147

บทท 8 การหมนของวตถแขงเกรง (Rotation of rigid body)

วตถแขงเกรง คอลกษณะของวตถทมระยะหางระหวางวตถคงทเสมอ มกจะมสถานะของ

สสารทเปนของแขง วตถแขงเกรงจงเปนวตถทมรปรางคงตว ตวอยางเชน แทงโลหะ แทงไม ส าหรบลกษณะการเคลอนทของวตถแขงเกรงจะม 2 รปแบบ คอ การเคลอนทในหนงมต ซงเราพจารณาวาเปนการเคลอนทแบบการเลอนท และแบบทสองจะเปนการเคลอนทแบบหมน ซงในบทนจะพจารณาการเคลอนทแบบทสองคอ การเคลอนทแบบหมน โดยพจารณาปรมาณตางๆทเกยวของกบการเคลอนทแบบหมน เชน โมเมนตความเฉอย อตราเรวเชงมม ความเรงเชงมม เปนตน

8.1 การหมน (Rotation) การหมนของวตถแขงเกรง คอ ลกษณะการเคลอนทรอบจดศนยกลางหรอรอบจดใดจดหนงของวตถแขงเกรง โดยเราเรยกจดหรอแนวแกนทวตถแขงเกรงหมนรอบวา แกนหมน หรอจดหมน ตวอยางของการหมน เชน การเคลอนทของลอรถ การหมนของลกกลง เปนตน

ก. ข.

ภาพท 8.1 ก. การเคลอนทแบบเชงเสน ข. การเคลอนทแบบหมน

ในการเคลอนทแบบเชงเสน ดงภาพท 8.1 ก. มปรมาณทเกดขน ไดแก ระยะทาง ความเรว

ความเรง ในขณะเดยวกนการเคลอนทแบบหมน ดงภาพท 8.1 ข. กมปรมาณเหลานเกดขนเชนกน

148

โดยปรมาณทเกดขนมลกษณะเหมอนกน ดงนนเราสามารถเปรยบเทยบระหวาง

ปรมาณทเกดจากการเคลอนทเชงเสนกบปรมาณทเกดจาดการเคลอนทแบบหมนไดดง

ตารางท 8.1

ตารางท 8.1 เปรยบเทยบปรมาณการเคลอนทแบบเลอนทกบการเคลอนทแบบหมน

การเคลอนทแบบเลอนท การเคลอนทแบบหมน

ต าแหนง : จะบอกดวยระยะทางซงวดจาก

แกนอางองมมฉากถงต าแหนงทวตถอย

หนวยเปนเมตร

มม : จะบอกดวยมมซงวดจากแกน

อางองมมฉากถงต าแหนงทวตถอย

หนวยเปนเรเดยน

การกระจดเชงเสน : การเปลยนแปลง

ต าแหนง หนวยเปนเมตร

การกระจดเชงมม : การเปลยนแปลงมม

หนวยเปนเรเดยน

ความเรว : การกระจดทเปลยนไป หนวยเปน

เมตรตอวนาท

ความเรวเชงมม : การกระจดเชงมมท

เปลยนไป หนวยเปนเรเดยนตอวนาท

ความเรง : การเปลยนแปลงความเรว หนวย

เปนเมตรตอวนาท2

ความเรงเชงมม : การเปลยนแปลง

ความเรวเชงมม หนวยเปนเรเดยนตอ

วนาท2

เนองจากลกษณะการเคลอนทแบบหมนกบการเคลอนทเชงเสนมปรมาณทเกดขน

เหมอนกน เราสามารถน าสมการทเกดจากการเคลอนทเชงเสนมาปรบใชกบสมการการ

เคลอนทแบบหมนได โดยอาศยปรมาณทเหมอนกนเปรยบเทยบความสมพนธระหวางการ

เคลอนทแบบเลอนทกบการเคลอนทแบบหมนในรปของสมการทางฟสกสจะไดผลดง

ตารางท 8.2

149

ตารางท 8.2 การเปรยบเทยบสมการทางคณตศาสตรระหวางการเคลอนทแบบเลอนทกบการ

เคลอนทแบบหมน

ปรมาณการเคลอนทแบบ

เลอนท ปรมาณการเคลอนทแบบหมน สมการความสมพนธ

ต าแหนง : sหนวยเปนเมตร มม : s r=

การกระจด : ds หนวยเปน

เมตร

การกระจดเชงมม : d ds rd=

ความเรว : dsv

dt= หนวย

เปนเมตรตอวนาท

อตราเรวเชงมม : d

dt

= ds d

v rdt dt

= tv r =

ความเรง : dva

dt= หนวย

เปนเมตรตอวนาท2

ความเรงเชงมม : d

dt

= t

t

dvdva a

dt dt =

t

dr a r

dt

= =

( )22

tc

rva

r r

= =

2

ca r =

ตวอยางท 8.1 แผนซดแผนหนงมเสนผาศนยกลาง 12 เซนตเมตร วางอยบนเครองเลนแผนซดซง

หยดนง เมอเปดเครองเลนซดท าใหแผน ซดหมนดวยความเรว 200 รอบตอนาท ภายในเวลา 1.2

วนาท จงหา

(ก) ความเรงเชงมมเฉลยของซด (ข) ถาแผนซด มความเรวลดลงเหลอ 100 รอบตอวนาท จงหาความเรงเชงเสนของแผนซด

