Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah...

of 36 /36
8/25/2012 1 Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham 1 Kuliah Terbuka ppsx beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org 2 Buku-e Analisis Analisis Analisis Analisis Rangkaian Rangkaian Rangkaian Rangkaian Listrik Listrik Listrik Listrik Jilid Jilid Jilid Jilid 2 2 2 tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org Pengantar Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan. 3 Isi Kuliah: 1. Transformasi Laplace 2. Analisis Menggunakan Transformasi Laplace 3. Fungsi Jaringan 4. Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-1 5. Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-2 4

Embed Size (px)

Transcript of Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah...

Page 1: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

1

Analisis Rangkaian ListrikDi Kawasan s

Sudaryatno Sudirham

1

Kuliah Terbukappsx beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

2

Buku-eAnalisisAnalisisAnalisisAnalisis RangkaianRangkaianRangkaianRangkaian ListrikListrikListrikListrik JilidJilidJilidJilid 2222

tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org

PengantarKita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih

sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan

mantap.

Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun

keadaan peralihan.

3

Isi Kuliah:

1. Transformasi Laplace

2. Analisis Menggunakan Transformasi Laplace

3. Fungsi Jaringan

4. Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-1

5. Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-2

4

Page 2: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

2

Transformasi Laplace

5

Perhitungan rangkaian akan memberikan kepada kita hasilyang juga merupakan fungsi s. Jika kita perlu mengetahui

hasil perhitungan dalam fungsi t kita dapat mencari transformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal

dari kawasan s ke kawasan t.

Pada langkah awal kita akan berusaha memahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya.

Melalui transformasi Laplace ini, berbagai bentuk gelombang sinyal di kawasan waktu yang dinyatakan sebagai fungsi t, dapat ditransformasikan ke kawasan s menjadi fungsi s.

Jika sinyal diyatakan sebagai fungsi s, maka pernyataanelemen rangkaian pun harus disesuaikan dan penyesuaian ini

membawa kita pada konsep impedansi di kawasan s.

6

Dalam pelajaran Analisis di Kawasan s, kita akan melakukantransformasi pernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai

suatu integral

∫∞ −=0

)()( dtetfs stF

Fungsi waktu

s adalah peubah kompleks: s = σ + jω

Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal

Transformasi LaplaceDalam pelajaran Analisis Rangkaian di kawasan fasor, kita melakukan

transformasi fungsi sinus (fungsi t) ke dalam bentuk fasor melaluirelasi Euler.

7

Sebelum membahas Taransformasi Laplace lebih lanjut, kita akan mencoba memahami proses apa yang terjadi dalam transformasi ini.

Kita lihat bentuk yang ada di dalam tanda integral, yaitu

tjttjst eetfetfetf ω−σ−ω+σ−− == )()()( )(

Fungsi waktu Eksponensial kompleks

Meredam f(t) jika σ > 0

bentuk sinusoidal

tte tj ω−ω=ω− sincos

8

Jadi perkalian f(t) dengan faktor eksponensial kompleksmenjadikan f(t) berbentuk sinusoidal teredam.

Sehingga integral dari 0 sampai ∞ mempunyai nilai limit, dan bukan bernilai tak hingga.

Kita lihat sekarang Transformasi Laplace

Page 3: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

3

t

ttjtj

ttjtjtjtj

tj

et

eee

eeeee

te

σ−

σ−ω−ω−ω−ω

σ−ω−ω−ω−ω

ω+σ−

ω−ω=

+=

+=ω

)cos(

2

2cos

0

)()(

)(0

00

00

)sin(cos)( ttAeeAeAeAe ttjttjst ω−ω=== σ−ω−σ−ω+σ−−

)sin(cos )(

)()(

ttAe

eAeAeeAeat

tjtatjastat

ω−ω=

==+σ−

ω−+σ−ω++σ−−−

∫∞ −=0

)()( dtetfs stF

Bentuk gelombang sinyal yang kita hadapi dalam rangkaian listriktersusun dari tiga bentuk gelombang dasar yaitu:

(1) anak tangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal

)()( tAutf =

)()( tuetf at−=

)( cos)( tutAtf ω=

sinus teredam

(1)

(2)

(3)

9

Jadi semua bentuk gelombang yang kita temui dalam rangkaianlistrik, setelah dikalikan dengan e−st dan kemudian diintegrasi dari

0 sampai ∞ akan kita peroleh F(s) yang memiliki nilai limit.

