Modul 3 transformasi laplace

of 63 /63
MODUL III TRANSFORMASI LAPLACE

Embed Size (px)

Transcript of Modul 3 transformasi laplace

Page 1: Modul 3 transformasi laplace

MODUL IIITRANSFORMASI LAPLACE

Page 2: Modul 3 transformasi laplace

PENGERTIAN INTEGRAL TAK WAJAR

Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk t ≥ 0. Integral tak wajar yang didefinisikan oleh,

dikatakan konvergen, bila limit pada ruas kanan ada. Jika limitnya tidak ada nilainya, maka integral tak wajar dikatakan divergen.

dttfdttfb

b)(lim)(

00

21

21

2lim

2lim

lim

2

0

2

02

02

b

b

bt

b

b t

b

t

e

e

dtedte

Contoh Contoh :Fungsi Gamma yang dinyatakan dengan Γ(n) didefinisikan oleh,

!)1( )2(

)()1( )1(

)(0

1

nn

nnn

dtetn tn

Page 3: Modul 3 transformasi laplace

PENGERTIAN TRANSFORMASI LAPLACE

dtetftfLsF st 0

)()]([)(

Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari dinyatakan dengan F(s) = L{f} didefinisikan oleh

jika limitnya ada

22

0)(

0

10

10

22

0

)(

cos

cos]cos[

)1( ][

! ][

cos][cos

: Contoh

bas

as

dtbte

dtebtebteL

s

rdtettL

s

ndtettL

bs

s

dtbtebtL

tas

statat

rstrr

nstnn

st

aseL

dte

dteeeL

at

tas

statat

1][

][

: Contoh

0)(

0

Page 4: Modul 3 transformasi laplace

Contoh :

1 jika ,

10 jika ,

1)(

t

tttf

2

2

110

1

)1(1

)]([

nya-Laplace sitransforma Maka

s

e

se

s

es

dtedttetfL

s

ss

stst

2 jika ,

21 jika ,

10 jika ,

1

0)(

: Contoh

t

t

tt

tf

2

22

10

)1(1

0)]([

nya-Laplace sitransforma Maka

s

sees

dtedttetfL

ss

stst

Page 5: Modul 3 transformasi laplace

Pergeseran Pada Sumbu s

Andaikan F(s) adalah transformasi Laplace dari fungsi f(t). Menurut definisi transformasi Laplace dari eatf(t) didefinisikan oleh,

)(

)(

)()]([

0)(

0

asF

dtetf

dtetfetfeL

tas

statat

Jadi, jika diberikan bahwa

L{f(t)} = F(s),

maka

L{eatf(t)} = F(s - a). 22

22

1

1

22

22

)()(]sin[

)(][sin

)(

! )(][

)(!

][

)()(]cos[

)(][cos

: Contoh

bas

basFbteL

sFbs

bbtL

as

nasFteL

sFs

ntL

bas

asasFbteL

sFbs

sbtL

at

nnat

nn

at

Page 6: Modul 3 transformasi laplace

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

Page 7: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

)2(

3)2(4

234

21

3!2

2

]3[]2[]32[

3

3

3

12

2222

ss

ss

ss

ss

eLtLetL tt

)9)(2(

)9(3)2(6

23

9

6

21

33

32]33sin2[

2

2

2

222

ss

ss

ss

ssetL t

6

13

)3)(2()2(2)3(3

)3(1

22

13

]2[]3[]23[

2

3232

ss

s

ssss

ss

eLeLeeL tttt

)4(

3)4(4

4

34

23

!22]2cos32[

23

42

23

22122

ss

ss

s

s

s

s

s

sttL

Page 8: Modul 3 transformasi laplace

)136()3(

)3(3)3(1248

4)3(

)3(3

)3(

12

2))3((

)3(3

)]3([

!32

]2cos3[]2[])2cos32[(

24

52

24

2213

33333

sss

ss

s

s

s

s

s

s

teLetLettL tttContoh

)134()3(

)3(9)3(1654

9)2(

9

)3(

6

3)2(

33

)3(

!23

]3sin3[]3[]3sin33[(

23

32

23

2212

232232

sss

ss

ss

ss

teLetLteetL tttt

Page 9: Modul 3 transformasi laplace

INVERS TRANSFORMASI LAPLACEAndaikan bahwa :

F(s) = L{f}

menyatakan trasformasi Laplace dari f(t). Fungsi f yakni L–1{F(s)}, disebut invers transformasi Laplace F(s) sehingga,

f(t) = L–1{F(s)}

Jika diketahui :

L–1{F(s)} = f(t), Maka

L–1{F(s - a)} = eat f(t)tt

sL

s

sLtf

ss

ssF

ee

sL

sLtf

sssF

tt

2sin23

3cos4

4

13

94)(

4

3

9

4)( )2(

43

31

42

13)(

34

23

)( )1(

:Contoh

21

21

22

32

11

Page 10: Modul 3 transformasi laplace

tt ette

sL

sLtf

ss

s

s

s

ssF

tts

Ls

sLtf

ss

ss

ssF

222

31

21

32

33

21

21

22

2

211

4

)2(

111

)2(

14)(

)2(

11

)2(

4

)2(

38)2(4

)2(

34)( )4(

2sin22cos3 4

14

43)(

4

4

4

3

4

43)( )3(

Contoh :

tete

sL

s

sLtf

ss

s

s

s

s

s

ss

ssF

tt 3cos35

3cos4

9)2(

15

9)2(

)2(4)(

9)2(

5

9)2(

)2(4

9)2(

138)2(4

9)2(

134

134

134)( )5(

22

21

21

22

2

22

Page 11: Modul 3 transformasi laplace

KASUS 1 : Faktor Q(s) Linier Tidak BerulangMisalkan,

)()(

)( dan ,)()(

)( 1sQsP

LtfsQsP

sF

Bilamana,

Q(s)=(s –a1)(s – a2) … (s – an)

Tulislah F(s) menjadi tan

tatan

n

as

i

asi

n

n

n

ii

eAeAeA

asLA

asLAtf

sQ

sPas

sQsP

A

as

A

as

A

as

A

sQsP

...