150

x

y

a

ta

ca

ภาพท 8.2 ลกษณะการหมนของแผนซด

วธท า เปลยนความเรวเชงมมจากหนวย rpm (รอบตอนาท) ใหเปนหนวย rad/s

f = rev rad min200 2

min rev 60s

= 20.95 rad / s

i = rad rad min

100 2min rev 60s

= 10.47 rad / s

ก. จากสมการ

dωα =

dt = Δω

Δt = f iω ω

Δt

−

= ( ) ( )20.95 rad/s 0 rad/s

1.20s

−

= ( )217.45 rad/s

ข. จากความสมพนธระหวางความเรงเชงมมกบความเรงในแนวเสนสมผส

ta = r

= ( )( )0.06m 17.45rad / s

= 1.05 เมตรตอวนาท2

a

151

ค. จากความสมพนธระหวางความเรวเชงมมกบความเรงเขาสศนยกลาง

ca = 2r

= ( ) ( )2

10.47rad/s 0.06m

= 26.58 m/s

พจารณาภาพท 8.2 จะไดความเรงเชงเสนของแผน CD คอ

a = 2 2

c ta + a

= ( ) ( )2 2

2 26.58 m/s + 1.05 m/s

= 6.66 เมตรตอวนาท2

8.2 สมการการเคลอนทแบบหมน (Rotational motion equation)

จากบททผานมาเมอวตถมการเคลอนทดวยความเรงคงตวเราสามารถใชสมการค านวณหา

ปรมาณทเกดจากการเคลอนทดวยความเรงคงตวไดจากชดสมการ

v = 0v + at

avv = 0v + v

2

v = ( )0 x 0 x

1v + v + at

2

avv = 0 x

1v + at

2

x = 2

0 0 x

1x + v t + at

2

0x x− = ( )0 x x

1v + v t

2

152

0x x− =

2 2

x 0 xv v

2a

−

2

xv = ( )2

0 x 0v + 2a x x−

เราสามารถน าชดสมการการเคลอนทดวยความเรงคงตวมาปรบใชกบการเคลอนท

แบบหมนโดยน ามาเปรยบเทยบเพอพจารณาสญลกษณทใชแทนการเคลอนทเชงเสนและ

เชงมม เชน v กบ ω ; x กบ θ มาเปรยบเทยบกบสมการการเคลอนทเชงเสนเมอ a คงตว

เราจะไดสมการการเคลอนทเชงมมของวตถเมอα คงตว ดงน

ω = 0ω + at

θ = 2

0 0

1θ + ω t + at

2

0θ θ− = ( )0 x x

1ω + ω t

2 (8-1)

0θ θ− =

2 2

x 0 xω ω

2α

−

2ω = ( )2

0 0ω + 2α θ θ−

ตวอยางท 8.2 แผนซดแผนหนงมเสนผาศนยกลาง 12 เซนตเมตร วางอยบนเครองเลน

แผนซดซงหยดนง เมอเปดเครองเลนซดท าใหแผน ซดหมนดวยความเรว 200 รอบตอ

นาทภายในเวลา 1.2 วนาท

ก. แผน CD หมนไดกรอบจงจะหยดหมน ข. ระยะทางเชงเสนทแผน CD เคลอนทไดกอนทจะหยดหมน

วธท า ก. จาก θ = 2

0 0

1θ + ω t + at

2

เมอ 0 0 = ; ? = ; 0 0 = ; 20.95rad / s= ; 217.45rad / s = ; t 1.2s=

θ = ( )( )221

0 + 0 + 17.45rad/s 1.20s2

= 12.56 rad

153

= rev12.56 rad

2 rad

= 1.99 rev

ข. S = rθ

= ( )( )0.06m 12.56rad

= 0.75 เมตร

การเคลอนทเชงเสนสามารถอธบายไดโดยการใชกฎการเคลอนทของนวตนทง 3 ขอ ใน

ขณะเดยวกนเรายงสามารถน ากฎการเคลอนทของนวตนมาใชอธบายการเคลอนทแบบหมนไดดวย

โดยเปรยบเทยบแรงในการเคลอนแบบเชงเสนซงคอ ทอรคในการเคลอนทแบบหมน

8.2.1 กฎขอทหน งของนวตนส าหรบการเคลอนทแบบหมน (Newton’s first law of

rotational motion)

เราสามารถเปรยบเทยบกฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตนกบการเคลอนทแบบหมนได พจารณาเมอมทอรคลพธเทากบศนยมากระท ากบวตถในขณะทวตถก าลงหมน ตามกฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน วตถชนดจะเคลอนทดวยความเรวเชงมมคงตว หรอไมมความเรงเชงมมเกดขนนนเอง

ภาพท 8.3 กรณแนวแรงไมท าใหหมน ภาพท 8.4 กรณเกดจดหมน

F

F F

F

F⊥ rF

F

154

𝐹∥

พจารณาภาพท 8.3 จะสงเกตเหนวาแนวแรงทกระท าตอไมเมตรผานจดหมน กรณ

นจะไมเกดการหมน แตถาแนวแรงทกระท าตอวตถซงไมผานจดหมน กรณนจะท าใหวตถ

เกดการหมน นอกจากนแรงทกระท าตอวตถสามารถแยกออกเปนองคประกอบยอยเปน

แรงทตงฉากกบวตถและแรงทขนานกบ ดงภาพท 8.4 แรงทมผลตอการหมนคอแรงทตง

ฉากกบวตถเทานน ซงเรยกวา ทอรค (Torque, ) พจารณาภาพท 8.5

= r F

เมอ τ คอ การคณกนของเวกเตอร(Cross product) ระหวางเวกเตอรต าแหนงกบเวกเตอร

แรง มหนวยเปนนวตนเมตร

ภาพท 8.5 การเกดทอรค

โดยขนาดของผลคณแบบเวกเตอรนมคาเทากบผลคณระหวางระยะทางทลากจากจดหมน

มาตงฉาก (แขนหมน) กบแนวแรง หรอผลคณระหวางแรงทตงฉากกบแขนหมน

= F r⊥

= ( )Fsin r

= ( )r Fsin (8-2)

= Fr⊥

F⊥

F⊥

r

F

155

ตวอยางท 8.3 ออกแรงในแนวดง 100 นวตน เพอเปดฝากระปองผลไมโดยออกแรงหางจากจดหมน

เปนระยะ 25 เซนตเมตร จงหา

ก. ขนาดของทอรค

ข. แรงทตองใชเปดฝากระปองเมอออกแรงท ามม o30 กบแนวดง

วธท า ก. เนองจากแรงทออกตงฉากกบแขนหมนจะไดวา

= r F

ขนาดของทอรค = 0rFsin 90

= ( )( )0.25m 100N

= 25 N

ดงนนขนาดของทอรคมคาเทากบ 25 นวตน

ข. เมอแรงไมตงฉากกบแขนหมนคอ F เมอแยกองคประกอบของแรงจะมเพยงแรงเดยว

เทานนทมผลตอการหมน แรงนนคอ 0Fcos30 จะไดวา

= r F

= 0rFcos30

F = ( )0

25Nm

0.25m cos30

= 115 N

ดงนนแรงทใชเปดฝากระปองมขนาดเทากบ 115 นวตน

8.2.2 กฎขอสองของนวตนส าหรบการเคลอนทแบบหมน (Newton’s second law of

rotational motion)

156

เมอมทอรคลพธทไมเทากบศนยมากระท ากบวตถจะท าใหวตถเกดความเรงเชงมม

ของวตถโดยความเรงเชงมมจะเปลยนแปลงตามคาทอรคทมากระท า แตไมขนกบโมเมนต

ความเฉอยของวตถ พจารณาสมการ

F = ma

= I (8-3)

เมอ I คอโมเมนตความเฉอย

ดงนนสมการ (8-3) จงเปนกฎการเคลอนทขอสองส าหรบการหมน

8.2.3 โมเมนตความเฉอย (Moment of inertia)

พจารณาการเกดโมเมนตจากวตถทแขวนอยดงภาพท 8.6 ถาวตถมความเรง

เชงมม และทมวลกอนเลก ๆ dm ถกกระท าดวยแรง dF ซงตงฉากกบแขนหมนท าให

dm มความเรงเชงมม ดวย

ภาพท 8.6 ลกษณะการหมนของวตถมวลเลกๆบนจานหมน

และจากสมการ

= r F

จะไดวา

dF

dm

จดหมน

r

157

dτ = rdF (8-4)

