1

TKS 4003 Matematika II

Kebalikan Transformasi Laplace – Fraksi Pecahan –

(Partial Fraction: Laplace Transform Inverse)

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

PENDAHULUAN

Dalam penggunaannya, transformasi Laplace seringkali

melibatkan bentuk 𝑸(𝒔)

𝑷(𝒔) dengan banyak fraksi, dimana 𝑸(𝒔)

dan 𝑷(𝒔) merupakan suku polinomial. Oleh karenanya,

terlebih dahulu dipelajari bagaimana fraksi-fraksi yang

terlibat/dihasilkan diubah ke fraksi pecahan (partial

fraction) agar didapatkan solusi dari Persamaan Differensial

Biasa, Jadi, terlebih dahulu dipelajari bagaimana

menggunakan partial fraction sebelum memecahkan

Persamaan Differensial Biasa (Ordinary Differential

Equation).

2

PENDAHULUAN (Lanjutan)

Jika :

𝑸(𝒔)

𝑷(𝒔)=

𝒂𝟏

𝒔−𝜶𝟏+

𝒂𝟐

𝒔−𝜶𝟐+ ⋯ +

𝒂𝒏

𝒔−𝜶𝒏 (1)

dengan

𝑷 𝒔 = 𝒔 − 𝜶𝟏 𝒔 − 𝜶𝟐 … 𝒔 − 𝜶𝒏

Maka terdapat 3 kemungkinan penyelesaian :

1. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan berbeda.

2. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan sama.

3. 𝑷 𝒔 akar-akarnya pasangan bilangan kompleks.

FRAKSI PECAHAN

1. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan berbeda

𝜶𝟏 ≠ 𝜶𝟐 ≠ ⋯ ≠ 𝜶𝒏

Tuliskan masing-masing faktor 𝑷 𝒔 , dan tambahkan

koefisien yang sesuai (A, B, dan seterusnya) pada bagian

pembilang.

Contoh :

•𝑠+1

𝑠2−4𝑠+3=

𝐴

(𝑠−1)+

𝐵

(𝑠−3)

•1

(𝑠−2)(𝑠+1)=

𝐴

(𝑠−2)+

𝐵

(𝑠+1)

3

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan)

2. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan sama

𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = ⋯ = 𝜶𝒏

Jika 𝑸(𝒔)

𝑷(𝒔)=

𝒂𝟏

𝒔−𝜶𝟏𝒏 , maka diuraikan menjadi :

𝑸(𝒔)

𝑷(𝒔)=

𝒂𝟏

𝒔−𝜶𝟏+

𝒂𝟏

𝒔−𝜶𝟏𝟐 + ⋯ +

𝒂𝒌

𝒔−𝜶𝒌+

𝒂𝒌+𝟏

𝒔−𝜶𝒌+𝟏+…+

𝒂𝒏

𝒔−𝜶𝒏

Contoh :

•1

𝑠2+6𝑠+9=

1

(𝑠+3)2

=𝐴

(𝑠+3)+

𝐵

(𝑠+3)2

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan)

3. 𝑷 𝒔 akar-akarnya pasangan bilangan kompleks

𝜶𝟏 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝜶𝟐 = 𝒂 − 𝒃𝒊

Jika 𝑸(𝒔)

𝑷(𝒔)=

𝑨+𝑩𝒔

𝒔+𝒂 𝟐+𝒃𝟐 +𝒂𝟑

𝒔−𝜶𝟑+ ⋯ +

𝒂𝒏

𝒔−𝜶𝒏

Contoh :

•1

𝑠3+𝑠2−2=

1

𝑠−1 𝑠2+2𝑠+2

=1

𝑠−1 𝑠−1−𝑖 𝑠−1+𝑖

=𝐴

(𝑠−1)+

𝐵+𝐶𝑠

(𝑠−1)2+1

4

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan)