1...

1)(

)(

)()(

)(')(

...)()(

2121

1

1

11

2

2

1

1

Contoh

)4)(3()3()4(

43

)4)(3(34

127

34)(

2

sssBsA

sB

sA

sss

ss

ssF

tt ee

sL

sL

ss

sLtf

34

11

21

1519

31

154

119

127

34)(

Page 12: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Hitung, f(t) dari :

Jawab :P(s) = s2 – 4s + 13Q(s) = s3 – 2s2 – s +2 =(s + 1)(s – 1)(s – 2)Tulis F(s) menjadi :

22

134)(

23

2

sss

sssF

211

)2)(1)(1(134

22

134)(

321

2

23

2

s

A

s

A

s

A

sssss

sss

sssF

ttt

s

s

s

eee

sL

sL

sLtf

ssssF

ssssss

A

ssssss

A

ssssss

A

2

111

2

2

3

1

2

2

1

2

1

353

23

15

13

)(

dan,2

31

51

3)(

maka

3)2)(1)(1()134)(2(

5)2)(1)(1()134)(1(

3)2)(1)(1()134)(1(

Mengingat,

Page 13: Modul 3 transformasi laplace

KASUS 2 : Faktor Q(s) Linier Berulang

Misalkan,

)()(

)(

dan ,)()(

)(

1sQsP

Ltf

sQsP

sF

Bilamana,

Q(s)=(s –a)m, m < n

Tulislah F(s) menjadi as

m

km

km

k

as

m

m

mm

mm

m

sQsPas

ds

dkm

A

sQsPas

A

as

A

as

A

as

A

as

sPsQsP

)()()(

)!(1

)()()(

...)()(

)(

)()()(

11

1

12

2

1

1

111

11

1

...)!2()!1(

1...

)(

1

)(

1)(

AtAmt

Amt

Ae

asLA

asLA

asLAtf

m

m

m

mat

mmmm

Page 14: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Hitung, f(t) dari :

Jawab :P(s) = 4s + 3Q(s) = (s – 1)(s – 2)2

Tulis F(s) menjadi :

2)2)(1(

34)(

ss

ssF

7)2)(1(

)34)(1(

Karena,

2)2(1

)2)(1(

34)(

12

12

2

2

sss

ssA

s

B

s

B

sA

ss

ssF

ttt

s

s

ss

etee

sL

sL

sLtf

ssssF

s

ss

ssdsd

B

ss

ss

ssB

22

12

11

2

22

22

2

1

222

2

2

7117

27

)2(

111

7)(

Jadi,

27

)2(

111

7)(

sehingga,

7)1(

7

)2)(1(

)34()2()!12(

1

11134

)2)(1(

)34()2(

Page 15: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Hitung, f(t) dari :

Jawab :Tulis F(s) menjadi :

32 )2()3(

64)(

ss

ssF

14)2(

)64(

6)2()3(

)64()3(

Karena,

2)2()2(

3)3()(

331

332

2

2

12

23

3

12

2

s

s

s

sdsd

A

ss

ssA

s

B

s

B

s

B

s

A

s

AsF

ttttt

ss

ss

ss

eteetete

sL

sL

sL

sL

sLtf

ssssssF

s

s

s

sdsd

B

s

s

s

sdsd

B

s

s

ss

ssB

222233

12

13

1

12

1

232

24

231

23

222

22

232

3

3

148146

214

)2(

8

)2(

2

314

)3(

6)(

Jadi,

214

)2(

8

)2(

23

14

)3(

6)(

sehingga,

14)3(2

128

)3(

4)!13(

1

8)3(

4

)3(

64)!23(

1

2)3(

64

)2()3(

)64()2(

Page 16: Modul 3 transformasi laplace

KASUS 3 : Faktor Q(s) Kompleks KonjugateMisalkan,

)()(

)(

dan ,)()(

)(

1sQsP

Ltf

sQsP

sF

Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate tidak berulang,

Q(s)=(s – a)2 + b2

Tulislah F(s) menjadi

2222

2222

)()(

)(

)(

)(

)(

bas

BaA

bas

asA

bas

BaAasA

bas

BAs

biasa

aa

a

atat

sQsPbas

bQ

QbBaAQbBaA

QA

btebBaA

btAe

bas

BaAL

bas

asAL

bas

BAsLtf

)()(])[(1

)Re(),Re(

dan ),Im(

dimana,

sincos

)()(

)(

)()(

22

221

221

221

Page 17: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Hitung, f(t) dari :

Jawab :Tulis F(s) menjadi :

)84)(3(

155)(

2

sss

ssF

6)84)(3(

)155)(3(

Karena,

4)2(

2)2(3

4)2(3)(

32

2

2

ssss

ssA

s

CBsBsA

s

CBssA

sF

tetee

sL

s

sL

sLtf

ss

ss

sF

iCB

iA

iii

sss

sssQ

ttt

isa

2sin21

2cos66

4)2(

1

4)2(

)2(63

6)(

4)2(

1

4)2(

)2(63

6)(

1621

Re22

,6621

Im

sehingga,

621

)21(21025

)84)(3(

)155)(84(21

223

21

211

22

222

2

Page 18: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :

Jawab :Tulis F(s) menjadi :

)136()2(

305)(

22

2

sss

ssF

8)136(

)1807030

136

305

10)136()2(

)305()2(

Karena,

4)3(2)2()(

222

2

22

2

1

222

22

2

21

22

s

s

s

ss

ss

ss

sdsd

A

sss

ssA

s

CBss

A

s

AsF

4)3(

3

4)3(

)3(8

28

)2(

10)(

4)3(

3

4)3(

)2(82

8

)2(

10)(

3823

Re23

8823

Im

823

)43(26055

)136()2(

)305)(136(21

21

21

12

1

2

22

2322

22

sL

s

sL

sL

sLtf

s

s

sss

sF

iCB

iA

iii

sss

sssQ

isa

Page 19: Modul 3 transformasi laplace

Soal-soal Latihan,Tentukanlah invers Laplace, f(t), jika :