แต dF คอแรงในแนวเสนสมผส แทนดวย tF จะไดความเรงในแนวเสนสมผส

ta ดวย

tdτ = rdF

= ( )trd ma

= tra dm

= 2r dm

dτ = 2r dm

= 2r dm

เปรยบเทยบสมการทไดกบกฎขอสองของการหมนเมอ ทไดคอ ผลรวมของทอรค

ทงหมดทเกดจากมวลยอย ๆ dm จะไดคาโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงใด ๆ คอ

I = 2r dm (8-5)

โดยทวไปแลวความเฉอยหรอความตานทานการเคลอนทของวตถขนอยกบมวล แตความ

เฉอยตอการหมนซงกคอโมเมนตความเฉอย จะขนอยกบมวลและรปรางของวตถ

เราสามารถน าเรองของโมเมนตความเฉอยไปประยกตใชในชวตประจ าวนไดมากมาย เชน

การยกวตถไมใหแกวงจนหลดมอควรจบอยางไร การยดตดของวตถ เขากบผนง หรอในการท างาน

ของชางกอสรางกลวนแลวแตใชความรในเรองของโมเมนตความเฉอย

ตวอยางท 8.4 ดมเบลประกอบดวยมวลกอนละ 10 กโลกรม เชอมดวยมวลเบายาว 50 เซนตเมตร

หมนรอบแกนซงตงฉากกบระนาบของกระดาษ จงหาขนาดของทอรคทท าใหดมเบลหมนดวย

ความเรว 5 รอบตอนาท และหยดภายในเวลา 3 วนาท

158

วธท า ถอวามวล m ทงสองมขนาดเลกเมอเทยบกบระยะทางระหวางมวลทงสอง ดงนน

คาโมเมนตความเฉอยจากเงอนไขการอนทเกรต กคอ ผลรวมของมวลทงหมด

I = 2r dm

= 2

i im r

แทนคาตาง ๆ ในสมการ

I = 2 2

1 1 2 2m r m r+

= ( )( ) ( )( )2 2

10kg 0.25m 10kg 0.25m+

= 21.25 kg m

แต = dω

dt

= Δω

Δt = f iω ω

Δt

−

= rev min rad

5 2min 60s rev

3s

= 20.175 rad / s

จากกฎขอสองของการหมน

= I

ขนาดของทอรค = I

= ( )( )2 21.25kg m 0.175rad / s

= 0.129 N m

ดงนนขนาดของทอรคเทากบ0.129 นวตนเมตร

159

ตวอยางท 8.5 จงแสดงวธการหาคาโมเมนตความเฉอย

ก. ของวงแหวนบางสม าเสมอรศม R มวล M รอบแกนทผานจดศนยกลางมวลดงภาพท 8.7

ข. ของแผนจานบางสม าเสมอรศม R มวล M รอบแกนทผานจดศนยกลางมวลดงภาพท 8.8

วธท า ก. แบงวงแหวนออกเปนสวนเลก ๆ มมวล dm หางจากแกนหมนรศม r R= โมเมนตความ

เฉอยของมวล dm คอ

ภาพท 8.7 วงแหวนบางสม าเสมอ

ringI = 2r dm

= 2R dm

= 2R dm

= 2MR

เมอผลรวมทงหมดของมวล dm ทแบงเปนสวนเลก ๆ มคาเทากบ M ดงนนจะไดวา

โมเมนตความเฉอยของวงแหวนบางรอบจดศนยกลางมวลคอ

( )ring cmI = 2MR (8-6)

dm

y

X

M R

160

ข. ในกรณเปนแผนจานเมอแบงแผนจานออกเปนวงแหวนเลก ๆ รศม r หนา dr มมวล

dm จะสงเกตเหนวาคาขอบของวงแหวนมคาไมคงตวจะเปลยนตามระยะ r ดงน นคา

โมเมนตความเฉอยของแผนจานเกดจากโมเมนตความเฉอยสวนเลก ๆ ของวงแหวน d ดง

ภาพท 8.8

ภาพท 8.8 แผนจานวงกลม

เมอน ามวล dm หนา dr มาขยายออก

d = 2r dm

เมอรวมวงแหวนสวนเลก ๆ ทงหมดกจะกลายเปนแผนบาง

diskI

0

dI = R

2

0

r dm

diskI =

R

2

0

r dm

แตมวลสวนเลก dmขนอยรศม สมมตเปนแผนจานบางสม าเสมอดงน นการ

กระจายของมวลจะขนอยกบพนท

dm

M =

2

2 rdr

R

เนองจาก M ขนอยกบพนท

M

dm

x

y

161

dm = 2

2Mrdr

R

หรอค านวณหาdm จาก dm = dA

= ( )2 r dr

แต คอความหนาแนนตอพนทจะได M

A =

dm = ( )M

2 r drA

= ( )2

M2 r dr

R

= 2

2Mrdr

R

แทนคา dm ลงในสมการ

diskI = 2

2

2Mr rdr

R

= R

3

2

0

2Mr dr

R

diskI =

4

2

2M R

R 4

= 21MR

2

โมเมนตความเฉอยของแผนจานกลมรอบจดศนยกลางคอ

( )disk cmI = 21

MR2

(8-7)

