1.Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada.3. Variables aleatorias (discretas y continuas).4. Distribuciones continuas más importantes.
1. Probabilidad de un suceso.
Experimentos aleatorios/determinísticos
En un experimento aleatorio: - Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles.
- Espacio muestral (E): conjunto formado por los sucesos elementales.
- Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}
1
2
3
46
5
E
A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”
Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}
1
2
3
46
5
E
A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”
A B
A ∩ B = “A intersección B” = “se dan A y B a la vez”= {2}
A U B = “A unión B” =“se da A ó B ó ambos a la vez” = {1,2,4,6}
= “no A” = “contrario de A” = “no se da A” = {3,4,5,6}
Suceso seguro (hay certeza de que se da): E
Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Ø
Se dice que A y B son incompatibles si A ∩ B = Ø (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.
A
Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asignaa cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que:
1.- 0 ≤ P(A) ≤ 12.- P(E)=1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)
Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace
En el ejemplo anterior, ¿P(A)? ¿P(B)? ¿P(A ∩ B)?
posiblescasosnfavorablescasosnAP º º)(
Ley de los Grandes Números: “El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidircon su probabilidad teórica a medida que el experimento se repite más y másVeces”.
Algunas fórmulas:
- P(A U B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)- Probab. de la unión de varios sucesos incompatibles:
P(A U B U … U C) = P(A) + P(B) + … + P(C)- Probab. del suceso contrario:
)(1)( APAP
2. Probabilidad condicionada.Ejercicio: Se sospecha que existe relación entre la aparición de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposición a determinados desechos químicos en un vertedero próximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relación entre ambos fenómenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la
comunidad, de las cuáles 300 habían estado expuestas a los desechos, y 320 no lo habían estado. En ambos grupos, se determinó el número de personas que tenían la citada enfermedad. Los resultados se muestran
en la siguiente tabla:
Tiene la enfermedad
Ha estadoexpuesto
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? ¿Y de que tenga la enfermedad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro?
c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
d) A partir del resultado anterior, ¿parece razonable concluir que no hay relación entre ambos fenómenos?
Actividad 1Observa, Resuelve, Documenta y envía
Probabilidad condicionada:
(Probab. de A condicionado B)
(Probab. de B condicionado A)
Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)
Se cumple: A y B independientes ↔ P(A ∩ B)=P(A) P(B)
)()()/(
)()()/(
APABPABP
BPBAPBAP
3. Variables aleatorias.
Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadasprobabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que entre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.
1 Comida Favorita.2 Profesión que te gusta.3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.4 Número de alumnos de tu Instituto.5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.7 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.8Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.9 Período de duración de un automóvil.10 El diámetro de las ruedas de varios coches.11Número de hijos de 50 familias.12Censo anual de los españoles.
Actividad 2Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas, continuas y discretasDocumenta y envía
Variable: cualidad o característica de un objeto (o evento) que contenga, al menos, dos atributos en los que pueda clasificarse un objeto o evento
Medición de una variable: asignar valores o categorías a las distintas características que conforman el objeto de estudio
Requisitos básicos: Exhaustividad: debe comprender el mayor número de
atributos posible. Toda observación debe ser clasificada Exclusividad: los distintos atributos de la variable deben
ser mutuamente excluyentes. Una observación solo puede clasificarse en términos de un solo atributo
Precisión: realizar el mayor número de distinciones posibles. Las categorías pueden agruparse más tarde, el camino inverso no es posible...
.
Actividad 3
Observa la siguiente definición y menciona 10 variables nominales y ordinales de tu preferencia, documenta y envía
Variables Nominales:
Ejemplos: sexo, nacionalidad, estado ocupacional, grupo sanguíneo, partido político, estado civil, religión, plan social al que pertenece, localidad donde reside, etc.