3

4

23

23

23

2

23

2

23

2

2

)3)(1(

124)( .7

)3(

124)( .6

15239

124)( .5

12158

62)( .4

8147

82)( .3

1644

62)( .2

86

32)( .1

ss

ssF

s

sssF

sss

ssF

sss

ssF

sss

ssF

sss

sssF

ss

ssF

)52()2(

1210)( .13

)106()2(

128)( .12

)84)(3(

2010)( .11

)136)(2(

128)( .10

)4()2(

128)( .9

)4)(2(

128)( .8

23

2

22

2

2

2

42

2

4

2

sss

ssF

sss

ssF

sss

ssF

sss

ssF

ss

ssF

ss

ssF

Page 20: Modul 3 transformasi laplace

LAPLACE TURUNAN FUNGSI

Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk semua t ≥ 0, dan mempunyai turunan-

turunan f′(t), f′′(t), f′′′ (t), …, fn–1(t) yang kontinu untuk semua t ≥ 0, dan jika

f(n)(t) kontinu sepotong-sepotong untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari

turunan fungsi fn(t) diberikan oleh :

)0()0()0()()0()0()0(][)]([ (3)

)0()0()()0()0(][)]([ (2)

)0()()0(][)]([ (1)

:khusus Kasus

)0()0(...)0()0()(

)0()0(...)0()0(][)]([

2323

22

)1()2(2)1(

)1()2(2)1()(

ffsfssFsffsfsfLstfL

fsfsFsfsffLstfL

fssFffsLtfL

fsffsfssFs

fsffsfsfLstfL

nnnnn

nnnnnn

Page 21: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Hitung, F(s) dari :f(t) = cos2btJawab :Mengingat,f(t) = –2 cosbt sinbt = – sin2btf(0) = cos 0 = 1Maka.

)4(

42][cos

4

21)(

4

2)0()(

]2sin[)]([

22

222

22

22

bss

bbsbtL

bs

bssF

bs

bfssF

btLtfL

Contoh

Hitung, F(s) dari :f(t) = t cos bt. f(0) = 0Jawab :Mengingat,f(t) = cos bt – b t sinbt, dan f(0) = 1f(t) = –2b sin bt – b2t cos bt Maka.

222

22

22

222

222

22

2

)(]cos[

21)()(

)(2

)0()0()(

]cos[][sin2)]([

bs

bsbttL

bs

bsFbs

sFbbs

bfsfsFs

bttLbbtbLtfL

Page 22: Modul 3 transformasi laplace

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

Page 23: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :

Jawab :Tulislah F(s) menjadi,

22

2

)4(

8)(

s

ssF

ttt

tttttt

sL

s

sLtf

ss

ssF

2cos23

2sin41

)2cos22(sin)2(2

18)2cos22(sin

)2(21

)4(

8

)4()(

Jadi,

)4(

8

)4()(

3

221

22

21

2222

2

Page 24: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, F(s) dari :

Jawab :Tulislah F(s) menjadi,

22

2

)84(

82)(

ss

ssF

16)2(8)2(2

8168)2(8)44(282

4)2(84

Mengingat,

2

22

22

ss

ssss

sss

ttttte

ttte

tte

ttte

sL

s

sL

s

sLtf

ss

s

s

ssF

t

ttt

2cos2sin22sin23

)2cos22(sin)2(2

162sin

)2(28

)2cos22(sin)2(2

2

]4)2[(

18

]4)2[(

)2(8

]4)2[(

)2(2)(

Jadi,

]4)2[(

16

]4)2[(

)2(8

]4)2[(

)2(2)(

2

3

222

221

221

22

21

222222

2

Page 25: Modul 3 transformasi laplace

KASUS 4 : Faktor Q(s) Kompleks Berulang

Misalkan,

)()(

)(

dan ,)()(

)(

1sQsP

Ltf

sQsP

sF

Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate berulang,

Q(s)=[(s – a)2 + b2]2

Tulislah F(s) menjadi)(

)()(])[(

)Im(21

)],Re([2

1

)Re( ),Im(1

)(

)(

])[(

)(

])[(

)(

222

2

22

222222

biaRSasQ

sPbasRa

Sab

DaCSaAb

C

RaBaARab

A

bas

DaCaSC

bas

BaAasA

bas

sP

bias

bDaC

btcebtbtbtb

ebaAbtt

bAe

bas

DaCasCL

bas

BaAasALtf

atatat

cos)cos(sin2

)(sin2

)(

)(

])[(

)()(

3

221

2221

Page 26: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :

Jawab :Tulislah F(s) menjadi,

22

2

)]4)[(2(

162)(

ss

ssF

i

ss

ssRa

ss

ssE

sE

s

DCs

s

BAssF

is

s

22

)4)(2(

)162()4(

83

)4)(2(

)162)(2(

Mengingat,

24

)]4[()(

222

222

222

2

2

22

21

83

4

143

483

)4(

2

)4()(

Jadi,

43

)32Im()2(2

1

,83

))32Re(1()2(2

1

2)22Re(,1)22Im(21

Sehingga,

32

)2(

16822162

12

12

1

221

221

2

22

2

2

2

sL

sL

s

sL

sL

s

sLtf

iD

iC

iBiA

i

s

ssss

dsd

Sa

isis

Page 27: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :

Jawab :Tulislah F(s) menjadi,

22

3

)]84)[(2(

162)(

sss

ssF

i

sss

sssRa

sss

ssE

sE

s

DCsC

s

BAsAsF

is

s

816

)84)(2(

)162()84(

2)84)(2(

)162)(2(

Mengingat,

24)2(

2)2(

)]4)2[(

2)2()(

2222

322

222

3

2

22

22

4)2(

2

4)2(

)2(2

)4)2(

16

)4)2(

)2(4)(

Jadi,

2)820Im()2(2

12

,2))820Re(4()2(2

1

16)816Re(2

,4)816Im(21

820 2162

12

1

21

221

221

2

22

3

sL

sL

s

sL

sL

s

sLtf

iDC

iC

iBA

iA

iss

dsd

Sa

is

Page 28: Modul 3 transformasi laplace

SOAL-SOAL LATIHAN

Hitung transformasi Laplace dari :

.cos)( .6

sin)( .5

cos)( .4

sin)( .3

cos)( .2

sin)( .1

2

2

2

2

2

btetf

btttf

btttf

bttf

btttf

btttf

at

Hitung invers Laplace dari :

222

2

222

2

22

2

22

2

22

2

22

2

)136)(4(

84sF(s) .12

)136)(4(

84sF(s) .11

)134)(2(

84sF(s) .10

)2)(2(

84sF(s) .9

)64(

188sF(s) .8

)2(

84sF(s) .7

sss

sss

sss

s

ss

ss

s

Page 29: Modul 3 transformasi laplace

LAPLACE INTEGRAL FUNGSIAndaikan fungsi f(t) kontinu untuk t ≥ 0 dan L{f(t)} = F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t). Transformasi Laplace integral fungsi f(t) kontinu diberikan oleh

duufsFs

L

sFs

duufL

t

t

)()(1

akibatnya, Sebagai

)(1

)(

01

0

Rumus diatas berguna untuk menghitung invers Laplace :

)(

11)(

11

sFss

sFs nn

ContohHitung, f(t) dari :Jawab :Mengingat,

)4(

1)(

22

sssF

tt

uuduu

sssL

ssL

tuduss

L

ts

L

tt

2sin81

41

2sin21

41

)2cos1(41

)4(

11

)4(

1

)2cos1(41

2sin21

4

11

maka,

2sin21

4

1

0 0

21

221

202

1

21

Page 30: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :Jawab :

tess

Lsss

sF t sin54

1 dan,

)54(

1)( 2

21

22

)45(251

)cos4sin3(251

)cos2(sin5

)cossin2(5

251

51

)cos2sin2(5

)54(

11

)54(

1

51

)cossin2(5

)cossin2(5

sin54

11

2

0

22

0

2

21

221

2

0

220

22

1

ttte

uuue

uue

duuue

ssssL

sssL

tte

uue

uduesss

L

t

tuu

t t

t

tut

Page 31: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari :Jawab :

ttes

Lss

sF 22

123 )2(

1 dan ,

)2(

1)(

43

21

43

21

41

21

21

41

21

41

1(41

)2(

11

)2(

1

)1(41

21

21

41

41

41

21

)2(

11

)2(

1

41

41

21

21

2)2(

11

222

0

2222

0

2222

123

1

22

0

222

0

222

122

1

22

0

2

02

21

tteteuueeue

duueuesss

Lss

L

teteueeue

dueuesss

Lss

L

eteue

duuess

L

ttt

uuu

t uu

ttt

uuu

t uu

tttut u

Page 32: Modul 3 transformasi laplace

DIFERENSIAL TRANSFORMASI LAPLACE

,)()1()(

dan,,)(

)1()]([ )3(

,)()]([

dan,),()]([ )2(

,)()]([

dan,),()]([ )1(

,umum Rumus

)]([ )()(

: maka , terhadap diturunkan Jika

)()(

,0 untuk kontinu )( Andaikan

1

2

21

2

1

0

0

tftds

sFdL

ds

sFdtftL

tftsFL

sFtftL

ttfsFL

sFttfL

ttfLdtttfesF

s

dttfesF

ttf

nnn

n

n

nn

t st

t st

ContohHitung, L[t cos bt ] dan L[t sin bt]Jawab :

222

22

22

222

22

22

22

)(

2

]sin[

)(][sin

)(

]cos[

)(][cos

bs

bsbs

bdsd

bttL

sFbs

bbtL

bs

bs

bs

sdsd

bttL

sFbs

sbtL

Page 33: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, L[t2cos bt ] dan L[t2sin bt]Jawab :

222

32

222

222

322

22

222

222

222

222

)(

6

2]sin[

)()(

2]sin[

)(

)3(2

)(]cos[

)()(

]cos[

bs

bbs

bs

bsdsd

bttL

sFbs

bsbttL

bs

bs

bs

bsdsd

bttL

sFbs

bsbttL

ContohHitung, L[t4eat ]Jawab :

544

433

322

2

)(

!4

)(

!3][

)(

!3

)(

2][

)(

2

)(

1][

)(

1

1][

1][

asasdsd

etL

asasdsd

etL

asasdsd

etL

asasdsd

teL

aseL

at

at

at

at

at

Page 34: Modul 3 transformasi laplace

INTEGRASI TRANSFORMASI LAPLACE

ttf

dzzFL

tfsFL

dzzF

dzzFttf

L

ttf

dttfesF

ttf

s

sb

s

t

st

)( )(

: maka

),()}({ ,bila Akibatnya

)(lim

)( )(

: maka ada )(

lim Jika,

)()(

,0 untuk kontinu )( Andaikan

1

1

0

0

ContohHitung, F(s) dari Jawab : t

etf

at 1)(

ass

zaz

dzzazt

eL

saseL

aae

te

b

sb

s

at

at

at

t

at

t

lnlnlim

111

maka,

11]1[

1lim

1lim

Mengingat,

00

Page 35: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, F(s) dari Jawab : t

btetf

at cos)(

2

22

22

2

22

2

22

2

22

22

22

00

)(ln

21)(

ln21)(

lnlim21

)(lnlim

21

)ln(21

)ln(lim

1cos

maka,

1]cos[

1sin

limcos

lim

Mengingat,

as

bs

bs

as

bt

at

bz

azbzaz

dzbz

zazt

bteL

bs

sas

bteL

abtbae

tbte

t

t

st

t

st

s

at

at

at

t

at

t

Page 36: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari Jawab :

