Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

download Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

of 52

Embed Size (px)

Transcript of Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    1/52

    TransformasiLaplace &

    PersamaanDierensialSistem PengendalianAdi Kurniawan, ST, MT

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    2/52

    MODEL MATEMATKA

    !ancangan dari sistem "endali mem#utu$"an rumus

    model matemati"a dari sistem%

    Mengapa $arus dengan model matemati"a Agar "ita dapat merancang dan menganalisis sistem

    "endali%Misaln'a()agaimana $u#ungan antara input dan output%)agaimana mempredi"si*menggam#ar"an perila"u

    dinami" dari sistem "endali terse#ut%

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    3/52

    KOMPO+E+ DSA+ SSTEM KE+DAL

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    4/52

    Dua metoda untu" mengem#ang"an modelmatemati"a dari sistem "endali(

    % -ungsi Pinda$ .Transfer -unction/ dalam domainfre"uensi .mengguna"an Transformasi Laplace/%

    0% Persamaan1persamaan !uang Keadaan .State SpaceE2uations/ dalam domain wa"tu%

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    5/52

    TRANSFORMASI LAPLACE

    Time Domain

    Circuit

    Time Domain

    Circuit

    s-Domain

    Circuit

    L 1L

    x(t) y(t)

    X(s) Y(s)s j Complex Frequency2 Types of s-Domain Circuits

    Wit an! Witout "nitial Con!itions

    = + =

    #aplaceTransform

    "n$erse

    #aplace

    Transform

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    6/52

    3A!A)EL KOMPLEKS

    3aria#el "omple"s( s 4 5 6dengan ( adala$ "omponen n'ata

    6adala$ "omponen ma'a

    )idangs

    o

    6

    6

    1

    s1

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    7/52

    Overview

    Persamaan Dierensial 'ang diperole$ daripemodelan matemati" suatu sistemmewa"ili proses dinami" dari sistemterse#ut dimana responsen'a a"an

    #ergantung pada masu"ann'a Solusi dari persamaan dierensial terdiri

    dari solusi steady state.didapat 6i"a semua"ondisi awal nol/ dan solusi transien

    .mewa"ili pengaru$ dari "ondisi awal/%Transformasi Laplace merupa"an sala$satu tools 'ang diguna"an untu"men'elesai"an persamaan dierensial%

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    8/52

    Transformasi Laplace meng"on7ersi"anpersamaan dierensial dalam domain waktu (t)"edalam persamaan al6a#ar dalam domainfrekuensi kompleks (s) 'ang dide8nisi"an

    Memung"in"an memanipulasi persamaan al6a#ardengan aturan seder$ana untu" meng$asil"ansolusi dalam domain s%

    Solusi dalam domain t dapat diperole$ dengan

    mela"u"an operasi inversetransformasi Laplace

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    9/52

    Prosedur Pen'elesaian PD

    % Transformasi persamaandierensial "e dalamdomain s dengantransformasi Laplace%

    0% Manipulasi persamaan

    al6a#ar 'ang tela$ditransformasi"an untu"mendapat"an 7aria#eloutputn'a%

    :% La"u"an e"spansi peca$anparsial ter$adap persamaan

    al6a#ar pada lang"a$ 0%;% La"u"an in7ers transformasi

    Laplace dengan ta#eltransformasi Laplace untu"mendapat"an solusi dalamdomain t%

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    10/52

    Dr%1ng%

    Mo$amad= s 4 7aria#el "omple"s

    ( ) ( ){ }sFLtf 1=

    ( ) ( ){ } ( )

    ==%

    dtetftfLsF st

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    11/52

    n7erse Transformasi Laplace

    ntegral in7erse Transformasi Laplace (

    Per$itungan integral Persamaan di atasmemerlu"an integral "ontur 'angrelatif rumit%

    ?mumn'a pen'elesaian in7erseTransformasi Laplace mengguna"ane"spansi peca$an parsial "emudiandiselesai"an dengan ta#el%

    +

    =

    j

    j

    stdsesFj

    tf )(2

    1)(

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    12/52

    Contoh Transformasi

    Laplace

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    13/52

    @onto$

    Transformasi Laplace dari fungsi step(

    f.t/ 4 = untu" t > = 4 A untu" t =

    f(t)

    t

    &

    Bawa#(

    sA

    seAdtAe/Ct.fD

    st

    st =

    ==

    %

    %L

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    14/52

    ;

    f(t)

    t

    Unit Impulse Function

    'atematical representation of

    sort urst of input (litnin*

    ammer lo+* etc,)

    =

    %

    st!te)t(f)s(F)-t(f.#

    1!te)t()-t(.#%

    st ==

    )t(

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    15/52

    Transformasi Laplace dari fungsi e"sponensial#eri"ut(

    f.t/ 4 = untu" t > = 4 Ae1at untu" t =

    Bawa#(

    e-at

    t

    &

    + ==

    %%dteAdteAeCAeD t/as.statatL

    /as.