Contoh:

Jika f(t) adalah fungsi tetapan f(t) = Au(t)

s

A

s

Ae

s

AdteAsF stst =

−−=−==∞

−∞ −∫ 0 )(

00

Dalam contoh fungsi anak tangga ini, walaupun integrasi memilikinilai limit, namun teramati bahwa ada nilai s yang memberikan nilai

khusus pada F(s) yaitu s = 0. Pada nilai s ini F(s) menjadi takmenentu dan nilai s yang membuat F(s) tak menentu ini disebut pole.

s

AsF =)( Re

Im

0=sX

Posisi pole diberi tanda X

s adalah besaran kompleks. Posisi pole di bidang kompleks dalamcontoh ini dapat kita gambarkan sebagai berikut.

f(t)

0

Au(t)

t

10

f(t) = Ae−αtu(t)Jika f(t) adalah fungsi exponensial

α+=

α+−===

∞α+−∞ α+−∞ −α ∫∫ s

A

s

AeAedteeAsF

tstsstt-

0

)(

0

)(

0 )(

Contoh:

α+=

s

AsF )(

t

f(t)

Ae-at u(t)Untuk s = −α, nilai F(s) menjadi

tak tentu.

s = −α ini adalah pole

Re

Im

α−=sX

Posisi Pole diberi tanda X

Penggambaran padabidang kompleks:

11

Contoh: Jika f(t) adalah fungsi cosinus f(t) = Acosωt u(t)

relasi Euler: 2/)(cos tjtj ee ω−ω +=ω

22)(

0

)(

00 22

2)(

ω+=+=+= −ω−∞−ω∞−∞ ω−ω

∫∫∫ s

Asdte

Adte

Adte

eeAsF tsjtsjst

tjtj

22)(

ω+=

s

AssF

t

f(t)Acosωt u(t)

Untuk s = 0, nilai F(s) menjadinol.

Nilai s ini disebut zero

Untuk s2 = −ω2, atau

nilai F(s) menjadi tak tentu.

Nilai s ini merupakan pole

ω±= jsPenggambaran pada

bidang kompleks

Zero diberi tanda O

Pole diberi tanda X

Re

ImX

X

O

12

Page 4: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

4

Salah satu sifat Transformasi Laplace yang sangat penting adalah

Sifat Unik

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t).

Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan

menggunakan tabel transformasi Laplace .

Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari F(s).

Tabel berikut ini memuat pasangan fungsi f(t) dan fungsi F(s).Walaupun hanya memuat beberapa pasangan, namun untuk

keperluan kita, tabel ini sudah dianggap cukup.

13

ramp teredam : [ t e−at ] u(t)

ramp : [ t ] u(t)

sinus tergeser : [sin (ωt + θ)] u(t)

cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t)

sinus teredam : [e−atsin ωt] u(t)

cosinus teredam : [e−atcos ωt] u(t)

sinus : [sin ωt] u(t)

cosinus : [cos ωt] u(t)

eksponensial : [e−at]u(t)

anak tangga : u(t)

1impuls : δ(t)

Pernyataan Sinyal di Kawasan s L[f(t)] = F(s)

Pernyataan Sinyal di Kawasan t f(t)

s

1

as +1

22 ω+s

s

22 ω+ω

s

( ) 22 ω+++

as

as

( ) 22 ω++ω

as

22

sincos

ω+θω−θ

s

s

22

cossin

ω+θω+θ

s

s

2

1

s

( )21

as +

Tabel Transformasi Laplace

14

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

15

Sifat UnikSifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t).

Dengan kata lainJika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t) adalah V(s), maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk

gelombang V(s) adalah v(t).

16

Page 5: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

5

Sifat LinierKarena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat

linier.

Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi.

Jika maka transformasi Laplace-nya adalah)()()( 2211 tfAtfAtf +=

[ ]

)()(

)()(

)()()(

2211

022

011

02211

sAsA

dttfAdttfA

dtetfAtfAs st

FF

F

+=

+=

+=

∫∫

∫∞∞

∞ −

dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari f1(t) dan f2(t).