2

21ln)(

s

bsF

)cos1(22cos2

22

1ln

Sehingga,

1lnlnlnlim 22

2cos22222

dan,

22ln)ln(ln1ln

Mengingat,

222

21

2

2

2

22

2

22 22

122

122

1

22222

2

22

2

2

bttt

tbtdz

zbz

zL

s

bL

s

b

s

bs

t

btdz

zbz

z

bts

Lbs

sL

sbs

sL

sbs

ss

dsd

bsdsd

s

bsdsd

s

bdsd

s

t

sts

Page 37: Modul 3 transformasi laplace

ContohHitung, f(t) dari Jawab :

2

22

2

2

)(

)(ln

)(1ln)(

as

bas

as

bsF

)cos1(22cos2

2

)(

)(2

)(1ln

Sehingga,

)(

)(ln

)(

)(lnlim

2

)(

)(2

2cos22

)(

)(2 dan,

2

)(

)(2)ln()])ln[(

)(

)(ln

Mengingat,

222

21

2

22

2

22 22

221

22222

2

22

btte

tebte

dzazbaz

azL

as

bL

as

bas

at

batdz

azbaz

az

ebteasbas

asL

asbas

asas

dsd

basdsd

as

basdsd

atatat

s

t

sts

atat

Page 38: Modul 3 transformasi laplace

SOAL-SOAL LATIHANHitunglah F(s), jika diberikan f(t) berikut ini

t1atsinatcose

)t(f).6(

tbtcosbeb

)t(f).5(

tatcosbtcose

)t(f).4(

tbtcos1t

)t(f).3(

t1tbtcose

)t(f).2(

tt2sinet

)t(f).1(

bt

at

at

at

at

Hitunglah f(t), jika diberikan F(s) berikut ini

22

22

2

22

2

22

2

22

2

2

ba)(s

bslnF(s) ).6(

b)-(s

ba)-(slnF(s) (5).

a)-(s

bslnF(s) ).4(

a)-(s

2bs-1lnF(s) ).3(

b2s

2bs1lnF(s) ).2(

a)-(s

b1lnF(s) ).1(

Page 39: Modul 3 transformasi laplace

PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

)0();0(

batasnya, syarat

)(

l,diferensia Persamaan

yy

trcyybya

cbsas

yaybas

cbsas

sRsY

yaybassRsYcbsas

trLycLybLyaL

22

2

)0()0()()()(

)0()0()()()()(

)}({}{}{}{

Laplace, siTransforma

)()(

)()(

)(

)0()0()()(

)(

)}({)(

Y(S),pembantu Persamaan

2

sQsG

sQsR

sY

yaybassG

cbsassQ

trLsR

)()(

)()(

)(

adalah,

)0();0(

)(

l,diferensia persamaan Solusi

11sQsG

LsQsR

Lty

yy

trcyybya

Page 40: Modul 3 transformasi laplace

Kasus PD Orde 3

)0(),0( );0(

batasnya syarat

)(

l,diferensia Persamaan

123

yyy

tryayayaya o

)()(

)()(

)(

)0()0()()0()()(

)(

)}({)(

Y(S),pembantu Persamaan

323122

3

012

23

3

sQsG

sQsR

sY

yayasayasasasG

asasasasQ

trLsR

)()(

)()(

)(

l,diferensia persamaan Solusi

11sQsG

LsQsR

LsY

Page 41: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 1Tentukanlah solusi PD

Jawab :

5)0(,2)0(

465

yy

eyyy t

)3)(2)(1(972

)65)(1(

)1)(52(4

65

52

)651)(s-(s

4Y(s)

Jadi,

525)5(2

)0()0()5()(

)3)(2(65)(

14

]4[)(

Y(s)pembantu Persamaan

2

2

22

2

sssss

sss

ss

ss

s

s

ss

yyssG

sssssQ

seLsR t

ttt

s

eee

ssssss

32

1-1-1-

32

1

2

1

321

332

3-s3

L2-s

3L-

1-s2

Ly(t)

PD Solusi3-s

22-s

31-s

2Y(s)

.3 Adan,3A

2)3)(2)(1()972)(1(

A

dengan,3-s

A

2-s

A

1-s

AY(s)

parsial pecahan Jumlahan

Page 42: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 1Tentukanlah solusi PD

Jawab :

6)0(,12)0(,6)0(

0652

yyy

yyyy

)3)(1)(2(12-24s-6s

Y(s)

Jadi,

12-24s-s6

6)2(12-5)2(s6G(s)

3))(s1(s)2(

65s-2s-s)(

0]0[)(

Y(s)pembantu Persamaan

2

2

2

23

sss

ss

s

sQ

LsR

ttt

s

s

s

eee

sssss

sssss

sssss

32

1-1-1-

3

2

3

1

2

2

2

2

1

321

354

3-s3

L1-s

5L

2s4

Ly(t)

PD Solusi3-s

31-s

52s

4Y(s)

3)3)(1)(2(

)12-24s-6)(3(A

5)3)(1)(2()12-24s-6)(1(

A

4)3)(1)(2(

)12-24s-6)(2(A

dengan,3-s

A

1-s

A

2s

AY(s)

parsial pecahan Jumlahan

Page 43: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 2Tentukanlah solusi PD

Jawab :

8)0(,2)0(

4644 23

yy

eeyyy tt

)3()2(

14102

)2(

2

2)-(s

1)3)(2(

2Y(s)

28)4(2)(

)2(44)(

)3)(2(2

24

36

]46[)(

Y(s)pembantu Persamaan

3

23

22

22

23

ss

sss

s

ssss

sssG

ssssQ

sss

sseeLsR tt

tt

s

s

s

s

ette

ssss

ds

d

ssss

dsd

ss

ssss

ss

ssss

sA

2231-

21-

31-1-

2

23

2

2

1

2

23

2

23

233

3

33

23

12

23

3

)422(62-s

4L

2)-(s

2L-

2)-(s

4L-

3-s6

Ly(t)