    A

    /as.

    eA

    t/as.

    +=

    +

    =+

    %

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    16/52

    Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida #eri"ut(f.t/ 4 = untu" t > = 4 A sint untu" t =

    Bawa#(

    e6t4 cos t 5 6 sin te16wt4 cos t 1 6 sin t

    = % dtetsinACtsinAD st

    L

    =%

    2dte/ee.

    6A/Ct.fD stt6t6L

    /ee.6

    tsin t6t6 =2

    1

    22

    1

    2

    1

    2 +

    =+

    =s

    A

    6s6

    A

    6s6

    A

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    17/52

    Ta#el TransformasiLaplace

    Ta#el seleng"apn'a dapat dili$at di Oogata $al% 00

    { }

    -at

    f(t) # f(t) F(s)

    1, (t) 1

    a2, e

    s / a

    0, a,u(t)

    =

    2 2

    2 2

    a

    s

    s, cos at

    s a

    a

    , sin at s a

    +

    +

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    18/52

    S-AT L+E!TAS)-t(f.#)s(F 11 =)-t(f.#)s(F 22 =

    tstanConsc*c 21 =

    )s(F,c)s(F,c

    )-t(f.#,c)-t(f.#,c

    )-t(f,c)t(f,c.#

    2211

    2211

    2211

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    19/52

    S-AT T!A+SLAS

    3i4a F(s)5#.f(t)

    Conto

    )as(F)-t(fe.#at

    =

    )as(F!te)t(f!te)t(fe.)t(fe.# t)as(

    %

    st

    %

    atat

    s

    s)-t2(Cos.#

    2

    s2s

    1s

    )1s(

    1s)-t2(Cose.#

    22

    t

    =

    =

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    20/52

    0=

    67eruaan s4ala +a4tu

    Conto

    )a

    s

    (Fa

    1

    )-t,a(f.# =

    )

    a

    s(F

    a

    1

    a

    !ue)u(f!te)t,a(f)t,a(f.# a

    su

    %

    st

    %

    =

    1s1)-t(8in.# 2

    9s

    0

    10

    s

    1

    0

    1)t0(8in.#

    2

    2

    =

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    21/52

    TEO!EMA D-E!E+SASTransformasi Laplace dari turunan fungsi f.t/ di#eri"an

    se#agai

    ntegrasi #agian demi #agian mem#eri"an

    Transformasi Laplace sangat #erguna "arenamengu#a$ persamaan diferensial men6adi persamaanal6a#ar seder$ana%

    =

    %

    )()(dte

    dt

    tdf

    dt

    tdf stL

    [ ] +=

    %% )()(

    )(dtetfsetf

    dt

    tdf ststL

    { }/t.fs/=.fdt

    /t.df LL +=

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    22/52

    00

    Turunan Pertama [Derivative first order]

    . :( )- . - . ( )- , ( ) (% )dfL f t L L f t s F s fdt

    = = =

    %% %

    . :( )- :( ) ( ) ( )st st stL f t e f t dt e f t se f t dt

    = =

    . :( )- , ( ) (% )L f t s F s f=

    ( ) (%)sF s f=

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    23/52

    0:

    Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)

    . :( )- . - . :( )- , ( ) (%)df

    L f t L L f t s F s fdt= = = 2. ;( )- , ( ) , (%) :(%)L f t s F s s f f=

    )1n()1(2n1nn

    )n(

    )%(f,,,,,)%(fs)%(fs)s(Fs)-t(f.#

    =

    )1i(n

    1i

    inn)n(

    )%(f,s)s(Fs-)t(f.#

    =

    =

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    24/52

    S-AT1S-AT T!A+S-O!MAS [email protected]

    at

    Time Function #aplace Function&f(t)

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    25/52

    n7erse Transformasi Laplace

    ntegral in7erse Transformasi Laplace (

    Per$itungan integral Persamaan di atasmemerlu"an integral "ontur 'angrelatif rumit%

    ?mumn'a pen'elesaian in7erseTransformasi Laplace mengguna"ane"spansi peca$an parsial "emudiandiselesai"an dengan ta#el%