Bukti:

17

Fungsi yang merupakan integrasi suatu fungsi t

)()(0

1 dxxftft

∫=Misalkan maka

dttfs

edxxf

s

edtedxxfs

sttststt

∫∫∫ ∫∞ −∞−∞

−−

−=

=0

1

00

1

00

1 )()( )()(F

bernilai nol untuk t = ∞ karena e−st = 0 pada t→∞ ,

bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).

s

sdtetf

sdttf

s

es st

st )( )(

1 )()( 1

0

1

0

1F

F ==−

−= ∫∫∞

−∞ −

Jika , maka transformasi Laplacenya adalahs

ss

)()(

FF = )()(

01 dxxftf

t

∫=

Bukti:

18

Fungsi yang merupakan diferensiasi suatu fungsi

Misalkan dt

tdftf

)()( 1= maka

[ ] ∫∫∞ −∞−∞ − −−==0

1010

1 ))(()()(

)( dtestfetfdtedt

tdfs stststF

bernilai nol untuk t = ∞ karena e−st = 0 untuk t→ ∞

bernilai −f(0) untuk t = 0.

)0()()0()()(

110

1 fssfdtetfsdt

tdf st −=−=

∞ − FL

Jika

maka transformasi Laplacenya adalahdt

tdftf

)()( 1=

)0()()( 11 fsss −= FF

Bukti:

Ini adalah nilai f1(t) pada t = 0

19

Translasi di Kawasan t

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari f(t−a)u(t−a) untuk a > 0

adalah e−asF(s).

Translasi di Kawasan s

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace dari e−αtf(t)

adalah F(s + α).

20

Page 6: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

6

Pen-skalaan ( scaling )

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0 transformasi dari f(at) adalah

a

sF

a

1

Nilai Awal dan Nilai Akhir

0

0

)( lim)(lim :akhir Nilai

)( lim)(lim : awal Nilai

→∞→

∞→+→=

=

st

st

sstf

sstf

F

F

21

konvolusi :

nilai akhir :

nilai awal :

penskalaan :

translasi dis :

translasi di t:

A1F1(s) + A2 F2(s)linier : A1 f1(t) + A2 f2(t)

diferensiasi :

integrasi :

A1F1(s) + A2 F2(s)linier : A1 f1(t) + A2 f2(t)

Pernyataan F(s) =L[f(t)]Pernyataan f(t)

∫t

dxxf0

)(s

s)(F

dt

tdf )()0()( −− fssF

2

2 )(

dt

tfd )0()0()(2 −− ′−− fsfss F

3

3 )(

dt

tfd)0()0(

)0()( 23

−−

′′−−

fsf

fsss F

[ ] )()( atuatf −− )(se as F−

)(tfe at− )( as +F

)(atf

a

s

aF

1

0)(lim

+→ttf

)( lim

∞→sssF

)(lim

∞→ttf

0)( lim

→sssF

dxxtfxft

)()(0

21 −∫ )()( 21 ss FF

Tabel Sifat-Sifat Transformasi Laplace

22

Transformasi LaplaceDiagram pole – zeroTransformasi Balik

23

CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut:

)( 3)( c).

; )()10sin(5)( b).

; )()10cos(5)( a).

23

2

1

tuetv

tuttv

tuttv

t−=

==

Mencari Transformasi Laplace

2

3)( )( 3)( 3

23 +

=→= −

sstuetv t V

a) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [cos ωt] u(t)22

)(ω+

=s

ssF

Penyelesaian:

100

5

)10(

5)()()10cos(5)(

22211 +=

+=→=

s

s

s

sstuttv V

b) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [sin ωt] u(t) 22)(

ω+ω=

ssF

100s

50

)10(

105 )()()10sin(5)(

22222 +=

+×=→=

sstuttv V

c) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [e−at]u(t)as

sF+

= 1)(

24

Page 7: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

7

CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari

ss

s

sAs

ss

5)( c).

24,3)2(

)2()( b).

1

2)( a).

2=

+++

=+

= FFF

Mencari Diagram pole-zero

8,12 di pole )8,1(24,3)2(

024,3)2( 2

jsjs

s

±−=→±=−=+

=++

Re

Im

Re

Im

+j1,8

−2−j1,8

a). Fungsi ini mempunyai pole di s = −1 tanpa zero tertentu.

b). Fungsi ini mempunyai zero di s = −2Sedangkan pole dapat dicari dari

c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 + j0.

