Oleh:

Kelompok IV

CICI NARTIKA 2007 121 159

RELA SEPTIANI 2007 121 433

RIKA OCTALISA 2007 121 447

ULPA ARISANDI 2007 121 450

RIRIN BRILLIANTI 2007 121 467

KELAS : 6.L

MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN

DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2010

Transformasi Laplace merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan : • Untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan

aljabar. • Untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa.

1. Definisi Misal fungsi f(t) terdefinisi untuk t≥ 0. Maka transformasi Laplace (satu sisi atau unilateral) dari f(t) didefinisikan sebagai:

L(f(t)) = ∫∞

0

e-st f(t) dt ............................................................................(1.1)

Integral (1.1) merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F(s) = L (f(t)). Sedangkan fungsi asal f(t) dapat diperoleh dari Transformasi invers

f(t) = L1−(F(s)).

Agar transformasi Laplace F(s) ada maka integral tak wajar (1.1) haruslah konvergen dan ini dapat dicetak dengan mencari limit :

∫∞

0

e-st f(t) dt = ∫∞→

b

b 0lim e-st f(t) dt ...........................................................(1.2)

Bila kita coba untuk beberapa nilai bilangan bulat n, secara induktif didapatkan transformasi Laplace untuk f(t) = t n yaitu :

F(s) = s

n

n1

!+ (s >0) ...................................................................................(1.3)

Maka didapatkan transformasi invers, )!1(

11

1

−=

−−

nt

sL

n

n

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = eat . Jawab : Dengan menggunakan definisi (1.1) didapatkan,

F(S) = ∫∞→

b

b 0lim e(-s + a) t dt = lim

1

∞→+− base(-s + a) t

b

0 =

as −1

(s > a) ....(1.4)

Dari bentuk (1.4) didapatkan transformasi invers,

=

−−

asL11

eat

Beberapa sifat : Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfomasi Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut. Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila : i. Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya yang

menyebabkan f(t) kontinu pada sub-sub interval tersebut. ii. Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga. Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensial pada interval [a,b] bila terdapat bilangan real M dan r sehingga berlaku Mtf ≤)( ert untuk setiap t∈[a,b].

Sifat Keberadaan Transformasi Laplace : Transformasi Laplace dari f(t) dengan t≥ 0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagian dan terbatas eksponensial untuk t≥ 0. Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace : Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila F1(s) dan F2(s) merupakan transformasi Laplace dari f(t) maka F1(s) = F2(s) . Sifat Linear Transformasi Laplace : Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai sifat linear,

L ( ) ( )dttbgtaftbgtaf est

)()()()(0

+=+ ∫∞

−

= dttgbdttfa eestst

)()(00∫∫∞

−∞

− + ...........................................(1.5)

= )()( sbGsaF + Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linear, karena :

L1−(c F(s) + d G(s)) = L

1−(L(cf(t) + dg(t) ))

= cf(t) + dg(t) ...............................(1.6)

= cL1−(F(s)) + dL

1−(G(s))

Contoh : Tentukan transfomasi Laplace dari f(t) = (t + 2)2 Jawab : Dengan menggunakan sifat (1.5) dan rumus umum untuk transformasi Laplace dari fungsi polinom (1.3) didapatkan transformasi Laplace dari fungsi f(t) = (t + 2)2 = t2 + 4 t + 4 , yaitu :

F(s) = s

sss

s

s 3

2

23

442442 ++=++

2. Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat – n Misal f(t) dan turunannya f ‘ (t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan f ‘ (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan sifat terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh :

L(f ‘ (t)) = ∫∞

−

0e

stf ‘ (t) dt = e-st f(t) )(

00

tfs est

∫∞

−∞+ dt .............................................(1.7)

Dengan menggunakn notasi (1.7) didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t) yaitu: L(f ‘ “(t)) = s2F(s) – sf (0) – f ‘ (0) Dan L(f ‘ “(t)) = s3F(s) – s2f (0) – sf ‘ (0) – f (0) Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t), L(f (n) (t)) = sn F(s) – sn -1 f(0) – sn – 2 f ‘ (0) - ... – f (n – 1) (0) .................................(1.8)

Metode penurunan fungsi (1.8) akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi yang apabila diturunkan sampai tingkat-n akan kembali ke bentuk semula. Untuk jelasnya diberikan contoh berikut.