No se puede establecer ningún tipo de relación
Análisis estadístico limitado
Variables Nominales:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Variables Ordinales:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Variables Ordinales: Ejemplos: estrato social, orden de
mérito, nivel educativo, opinión acerca de un hecho/situación/gobierno
Los atributos, además de poseer las características mencionadas, tienen la propiedad de poder establecer un orden
No puede conocerse la magnitud de la diferencia entre un atributo y otro
Son variables no métricas o cualitativas
Análisis estadístico limitado
Actividad 3
Observa la siguiente definición y menciona 10 variables nominales y ordinales de tu preferencia, documenta y envía
Actividad 3
Observa la siguiente definición y menciona 10 variables del tipo indicado en la diapositiva descrita, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento:
Variables Cuantitativas o métricas:
Variables de intervalo: Además de establecer un orden, la
diferencia entre dos atributos puede cuantificarse
La distancia que separa a personas de 15 y 16 años, es la misma que la existente entre personas de 72 y 73 años
Permite realizar la mayoría de las operaciones aritméticas
Ejemplos: temperatura en ºC No tiene cero absoluto. El cero no
implica la ausencia de atributo
Variables de Intervalo:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Variables Cuantitativas o métricas:
Variables de razón: Además de las características de las
variables de intervalo, se suma la posibilidad de contar con un cero absoluto
El cero absoluto indica ausencia de la característica
Permite cálculo de proporciones Permite realizar cualquier operación
aritmética Ejemplos: ingreso, altura, peso,
número de habitantes, todas las variables que consideren tiempo y distancia
Variables Cuantitativas o métricas:
Variables de razón: Además de las características de las
variables de intervalo, se suma la posibilidad de contar con un cero absoluto
El cero absoluto indica ausencia de la característica
Permite cálculo de proporciones Permite realizar cualquier operación
aritmética Ejemplos: ingreso, altura, peso,
número de habitantes, todas las variables que consideren tiempo y distancia
Variables de razón:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Actividad 3
Observa la siguiente definición y menciona 10 variables nominales y ordinales de tu preferencia, documenta y envía
Variables Cuantitativas o métricas:
Variables discretas: Entre dos valores
dados, no existen valores intermedios
Ejemplos: número de hijos, número de elementos vendidos, número de beneficiarios de un plan
Variables continuas: Entre dos valores
dados, existen valores intermedios
Ejemplos: edad, peso, altura, ingreso
Variables de continuas:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Variables de discretas:1.-2.-3.-4.-5.-6.-7.-8-9.-10.-
Actividad 3
Observa la siguiente definición y menciona 10 variables nominales y ordinales de tu preferencia, documenta y envía
Actividad 4
Observa las siguientes definiciones y razona la imagen, comprende cual es la muestra y cual es la distribución de la misma, evidencia y envía para tu calificación y/o reforzamiento:
Muestreo: es definido como el proceso de seleccionar un número de observaciones (sujetos) de un grupo en particular de la población.
Distribución de muestreo mes definida como la distribución de frecuencias de la estadística de muchas muestras.
Es la distribución de medias y es llamada la distribución de muestreo de la media
Evaluación
Observa el siguiente video, analiza y aprende como se realiza una distribución de frecuencias. Después realiza una distribución de frecuencias para los siguientes datos, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento:http://www.youtube.com/watch?v=a7DWGLpdIuI&feature=related
Materia F. Absoluta
Fracción Decimal Porcentaje
F. Acumulada
Ingles 6Biología 8Civismo 10Acondicionamiento físico
9
Estadística
7
N= 40
Evaluación
Observa la siguiente e imagen y realiza una conclusión de cómo realizarías un estudio muestra a la siguiente imagen:, documenta y envía para tu calificación y/o reforzamiento
Función de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba-bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una fórmula f(x), ó mediante una tabla. La función de densidad cumple:
1.- f(x)≥0 para todo valor que pueda tomar la variable.
2.-
La función de distribución de una variable discreta X es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.
x
xf 1)(
xk
kXPxF )()(
Ejemplo: Variable aleatoria de Poisson
Dado un suceso que aparece de esporádicamente, en unintervalo de tiempo o un espacio dado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya dado x veces?
: número medio o esperado de ocurrencias
!)(x
exfx ,...2,1,0x
DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a,b) es igual al área encerrada por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple:
1.- f(x)≥0 para todo valor de x2.-
1)( dxxf
En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de quela variable X esté entre los valores a y b), se calcula como:
a b
f(x)
b
adxxfbXaP )()(
IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO:
Por lo tanto,
0)()( a
adxxfaXP
)()()()(
bXaPbXaPbXaPbXaP
Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de ave; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,y calculamos los porcentajes.
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
Prob.=%=Area
1
Peso
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40Prob.=%=Area
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40Prob.=%=Area
150-155 3
155-160 8
160-165 20
165-170 40
170-175 23
175-180 5
180-185 2
100
¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
Peso
%
150 155 160 165 170 175 180 185
20
40Prob. (muestra)
Muestra
POBLACION
Conocida (DATOS)Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?
¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de densidad
y = f(x)
170
Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.
¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?
170
%
Peso
Función de densidad
y = f(x)
170
Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como
170)( dxxf
DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.
x
adttfxXPxF )()()(
La función de distribución cumple:
1.La derivada de la función de distribución, es la función de densidad.
2. Se verifica:
)()(' xfxF
)()()( aFbFbXaP
MEDIA:
Variable discreta:
Variable continua:
Media, varianza, desv. típica de una v.a.
k
iii px
1 ))(( ii xXPp
dxxfx )(
A. Distribución normal: N(µ,σ)
4. Principales distribuciones continuas.
Previamente: curva normal N(µ,σ) o campana de Gauss2
21
21)(
x
exf
- μ: media poblacional- σ: desviación típica poblacional.- Simétrica respecto a x = μ- Máximo en x = μ- Normal tipificada: si X=N(μ,σ), entonces Z=(X- μ)/σ es una normal N(0,1).