PD Solusi

43

1410221

B

23

14102B

4)3()2(

)14102()2(B

6)3()2(

)14102)(3(A

2-s

B

2)-(s

B

2)-(s

B

3Y(s)

Page 44: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 3Tentukanlah solusi PD

Jawab :5)0(,5)0(

1084 3

yy

eyyy t

)3](4)2[(

10)3(5

4)2(

155

]42)-[(s

1)3(

10Y(s)

1555)4(5)(

4)2(84)(

310

]10[)(

Y(s)pembantu Persamaan

2

2

2

2

22

3

ss

s

s

s

s

sssG

ssssQ

seLsR t

ttee

e

ss

ssQ

ss

ss

tt

isa

s

2sin27

2cos22

42)-(s

7L

42)-(s

3L

3-s2

Ly(t)

7-3i27-

2RB2C

,33i27-

Im A. 3i27

-

]4)2)[(3(

)116s-(5]4)2[(21

2]4)2)[(3(

)116s-(5)3(A

42)-(s

C2B

42)-(s

2)-B(s3-s

AY(s)

23

21-

21-1-

222

22

32

2

22

Page 45: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 3Tentukanlah solusi PD

Jawab :50)0(,0)0(

2cos5044 3

yy

teyyy t

22

2

2

22

22

23

)2](4)3[(

)105(50

)2(

50

2)-(s

1

]4)3[(

)3(50Y(s)

5050)4(0)(

)2(44)(

4)3(

)3(50]2cos50[)(

Y(s)pembantu Persamaan

ss

ss

s

s

s

ssG

ssssQ

s

steLsR t

43)-(s

32L-

43)-(s

3)-12(sL

2-s6

L2)-(s

40Ly(t)

-32_1216(2RBC3

,1212i)Im(-16 A, 12i16-.

]4)3[()2(2

)105(50]4)3[(

64)3(

]105(10A

40]4)3[()2(

)10s5(50)2(A

43)-(s

CB33)-B(s2-s

A

2)-(s

AY(s)

21-

21-

1-2

1-

2322

22

22

2

1

222

22

2

21

22

ie

ss

sssQ

s

ssdsd

ss

ss

isa

s

s

Page 46: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD

Jawab :

4)0(,4)0(

2sin82cos44

yy

ttyy

22

23

222

22

2

)4(

2044

4

44

)4(s

1

)4(

164Y(s)

444)0(4)(

440)(

4

164

]2sin82cos4[)(

Y(s)pembantu Persamaan

s

sss

s

s

s

s

sssG

ssssQ

s

s

ttLsR

4s

4L

4s

4sL

4)(s

16L-

4)(s

4sLy(t)

PD Solusi

4)1828Im()2(2

1

,4)1628Re(4[)2(2

1

16)816Re( ,4)816Im(21

A

16282044S

816)4(

)5(4)4(R

4s

DCs

4)(s

BAsY(s)

21-

21-

221-

221-

2

2

23a

222

2322

a

222

iD

C

iBi

isssdsd

is

ssss

i

is

Page 47: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD

Jawab : Persamaan pembantu Y(s)8)0(,2)0(

)2sin82cos4(84 2

yy

tteyyy t

428)2(2)(

4)2(84)(

4)2(

16)2(4

)]2sin82cos4([)(

22

2

2

sssG

ssssQ

s

s

tteLsR t

)2sin32cos22cos22sin(4)2(

4L

4)2(

)2(2L

]4)2[(

16L

]4)2[(

)2(4Ly(t)

PD Solusi

4)2(

2)2(

]4)2[(

2)2(Y(s)

parsial pecahan Jumlahan

]4)2[(

82082

4)2(

42

4)2(

1

4)2(

84)(

22

1-

21-

221-

221-

222

22

23

222

ttttttes

s

s

ss

s

s

BCsC

s

BAsA

s

sss

s

s

ss

ssY

t

Page 48: Modul 3 transformasi laplace

Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD

Jawab : Persamaan pembantu Y(s)50)0(,10)0(,0)0(

2cos5016167 2

yyy

teyyyy t

)2(1050)7(100)(

]4)2)[(3(

16207)(

4)2(

)2(20]2cos[16)(

2

23

22

sssG

ss

ssssQ

s

steLsR t

ttttttees

s

s

ss

ss

iSiRsE

s

BCsC

s

BAsA

ss

sss

ss

s

ss

ssY

tt

aa

2cos42sin211

2cos52sin25

104)2(

6L

4)2(

)2(4L

]4)2[(

40L

]4)2[(

)2(10L

310

Ly(t)

PD Solusi

2422,2040,34)2(

2)2(

]4)2[(

2)2(Y(s)

parsial pecahan Jumlahan

]4)2)[(3(

)26216(10

]4)2)[(3(

)2(10

]4)2)[(3(

)2(50)(

232

1-

21-

221-

221-1-

222

22

23

222

Page 49: Modul 3 transformasi laplace

SOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi persamaan diferensial berikut ini

4(0)y2,(0)y,0 y(0)

e41)y-(aa-yay1)-(a-y (6)

b(0)y, y(0)

e1)y1)(ba(y2)b(a-y (5)

b(0)y2, y(0)

2sine4yay2a-y (4)

b(0)y2, y(0)

2cose41)y-a(ay1)-(2a-y(3).

b(0)ya,(0)y0, y(0)

10e15y-y23y9-y(2).

b(0)y2, y(0)

4ey3y4-y ).1(

1)t-(a22

bt

1)t-(a2

at

at

at

t

a

a

t

t

(7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at, y(0)=a, y(0)=a+b

(8) y+(a+b+1)y+b(a+1)y = be–atcos 2t, y(0)=0, y(0)=0

(9). y - (2a–1)y + a(a-1)y = teat y(0)=b, y’(0)=b(a – 1)