Tentukan transformasi Laplace dari f (t) = sin at Jawab : Dilakukan penurunan sampai tingkat ke-2 didapatkan, f(t) = sin at f (0) = 0 f ‘ (t) = a cos at f ‘ (0) = a f “ (t) = -a2sin at f “ (0) = 0 Pada penurunan tingkat-2 sudah dihasilkan bentuk asal, sehingga digunakan : L(f “(t)) = s2F(s) – sf (0) – f ‘ (0) L(-a2sin at) = s2L(sin at) – sf (0) – f ‘ (0)

L(sin at) = as

a22 +

Dari hasil yang didapatkan pada contoh (1.5) didapatkan transformasi invers,

a

at

asL

sin122

1 =

+−

3. Transformasi Laplace dari Integral Fungsi Pada metode penurunan fungsi (1.8) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi dengan s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplace dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka :

)(1)(0

sFsdxxfLt

=

∫ .................................................................................(1.15)

Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan :

=

−

s

sFL

)(1

∫t

dxxf0

)( ...................................................................................(1.16)

Contoh :

Tentukan invers dari : G(s) = ss 2

42 +

Jawab :

Menggunakan sifat (1.11), G(s) dapat dituliskan sebagai : G(s) =s

sF )( dengan

F(s) =2

4

−s. Invers dari F(s) adalah f(t) = 4e2t.

Oleh karena itu, invers dari G(s) adalah

g(t) =∫t

0

4e2xdx = 2(e2t - 1)

Berikut diberikan tabel pasangan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi yang bisa diselesaikan menggunakan metode yang diberikan sebelumnya.

Tabel 1.1 Transformasi Laplace

f(t) F(s) = L(f(t)) Domain dari F(s)

Tn (n B+∈ )

sn

n1

!+ S > 0

eat as −

1 S > a

Sin bt bs

b22 + S > 0

Cos bt bs

s22 + S > 0

Sinh bt bs

b22 −

S > b

Cosh bt bs

s22 − S > b

4. Pergeseran Terhadap Sumbu S Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik hasil transformasi Laplace dari g(t) = eat f(t), dengan menggeser grafik hasil transformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang a satuan kea rah kanan (bila a>0) atau kea rah kiri (bila a<0).Maka didapatkan transformasi Laplace :

L ( ))(tfe at = ( )dttfee atst )(0∫∞

−

= dttfe tas )(0

)(∫∞

−− ………………1.17

=F(s – a)

Sehingga transformasi invers

L-1 (F(s- a)) = eat f(t) …….1.18

Contoh 1. Tentukan transformasi Laplace dari : g(t) = e2tsin 3t Penyelesaiaian : Misal f(t) = sin 3t. Maka g(t) = e2t f(t)

Transformasi laplace dari f(t) yaitu F(s) = 9

32 +s

.Oleh karena itu,

G(s) = F(s – 2) =9)2(

32 +−s

Contoh 2.

Tentukan invers Dari G(s) = 222 ++ ss

s

Penyelesaian :

G(S) = 222 ++ ss

s+

( )−

+++=

11

12s

s

( ) 11

12 ++s

Misal F1 (s) = 12 +s

s dan F2(s) =

1

12 +−

s, maka keduanya mempunyai invers berturut –

turut f1(t) = cost t dan f2 (t) = -sint, sehingga G(s) = F1 (s+1) + F2(s+1). Oleh karena itu invers dari G(s) adalah g(t) = e-t (cost – sint)

5. Pergeseran terhadap sumbu t Misal F(s) = L(f(t)) ada dan didefinisikan fungsi tangga g (t) = { at

atatf

<

>−;

;

0)( dengan

a≥ 0. Untuk mencari transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) yang terdefinisi untuk t>0 dapat diselesaikan dengan memperkenalakan fungsi tangga satuan

Fungsi tangga satuan atau fungsi Heaviside didefinisikan sebagai berikut Dengan a > 0 Garafik fungsi tangga satuan (1,19) ditunjukan pada gambar 1.2 berikut L(g(T)) = L (f(t-a)u(t-a)

