ACTIVIDADES SEMANA 2 Prob

VARIABLE ALEATORIA

1.Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada.3. Variables aleatorias (discretas y continuas).4. Distribuciones continuas más importantes.

1. Probabilidad de un suceso.

Experimentos aleatorios/determinísticos

En un experimento aleatorio: - Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles.

- Espacio muestral (E): conjunto formado por los sucesos elementales.

- Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}

1

2

3

46

5

E

A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}

1

2

3

46

5

E

A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

A B

A ∩ B = “A intersección B” = “se dan A y B a la vez”= {2}

A U B = “A unión B” =“se da A ó B ó ambos a la vez” = {1,2,4,6}

= “no A” = “contrario de A” = “no se da A” = {3,4,5,6}

Suceso seguro (hay certeza de que se da): E

Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Ø

Se dice que A y B son incompatibles si A ∩ B = Ø (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

A

Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asignaa cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que:

1.- 0 ≤ P(A) ≤ 12.- P(E)=1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace

En el ejemplo anterior, ¿P(A)? ¿P(B)? ¿P(A ∩ B)?

posiblescasosnfavorablescasosnAP º º)(

Ley de los Grandes Números: “El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidircon su probabilidad teórica a medida que el experimento se repite más y másVeces”.

Algunas fórmulas:

- P(A U B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)- Probab. de la unión de varios sucesos incompatibles:

P(A U B U … U C) = P(A) + P(B) + … + P(C)- Probab. del suceso contrario:

)(1)( APAP

2. Probabilidad condicionada.Ejercicio: Se sospecha que existe relación entre la aparición de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposición a determinados desechos químicos en un vertedero próximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relación entre ambos fenómenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la

comunidad, de las cuáles 300 habían estado expuestas a los desechos, y 320 no lo habían estado. En ambos grupos, se determinó el número de personas que tenían la citada enfermedad. Los resultados se muestran

en la siguiente tabla:

Tiene la enfermedad

Ha estadoexpuesto

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? ¿Y de que tenga la enfermedad?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro?

c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

d) A partir del resultado anterior, ¿parece razonable concluir que no hay relación entre ambos fenómenos?

Actividad 1Observa, Resuelve, Documenta y envía

Probabilidad condicionada:

(Probab. de A condicionado B)

(Probab. de B condicionado A)

Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)

Se cumple: A y B independientes ↔ P(A ∩ B)=P(A) P(B)

)()()/(

)()()/(

APABPABP

BPBAPBAP

3. Variables aleatorias.

Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadasprobabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que entre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.

1 Comida Favorita.2 Profesión que te gusta.3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.4 Número de alumnos de tu Instituto.5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.7 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.8Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.9 Período de duración de un automóvil.10 El diámetro de las ruedas de varios coches.11Número de hijos de 50 familias.12Censo anual de los españoles.

Actividad 2Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas, continuas y discretasDocumenta y envía

Variable: cualidad o característica de un objeto (o evento) que contenga, al menos, dos atributos en los que pueda clasificarse un objeto o evento

Medición de una variable: asignar valores o categorías a las distintas características que conforman el objeto de estudio

Requisitos básicos: Exhaustividad: debe comprender el mayor número de

atributos posible. Toda observación debe ser clasificada Exclusividad: los distintos atributos de la variable deben

ser mutuamente excluyentes. Una observación solo puede clasificarse en términos de un solo atributo

Precisión: realizar el mayor número de distinciones posibles. Las categorías pueden agruparse más tarde, el camino inverso no es posible...

.

Actividad 3

Observa la siguiente definición y menciona 10 variables nominales y ordinales de tu preferencia, documenta y envía

Variables Nominales:

Ejemplos: sexo, nacionalidad, estado ocupacional, grupo sanguíneo, partido político, estado civil, religión, plan social al que pertenece, localidad donde reside, etc.

No se puede establecer ningún tipo de relación

Análisis estadístico limitado

Variables Nominales:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-

Variables Ordinales:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-

Variables Ordinales: Ejemplos: estrato social, orden de

mérito, nivel educativo, opinión acerca de un hecho/situación/gobierno

Los atributos, además de poseer las características mencionadas, tienen la propiedad de poder establecer un orden

No puede conocerse la magnitud de la diferencia entre un atributo y otro

Son variables no métricas o cualitativas

Análisis estadístico limitado

Actividad 3


Actividad 3

Observa la siguiente definición y menciona 10 variables del tipo indicado en la diapositiva descrita, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento:

Variables Cuantitativas o métricas:

Variables de intervalo: Además de establecer un orden, la

diferencia entre dos atributos puede cuantificarse

La distancia que separa a personas de 15 y 16 años, es la misma que la existente entre personas de 72 y 73 años