Dari pemecahan fraksi di atas, perlu dicari nilai dari

koefisien A, B, C dan seterusnya. Terdapat 3 cara untuk

menyelesaikan fraksi pecahan, yaitu :

1. Cover up rule

2. Substitution

3. Equate coefficient

COVER UP RULE

Langkah-langkah penyelesaian fraksi pecahan dengan cover

up rule adalah :

a. Kalikan dengan 𝒔 − 𝜶𝒊

b. Substitusikan 𝒔 = 𝜶𝒊

Contoh 1. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya riil dan berbeda :

Cari fraksi pecahan dari : 𝒔+𝟏

𝒔−𝟏 𝒔−𝟑

Jawab : 𝒔+𝟏

𝒔−𝟏 𝒔−𝟑=

𝑨

𝒔−𝟏+

𝑩

𝒔−𝟑

5

COVER UP RULE (Lanjutan)

Kalikan dengan 𝒔 − 𝟏 :

× 𝒔 − 𝟏 ⇒𝒔+𝟏

𝒔−𝟑= 𝑨 + 𝒔 − 𝟏

𝑩

𝒔−𝟑

Substitusikan dengan 𝒔 = 𝟏:

𝒔 = 𝟏 ⇒𝟐

−𝟐= 𝑨 ⇒ 𝑨 = −𝟏

Selanjutnya kalikan dengan 𝒔 − 𝟑 :

× 𝒔 − 𝟑 ⇒𝒔+𝟏

𝒔−𝟏= 𝒔 − 𝟑

𝑨

𝒔−𝟏+ 𝑩

Substitusikan dengan 𝒔 = 𝟑:

𝒔 = 𝟑 ⇒𝟒

𝟐= 𝑩 ⇒ 𝑩 = 𝟐

Sehingga diperoleh : 𝒔+𝟏

𝒔−𝟏 𝒔−𝟑= −

𝟏

𝒔−𝟏+

𝟐

𝒔−𝟑

COVER UP RULE (Lanjutan)

Contoh 2. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya riil dan sama :

Cari fraksi pecahan dari : 𝒔𝟐+𝟑𝒔+𝟒

𝒔+𝟏 𝟑

Jawab : 𝒔𝟐+𝟑𝒔+𝟒

𝒔+𝟏 𝟑 =𝑨

𝒔+𝟏+

𝑩

𝒔+𝟏 𝟐 +𝑪

𝒔+𝟏 𝟑

Untuk mencari nilai C, kalikan dengan 𝒔 + 𝟏 𝟑

⇒ 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 = 𝑨 𝒔 + 𝟏 𝟐 + 𝑩 𝒔 + 𝟏 + 𝑪

Substitusikan dengan 𝒔 = −𝟏 :

⇒ 𝟏 − 𝟑 + 𝟒 = 𝑪 ⇒ 𝑪 = 𝟐

6

COVER UP RULE (Lanjutan)

Untuk mencari nilai A dan B, digunakan metode substitusi.

Ambil 𝒔 = 𝟎 dan substitusikan ke persamaan.

⇒𝟎+𝟎+𝟒

𝟏=

𝑨

𝟏+

𝑩

𝟏+

𝑪

𝟏⇒ 𝟒 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪

Substitusikan dengan 𝑪 = 𝟐 :

⇒ 𝟐 = 𝑨 + 𝑩 (a)

Ambil 𝒔 = 𝟏 dan substitusikan ke persamaan.