= dtatuatfe st )()(0

−−∫−

ω

= dyayuayfe st )()(0

−−∫−

ω

= dyayfea

st 0)(0

−∫− + dyayfe

a

st )( −∫−

ω

= dyayfea

st )( −∫−

ω

= dttfea

TAs )()(∫

+−ω

= e-as ∫∞

−

0

)(tfe st

= e-as F (s) Sehingga diperoleh transformasi laplace untuk g(t) = f(t – a) u ( t – a)

U (t-a) = )19,1.........(..................................................,1

,0

><

at

at

1 a Gambar 12

L(g(t)) = L(f(t – a)u(t – a)) = e-as F(s) …………………1.20 Sedangkan transformasi invers L-1 ( ))(sFe as−

= f(t – a)u(t – a) = g(t) …………………..1.21

Misal f(t – a) = 1 maka f(t) = 1 dan F(s) = S

1, maka didapatkan transformasi Laplace dari

fungsi tangga satuan

L ( )[ ]atu − = s

e as−

……………………………1.22

Dan Transformasi Invers :

L-1

−

s

e as

= u(t – a) ……………………………1.23

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g(t) = t u(t – 2) Penyelesaian : Bila kita padankan dengan pasangan transformasi Laplace, g(t) = f(t – a)u(t – a) ↔G(s) = e-as F(s), maka dimisalkan f ( t- 2) = t. Oleh karena itu, f(t) = t + 2 dan F(s) =

ss

212

+ .Jadi Transformasi Laplace dari fungsi g(t) adalah G(s) = e-2as F(s) = e-2as

ss

212

+

Contoh :

Tentukan Invers dari transformasi, G(s) = 42 +

−

s

e sπ

Penyelesaian :

Misal : F(s) = 4

12 +s

Maka invers dari F(s) adalah f(t) = t2sin2

1

Dengan menggunakan bentuk 1.21 maka didapatkan invers dari G(s), g(t) =

( ) )(2sin2

1 ππ −− tut

− t

t

2

3

2

6. Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u (t – 1) – 5t u (t – 2). Maka nilai fungsi f(t) untuk beberapa interval : • Interval t< 0,

Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) = 0 • Interval 0< t <1

Pada interval ini, nilai u (t) =1 dan u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2

• Interval 1 < t < 2

Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) =1 dan u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2 + (3t – 2) = 3t

• Interval t > 2

Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t – 2)- 5t = 2t

Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyatakan dalam fungsi tangga maka f(t) : ;t < 0 ; 0 < t < 1 F(t) = ;1 < t < 2 ; t > 2 Bila dikaitkan dengan transformasi laplace, maka hanya akan di perhatikan nilai fungsi f(t) untuk t ≥ 0, sehingga fungsi f(t) : ; 0 < t < 1 ;1 < t < 2 F(t)= ; t > 2

− t

t

2

3

2

0

− t

t

2

3

2

t

1

0

0

2

0

t

Misal dihadapkan permasalahan untuk mendapatkan trnsformasi Laplace terhadap dua fungsi yang sama yaitu fungsi : F(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u ( t – 1 ) – 5t ; 0 < t < 1 U (t – 2) dan fungsi f(t) = ; 1 < t < 2 ; t > 2 Langkah – langkah untuk menentukan transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) :

(i) Ubahlah g(t) ke dalam bentuk suku – suku dengan factor fungsi tangga satuan u (t – a) dengan cara berikut :

a) Nilai a pada u(t – a) diambil dari batas masing – masing sub interval fungsi g(t).

b) Nilai suatu suku dari g(t) akan merupakan perkalian antara u(t – a) dan nilai fungsi bersesuaian dengan a yang diambil tanda positif dan tanda negative ditentukan dari perbandingan antara t dan a. Untuk a < t diambil tanda positif ( + ) dan untuk t < a diambil tanda negative (-)

(ii) Transformasikan masing –masing suku yang didapatkan dari (i) menggunakan metode 1.20.