คาโมเมนตความเฉอยของวตถขนอยกบรปรางของวตถแสดงดงตารางท 8.3

162

ตารางท 8.3โมเมนตความเฉอย

ทมา: สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. [online]: เขาถง 5 กรกฏาคม

2559. จาก http://www.scimath.org/images/uploads/upload2/Untitled_9.png

8.3 พลงงานจลนในการหมน (Rotational kinetic energy) จากหวขอทผานมาเราไดศกษาเกยวกบการเคลอนทของวตถแขงเกรงและแรงท

กระท าส าหรบในหวขอนจะพดถงพลงงาน และกฎการอนรกษพลงงาน เนองจากเมอใช

พลงงานค านวณจะท าใหงายและสะดวกกวาการค านวณเมอใชแรงและทอรค แตปญหาท

เกดข นคอพลงงานจลนมผลตอการหมนอยางไร พจารณาดงภาพท 8.9 เมอแบงมวล

แผนกลมบางมวล m

รศม R

ทรงกลมกลวง มวล

m รศม R

ทรงกระบอกตน มวล

m รศม R ยาว L

ทรงกลมตน มวล

m รศม R

แผนกลมบางมวล

m รศม R

แทงวตถเลกมวล

m ยาว L

รอบแกนผาน

ศนยกลาง

รอบแกนผาน

ศนยกลาง

รอบแกนของ

ทรงกระบอก

รอบแกนผานศนยกลาง

ตงฉากกบแผน

รอบแกนผานศนยกลาง

บนระนาบของแผน

รอบแกนผานศนยกลาง

มวล ตงฉากกบแทง

163

ออกเปนสวนเลก ๆ dm มความเรว v และอยหางจากจดหมน r จากนยามของพลงงาน

จลนเชงเสนของมวลเลก ๆ

kdE = 21

v dm2

ภาพท 8.9 พลงงานจลนในการหมน

แต v คอความเรวในแนวเสนสมผส v r= จะได

kdE = 2 21

ω r dm2

คดทงหมด

kdE = 2 21ω r dm

2

เมอสมการทางซายมอคอพลงงานจลนในการหมนของวตถทงกอน สวนสมการทางขวา

มอคอโมเมนตความเฉอย

พลงงานจลนในการหมน

kE = 21I

2 (8-8)

ω

dm v

r

164

จะสงเกตเหนวาพลงงานจลนเชงเสนจะมคาเทากบครงหนงของผลคณระหวาง

ความเฉอย (มวล) กบความเรวก าลงสอง ในท านองเดยวกนพลงงานจลนในการหมนจะม

คาเทากบครงหนงของผลคณระหวางโมเมนตความเฉอยและความเรวเชงมมยกก าลงสอง

8.4 ทอรค (Torque) จากหวขอทผานมาเรารแลววาขนาดของทอรคคอผลคณของแรงทไปตงฉาก

( )F⊥ กบระยะแกนการหมน ( )r ดงสมการ (8-2)

= F r⊥

= ( )Fsin r

ตอไปพจารณาภาพท 8.10 ทศของทอรคจะมทศพงออกจากระนาบของหนากระดาษ (ตาม

แกน z ) ตามภาพเนองจากทศของทอรคจะขนอยกบระนาบทวตถหมน ในกรณนเมอวตถ

หมนในระนาบ xy ดงนนเนองจากทอรคเปนเวกเตอรและมคาคงท จงมทศเพยงทศเดยว

เทานนทตงฉากกบระนาบ xyนนคอแกน z แตเนองจากทศทตงฉากกบระนาบ xy มสอง

ทศคอ z+ กบ z− ดงนนเราสามารถใชกฎมอขวาในการก าหนดทศทางได

ภาพท 8.10 ทศทางของทอรค

z

x

y

z

r

r F

165

พจารณากฎมอขวา จากภาพท 8.11 ซงมหลกการคอ

1. ใหนวชตามทศของ r

2. ใหนวกลางไปตามทศของแรง F

3. นวหวแมมอจะแสดงทศของทอรค

ภาพท 8.11 กฎมอขวา

ตวอยางท 8.6 ไมเมตรมวล 0.2 กโลกรมวางอยในแนวราบปลายดานหนงชไปทางทศเหนอปลาย

อกดานหนงตรงตดอยกบท เมอปลอยใหไมเมตรเคลอนทดงภาพท 8.12 จงหาทอรคทเกดจากแรง

โนมถวง

ภาพท 8.12 ส าหรบตวอยางท 8.6

วธท า จากนยามของทอรค

= r F

= grF sinθ

= ( )mg2

r

F

y

r

z gF

166

= ( )( )21m0.2kg 9.8m / s

2

= 0.98 N m

ดงนนขนาดของทอรคเทากบ 0.98 นวตนเมตร จากกฎมอขวาทอรคจะมทศตามทศ

ตะวนตก (แกน z )

