x = 3x

c. 8xyz : 4x = 2yz

8

d. 10pqr : 2p = 5qr

D. Memfaktorkan bentuk Aljabar

Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.

a. x2 + 5x + 6 =

b. 2x2 + 5x + 2 =

c. 3x2 - x – 10 =

d. x2 – 3x + 2 =

E. Trik-trik Aljabar

Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trikdalam aljabar. Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang

9

tersajikan ini bisa membantu kita menyelesaikan soal dengan lebihcepat.

1. Menggunakan selisih kuadrat

Contoh soal :

a. 942 – 62 = ...b. 1052 – 52 = ...c. 902 – 102 = ...

Jawab :

a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 - 6) = 100 x 88 = 8.800

b. 1052 – 52 = (105 - 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000

c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 - 10) = 100 x 80 = 8.000

Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakanselisih kuadrat agar lebih mudah.

2. Menggunakan rumus umum

Rumus umumnya adalah :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Contoh soal :

a. (3x + 2)2 =b. (5x - 1)2 =c. (9x - 3)2 =

Jawab :

a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2 + 12x + 4b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1

c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9

3. Menganalisa soal

Contoh soal :

a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika bilangan pertama 2 kali lebih besar dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua?b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut?

10

Jawab :

a. a + b = 30, a = 2bBerarti, 2b + b = 303b = 30, b = 10

b. X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63Berarti, 30x = 63 -330x = 60 dan x = 2

Bab 3 Penutupan

Kesimpulan :

Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu yang bisa menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam menyelesaikan pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.

Saran :

Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan ilmu kepada orang lain.

Daftar Pustaka

www.blajar-pintar.blogspot.com

http://astutisetyoningsih.blogspot.com/p/sejarah-aljabar.html

Buku Matematika Erlangga kelas 8

http://pancaur.blogspot.com/2013/04/cara-mudah-menghitung-aljabar.html

http://aryrindasholu.blogspot.com/2013/03/bagaimana-cara-menyelesaikan-operasi.html

http://bljrmatematika.blogspot.com/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html

Terima Kasih11

12