A. Pengertian Transformasi LaplaceTransformasi Laplaceadalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.Dalammatematikajenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian darianalisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, sepertirangkaian elektronik,osilator harmonik,devais optikdan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana darimasukanataukeluaransuatusistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidangfisika,optik,rekayasa listrik,rekayasa kendali,pemrosesansinyaldanteori kemungkinan.Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi,Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya olehLeonhard Euler, seorang ahli matematikaprolificSwissabad kedelapanbelas.Transformasi Laplace dari suatufungsif(t), yang terdefinisi untuk semua nilaitriildengant 0, adalah fungsiF(s), yang didefinisikan sebagai:

Limit bawahadalah kependekan daridan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsidelta Diracpada 0 jika terdapat suatu impuls dalamf(t) pada 0.Secara umum parametersbernilaikompleks:

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanyas(Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.B. Persamaan differensial laplacePenyelesaian persamaan diferensial dengan mencari tanggapan homogen dan tanggapan paksa yang telah dibahas dalam Bab 5. Penyelesaian dengan cara tersebut memerlukan perumpamaan tanggapan yang tepat. Cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial tanpa harus menggunakan perumpamaan tanggapan adalah dengan transformasi Laplace.Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah pengubahan persamaan ke bentuk s.Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial

atau dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.C. Contoh Soal persamaan Differensial LaplaceTentukan selesaian persamaan diferencial berikut.

dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh

Menurut sifat transformasi Laplace

, sehingga

=

= Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Untuk pemeriksaan jawab di atas

dan Y(0) = 1, Y(0)=-2