2
21
21)(
x
exf
B. Distribución exponencial: Exp(λ)
µ=1/λσ=1/λ
- Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, llamadas telefónicas, etc.) o el tamaño (yacimientos, etc.)
xexf )(
0,0)(
xexf x
C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:
donde son variables aleatorias independientes
y para i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de
densidad es:
)1,0(NX i nXXX ,...,, 21
222
21
2nn XXX
C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:
Media: nVarianza: 2n
Es importante en inferenciaestadística
Grad. de libertad13
Chi-Cuadrado Distribución
x
densidad
0 10 20 30 400
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
D. Distribución t de Student de n grados de libertad:
Normal
Chi-cuadradode n grados delibertad
21n
n
n
zt
2
)1,0(n
Nz
Grad. de libertad10
t de Student Distribución
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
densidad
D. Distribución t de Student de n grados de libertad:
Es SIMETRICA respecto al eje YMedia: 0Varianza: n/(n-2) (para n>2)
Es importante en inferenciaestadística
Grad. de libertad10
t de Student Distribución
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
densidad
E. Distribución F de Snedecor con n1, n2 grados de libertad :
Chi-cuadrado con n1grados de libertadChi-cuadrado con n2grados de libertad
22
12
, //
2
121 n
nF
n
nnn
21n22n
Numerador g.l.,Denominador g.l.10,10
F (índice de varianza) Distribución
0 1 2 3 4 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
densidad
Medidas de asimetría Las medidas de asimetría establece el grado de simetría que presenta una distribución, sin necesidad de una presentación grafica.
Definición: Una distribución es simétrica cuando, dado su valor central, existen el mismo número de valores a ambos lados de dicho valor y a cada par de valores equidistantes les corresponde la misma frecuencia absoluta.
La asimetría se puede definir como la ausencia de simetría en la distribución.
MEDIA ≠ MODAMEDIA > MODA ASIMÉTRICA POR LA DERECHA O POSITIVAMEDIA< MODA ASIMÉTRICA POR LA IZQUIERDA O NEGATIVA
Medidas de asimetría
Asimétrica positiva (o derechas); la suma de las desviaciones positivas > la suma de las desviaciones con signo negativo
Asimétrica negativa (o a la izquierda); la suma de las desviaciones positivas < la suma de las desviaciones con signo negativo
La desventaja con esta medida es que no es invariante ante un cambio de escala.
n
i
ii N
nxxm1
33 )(
negativaasimétricamsipositivaasimétricamsisimétricaóndistribucimsi
000
3
3
3
Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de R.A.
Fisher
El coeficiente de asimetría de Fisher es la expresión anterior dividida por el cubo de la desviación típica. La desviación típica, es positiva, así el signo viene de .
2/3
1
2
1
3
33
1
)(
)(
n
i
ii
n
i
ii
Nnxx
Nnxx
Smg
negativaasimétricagsipositivaasimétricagsisimétricaóndistribucigsi
000
1
1
1
3m
Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de Pearson
El coeficiente está pensado para distribuciones campaniformas, unimodales y moderadamente asimétricas.
Una distribución campaniforme sim étrica; MeMox . Una distribución campaniforme asimétrica positiva; 0 Mox . Una distribución campaniform e asim étrica negativa; 0 Mox .
SMoxAP
negativaasimétricaAsipositivaasimétricaAsisimétricaóndistribuciAsi
P
P
P
000
)(3 MexMox SMexAP
)(3
Medidas de asimetría Coeficiente de asimetría de Bowley
13
13 2CC
MeCCAB
negativaasimétricaAsipositivaasimétricaAsisimétricaóndistribuciAsi
B
B
B
000
Medidas de apuntamiento o curtosis Las medidas de curtosis se aplican para distribuciones campaniformas, unimodales y simétricas o moderadamente asimétricas.
Las medidas de curtosis estudian la distribución de frecuencias en la zona central de la distribución. Una concentración de frecuencias alta en esta zona da una distribución más apuntada.
Medidas de apuntamiento o curtosis Para estos estudios hay que definir un tipo de
distribución como referencia.
Distribución normal:
Una distribución más apuntada que la normal es leptocúrtica. Una distribución menos apuntada que la normal es mesocúrtica.
2
2)(21
21)(
x
exf
Donde es la desviación típica, y la media.
Medidas de apuntamiento o curtosis El coeficiente de apuntamento o
curtosis
Para calcular el momento se puede usar la expresión en función de los momentos respecto al origen (apéndice del capitulo 3).
3)(
)(3 2/4
1
2
1
4
44
2
n
i
ii
n
i
ii
Nnxx
Nnxx
Smg
caplaticúrtigsicaleptocúrtigsi
normalamesocúrticgsi
00
)(0
2
2
2
41
2121344 364 aaaaaam
)3( 44 Sm
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