A. PENGERTIAN INTEGRALDi kelas XI, telah dipelajari tentang konsep turunan. Pemahaman tentang

konsep turunan ini dapat digunakan untuk memahami konsep integral. Coba

tentukan turunan fungssi berikut:

ƒ1(x) = 3x3 + 3

ƒ2(x) = 3x3 + 7

ƒ3(x) = 3x3 - 1

ƒ4(x) = 3x3 - 10

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum ƒ(x) =

3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi di atas memiliki turunan ƒ΄(x) =

9x2 .

Bagaimana jika menentukan fungsi ƒ(x) dari ƒ΄(x) yang diketahui?.

Menentukan fungsi ƒ(x) dari ƒ΄(x) berarti menentukan antiturunan dari ƒ΄(x).

Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial atau operasi invers

terhadap differensial.

integralMATERI:

1. Pengertian integral2. integral tak entu3. integral tertentu4. menentukan luas daerah5. menentukan volume benda putar

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F΄(x)= ƒ(x), maka F(x)

merupakan antiturunan atau integral dari ƒ(x).

Pengintegralan fungsi ƒ(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan :

= notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang

matematikawan dari Jerman).

ƒ(x) = fungsi integral

F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F΄(x) = ƒ(x)

c = konstannta pengintegralan

Sekarang perhatikan fungsi berikut:

, didapat

Jadi, jika maka

didapat

Jadi, jika maka

didapat

Jadi jika maka

Dari uraian tersebut nampak bahhwa jika maka

atau dapat dituliskan Sebagai

contoh , turunan fungsi adalah Ini berarti, antiturunan

dari adalah atau dituliskan . Uraian

ini menggambarkan hubungan sebagai

1. Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut!

Jika maka , n ≠ -1 dengan c suatu konstanta

a. c.

b. d.

2. Tentukan antiturunan x jika diketahui

a. c.

b. d.

Penyelesaian

1. a.

b.

c.

d.

2. a.

b.

c.

d.

B. INTEGRAL TAK TENTUPada bagia sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa integral merupakan

antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada

interval [a, b] sedemikian hingga , maka anti turunan dari

adalah F(x) + c.

Secara sistematis ditulis

Di mana =Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan

= Fungsi integral, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya

c = konstanta

Sebagai contoh, dapat kita tuliskan

Karena

sehimmga kita dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan

keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c).

Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka di mana c

adalah konstanta

Teorema 1

Jika ƒ adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

Jika ƒ dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan , maka

Teorema 1Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

Jika ƒ dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan , maka

Teorema 4

Aturan Integral Substitusi

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan

rasional tidak nol, maka , di mana c

adalah konstanta dan r≠-1

Teorema 5

1. Aturan Integral SubstitusiAturan integral substitusi seperti tertulis pada teorema. Aturan ini digunakan

untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan

dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.

Contoh:

Hitunglah integral dari

a. b. c.

Penyelesaian:

a.

misalkan u = 9 - x2, maka du = -2xdx

xdx=

Aturan Integral Parsial

Jika u dan v adalah fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Teorema 6

Aturan Integral Trigonometri

Di man c adalah konstanta

Teorema 7

=

=

=

=

Jadi, =

b.

misalkan u = =

Sehingga =

=

Jadi =

c.

misalkan u = 1 - 2x2, maka du = -4xdx

dx =

=

=

=

Jadi =

2. Integral dengan Bentuk , dan Pengintegralan bentuk-bentuk , dan dapat dilakukan

dengan menggunakan substitusi dengan x = a sin t, x = a tan t, x = a sec t.

Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti berikut

Contoh:

Hitunglah

Penyelesaina:

Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x + 1)

cos (3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu

Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:

1. Tentukanlah integral berikut!

a. f.

b. g.

c. h.

d. i.

e. j.

Skor 50

2. Tentukanlah integral berikut!

a.

b.

c.

d.

Skor 35

3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui

a. g΄ (t)=7 dan g(0)=0

b. g΄ (t)=3t2 + 8t – 1 dan g(2)=5

c. g΄ (t)=6t2 + 4t + 1 dam g(1)=5

Skor 15

C. INTEGRAL TERTENTU1. Memahami Luas Sebagai Suatu Limit Tertentu

Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik

fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-

batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas

berikut.

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x)=9–x2 pada interval [0,3].

2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing

, memakai titiktitik

3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya ∆x dan tingginya

f(xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut!

4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!

5. Dengan memilih ∆x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah

limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan

menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f(x)=9-x2, sumbu-x, garis

x = 0, dan x = 3.

6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan

teman-temanmu!

Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya.

Setelah membagi interval [0, 3] menjadi n selang bagian yang lebarnya

masing-masing , kalian memperoleh:

Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:

Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.

Dengan memilih ∆x → 0 maka n →∞, sehingga akan diperoleh luas daerah

yang dibatasi kurva f(x) =9-x2, sumbu-x, garis x=0, dan x =3 sebagai berikut.

Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.

Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan

tersebut sebagai berikut.

Jika ∆x → 0, maka akan diperoleh

Dengan mengambil batas daerah x1 = a dan x2 = b, maka bentuk di atas

merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai

Sehingga diperoleh

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka adalah integral

tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai

berikut.

Dengan

= fungsi integran

= batas bbawah

= batas atas

Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu

adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya

adalah fungsi.

Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut!

1

2.

3.

4.

5.

6.

2. Teorema Dasar Kalkulus

Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema

yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.

Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian

menggunakan teorema-teorema berikut.