Permite realizar la mayoría de las operaciones aritméticas

Ejemplos: temperatura en ºC No tiene cero absoluto. El cero no

implica la ausencia de atributo

Variables de Intervalo:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-


Variables de razón: Además de las características de las

variables de intervalo, se suma la posibilidad de contar con un cero absoluto

El cero absoluto indica ausencia de la característica

Permite cálculo de proporciones Permite realizar cualquier operación

aritmética Ejemplos: ingreso, altura, peso,

número de habitantes, todas las variables que consideren tiempo y distancia


Variables de razón: Además de las características de las

variables de intervalo, se suma la posibilidad de contar con un cero absoluto

El cero absoluto indica ausencia de la característica

Permite cálculo de proporciones Permite realizar cualquier operación

aritmética Ejemplos: ingreso, altura, peso,

número de habitantes, todas las variables que consideren tiempo y distancia

Variables de razón:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-

Actividad 3



Variables discretas: Entre dos valores

dados, no existen valores intermedios

Ejemplos: número de hijos, número de elementos vendidos, número de beneficiarios de un plan

Variables continuas: Entre dos valores

dados, existen valores intermedios

Ejemplos: edad, peso, altura, ingreso

Variables de continuas:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-

Variables de discretas:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-

Actividad 3


Actividad 4

Observa las siguientes definiciones y razona la imagen, comprende cual es la muestra y cual es la distribución de la misma, evidencia y envía para tu calificación y/o reforzamiento:

Muestreo: es definido como el proceso de seleccionar un número de observaciones (sujetos) de un grupo en particular de la población.

Distribución de muestreo mes definida como la distribución de frecuencias de la estadística de muchas muestras.

Es la distribución de medias y es llamada la distribución de muestreo de la media

Evaluación

Observa el siguiente video, analiza y aprende como se realiza una distribución de frecuencias. Después realiza una distribución de frecuencias para los siguientes datos, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento:http://www.youtube.com/watch?v=a7DWGLpdIuI&feature=related

Materia F. Absoluta

Fracción Decimal Porcentaje

F. Acumulada

Ingles 6Biología 8Civismo 10Acondicionamiento físico

9

Estadística

7

N= 40

http://www.youtube.com/watch?v=a7DWGLpdIuI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=a7DWGLpdIuI&feature=related

Evaluación

Observa la siguiente e imagen y realiza una conclusión de cómo realizarías un estudio muestra a la siguiente imagen:, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento

Función de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba-bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una fórmula f(x), ó mediante una tabla. La función de densidad cumple:

1.- f(x)≥0 para todo valor que pueda tomar la variable.

2.-

La función de distribución de una variable discreta X es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.

x

xf 1)(

xk

kXPxF )()(

Ejemplo: Variable aleatoria de Poisson

Dado un suceso que aparece de esporádicamente, en unintervalo de tiempo o un espacio dado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya dado x veces?

: número medio o esperado de ocurrencias

!)(x

exfx ,...2,1,0x

DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a,b) es igual al área encerrada por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple:

1.- f(x)≥0 para todo valor de x2.-

1)( dxxf

En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de quela variable X esté entre los valores a y b), se calcula como:

a b

f(x)

b

adxxfbXaP )()(

IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO:

Por lo tanto,

0)()( a

adxxfaXP

)()()()(

bXaPbXaPbXaPbXaP

¿De dónde procede esta idea? ¿Tiene algún sentido intuitivo?

Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de ave; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,y calculamos los porcentajes.

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

100Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

100

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Prob.=%=Area

1

Peso

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

100Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40Prob.=%=Area


Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40Prob.=%=Area

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

100


Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40Prob. (muestra)

Muestra

POBLACION

Conocida (DATOS)Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?


170

%

Peso

Función de densidad

y = f(x)

170

Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.


170

%

Peso

Función de densidad

y = f(x)

170

Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

170)( dxxf

DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.

x

adttfxXPxF )()()(

La función de distribución cumple:

1.La derivada de la función de distribución, es la función de densidad.

2. Se verifica:

)()(' xfxF

)()()( aFbFbXaP

MEDIA:

Variable discreta:

Variable continua:

Media, varianza, desv. típica de una v.a.

k

iii px

1 ))(( ii xXPp

dxxfx )(

VARIANZA:

Variable discreta:

Variable continua:

k

i

k

iiiii pxpx

1 1

2222

2222 )()( dxxfxdxxfx

DESVIACION TIPICA:

2

A. Distribución normal: N(µ,σ)

4. Principales distribuciones continuas.

Previamente: curva normal N(µ,σ) o campana de Gauss2

21

21)(

x

exf

- μ: media poblacional- σ: desviación típica poblacional.- Simétrica respecto a x = μ- Máximo en x = μ- Normal tipificada: si X=N(μ,σ), entonces Z=(X- μ)/σ es una normal N(0,1).