Contoh : ; t < 0 Dik : g(t) = ; 0 < t < 2 ; t > 2 1. Nyatakan g(t) ke dalam susku – suku dari u(t – a) 2. Tentukan transformasi Laplace dari g(t) Penyelesaian :

1. Batas sub interval dari g(t) adalah 0 dan 2, sehingga g(t) dapat dinyatakan dalam suku- suku dengan factor u(t) dan (t – 2) jadi : G(t) = u(t) – u(t – 2) + t.u (t – 2) = 1 + u ( t – 2) + (t -2) u (t – 2)

2. Dengan menerapakan bentuk 1.15 didapatkan transformasi Laplace dari g(t) yaitu :

G(t) = 2

221

s

e

s

e

s

ss −−

++

Contoh masalah nilai awal yang berkaitan dengan pemakaian fungsi tangga satuan diberikan contoh berikut : ; t < 0 y’’ + 4y’ + 4y = r(t) ; r(t) = 0 ≤ t ≤ 1 ; y(0) = y’ (0) = 0

; t > 1

1. Tentukan transformasi laplace r(t) 2. Tentukan solusi masalah nilai awal tersebut. Penyelesaian : 1. Batas sub interval dari fungsi r(t) adalah 0 dan 1, maka bentuk fungsi tangga

satuan yang akan menjadi factor di dalam tiap suku dari fungsi r(t) adalah u(t) dan u(t -!), jadi

r (t) = 2t – 2 t.u (t – 1) = 2t – 2 (t-1)u (t – 1) – 2u (t – 1) diperoleh hasil transformasinya :

L ( )[ ] ses

s

str −

+−=22

222

2. Dengan memisahkan L ( y(t)) = Y (s) dan dengan mengambil transformasi pada kedua ruas didapatkan :

Y(s) = sess

s

ss−

++−

++ 2222 )2(

22

)2(

2

Misal

F(s) = ( )2222 2

33

221

2)2(

2

+

++

+−=

++ s

s

s

s

ss

Dan

G(s) = ss ess

ess

s −−

+−=

++

2222 )2(2

12

1

)2(

22

Maka berturut – turut invers dari F(s) dan G(s) adalah

F(t) = )1(222

1 2

tet t

+++− −

Dan

G(t) = u (t – 1) ( )

−+− −−−− )12)1(2

2

1

2

1

22

1 tt etet

Oleh karena itu solusi masalah nilai awal adalah : Y(t) = f(t) – g(t)

= )1(222

1 2

tet t

+++− −

- u (t – 1) ( )

−+− −−−− )12)1(2

2

1

2

1

22

1 tt etet

( )

=−0

1atδ

7. Fungsi Delta Diract Diperkenalkan fungsi impuls satuan atau fungsi delta direct. Fungsi delta direct atau fungsi impuls satuan didefinisikan : ,t = a t≠ a Transformasi laplace dari fungsi delta direct diperoleh dari perhitungan langsung atau menggunakan fakta bahwa fungsi delta direct merupakan turunan dari fungsi tangga : L ( )[ ]at −δ = L ( )[ ]atu −'

= sL ( )[ ]atu −' - u(0) = e-as

Sedangakan transformasi invers L-1 ( )ase− = ( )at −δ Contoh : Tentukan nilai masalah awal : y; + 2y’ + 2y = ( )πδ −t ; y(0) = y’ (0) = 0 Penyelesaian : Dengan melakukan transformasi pada kedua ruas dan menggunakn (1.119) didapatkan,

Y(s) = 1)1( 2 ++

−

s

e sπ

.Solusi masalah nilai awal merupakan invers dari y(s) yaitu y(t) =

)()sin()( πππ −−−− tute t Diberikan table Dario pasangan transformasi laplace yang berkaitan dengan pergeseran sumbu dan fungsi tangga satuan.