    0

    +

    =

    j

    j

    stdsesFj

    tf )(2

    1)(

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    26/52

    n7erse TransformasiLaplace Fasil a"$ir solusi dalam domain S #iasan'a

    meng$asil"an #entu"

    dimana dera6at s pada ).s/ le#i$ "ecil dari A.s/%?ntu" mela"u"an in7erse Transformasi Laplace "edomain .t/, #entu" terse#ut $arus diu#a$ dengane"spansi peca$an parsial, conto$n'a(

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    27/52

    Tran

    sformasiLaplace)al

    i"

    .n7ers/

    0G

    ?)e#erapa )entu" Peca$an Parsial

    Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus

    yang berbeda :

    Kasus 1 :- Faktor orde-1 tidak berulang.

    Kasus 2 :- Faktor orde-1 berulang.

    Kasus 3 :- Faktor orde-2

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    28/52

    Tran

    sformasiLaplace)al

    i"

    .n7ers/

    0H

    % -a"tor Orde1 Tida")erulang

    ( )( )

    ( )n n

    n

    B sA s p

    s pA s= +

    =

    ( )( )

    ( )

    B sX s

    A s=

    ( )1 2 0

    01 2

    1 2 0

    ( )

    ( ) ( )( ),,,,( )

    ,,,,,

    n

    n

    n

    B s

    X s s p s p s p s p

    A AA A

    s p s p s p s p

    = + + + +

    = + + ++ + + +

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    29/52

    Tran

    sformasiLaplace)al

    i"

    .n7ers/

    0I

    [email protected]$ ( Orde1 Tida" )erulang./

    @1A

    1)(

    2

    1 =

    +++=ss

    ssXL

    )()0())(0(

    1)( 21

    ++

    +=

    +++=

    s

    A

    s

    A

    ss

    ssX

    1

    0))(0(

    1)0(1 =

    =++

    ++=

    sss

    ssA

    2))(0(

    1)(2 ==++

    ++=sss

    ssA

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    30/52

    Tran

    sformasiLaplace)al

    i"

    .n7ers/

    :=

    [email protected]$ ( Orde1 Tida" )erulang.0/

    )(

    2

    )0(

    1)(

    ++

    +=

    sssX

    { } )(2)()( 01 tueesXtx tt +== L

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    31/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :

    [email protected]$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang./

    )()1(

    ))(1(

    2

    2)(

    021

    20

    ++

    ++=

    ++

    =++

    =

    s

    A

    s

    A

    s

    Asss

    s

    sss

    ssX

    21

    %))(1(21 ==++ = ssss

    ssA

    @

    2)(

    20

    1 =++

    =sss

    ssXL

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    32/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :0

    [email protected]$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang.0/

    21

    ))(1(2)(0 =

    =++

    +=

    ssssssA

    )(

    ,%

    )1(

    1,%)(

    +

    +

    +

    +=sss

    sX

    { })()( 1 sXtx = L )(2

    1

    2

    1 tuee tt

    +=

    11))(1(

    2)1(2 ==++

    +=ssss

    ssA

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    33/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    ::

    0% -a"tor orde1 #erulang

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    01 2

    2 0

    ( ) ( )( )

    ( )

    ,,,,,

    n

    n

    n

    B s B sX s

    A s s p

    A AA A

    s p s p s p s p

    = =+

    = + + +

    + + + +

    ( )( )

    ( )

    n

    n

    B sA s p

    s pA s= +

    =

    1 ( )( )

    ( )B ( )

    1*2*,,,* 1

    n kn

    k n k

    d B sA s p

    s pn k ds A s

    k n

    = + =

    =

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    34/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :;

    [email protected]$ : ( Orde1)erulang ./

    ?

    22)1(

    2

    12

    2)( +

    +=++

    += s

    s

    ss

    ssX

    221

    2)1()1()1(

    2)(

    ++

    +=

    +

    +=

    s

    A

    s

    A

    s

    ssX

    11)1(

    2)1(2

    22 ==+

    ++=ss

    ssA

    @12

    2)(

    2

    1 =

    +++=

    ss

    ssXL

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    35/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :

    [email protected]$ : ( Orde1)erulang .0/

    2)1(

    1

    )1(

    1)(

    ++

    +=

    sssX

    { } )()()( 1 tuteesXtx tt +==L

    11)1(

    2)1(

    B1

    12

    21 ==+

    ++=

    ss

    ss

    ds

    dA

    $ d

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    36/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :J