2

21

21)(

x

exf

B. Distribución exponencial: Exp(λ)

µ=1/λσ=1/λ

- Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, llamadas telefónicas, etc.) o el tamaño (yacimientos, etc.)

xexf )(

0,0)(

xexf x

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:

donde son variables aleatorias independientes

y para i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de

densidad es:

)1,0(NX i nXXX ,...,, 21

222

21

2nn XXX

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:

Media: nVarianza: 2n

Es importante en inferenciaestadística

Grad. de libertad13

Chi-Cuadrado Distribución

x

densidad

0 10 20 30 400

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

D. Distribución t de Student de n grados de libertad:

Normal

Chi-cuadradode n grados delibertad

21n

n

n

zt

2

)1,0(n

Nz

Grad. de libertad10

t de Student Distribución

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

densidad

D. Distribución t de Student de n grados de libertad:

Es SIMETRICA respecto al eje YMedia: 0Varianza: n/(n-2) (para n>2)

Es importante en inferenciaestadística

Grad. de libertad10

t de Student Distribución

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

densidad

E. Distribución F de Snedecor con n1, n2 grados de libertad :

Chi-cuadrado con n1grados de libertadChi-cuadrado con n2grados de libertad

22

12

, //

2

121 n

nF

n

nnn

21n22n

Numerador g.l.,Denominador g.l.10,10

F (índice de varianza) Distribución

0 1 2 3 4 5

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

densidad

Medidas de asimetría Las medidas de asimetría establece el grado de simetría que presenta una distribución, sin necesidad de una presentación grafica.

Definición: Una distribución es simétrica cuando, dado su valor central, existen el mismo número de valores a ambos lados de dicho valor y a cada par de valores equidistantes les corresponde la misma frecuencia absoluta.

La asimetría se puede definir como la ausencia de simetría en la distribución.

MEDIA ≠ MODAMEDIA > MODA ASIMÉTRICA POR LA DERECHA O POSITIVAMEDIA< MODA ASIMÉTRICA POR LA IZQUIERDA O NEGATIVA

Medidas de asimetría

Asimétrica positiva (o derechas); la suma de las desviaciones positivas > la suma de las desviaciones con signo negativo

Asimétrica negativa (o a la izquierda); la suma de las desviaciones positivas < la suma de las desviaciones con signo negativo

La desventaja con esta medida es que no es invariante ante un cambio de escala.

n

i

ii N

nxxm1

33 )(

negativaasimétricamsipositivaasimétricamsisimétricaóndistribucimsi

000

3

3

3

Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de R.A.

Fisher

El coeficiente de asimetría de Fisher es la expresión anterior dividida por el cubo de la desviación típica. La desviación típica, es positiva, así el signo viene de .

2/3

1

2

1

3

33

1

)(

)(

n

i

ii

n

i

ii

Nnxx

Nnxx

Smg

negativaasimétricagsipositivaasimétricagsisimétricaóndistribucigsi

000

1

1

1

3m

Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente está pensado para distribuciones campaniformas, unimodales y moderadamente asimétricas.

Una distribución campaniforme sim étrica; MeMox . Una distribución campaniforme asimétrica positiva; 0 Mox . Una distribución campaniform e asim étrica negativa; 0 Mox .

SMoxAP

negativaasimétricaAsipositivaasimétricaAsisimétricaóndistribuciAsi

P

P

P

000

)(3 MexMox SMexAP

)(3

Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de Bowley

13

13 2CC

MeCCAB

negativaasimétricaAsipositivaasimétricaAsisimétricaóndistribuciAsi

B

B

B

000

Medidas de asimetría Coeficiente absoluto de asimetría

SMeCCAA213

Medidas de apuntamiento o curtosis Las medidas de curtosis se aplican para distribuciones campaniformas, unimodales y simétricas o moderadamente asimétricas.

Las medidas de curtosis estudian la distribución de frecuencias en la zona central de la distribución. Una concentración de frecuencias alta en esta zona da una distribución más apuntada.

Medidas de apuntamiento o curtosis Para estos estudios hay que definir un tipo de

distribución como referencia.

Distribución normal:

Una distribución más apuntada que la normal es leptocúrtica. Una distribución menos apuntada que la normal es mesocúrtica.

2

2)(21

21)(

x

exf

Donde es la desviación típica, y la media.

Medidas de apuntamiento o curtosis El coeficiente de apuntamento o

curtosis

Para calcular el momento se puede usar la expresión en función de los momentos respecto al origen (apéndice del capitulo 3).

3)(

)(3 2/4

1

2

1

4

44

2

n

i

ii

n

i

ii

Nnxx

Nnxx

Smg

caplaticúrtigsicaleptocúrtigsi

normalamesocúrticgsi

00

)(0

2

2

2

41

2121344 364 aaaaaam

)3( 44 Sm

ACTIVIDADES SEMANA 2 Prob

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