(10). y + 2ay+(a2+b2)y = ab2te–at

y(0)=0, dan y(0)=a

,

Page 50: Modul 3 transformasi laplace

FUNGSI TANGGA SATUAN

at

atatu

jika ,

jika ,

1

0)(

Gambar fungsi tangga satuan

Secara umum fungsi tangga yang bernilai 0 bila t < a dan f(t – a) bila t > a, diberikan oleh :

Fungsi tangga satuan yang disebut juga dengan fungsi Heaviside satuan didefinisikan oleh :

at

at

atftg

jika ,

jika ,

)(

0)(

Dalam bentuk fungsi tangga satuan, u(t – a), fungsi g(t) dinyatakan oleh f(t – a)u(t – a),dengan demikian fungsi diatas ditulis menjadi

at

at

atfatuatf

jika ,

jika ,

)(

0)()(

Page 51: Modul 3 transformasi laplace

Contoh

Nyatakan fungsi berikut dalam tangga satuan

Jawab :Dengan memperhatiikan sketsa pada gambar,

1 jika,

10 jika,

0 jika,

0

1

0

)(

t

t

t

tf

)1()(

1 jika,

10 jika,

0 jika,

0

1

0

)(

tutu

t

t

t

tf

Page 52: Modul 3 transformasi laplace

LAPLACE FUNGSI TANGGAJika F(s) = L{f(t)}, f(t) = L–1{F(s)} maka transformasi Laplace dari fungsi tangga

adalah,

at

at

atfatuatf

,

,

)(

0)()(

)()()}({

,Laplacenya invers dan

)()}()({

1 atuatfsFeL

sFeatuatfL

as

as

)(L

dan,

)}({

khusus, Kasus

1- atus

e

se

atuL

as

as

ContohTentukanlah transformasi Laplace dari

f(t) = u(t) – u(t-1)

Jawab :Karena, f(t) = u(t) – u(t-1), maka :

se

se

se

tuLtuLtfL

s

ss

1

)}1({)}({)}({

10

Page 53: Modul 3 transformasi laplace

ContohTentukanlah transformasi Laplace dari

f(t) = tu(t)–u(t -1) - (t-1)u(t-1)

Jawab :Karena, maka :

21

}{s

tL

2

22

0

1

)}1()1{(

)}1({)}({)}({

s

ese

s

es

e

s

e

tutL

tuLttuLtfL

ss

sss

21

}{s

tL

2

22

2

22

2

)}2()2{(

)}2({)}1()1{()}({

s

esee

s

es

e

s

e

tutL

tuLtutLtfL

sss

sss

ContohTentukanlah transformasi Laplace dari

f(t)=(t–1)u(t–1)–u(t–2)–(t–2)u(t – 2)Jawab :Karena, maka :

Page 54: Modul 3 transformasi laplace

ContohTentukanlah y(t) dari :

Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,

23

1)(

2

ss

esY

s

1,

1,

)1()(

)(

11

21

)(

11

21

)2)(1(1

)(

)()( )2)(1(

1)(

22

1

2

)1()1(2

2

211

t

t

ekek

ee

tuee

eety

ees

Ls

Ltf

sssssF

esFsFsse

sY

tt

tt

tt

tt

tt

ss

ee

k

e

ek

1

,1

2

2

2

1

ContohTentukanlah y(t) dari :

Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,

4)(

2

s

sessY

s

,

0,

0

2cos

)()(2cos2cos)(

2cos4

)(

,4

)(

)()(4

)(

21

2

2

t

tt

tuttty

ts

sLtf

s

ssF

esFsFs

sessY s

s

Page 55: Modul 3 transformasi laplace

ContohCarilah solusi PD : y′′ – 4y′ + 4y = r(t)y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) = u(t) – u(t – 1)Jawab : Persamaan pembantu Y(s),

2

2

22

)2(

1)(

dengan,

)()()2(

1)(

00)0)(4()(

)2(44)(

1)}1({)}({)(

sssF

esFsFss

esY

ssG

ssssQ

se

tuLtuLsR

ss

s

Solusi PDMengingat,

)1(}1)1(2{41

)12(41

)()()()(

adalah, PD Solusi

)12(41

)2(

1)}({)(

maka,

)2(

1

)1(2)1(2

22

22 0

2

211

22

1

tueet

ete

atuatftfty

eteduue

ssLsFLtf

tes

L

tt

tt

ttt u

t

Page 56: Modul 3 transformasi laplace

ContohCarilah solusi PD : y′′ + 4y = r(t)y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) =sin 2t u(t) – sin2(t–π)u(t–π)Jawab : Persamaan Y(s),

22

22

2

2

)4(

2)(

dengan,,)()(

)4(

22)(

00)0)(0()(

4)(

4

22

)}()(2{sin

}2{sin)(

ssF

esFsF

s

esY

ssG

ssQ

s

e

tutL

tLsR

s

s

s

Solusi PDMengingat,

t

t

t

ttt

tuttt

ttt

tutftfty

ttt

sLsFLtf

,

,

2cos41

2cos41

2sin81

)()(2cos)(41

)(2sin81

2cos41

2sin81

)()()()(

adalah, PD solusi maka

2cos41

2sin81

)4(

2)}({)(

2211

Page 57: Modul 3 transformasi laplace

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut ini

(1). y + b2y = cos b(t - ) u(t - ), dengan

syarat y(0) = a, dan y’(0) = b

(2).y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 18,

y′(0) = 0, dan r(t) = sin3(t - π)u(t – π)(3). y′′ – 5y′ + 6y = r(t), dengan syarat y(0) = 8, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 2)(4). y′′ + 4y = r(t), syarat y(0) = 8, y′ (0) = 0,

dan r(t) = cos 2t – cos 2(t – 2π) u(t – 2π)(5). y′′ – 3y′ + 2y = r(t), dengan syarat y(0) =

10, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 1)(6). y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 4, y

′(0) = 6, dan r(t) = cos 3t – cos 3(t – 3π) u(t – 3π)