8.5 โมเมนตมเชงมมและทอรค (Angular momentum and Torque) ในการค านวณหาโมเมนตมเชงมมเราสามารถใชหลกการเทยบกบการหาโมเนตม

เชงเสนได เมอพจารณากฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตนในการเคลอนทแบบเชงเสน เรา

สามารถหาคาโมเมนตมทเกดจากการเคลอนทไดจากสมการ

จากสมการ F = ma

= dvm

dt

= ( )d mv

dt

= dp

dt

p = mv

ในขณะเดยวกนเราสามารถอาศยกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน มาปรบใชกบการ

เคลอนทแบบหมนของวตถแขงเกรงได พจารณาจากสมการ

τ = Iα

= dωI

dt

= ( )d Iω

dt

167

= dL

dt

L = Iω (8-11)

กฎขอสองของนวตนส าหรบการหมน

τ = dL

dt

โมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรง

L = Iω

ตวอยางท 8.7 จงหาโมเมนตมเชงมมของดวงจนทรเมอโคจรรอบโลก โดยก าหนดใหมวล

ของดวงจนทรมคาเทากบ 22m 7.36 10 kg= และรศมวงโคจร 8r 3.84 10 m= และคาบ

ในการเคลอนทเทากบ 27.3 วน หรอ 62.36×10 s

วธท า จากสมการของโมเมนตมเชงเสน

p = mv

p = 2πrm

T

= ( )8

22

6

2 3.84 10 m7.36 10 kg

2.36 10 m

= 257.52 10 kg m / s

จากสมการของโมเมนตมเชงมม

จะได

168

L = r × p

L = rp

= ( ) ( )( )8 253.84×10 m 7.52×10 kg m/s

= ( )34 22.89 10 kg m / s

ดงนนโมเมนตมเชงมมขนาดเทากบ 342.89 10 กโลกรมเมตร2 ตอวนาท

ตวอยางท 8.8 จงหาคาโมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงโดยการประยกตใชนยามของ

โมเมนตมเชงเสน

วธท า จากภาพท 8.13 พจารณามวลกอนเลก ๆ dm จากนนใชนยามของโมเมนตมเชงมม

และโมเมนตมเชงเสน

dm

v

r

ภาพท 8.13 ส าหรบตวอยางท 8.8

L = r × p

dL = r × v dm

ใหจดหมนคงทรศมจะตงฉากกบความเรว จากกฏมอขวาโมเมนตมเชงมมจะมทศพงเขาตง

ฉากกบระนาบของกระดาษทศเดยวกบความเรวเชงมม และจากสมการ

dL = ( )2 ˆr v dm n

= ( ) ˆr rω ndm

= 2 ˆr ωndm

= 2ωr dm

r v

169

เมอคดมวลทงกอน

dL = 2ωr dm

L = 2ω r dm

L = Iω

8.6 กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม (Conservation of angular momentum)

กฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสนกลาวไววา เมอไมมแรงภายนอกมากระท า“ในระบบเดยว

ผลรวมของโมเมนตมเชงเสนจะมคาคงตว” พจารณาจากกฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสน และการประยกตใชกฎขอสองส าหรบระบบ

อนภาคเมอไมมแรงภายนอกมากระท า

F = dp

dt (8-13)

0 = dp

dt

p = 0 (8-14)

ในท านองเดยวกนอาศยกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมมและการประยกตใชกฎขอสองของ

การหมนเมอไมมทอรคภายนอกมากระท า

τ = dL

dt (8-15)

0 = dL

dt

ΔL = 0 (8-16)

กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม “ในระบบโดดเดยวผลรวมของโมเมนตมเชงมมจะคงตว”

ตวอยางทเหนไดชดคอโตะหมนและการเตะฟตบอล

ตวอยางเชน เมอยนบนโตะหมนทก าลงหมนอยดวยคาโมเมนตมเชงมมคาหนง หากมแรงภายนอกในทศตงฉากกบระยะทางจากแนวแรงถงแกนหมน หรอเราเรยกวามทอรคภายนอกมากระท า จะมผลท าใหโมเมนตมเชงมมเกดการเปลยนแปลง อกตวอยางหนงกคอ ลกฟตบอลทก าลง

