Aplikasi Laplace Untuk Penyelesaian Pers

Aplikasi Laplace untuk penyelesaian pers. Deferensial

Muhammad Nizam

2

Ekspansi Pecahan Parsial:Review

• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:

)(

)()(

sD

sNsF

• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama

N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s) denumerator

(penyebut) dalam s

))...()((

)()(

21 Nssssss

sNsF

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

)(...

)()()(

2

2

1

1

N

N

ss

K

ss

K

ss

KsF

Ki (i=1,…,N) adalah konstanta

yang harus dicari

3


))...()()...()((

)()]()[(

1121 Niiiiiii

issii ssssssssss

sNsFssK

i

• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks

Mnnnnnn ssssss

sNsF

)2...()2()2(

)()(

222

221

22


Mnn

MM

nnnn ss

BsA

ss

BsA

ss

BsAsF

)2(...

)2()2()(

222

2222

122

11

Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:

Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:

Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s

Dr.-Ing. Mohamad Yamin 4


• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks

MnnnnnnN ssssssssssss

sNsF

)2...()2()2)()...()((

)()(

222

221

2221


Mnn

MM

nnnn

N

N

ss

BsA

ss

BsA

ss

BsA

ss

K

ss

K

ss

KsF

)2(...

)2()2(

)(...

)()()(

222

2222

122

11

2

2

1

1

Pecahan Parsial X(s)

• Derajat P(s) < derajat Q(s)

)(

)()(

sQ

sPsX

• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial


• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama

nk

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

kps

k

n

n

n

k

,...2,1

)().(lim

)(...

)()()(

))...()((

)()(

2

2

1

1

21

tpn

tptp neAeAeAtx ...)( 2121

x(t) menjadi :

Pecahan Parsial X(s)• Jika pi = pk

*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus


• Q(s) mempunyai akar rangkap

kk

k

ps

rk

pslr

lr

kl

kps

k

n

n

rr

nr

sXpsds

d

lrA

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

)(.)(lim)!(

1

)().(lim

)(...

)(

)(...

)()()(

))...(()(

)()(

2

2

1

12

1

12

1

11

21

Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan

• Sistem mempunyai hubungan

Sistem LTISistem LTI x(t) y(t)

j

jm

jj

n

ii

i

i

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

dt

xdb

dt

yda

atau

bdt

dxb

dt

xdb

dt

xdb

adt

dya

dt

yda

dt

yda

00

011

1

1

011

1

1

...

...

Sistem LTI dengan Pers Diferensial

• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui 1. x(t) untuk t>02. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)

Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.

Transformasi Laplace

• Contoh soal

0

2)(

32

2

1)(

2

1

3)2)(1(

4

22)3)(1(

4

2

3

1)3)(2(

4

321)(

)3)(2)(1(

4)(

3212

23

21

23

3

2

1

321

t

eeetx

ssssX

sss

sA

sss

sA

sss

sA

s

A

s

A

s

AsX

sss

ssX

ttt


• Contoh soal

12

12

1

)22(

2)2()()(

)22(

)()22()(

22)(

)22(

1)(

3

2

1

2131

221

232

21

2321

2

A

A

A

sss

AsAAsAAsX

sss

AsAsssAsX

ss

AsA

s

AsX

ssssX


0

)()()(

1)1(

1

2

1

1)1(

1

2

1)(

1)1(

2

2

1)(

22

1)(

21

21

21

22222

1

222

1

221

21

t

tSinetCosetx

ss

s

ssX

s

s

ssX

ss

s

ssX

tt


0

2)(

)2(

2

2

1

1

1)(

221)!22(

1

12)1(

1

21)!12(

1

11)2(

)2(21)(

)2)(1()(

22

2

12

211

21

212111

2

t

teeetx

ssssX

ss

sA

ssss

s

ds

dA

ss

sA

s

A

s

A

s

AsX

ss

ssX

ttt

15

Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab

• Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):

0,

...

...

)(

)(

011

1

011

1

mn

nn

nn

mm

mm

ba

asasasa

bsbsbsb

den

num

sD

sN

• Ekspansi pecahan parsialnya adalah

]...[

]...[

01

01

aaaden

bbbnum

nn

mm

)()(

)(...

)2(

)2(

)1(

)1(

)(

)(sk

nps

nr

ps

r

ps

r

sD

sN

• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

k(s) adalah direct term

• Perintah

>>[r,p,k]=residue(num,den)

Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term dari ekspansi

pecahan parsial N(s)/D(s)

16

Contoh

32 )1(

2

)1(

0

)1(

1

)(

)(

ssssD

sN

• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:

Solusi dengan MatLab:

>>num=[1 2 3];

>>den=[1 3 3 1];

>>[r,p,k]=residue(num,den)

r = 1.0000 0.0000 2.0000

p = -1.0000 -1.0000 -1.0000

k = []

133

32

)(

)(23

2

sss

ss

sD

sN

Ekspansi pecahan parsialnya:

17

Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace

1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.

3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.

4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.

18

Contoh:Solusi Persamaan Differensial

s

sYyssYysysYs1

5)(2)0(33)0´(02

tftydt

tdy

dt

tyd523

2

2

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:

)23(

5)(

5)()23(

5)(2332

2

2

22

2

sss

sssY

sssYsss

ssYssYssYs

Fungsi unit step dari tabel transformasi

Laplace

Menggunakan teorema differensiasi

transformasi Laplace

Solusi dalam domain t diperoleh dengan

invers transformasi Laplace

19

)2)(1(

5

)23(

5)(

2

2

2

sss

ss

sss

sssY

2

3

)1(

5)]()2[(

5)2(

5)]()1[(

2

5

)2)(1(

5)]([

2

2

2

1

2

0

ss

sssYsC

ss

sssYsB

ss

ssssYA

s

s

s

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

)2)(1(

5

)2()1()(

2

sss

ss

s

C

s

B

s

AsY

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

20

)2(2

3

)1(

5

2

5)(

ssssY

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

tt eety 2

2

35

2

5)(

Dengan t≥0


21)0(

1)0(

0,)(

3107

y

y

tetx

dengan

xxyyy

t

ttttt

ss

eeeeety

ssssssY

ss

s

sss

ssY

ss

s

sss

ssY

ss

ssY

ssssYss

sXsssYss

sXssXsYssYssYs

masukanadabelumkarenaxexwalaupun

sXxssXsYyssYysysYs

25

211

61

31

21

25

211

61

31

21

215

22

15

2

2

215

)1()3(

212

212

212

0

.2

)(

)5()2()5()2()1()(

)5)(2()5)(2)(1(

)3()(

)107()107)(1(

)3()(

107)(

1

137)(107

)(37)(107

)(3)()(101)(7)(

0)0(,1)0(

)(3)0()()(10)0()(7)0()0()(

Penggunaan Matlab pada penyelesaian laplace

Aplikasi Laplace Untuk Penyelesaian Pers

Documents

Transcript of Aplikasi Laplace Untuk Penyelesaian Pers