Tabel 1.2

Pasangan Transformasi Laplace Berkaitan Dengan Pergeseran Sumbu

f(t) f (s) = L (f(t)) Domain dari F(s) ( )+∈ Bnet atn

( ) 1

!+− nas

n

S > a

eat sin bt

( ) 22 bas

b

+−

S > a

eat cos bt

( ) 22 bas

as

+−−

S >a

eat sinh bt

( ) 22 bas

b

−− S > a + b

eat cosh bt

( ) 22 bas

as

−−−

S > a + b

Tabel 1.3 Pasangan Transformasi Laplace Berkaitan dengan Fungsi Tangga Satuan

No F(t) F(s) 1 Au(t – a) ase

s

A −

2 Atu (t – a) ase

s

Aa

s

A −

+2

3 A t2 u(t – a) ase

s

Aa

s

A

s

A −

++

2

23

22

4 Aebt u (t – a) as

ba

ebs

Ae −−

+

5 A cos bt u(t – a) ( ) asebs

baAb

bs

sbaA −

+−

+ 2222

)(sincos

6 A sin bt u(t – a) ( ) asebs

baAb

bs

bbaA −

++

+ 2222

)(sincos

7 Ae-ct cos bt u (t – a) ( )( ) )(

2222 )(

)(sin

)(

cos csaebcs

baAb

bcs

csbaA +−

++−

+++

8 Ae-ct sin bt u (t – a) ( ) )(

2222 )(

))((sin

)(

cos csaebcs

csbaA

bcs

bbaA +−

++++

++

8. Metode Penurunan dan Integrasi Transformasi a. Penurunan Transformasi

Misal ( )[ ] ( )dttfetfL st∫∞

−=0

. Bila F(s) diturunkan terhadap s maka ruas kanan juga

diturunkan terhadap s yaitu integran diturunkan terhadap s dengan memandang peubah lain (t) sebagai konstanta.

Turunan Pertama : ( ) ( )( ) ( )( )ttfLdtttf'0

−=−= ∫∞

−stesF

Turunan Kedua : ( ) ( )( ) ( )( )tftLdttft'' 22

0

== ∫∞

−stesF

Turunan Ketiga : ( ) ( )( ) ( )( )tftLdttft- 33

0

)3( −== ∫∞

−stesF

Maka secara induktif dapat diperoleh transformasi dari turunan fungsi tingkat-n yaitu:

( )( ) ( ) ( ) ( )sFtftL nnn 1−= .......................................................... (1) Sedang transformasi invers,

( )( ) ( ) ( )tftsFL nnn 11 −=− .......................................................... (2)

Contoh:

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi ( )

− π4

1sin tttg !

Jawab: Misal:

( ) ttttf cos2

1sin

2

1

4sin −=

−= π

Maka didapatkan hasil transformasi dari f(t),

( ) ( ) ( )1212

122 +

−+

=s

s

ssF

Sehingga transformasi laplace dari g(t) yaitu:

( ) ( ) ( )12

12'

2

2

+++−=−=

s

sssFsG

b. Pengintegralan Transformasi

Misal L(f(t)) = F(s) dan ( )t

tft +→0lim ada, maka:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∞ ∞

−∞ ∞

−∞

=

=

00

dtdxetfdxdttfedxxFs

xt

s

xt

s

( ) ( )dt

t

tfedte

ttf st

s

xt

∫∫∞∞∞

− =

−=00

1 ................................. (3)

( )

=t

tfL

Transformasi Laplace invers.

( ) ( )t

tfdxxFL

s

=

∫∞

−1 .......................................................... (4)

Metode pengintegralan transformasi akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan invers transformasi bila bentuk transformasi berupa fungsi logaritma atau fungsi invers trigonometri. Misal diberikan transformasi G(s). Maka dapat dituliskan:

( ) ( ) .dxxFsGs∫∞

=

Sehingga G’(s) dan invers dari G(s) . g(t) = ( )t

tf

Contoh:

Tentukan invers dari ( )

++=

ba

assG ln !

Jawab: Fungsi G(s) dapat dinyatakan, G(s) = ln (s + a) – ln (s + b). hasil turunan pertama dari

G(s), G’(s) = bsas +

++

11

Misal F(x) = - G’ (s) = - bsas +

++

11, maka invers dari F(s) adalah:

( ) btat eetf −− +−= .

Didapatkan invers: ( )t

eetg

atbt −− −=

9. Konvolusi Definisi: Konvolusi dari dua fungsi f(x) dan g(t) didefinisikan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dxxtgxftgftgtf −== ∫** ......................................... (1)

Sifat-sifat dasar (aljabar) dari konvolusi fungsi antara lain: komutatif, distributif, dan asosiatif. 1. f * g = g * f (komutatif) 2. f * (g + h) = f * g + f * h (distributif) 3. (f * g) * h = f * (g * h) (asosiatif) 4. f * 0 = 0 * f = 0 Contoh: Tentukan f(t) * g (t) bila : 1. f (t) = t ; g (t) = sin t 2. f (t) = 1 ; g (t) = sin t Jawab:

1. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫ −=−=−=ttt

xtxddxxtxdxxtgxftgf000

cossin*

( ) ( ) ( ) ttxtxtxtxt

sinsinsincos0

−=−+−+−=

2. ( )( ) 1coscossin*0

0

+−=−== ∫ txxdxtgft

t

Metode Konvolusi Kadang-kadang hasil transformasi Laplace H(s) dapat dinyatakans ebagai hasil kali dua buah transformasi F(s) dan G(s) yang bersesuaian dengan transformasi invers f(t) dan g(t). invers dari H(s), h(t) dapat diperoleh dari konvolusi f(t) dan g(t), sebagaimana dijelaskan berikut.

