Informe EULER

Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de La PlataCátedra Vibraciones

análisis PARA UN PÉNDULO SIMPLE

VIBRACIONES

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional

de La Plata.

ANÁLISIS DE UN PÉNDULO SIMPLE

Fecha: 16/12//14

Revisión: Primera

Profesor: Disandro, Jorge

JTP: Knoublauch, Marcos

Página: 1 de 15Núñez De Moraes Carla (61840/2)

Ravettino Agustina (61853/5)

Zaratiegui Marco (61852/6)

ObjetivosObjetivos Primarios

Comparación de la resolución de la ecuación de movimiento para un péndulo simple

mediante los métodos de Euler, nodos y barras y Euler con suposición de pequeños

desplazamientos.

IntroducciónSe propone para el análisis el siguiente modelo:

Figura 1 modelo propuesto

Para el cual se considerará:

Soga inextensible de masa despreciable.

Masa concentrada únicamente al péndulo.

No existen perturbaciones externas.

Características del sistema:

m= 1 [Kg]

L = 1 [m]

K=100 [N/m]

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Procedimiento

Ecuación diferencial del péndulo para grandes desplazamientos

Se desea determinar el movimiento del péndulo utilizando el método de Euler simple.

Según este método, conociendo dos valores de la función descripta por el péndulo (la

condición inicial y el siguiente valor) se puede, a partir de la pendiente, trazar una recta y

asemejar el área debajo de la curva por medio de un triángulo.

De la ecuación diferencial del sistema se obtiene la aceleración:

θ̈( t)=−gL

sin θ

Se sabe la velocidad inicial dada por la ecuación:

θ̇( t)=θ̇0+θ̈ δt

Integrando la anterior expresión y teniendo en cuenta el apartamiento inicial, se llega a:

θ( t)=θ0+θ̇0 δt+ θ̈2

δt2

Utilizando este método llegaremos a una expresión errónea, dado que no estamos

teniendo en cuenta la fuerza viscosa, por lo tanto el resultado nos dirá que el sistema está

siendo afectado por una fuerza externa.

Para demostrar esto se procede a calcular usando el método de integración de Euler el

cual opera de la siguiente manera:

0 0 θ0 θ̇0−gL

sin θ0

1 δt θ0+θ̇0 δt+θ̈0

2δt2 θ̇0+θ̈0 δt −g

Lsin θ1

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⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

n nδt θn−1+θ̇n−1 δt+θ̈n−1

2δt2 θ̇n−1+θ̈n−1 δt −g

Lsin θn

Aplicando el método en Excel, proponiendo un δt = 0.02seg, se obtine el grafico de la

variación del ángulo de apartamiento en el tiempo, para diferentes condiciones:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Ángulo vs tiempo

2 5 10 15 20

t [s]

θ [g

rado

s]

Figura 2, ángulo vs tiempo método de Euler

Se comprueba lo antes previsto.

Se procede a plantear el cálculo teniendo en cuenta la energía disipada sabiendo que:

ED=12

C ( θ̇ L )2

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Ahora, para hallar la nueva ecuación del movimiento del sistema propuesto, se propone

hacer uso de las ecuaciones de LaGrange para sistemas no conservativos, la cual conduce al

siguiente resultado:

θ̈+ Cm

θ̇+ gL

sin θ=0

Por lo tanto la aceleración angular será:

θ̈ (t )=−gL

sin θ−Cm

θ̇

De esta manera, el procedimiento de cálculo será alterado de la siguiente manera:

I t θ θ̇ θ̈

0 0 θ0 θ̇0−gL

sin θ0−Cm

θ̇0

1 δt θ0+θ̇0 δt+θ̈1

2δt2 θ̇0+θ̈0 δt −g

Lsin θ1−

Cm

θ̇1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮



Lsin θn−

Cm

θ̇n

Al no conocer la constante de amortiguamiento C proponemos una, utilizando como

criterio que se desea que el sistema sea estable, es decir que no crezca ni decrezca a medida

que pasa el tiempo, por lo tanto el C se estima iterativamente.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ángulo vs tiempo (C=0.09557)

2 5 10 15 20

t [s]

θ [g

rado

]

Figura 3, método de Euler con C=0.09557

Ecuación diferencial del péndulo para pequeños desplazamientos:

Si utilizamos la hipótesis de pequeños apartamientos de la posición de equilibrio es

posible linealizar los senos y cosenos por la serie de Mc. Laurin.

sin θ=∑n=0

∞ (−1 )n

(2n+1 ) !θ2n+1=θ− θ

3!

3

+ θ5 !

5

− θ7 !

7

+…

Por lo tanto sin θ≅ θ

De esta manera la ecuación diferencial del movimiento del péndulo, será lineal.