CONTOH

1. Hitunglah

Penyelesaian:

2. Tentukanlah

Penyelesaian:

Oleh karena untuk f(x) =x2, berlaku f(-x) = f(x), maka f(x) = x2 merupakan fungsi

genap. Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:

3. Tentukanlah jika fungsi f didefinisikan sebagai

Penyelesaian:

1. Tentukanlah integral tertentu berikut!

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

Skor 80

2. Jika dan hitunglah integral-integral

berikut!

a. d.

b. e.

c.

Skor 10

3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi

genap dengan Tentukanlah integral-integral berikut!

a. b. c.

Skor 10

D. MENENTUKAN LUAS DAERAH1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit suatu

jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu. Pada

subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah

yang dibatasi oleh beberapa kurva.

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,

dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah

sebagai berikut.

CONTOH

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 – x2, sumbu-x,

garis x = 0, dan x = 1.

Penyelesaian:

Daerah tersebut adalah daerah R.

Luas daerah R adalah:

Jadi, luas daerah R adalah satuan luas

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-xMisalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,

dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas

di subbab sebelumnya, maka luas daerah S adalah

CONTOH

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis sumbu-x, garis x

=4, dan sumbu-y.

Penyelesaian:

Daerah tersebut adalah daerah S. Luas Daerah S adalah

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.

3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y=f(x) dan Sumbu-xMisalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu-x, garis x=a, dan

garis x=c, dengan f(x)≥0 pada [a, b] dan f(x) )≤ 0 pada [b, c], maka luas

daerah T adalah

Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masing-

masing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1

sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas

daerah yang terletak di bawah sumbu-x.

CONTOH

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x)= -sin x,

0 ≤ x ≤ 2π, dan sumbu-x.

Jawab:

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x)= -sin x,

0 ≤ x ≤ 2π, dan sumbu-x. adalah

Jadi, luas daerah tersebut adalah 4 satuan luas.

4. Menentukan Luas Daerh yang Terletak di Antara Dua KurvaLuas daerah U pada gambar di bawah adalah

L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1=f(x), x=a, x=b, dan y=0

sehingga Luas ABEF =

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2=g(x), x=a, x=b,

dan y =0 sehingga Luas ABEF=

Dengan demikian, luas daerah U adalah

CONTOH

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) =4 –x2, garis x=0, dan

di atas garis y =1.

Penyelesaian:

Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah U. Tentukanlah batas-batas

pengintegralan, yaitu absis titik potong antara kurva y =f(x)= 4 –x2 dan garis

y =1 di kuadran I. Substitusi y =1 ke persamaan y=4 –x2 sehingga didapat:

4 –x2 =1

x2 = 3

Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas pengintegralannya

adalah x =0 sampai x = 3 .

Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut.

Jadi, luas daerah U adalah satuan luas.

1. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut! Kemudian, tentukan

luas daerah tersebut!

a. dan sumbu-x.

b. , sumbu-x, dan garis x = 2

c. , sumbu-x, x = 0, dan sumbu simetri parabola

d. , dan x = 5

e. dan sumbu garis y = -4

f.

Skor 60

2. Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 - 2x - 8 dan sumbu-x dibagi

menjadi dua bagian oleh sumbu-y. Tentukan perbandingan luas bagian masing-

masing!

Skor 60

3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 4.

Skor 60

E. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi

Sumbu-xSecara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara

matematis, ditulis V= A.h

Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-

penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.

Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x

adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi

.

Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga

diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume

suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu

dengan

Dengan jumlah yang kalian dapatkan kemudian akan

menjadi .

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa

lingkaran, maka A(x) = π r2 jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah

fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat

dinyatakan sebagai

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x =a,

garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan

memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah

2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-yMisalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x=f(y), sumbu-y, garis

x=a, garis x =b, dengan a<b, maka volume benda putar yang diperoleh

dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

CONTOH

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik

f(x)=4 – x2, sumbu-x, dan sumbu-y diputar 360° terhadap:

a. sumbu-x

b. sumbu-y

Penyelesaian:

a. Volumenya adalah:

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi

sumbu-x adalah satuan volume.

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar

mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan kurva y = f(x )=

4 -x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y. y = 4 – x2 → x2 = 4 - y

Volume benda putar tersebut adalah

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi

sumbu-y adalah 8π satuan volume.

3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi kuerva f(x)

dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-xJika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan │f(y)│ ≥ │g(y)│

pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x. Seperti yang telah

dijelaskan di subbab sebelumnya, maka volume benda putar yang diperoleh

adalah sebagai berikut.

CONTOH

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik

f(x)=x-2, sumbu-y, garis x=2, dan y =-1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x

Penyelesaian:

Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume

nya adalah

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar mengelilingi

sumbu-x adalah satuan volume.

4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi kuerva f(x)

dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-yJika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan │f(y)│ ≥ │g(y)│

pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah

dijelaskan di subbab sebelumnya, maka volume benda putar yang diperoleh

adalah sebagai berikut.

CONTOH

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik

, sumbu-x, garis x = 0, dan garis x = 4 diputar 360°

mengelilingi sumbu-y.

Penyelesaian:

Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas

pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurva y = , dan

garis x = 4.

Substitusi x = 4 ke persamaan y = , sehingga diperoleh, y=

,

Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y = -1 sampai y = 0. Oleh karena

daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka kalian harus

menyatakan persamaan kurva y= , menjadi persamaan x dalam

variabel y. Dari y=

x = 4y +8

Jadi, volume benda putar tersebut adalah

Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U diputar

mengelilingi sumbu-y adalah. satuan volume