Misal : L (f(t)) = F(s) L (h(t)) = H(s) dan H (s) = F(s). G(s), Maka :

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

−∞

=00

. dyygedxxfsGsF xy

( ) ( ) ( ) dxdyygexf yxs

= ∫∫

∞+−

∞

00

( ) ( ) dxdtxtgexfs

st

−= ∫∫

∞−

∞

0

( ) ( ) ( ) dtdxxtgxfxft

s

−= ∫∫

∞

0

( ) ( ) ( ) ( )( )tgtfLdxxtgxfLt

*0

=

−= ∫

Jadi diperoleh pasangan transformasi Laplace,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsFsHtgtfth =↔= * .............................................. 1.30 Contoh:

Tentukan invers dari transformasi: ( )24

1

sssH

+=

Jawab:

Misal H(s) = F (s) G(s) dengan F(s) = 2

1

s dan G(s) =

1

12 +s

Maka didapatkan berturut-turut invers dari F(s) dan G(s) yaitu f(t) = t dan G(t) = sin t. Kemudian didapatkan h(t) = f(t) * g(t) = t – sin t.

10. Gerak Harmonik Trayektori x(t) dari gerak harmonik suatu benda dengan massa m yang tergantung pada talu dengan konstanta tli k dan b sebgai damping term serta gaya yang bekerja pada benda adalah f(t) dinyatakan dengan persaamaan diferensial tidak homogen.

)()()(')('' tftkxtbxtmx =++ .......................................................... 1.31 Transformasi Laplace

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )sfskxxssxbxsxsxsm =+−+−− 00'02 ..................... 1.32 Bila benda mulai dari diam maka x(0) = 0 dam x’(0) = 0. Sehingga persamaan 1.32 dituliskan menjadi

kbsms

sfsx

++=

2

)()( .......................................................... 1.33

Misal m

b

2=α ;

m

k=0ω dan 2201 αωω −= maka persamaan 1.33 menjadi:

m

ks

m

bsm

sfsx

++×=

2

1)()(

20

2 2

1)(

ωα ++×=

ssm

sf

( ) 220

2

1)(

αωα −+−×=

sm

sf

( ) 21

21

1)(

ωαω +−×=

sm

sf

Dengan metode konvolusi didapatkan solusi persamaan diferensial (1.34) , yaitu:

( )[ ]tetfm

tx t1

1

sin*1

)( ωω

α−=

11. Persamaan Integral

Bentuk persamaan integral diberikan sebagai berikut:

( ) ( )dxxtyxgtftyt

−+= ∫0

)()(

Dengan fungsi f(t) dan g(t) diberkan. Bentuk integral di ruas kanan dapat diubah menjadi bentuk konvolusi antara fungsi g(t) dan y(t), sehingga persamaa integral dapat dituliska: y (t) = f (t) + g (t) * y (t) solusi persamaan integral dapat dicari dengan mengambil transformasi Laplace untuk kedua ruas sehingga didapatkan fungsi y(t) merupakan transformasi invers dari Y(s). contoh:

carilah solusi persamaan integral ( ) ( ) dxexytytety txt

t −∫−−+=0

2)(

jawab: dengan menggunakan notasi konvolusi fungsi y(t) dapat dituliskan menjadi

( ) 12 *)( −−+= etytety t Transformasikan kedua ruas, didapatkan:

1

)(1

2

1)(

2 +−+

−=

s

sY

sssY

Dinyatakan secara eksplisit fungsi Y(s)

24

32

14

)4(

22)(

222

23

−+

+=

−−−+=

ss

s

ss

ssssY

Solusi persamaan integral merupakan invers dari Y(s) yaitu:

tety 2

43

21

41

)( ++=

Tabel 1.4 Sifat Transformasi Laplace

No Sifat Transformasi 1 Linear • ( ) ( )( ) ( ) ( )sbGsaFtbgtafL +=+

• ( ) ( )( ) ( ) ( )tdgtcftdGtcFL +=+−1 2 Pergeseran sumbu t ( )( ) ( )sfeatfL as−=− 3 Pergeseran sumbu s ( )( ) ( )asFtfeL at −= 4 Skala ( )( )