170

กลงหมนไป ถาไมมทอรคหรอคนมาเตะหรอกระท าตอลกฟตบอล ลกฟตบอลจะหมนไปดวยโมเมนตมเชงมมเทาเดม

ตวอยางท 8.9 นกศกษาคนหนงยนบนโตะหมนและกางแขนทงสองขางออก จากนนหด

แขนเขาแสดงดงภาพท 8.14 ท าใหความเรวเปลยนจาก 10 รอบตอวนาท เปน 15 รอบตอ

วนาท จงหาอตราสวนโมเมนตความเฉอยทเปลยนไปตอโมเมนตความเฉอยเดม

ภาพท 8.14 ส าหรบตวอยางท 8.9

วธท า จากโมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรง ส าหรบโมเมนตมเชงมมกอนการ

เปลยนแปลง

0L = 0 0I

โมเมนตมเชงมมภายหลงการเปลยนแปลง

L = I

เมอไมมทอรคภายนอกมากระท าจากกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม

0L = L

L L

171

0 0I = I

0

I

I =

0

ω

ω

= 10rpm

15rpm

= 3

2

จากค าตอบทไดแสดงวาเมอความเรวเชงมมเพม โมเมนตความเฉอยจะลดลงเพอใหโมเมนตม

เชงมมคงทตามกฎการอนรกษพลงงาน

ตวอยางท 8.10 แปนหมนของชางปนหมอมโมเมนตความเฉอย 0.4 กโลกรม·ตารางเมตร หมนดวย

ความเรว 100 รอบตอนาท ถามดนเหนยวรปทรงกระบอกมวล 4 กโลกรม รศม 20 เซนตเมตร

เคลอนลงมาตามแนวดงและตกลงตรงจดศนยกลางของแปนหมนดงภาพท 8.16จงหาอตราการหมน

เมอกอนดนเหนยวตกลงบนแปนหมน

ภาพท 8.16

วธท า จากโมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงจะได

โมเมนตมเชงมมเรมตน

0L =

0 0I

0

172

โมเมนตมเชงมมสดทาย

L = ( )0I I+

แตดนเหนยวเปนรปทรงกระบอกมโมเมนตความเฉอยเปน 21I mr

2=

L = 2

0

1I mr

2

+

เมอไมมทอรคภายนอกมากระท า จะไดวาโมเมนตมเชงมมไมมการเปลยนแปลง

อาศยการอนรกษโมเมนตมเชงมม

0 0I = 2

0

1I mr

2

+

= 0 0

2

0

I

1I mr

2

+

= ( )( )

( ) ( )( )