θ̈+ gL

θ=0

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Análogamente la ecuación diferencial del sistema amortiguado ficticiamente quedará:

θ̈+ Cm

θ̇+ gL

θ=0

A su vez, el procedimiento de cálculo será alterado de la siguiente manera:

i t θ θ̇ θ̈

0 0 θ0 θ̇0−gL

θ0−Cm

θ̇0

1 δt θ0+θ̇0 δt+θ̈1

2δt2 θ̇0+θ̈0 δt −g

Lθ0−

Cm

θ̇0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮



Lθn−

Cm

θ̇n

Nuevamente se adjunta un grafico de variacion del ángulo de apartamiento en el tiempo

para diferentes condiciones iniciales tanto para un sistema no “amortiguado” (C=0), como para

un sistema “amortiguado”, proponiendo un valor de la constante de amortiguamiento, tal que la

sumatoria entre la amplitud máxima y la mínima sea cero(sistema estable). En ambos casos

δt=0.02 [s]

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Ángulo vs tiempo (C=0)

2 5 10 15 20

t [s]

θ [gr

ados

]

Figura 4, método de Euler para pequeños apartamientos

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ángulo vs tiempo(C=0.09785)

2 5 10 15 20

t [s]

θ [gr

ados

]

Figura 5, método de Euler para pequeños apartamientos con C=0.09557

Método de Barras y Nodos/Elementos

El método se basa en la idea de un sistema de partículas interactuando a través de

elementos que las vinculan. Se determinan la posición, las fuerzas y las vinculaciones de cada

partícula en el paso de tiempo t. A partir de estos datos en t, se recalculan en t+δt aplicando las

ecuaciones de dinámica y cinemática. El método está basado en la hipótesis de que en

pequeños intervalos δt las magnitudes dinámicas y cinemáticas se mantienen constantes.

Conocidas las fuerzas, será posible hallar la aceleración y a partir de esta la velocidad,

la cual permitirá hallar a su vez la posición de la partícula.

Para el actual problema, se pueden establecer dos formas de emplear el método.

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El primero de ellos, consiste en asumir que la barra (cuerda), posee un amortiguamiento

natural considerándose así dos fuerzas internas asociadas a él, una por la elasticidad de la

cuerda y otra por el amortiguamiento.

Por otro lado, en la segunda forma de aplicación del método, se propone que el

amortiguamiento sea externo al elemento, por ejemplo mediante un fluido.

El amortiguamiento permitirá disipar el aporte de energía ficticio que se genera por la

resolución matemática del problema.

Dado que se trata de una barra elástica, debe tenerse en cuenta, en general, la

deformación longitudinal de la barra para un instante de tiempo t

∆ L=L−√ x2+ y2

Figura 6

Se propone hallar la solución considerando el efecto del amortiguamiento debido a un

fluido.

Modelo propuesto

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Figura 7, modelo con fuerza viscosa

En cuanto a la solución del sistema empleando este modelo, se tiene en cuenta a la

fuerza viscosa como fuerza externa junto al peso:

FCx=V xC

FCy=V yC

Elegido el segundo modelo de solución, se plantea el siguiente esquema de trabajo:

i t θ q q̇ q̈

0 0 θ0 q0 q̇0F Kq

+FC q̇+ Fgq

m

1 δt θq i q0+q̇1 δt+q̈1

2δt2 q̇0+(q̈1δt )

F Kq1

+FC q̇1

+Fgq1

m⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

n nδt θq n qn−1+ q̇n δt+q̈n

2δt2 q̇n−1+( q̈n δt )

F Kqn

+FC q̇ n

+Fgqn

m

i t ∆ L FK qFCq

Fgq

0 0 L−√x02+ y0

2 ∆ L0 K q̇C mg

1 δt L−√x12+ y1

2 ∆ L0 K q̇0C mg⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

n nδt L−√xn2+ yn

2 ∆ Ln−1 .K q̇n−1C mg

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Donde “q” representa a las coordenadas elegidas (x, y), lo cual indica que cada fuerza,

aceleración, velocidad y posición tienen componentes en estas coordenadas.

A continuación se presenta la variación del ángulo de apartamiento en el tiempo, para

diferentes condiciones iniciales, considerando una constante de amortiguamiento C=0.1

δt= 0.02 [s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Ángulo vs tiempo

2 5 10 15 20

t [s]

θ [g

rado

s]

Figura 8, método de barras y elementos considerando efectos viscosos

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Resultados

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

2.5

Ángulo vs tiempo (θ=2)

Euler Euler+Small Angular Displacement MBE

t [s]

θ [g

rado

s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

ángulo vs tiempo (θ=5)

Euler Euler+Small Angular Displacement MBE

t [s]

θ [d

eg]

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-15

-10

-5

0

5

10

15

ángulo vs tiempo (θ=10)

Euler Euler+Small Angular DisplacementMBE

t [s]

θ [g

rado

s]

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

θ Vs. t. (θ=20)

Euler Euler+Small Angular DisplacementMBE

t [s]

θ [g

rado

s]

Conclusiones En la solución hallada mediante el MBE, es visible el desfasaje en referencia a

los otros dos métodos de solución. En este caso, al no tratarse de una cuerda infinitamente

rígida, se llega a una solución distinta al de los otros dos casos.

Con la solución del sistema empleando la hipótesis de pequeños apartamientos,

no se obtuvieron cambios apreciables en el periodo, siendo prácticamente el mismo al

calculado en un inicio (2 seg).

El método de barras y nodos constituye una herramienta que podría facilitar la

resolución de sistemas de n grados de libertad.

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