=a

sF

aatfL

1

5 Turunan • ( ) ( )0fssF

dt

dfL −=

• ( ) ( ) ( )0'022

2

fsfsFsdt

fdL −−=

• ( ) ( ) ( )( )01...01 −−−−=

− nffssFsdt

fdL nn

n

n

6 Integral ( ) ( ) ( )∫∫

∞−∞−

+=

0

dxxfs

sFdxxfL

t

7 Perkalian dengan t • ( )( ) ( )

ds

sdFttfL −=

• ( )( ) ( )2

22

ds

sFdtftL −=

• ( )( ) ( ) ( )n

nnn

ds

sFdtftL −=

8 Pembagian oleh t ( ) ( )∫∞

=

s

dyyFt

tfL

( ) ( )( ) ( ) ( )sGsFtgtfL =*

LATIHAN KERJA MAHASISWA Tentukan transformasi Laplace dari : 1. f(t) = t2 + 1 2. f(t) = e2t + 1

Carilah invers dari :

3. F(s) = 1

2 −ss

Gunakan metode Transformasi turunan atau integral untuk mencari transformasi Laplace dari: 4. f(t) = Sin2 t 5. f(t) = t sin 2t Tentukan f(t) bila diketahui F(s):

6. ass +2

1

7.

+−

4

412 s

s

s

Gambarkan grafik fungsi berikut dan tentukan transformasinya: 8. f(t) = t u (t-1)

9. f(t) = u

− π2

1t sin t

fungsi berikut didefinisikan bernilai 0 untuk nilai di luar interval yang diberikan. Gambar grafik dan tentukan transformasi Laplacenya: 10. t ( 0 < t < 2) 11. Sin t (2π < t < 4π) Tentukan gambar dan invers transformasi Laplace berikut:

12. 2

42

−− −−

s

ee ss

Gunakan metode Penurunan Transformasi untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi berikut: 13. 4 t e2t 14. f(t) = t2 e-2t sin 2t carilah invers dari transformasi Laplace berikut:

15. F(s) = ln ( )bs

as

++

2

Selesaikan konvolusi berikut: 16. t * e at 17. cos t * cos t tentukan h(t) bila H(s) =

18. ( )22

2

4+s

s

19. ( )22

2

1

1

−+

s

s

Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan integral berikut:

20. ( ) ( )dxxytyt

∫+=0

1

21. ( ) ( ) ( )dxxtxyttyt

∫ −+=0

2sin2sin

Gunakan metode yang tepat untuk menentukan f(t) bila F(s) = ( )1

32 −−

s

s

22. ( )22

2

22

2

+++ss

s

23. 134

12 ++

+ss

s

24. 6116

2626623

2

−+−+−sss

ss

25. ( ) ( )32

23

21

9147

−−−+−

ss

sss

PEMBAHASAN

1. f(t) = t2 + 1 = sss

s323

212 +=+

2. f(t) = e2t + 1 =

12

1

+− ts

3. F(s) = 1

2 −ss

12

1

12

1

−=

+ ss

4. ( ) ttf 2sin=

( ) tdttf 2sin' =

du

tu

cos2=

duut .2.cos= ( ) ( )tttf sin2.cos' =

5. ( ) tttf 2sin.= uvvu '' +=

( )( ) ( )ttt 2cos22sin1 += ttt 2cos22sin +=

6. ( ) ttetf 24= '44 utu =→=

'.2 22 vetev tt =→= ( ) uvvutf ''' +=

( ) ( ) ( ) tetetf tt 4.24' 22 +=

( ) tt etetf 222 .8.4' +=

7. ( ) tettf t 2sin. 22 −=

tutu 2'2 =→= tt etvev 22 .2' −− −=→=

ttw 2cos22sin == ( ) uvwuwvvwtutf '''' ++=

( ) ( )( )( ) ( )( )( )ttt ettetettf 2222 22sin2' −−− −+=

( ) tettettettf ttt 2cos..22sin..22sin..2' 22232 −−− +−=