⇒𝟏+𝟑+𝟒

𝟐𝟑 =𝑨

𝟐+

𝑩

𝟐𝟐 +𝑪

𝟐𝟑 ⇒ 𝟏 =𝑨

𝟐+

𝑩

𝟒+

𝑪

𝟖

Kalikan dengan × 𝟖 :

× 𝟖 ⇒ 𝟖 = 𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝑪

COVER UP RULE (Lanjutan)

Substitusikan dengan 𝑪 = 𝟐 :

𝟔 = 𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 (b)

Jika Pers. (a) dan (b) diselesaikan, maka akan didapatkan :

𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑪 = 𝟐

Sehingga diperoleh :

𝒔𝟐+𝟑𝒔+𝟒

𝒔+𝟏 𝟑 =𝟏

𝒔+𝟏+

𝟏

𝒔+𝟏 𝟐 +𝟐

𝒔+𝟏 𝟑

7

COVER UP RULE (Lanjutan)

Contoh 3. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya kompleks :

Cari fraksi pecahan dari : 𝟏

𝒔−𝟐 𝟐+ 𝒔𝟐+𝟏

Jawab :

Karena 𝑷(𝒔) mengandung 𝒔𝟐 + 𝟏 , maka diberikan

koefisien 𝑪𝒔 + 𝑫 pada bagian pembilang. 𝟏

𝒔−𝟐 𝟐+ 𝒔𝟐+𝟏=

𝑨

𝒔−𝟐+

𝑩

𝒔−𝟐 𝟐 +𝑪𝒔+𝑫

𝒔𝟐+𝟏

× 𝒔 − 𝟐 𝟐⇒𝟏

𝒔𝟐+𝟏= 𝒔 − 𝟐 𝑨 + 𝑩 + 𝒔 − 𝟐 𝟐 𝑪𝒔+𝑫

𝒔𝟐+𝟏

𝒔 = 𝟐 ⇒𝟏

𝟒+𝟏= 𝑩 ⇒

𝟏

𝟓

COVER UP RULE (Lanjutan)

⇒𝟏

𝒔−𝟐 𝟐+ 𝒔𝟐+𝟏=

𝑨

𝒔−𝟐+

𝟏

𝟓 𝒔−𝟐 𝟐 +𝑪𝒔+𝑫

𝒔𝟐+𝟏

Untuk mencari nilai koefisien yang lain (A, C, dan D)

digunakan metode substitusi.

Untuk 𝒔 = 𝟎

𝒔 = 𝟎 ⇒𝟏

𝟎−𝟐 𝟐+ 𝟎𝟐+𝟏=

𝑨

𝟎−𝟐+

𝟏

𝟓 𝟎−𝟐 𝟐 +𝑪.𝟎+𝑫

𝟎𝟐+𝟏

⇒𝟏

𝟒= −

𝟏

𝟐𝑨 +

𝟏

𝟐𝟎+ 𝑫

⇒ 𝟐 = −𝟓𝑨 + 𝟏𝟎𝑫 (a)

8

COVER UP RULE (Lanjutan)

Untuk 𝒔 = 𝟏

𝒔 = 𝟏 ⇒𝟏

𝟏−𝟐 𝟐+ 𝟏𝟐+𝟏=

𝑨

𝟏−𝟐+

𝟏

𝟓 𝟏−𝟐 𝟐 +𝑪.𝟏+𝑫

𝟏𝟐+𝟏

⇒𝟏

𝟐= −𝑨 +

𝟏

𝟓+

𝟏

𝟐𝑪 +

𝟏

𝟐𝑫

⇒ 𝟑 = −𝟏𝟎𝑨 + 𝟓𝑪 + 𝟓𝑫 (b)

Untuk 𝒔 = 𝟑

𝒔 = 𝟑 ⇒𝟏

𝟑−𝟐 𝟐+ 𝟑𝟐+𝟏=

𝑨

𝟑−𝟐+

𝟏

𝟓 𝟑−𝟐 𝟐 +𝑪.𝟑+𝑫

𝟑𝟐+𝟏

⇒𝟏

𝟏𝟎= 𝑨 +

𝟏

𝟓+

𝟑

𝟏𝟎𝑪 +

𝟏

𝟏𝟎𝑫

⇒ −𝟏 = 𝟏𝟎𝑨 + 𝟑𝑪 + 𝑫 (c)

COVER UP RULE (Lanjutan)

Jika Pers. (a), (b), dan (c) diselesaikan, maka akan

didapatkan :