2222

s22

222

s2

2

s

2

s

2

s

2

s

)b)as((

)ses()s(F ).6(

)as(

)e1(s)s(F ).5(

8s4s

)e1(4)s(F ).4(

9s

)e4s2)s(F ).3(

4s

)se4)s(F ).2(

2s3s

)e1(s)s(F ).1(

SOAL-SOAL LATIHAN

Tentukanlah f(t), jika :

Page 58: Modul 3 transformasi laplace

TEOREMA KONVOLUSIAndaikan f(t) dan g(t) terdefinisi untuk t ≥ a, memenuhi konsistensi transformasi transformasi Laplace sedemikian sehingga L{f(t)} = F(s), dan L{g(t)} = G(s), transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh, h(t) = (fοg)(t) diberikan oleh :

H(s) = L(fοg)(t) = L(f) L(g) = F(s)G(s)Akibatnya bila, h(t) = L–1[H(s)] dengan H(s)= F(s)G(s), maka fungsi h(t) diberikan oleh,

dzztgzf

thtfsGsFL

sHLth

t )()(

)()()}()({

)}({)(

0

1

1

ContohCarilah h(t) jika Jawab :Mengingat,

22 )(

1)(

asssH

)2()2(1

22

1

)(zeh(t)

)(

1,

1

33

0 32

2

0 2

t0

az

21

21

ata

eat

a

eaa

zaz

eaa

zt

dzzt

teas

Lts

L

at

taz

taz

at

Page 59: Modul 3 transformasi laplace

ContohCarilah solusi PD : y′′ + b2y = bty(0)=0, dan y′(0)=0 Jawab : Persamaan Y(s),

22

2

222

22

2

)(

1)(

Konvolusi, Teorema

)()(

00)0)(0()(

)(

}{)(

bs

bsG

ssF

bss

bsY

ssP

bssQ

s

bbtLsR

)sin(1

sin1

coscos

dz sin)(

sin)}()({y(t)

adalah, PD Makasolusi

sin,1

Mengingat

2

0 2

0

1

221

21

btbtb

bzb

bzbz

btbt

btzt

bttsGsFL

btbs

bLt

sL

t

t

Page 60: Modul 3 transformasi laplace

ContohCarilah solusi PD : y′′ + 4y = 8 cos 2ty(0)=3, dan y′(0)=6 Jawab : Persamaan Y(s),

4

8)(,

4)(

Konvolusi, Teorema

4

4

4

3

)4(

8

4

43

)4(

8)(

43)(

4)(

4

8}2{cos8)(

22

2222

222

2

2

ssG

s

ssF

ss

s

s

s

s

s

s

ssY

ssP

ssQ

s

stLsR

tttt

zzzt

ttstt

ttztz

tttts

Ls

sLsGsFL

ts

Lts

sL

t

t

t

2sin22cos32sin41

22cos2sin

41

2sin24

2sin41

2cos24

sin22cos3

2sin22cos3dz )(2cos2sin4

2sin22cos32sin2cos44

4

4

3)}()({y(t)

adalah, PD solusi Maka

2sin21

4

1,2cos

4

Mengingat

0

0

2

0

21

211

21

21

Page 61: Modul 3 transformasi laplace

Persamaan integral biasanya diberikan oleh persamaaan,

PERSAMAAN INTEGRAL

duuyutktfty

duuytuktfty

t

ba

)()()()(

integral, persamaan khusus Kasus

)(),()()(

0

Fungsi, k(u,t)=k(t – u) disebut Kernel. Dalam bentuk konvolusi ditulis

y(t) = f(t) + k(t)*y(t)

Dengan transformasi Laplace solusi persaman integral diberikan oleh,

L{y(t)} =L{f(t)} + L{k(t)*y(t)}

Y(s) = F(s) + K(s)Y(s)

(1 – K(s))Y(s) = F(s)

Jadi persamaan pembantunya adalah,

)(1)(

L y(t)

adalah

integral persamaan Solusi

)(1)(

)(

1-sK

sF

sKsF

sY

Page 62: Modul 3 transformasi laplace

ContohCarilah solusi persaman integral,

Jawab : Persamaan pembantu Y(s),

duuttetytt )(2cos y(u)2)( 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

)2(

4)(1

1

4

)2(

4

44

4

41)(1

4

4}2cos4{)(

)2(

1}{)(

s

ssK

s

s

s

ss

s

ssK

s

stLsK

tteLsF t

t

s

s

ettt

AAsdsd

A

s

ss

s

s

s

s

ssY

2232

1-

31-

41-

122

23

24

24

4

12

23

34

4

4

2

2

2

2

24

68

2)-(s

1L

2)-(s

4L

2)-(s

8Ly(t)

PD Solusi

0,1,4)4(

8)2(

4)2(A

2-s

A

2)-(s

A

2)-(s

A

2)-(s

AY(s)

parsial, Jumlahan

)2(

4

)2(

4

)2(

1)(

pembantu, Persamaan

Page 63: Modul 3 transformasi laplace

SOAL-SOAL LATIHANDengan Teorema Konvolusi, hitunglah f(t)

)b(s

bsF(s) (6).

)b(s

sF(s) (5).

)1s)(a(s

s(4).F(s)

)as(s

2a(3).F(s)

)as(s

1F(s) (2).

)as(s

1F(s) ).1(

222

22

222

2

222

2

222

3

3

Selesaikanlah persamaan integral berikut ini

dr e )r(y e2te y(t)).6(

dr e )rt( )r(y e2e1 y(t)).5(

dr )rt( sin )r(y 2tcose y(t)).4(

dr )rt(2cos )r(y t2sin2e y(t)).3(

dr )rt( 2acos )r(y a2

)t(u)t(asine y(t)).2(

dr )rt( 2acos )r(y a2te y(t)).1(

rt

0

tt

rt

0

tt

t

0

2t

t

0

t

t

0

)-a(t

t

0

1)t(b-