    [email protected]$ ; ( Orde1)erulang ./

    @90

    A)(

    20

    1 =

    =

    sss

    ssXL

    221

    2 )1()1()()1)((A)(

    ++++=+ = sA

    sA

    sB

    ssssX

    1)1)((

    A)(

    2 ==+

    =sss

    ssB

    21)1)((

    A)1(

    22

    2 ==+

    +=sss

    ssA

    $ d

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    37/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :G

    [email protected]$ ; ( Orde1)erulang .0/

    11)(

    )A()(A)(A

    1)1)((

    A)1(

    B1

    1

    2

    22

    1

    == ==

    =+

    +=

    ssss

    ss

    dsd

    sss

    ss

    ds

    dA

    2

    )1(

    2

    )1(

    1

    )(

    1)(

    +

    ++

    =

    sss

    sX

    { })()( 1 sXtx = L )(2 tuteee ttt +=

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    38/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :H

    :% -a"tor Orde10

    Bi"a A.s/ memili"i fa"tor

    ( )( )

    ( )

    B sX s

    A s=

    )(2

    qpss ++

    2 2

    1 1

    1 1

    2 2

    1 1

    ( )( )

    ( ),,,,,( )

    ,,,

    ( ) ( )

    n n

    n n

    n n

    B sX s

    s p s q s p s q

    A s BA s B

    s p s q s p s q

    =+ + + +

    ++= + +

    + + + +

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    39/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    :I

    [email protected]$ ( Orde10 ./

    ?

    @

    )(

    20

    1 =

    ++++=

    sss

    ssXL

    11))(1(

    )1(

    2 =

    =++

    ++=

    sss

    ssC

    )1()())(1(

    )(

    22 +

    +

    +

    +=

    ++

    +=

    s

    C

    s

    BAs

    ss

    ssX

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    40/52

    Tran

    sformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    ;=

    [email protected]$ ( Orde10 .0/

    A54=A41A5)4)40

    ( ) ( ) ( )22 2

    2 2

    2

    1 1( )

    ( ) ( 1) ( )( 1)

    ( ) ( )( 1)

    As B s sAs BX s

    s s s s

    As A B s B ss s

    + + + ++= + =

    + + + +

    + + + + += + +

    ( ) ( )

    )1)((

    )1)((

    )(1

    )(

    2

    2

    2

    ++

    +=

    ++

    +++++

    =

    ss

    s

    ss

    BsBAsA

    sX

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    41/52

    Transformasi Laplace )ali" .n7ers/ ;

    [email protected]$ ( Orde10 .:/

    )1(

    1

    )2(

    2

    )2(

    )(2222 +

    ++

    ++

    =sss

    ssX

    { } )(2sin2cos)()( 1 tuettsXtx t ++== L

    )1(

    1

    )(

    2)(

    2 ++

    ++=

    ss

    ssX

    { } { }2

    %2

    %%2

    %2%

    )(sinD)(cos

    +=

    +=

    stut

    s

    stut LL

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    42/52

    TransformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    ;0

    [email protected]$ J ( Orde10 ./

    ?

    @)(

    2)(

    2

    21 =

    +++=

    sss

    sssXL

    1%)(

    2

    2

    2=

    =+++=

    ssss

    sssC

    s

    C

    ss

    BAs

    sss

    ss

    sX ++

    +

    =+

    ++

    = )()(2

    )( 22

    2

    sss

    BAssX

    1

    )()(

    2 ++

    +=

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    43/52

    TransformasiLaplace)ali"

    .n7er

    s/

    ;:

    [email protected]$ J ( Orde10 .0/

    ;

    sss

    s

    sss

    ssX

    1

    1)2(

    12

    1)2(

    )2(

    1

    )(

    1%)(

    22

    2

    ++

    ++

    =

    +++

    =

    121 ==+ AA

    1% == BB

    { } )(1sin12cos)()( 221 tutetesXtx tt

    ++== L

    )(

    )()1()(

    2

    2

    ++++

    =sss

    sBsAsX

    L i$

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    44/52

    Lati$an

    @arila$ transformasi Laplace #ali" dari

    &0 22 1

    ( )0

    sX s

    s s s

    +=

    +

    2

    0 2

    21( )

    2 A

    s sX s

    s s s

    =

    +

    Ek i P h P i l

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    45/52

    Dr%1ng% Mo$amad

  • 7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial

    46/52

    D

    r%1ng%

    Mo$amad