𝑨 = −𝟒

𝟐𝟓, 𝑩 =

𝟏

𝟓, 𝑪 =

𝟒

𝟐𝟓, 𝑫 =

𝟑

𝟐𝟓

Sehingga diperoleh :

⇒𝟏

𝒔−𝟐 𝟐+ 𝒔𝟐+𝟏=

𝟒

𝟐𝟓 𝒔−𝟐+

𝟏

𝟓 𝒔−𝟐 𝟐 +𝟒𝒔+𝟑

𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏

9

SUBSTITUTION

Jika fraksi pecahan adalah :

𝑸 𝒃𝒊

𝑷 𝒃𝒊=

𝒂𝟏

𝒃𝒊−𝜶𝟏+

𝒂𝟐

𝒃𝒊−𝜶𝟐+ ⋯ +

𝒂𝒏

𝒃𝒊−𝜶𝒏

Maka dilakukan :

1. Substitusi 𝒔 = 𝒃𝒊, dengan 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏

2. Cari nilai 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ..., 𝒂𝒏

Contoh 4 : Cari nilai koefisien A dan B pada :

𝟏

𝒔 𝒔+𝟏=

𝑨

𝒔+

𝑩

(𝒔+𝟏)

Jawab :

SUBSTITUTION (Lanjutan)

Untuk 𝑠 = 1, ⇒1

2=

𝐴

1+

𝐵

2

⇒1

2= 𝐴 +

1

2𝐵 (a)

Untuk 𝑠 = 2, ⇒1

6=

𝐴

2+

𝐵

3

⇒1

3= 𝐴 +

2

3𝐵 (b)

Jika Pers. (a) dan (b) diselesaikan, maka akan didapatkan :

𝑨 = 𝟏, 𝑩 = −𝟏

Sehingga diperoleh :

⇒𝟏

𝒔 𝒔 + 𝟏=

𝟏

𝒔−

𝟏

(𝒔 + 𝟏)

10

EQUATE COEFFICIENT

Langkah pengerjaan fraksi pecahan dengan metode ini

adalah :

1. Kalikan kedua ruas dengan 𝑷(𝒔).

2. Samakan koefisen 𝒔 di ruas kanan persamaan dengan di

ruas kiri.

Contoh 5 : Cari nilai koefisien A, B, dan C pada :

𝟏

𝒔+𝟏 𝒔𝟐+𝟏=

𝑨

𝒔+𝟏+

𝑩𝒔+𝑪

𝒔𝟐+𝟏

Jawab :

EQUATE COEFFICIENT (Lanjutan)

1. Kalikan dengan 𝒔 + 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟏 , sehingga menjadi :

⇒ 𝟏 = 𝑨 𝒔𝟐 + 𝟏 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 + 𝟏

⇒ 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 𝒔𝟐 + 𝑩 + 𝑪 𝒔 + 𝑨 + 𝑪

2. Penyamaan koefisien 𝒔 :

Untuk 𝒔𝟐 ⇒ 𝟎 = 𝑨 + 𝑩 (a)

Untuk 𝒔𝟏 ⇒ 𝟎 = 𝑩 + 𝑪 (b)

Untuk 𝒔𝟎 ⇒ 𝟏 = 𝑨 + 𝑪 (c)

11

EQUATE COEFFICIENT (Lanjutan)

Jika Pers. (a), (b), dan (c) diselesaikan, maka akan

didapatkan :

𝑨 =𝟏

𝟐, 𝑩 = −

𝟏

𝟐, 𝑪 =

𝟏

𝟐

Sehingga diperoleh :

⇒𝟏

𝒔 + 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟏=

𝟏

𝟐 𝒔 + 𝟏−

(𝒔 − 𝟏)

𝟐 𝒔𝟐 + 𝟏

LATIHAN

Cari fraksi pecahan dan nilai koefisiennya :

1. 1

𝑠2 (𝑠+1)

2. 𝑠+1

(𝑠+2)(𝑠+3)

12

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!