2

22

0.4kg m 100rpm

10.4kg m 4kg 0.1m

2

+

= 95.2 rpm

ดงนนอตราการหมนของแปนคอ 95.2 รอบตอนาท

173

บทสรป

การเคลอนทของวตถแขงเกรงซงเปนวตถทมมวลกอนเลกๆ หรออนภาคใดๆ อยหางกน

เปนระยะทางคงทตลอด จะประกอบไปดวยการเคลอนท 2 แบบ คอ การเลอนท และการหมนโดย

เมอมการหมนจะเกดปรมาณทเทยบไดกบมวลคอโมเมนตความเฉอยและปรมาณทเทยบไดกบ

ความเรวเชงเสน คอความเรวเชงมม เมอมการเคลอนทแบบหมนจะเกดปรมาณทเรยกวาโมเมนตม

เชงมมทมคาเทาโมเมนตความเฉอยคณกบความเรวเชงมมซงเทยบไดกบการเคลอนทเชงเสนทเกด

โมเมนตมคอความเรวคณกบมวล ส าหรบสมการทางคณตศาสตรทใชในการเคลอนทเปนวงกลม

นนสามารถใชสมการของการเคลอนทเชงเสนได

174

แบบฝกหด

1. จงหาความเรงของแผนทรงกลมสม าเสมอทมขนาดเสนผาศนยกลาง 10 เซนตเมตร

หมนรอบจดศนยกลางดวยความเรว 100 รอบตอนาทในเวลา 1 วนาท

2. สมชายออกแรงขนาด 200 นวตน งดคานทอยหางจากเขาเปนระยะทาง 1 เมตร จงหา

ทอรคทเกดขน

3. จงหาโมเมนตความเฉอยของวงแหวนทมรศม 10 เซนตเมตร มวล 5กโลกรม ทก าลง

หมนรอบศนยกลาง

4. แผนจานทรงกลมสม าเสมอมมวล 2 กโลกรม มรศม 50 เซนตเมตร ก าลงหมนรอบจด

ศนยกลาง จงหาโมเมนตความเฉอย

5. จงหาคาโมเมนตมเชงมมของแผนจานทรงกลมทมมวล 2 กโลกรม มรศม 50

เซนตเมตร หมนดวยความเรว 300 รอบตอนาท

6. ชายคนหนงยนหมนรอบตวเอง โดยใหแขนกางออกท าใหเขามความเรวเปน 20 รอบ

ตอวนาท หลงจากนนเขาหดแขนเขาท าใหความเรวลดลงเปน 10 รอบตอวนาท จงหา

อตราสวนของโมนเมนความเฉอยกอนและหลงการหดแขนของเขา

7. ลอกลงก าลงหมนอยกบท ดวยความเรว 100 รอบตอวนาท ท าใหเกดโมเมนตความ

เฉอย 1 กโลกรมเมตร2 จงหาพลงงานจลนทเกดจากการหมน

8. ผกมวล 2 กโลกรม กบเชอกทเบาโดยใหปลายอยหางจากจดหมน 1 เมตร หลงจากนน

หมนเชอกดวยความเรว 100 รอบตอวนาท จงหาพลงงานจลนของการหมน

175

บรรณานกรม

กองกญจน ภทรากาญจน และธนกาญจน ภทรากาญจน, จฬาลงกรณมหาวทยาลย. (2552). ฟสกส 1 ตวอยางและโจทยพรอมค าเฉลย. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย. กองกญจน ภทรากาญจน และ ธนกาญจน ภทรากาญจน. (2550). ฟสกส 2: ตวอยางและโจทยพรอม

ค าเฉลย. กรงเทพฯ : ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย คณาจารยภาควชาฟสกส, จฬาลงกรณมหาวทยาลย. (2549). ฟสกส1. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. เชญโชค ศรขวญ และคณะ, มหาวทยาลยมหดล. (2546). ฟสกสทวไป 1. กรงเทพฯ: คณะ วทยาศาสตร มหาวทยาลยมหดล. ทว ฉมออย, มหาวทยาลยธรรมศาสตร. (2541). ฟสกสพนฐานระดบมหาวทยาลย 1. กรงเทพฯ: ส านกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร. ทพรตน วงษเจรญ. (2538). ฟสกสกลศาสตร. กรงเทพฯ : แมค. ปยพงษ สทธคง. (2540). ทฤษฎและตวอยางโจทยฟสกสพนฐาน. กรงเทพฯ : แมคกรอฮล. บดนทรชาต สขบท. (2547). ฟสกส 1. กรงเทพฯ: สกายบกส. วชต กฤษณะภต. (2538). ฟสกสเบองตนและพนฐาน. กรงเทพฯ : โอเดยนสโตร. วระชย สรพนธวราภรณ และ วทร ชนวชรศร. (2550). ฟสกสเบองตน: ส าหรบวทยาศาสตร

การแพทย พยาบาล และสาธารณสข เลม 1. กรงเทพฯ: เจรญดมนคงการพมพ. ปรเมษฐ ปญญาเหลก, มหาวทยาลยศรปทม. (2553). ปฏบตการฟสกส 1. กรงเทพฯ: โรง พมพมหาวทยาลยศรปทม. สมพงษ ใจด. (2541). ฟสกสมหาวทยาลย 1. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมพงษ ใจด. (2541). ฟสกสมหาวทยาลย 2. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สชาต สภาพ, มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร. (2558). ฟสกสทวไป. กรงเทพฯ: ส านกพมพทรปเพล เอดดเคชน. อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร (2543). ฟสกสเลม 1. กรงเทพฯ. สมาคมวทยาศาสตร

แหงประเทศไทยในพระบรมราชปถมภ อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร (2543). ฟสกสเลม 2. กรงเทพฯ. สมาคมวทยาศาสตร

แหงประเทศไทยในพระบรมราชปถมภ

176

Fraser, G. (2006). The New Physics for the Twenty-First Century. Cambridge: Cambridge University Press. Giambattista, A., Richardson, B.M., and Richardson, R.C. (2007). College Physics 2nd ed. Boston: Mc Graw Hill.

Serway, R. A., and Jewett, J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th ed. Belmont: Brooks/Cole-Thomson Learning. Serway, R.A., Vuille, C., and Hughes, J. (2015). College Physics 10th ed. Stamford:

Cengage Learning. Thornton, T.S., and Rex, A. (2013). Modern Physics for Scientists and Engineers 4th

ed. Boston: Brooks/Cole- Cengage Learning. Young, H.D., and Freedman, R.A. (2016). Sear’s & Zemansky’s University Physics with Modern Physics 14th ed. Essex: Pearson Education Limited.