Re

Im

×−1

25

Transformasi balik adalah mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui.

Mencari Transformasi Balik

Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya

seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari

transformasi balik setiap uraian.

Hal ini dimungkinkan oleh sifat linier dari transformasi Laplace

Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai, pekerjaan kita

cukup mudah.

26

Bentuk Umum F(s)

)())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKs

−−−−−−=

L

LF

Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole ganda .

Dalam bentuk umum ini jumlah pole lebih besar dari jumlah zero, Jadi indeks n > m

Bentuk umum fungsi s adalah

Jika F(s) memiliki pole yang semuanya berbeda, pi ≠ pj untuk i ≠ j ,

dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana .

Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole kompleks .

27

Fungsi Dengan Pole Sederhana

tpn

tptp nekekektf +++= L2121)(

)()()()())((

)())(()(

2

2

1

1

21

21

n

n

n

m

ps

k

ps

k

ps

k

pspsps

zszszsKs

−++

−+

−=

−−−−−−= L

L

LF

F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana.k1, k2,…..kn di sebut residu.

Jika semua residu sudah dapat ditentukan, maka

Bagaimana cara menentukan residu ?

Apabila F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan sebagai berikut

28

Page 8: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

8

Jika kita kalikan kedua ruas dengan (s − p1),faktor (s− p1) hilang dari ruas kiri,

dan ruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s− p1).

k2 diperoleh dengan mengakalikan kedua ruas dengan (s − p2) kemudian substitusikan s = p2 , dst.

Jika kemudian kita substitusikan s = p1 maka semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k1

1121

12111

)()(

)())((k

pppp

zpzpzpK

n

m =−−

−−−L

L

Cara menentukan residu:

)()()()())((

)())(()(

2

2

1

1

21

21

n

n

n

m

ps

k

ps

k

ps

k

pspsps

zszszsKs

−++

−+

−=

−−−−−−= L

L

LF

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)())(( 1

2

12

1

11

2

21

n

n

n

m

ps

psk

ps

psk

ps

psk

psps

zszszsK

−−++

−−+

−−=

−−−−−

LL

L

Dengan demikian kita peroleh k1

29

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

)3)(1(

4)(

++=

sssF

3

2

1

2)(

+−

++

=ss

sF

)1( +× s)1(

3)3(

4 21 +

++=

+s

s

kk

s

1masukkan −=s 2)31(

41 ==

+−k

)3( +× s2

1 )3(1)1(

4ks

s

k

s++

+=

+

3masukkan −=s 2)13(

42 −==

+−k

tt eetf 322)( −− −=

31)3)(1(

4)( 21

++

+=

++=

s

k

s

k

sssF

30

)3)(1(

)2(4)(

+++=ss

ssF

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

31)3)(1(

)2(4)( 21

++

+=

+++=

s

k

s

k

ss

ssF

)1( +× s)1(

3)3(

)2(4 21 +

++=

++

ss

kk

s

s

1masukkan −=s 2)31(

)21(41 ==

+−+−

k

)3( +× s2

1 )3(1)1(

)2(4ks

s

k

s

s +++

=++

3masukkan −=s 2)13(

)23(42 ==

+−+−

k

3

2

1

2)(

++

+=

sssF tt eetf 322)( −− +=

31

)4)(1(

)2(6)(

+++=

sss

ssF

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

41)4)(1(

)2(6)( 321

++

++=

+++=

s

k

s

k

s

k

sss

ssF

s× 41)4)(1(

)2(6 321 +

++

+=++

+s

sk

s

skk

ss

s

masukkans = 0 3)40)(10(

)20(61 ==

+++

k

)1(4

)1()4(

)2(6 32

1 ++

+++=++

ss

kks

s

k

ss

s

)1( +× s

masukkans = −4

2)41(1

)21(62 −==

+−−+−

k

)4( +× s 321 )4(1

)4()1(

)2(6ks

s

ks

s

k

ss

s +++

++=++

1)14(4

)24(63 −==

+−−+−

k

4

1

1

23)(

+−

++

−+=

ssssF tt eetf 4123)( −− −−=

masukkans = −1

32

Page 9: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

9

Dalam formulasi gejala fisika, fungsi F(s) merupakan rasio polinomial dengan koefisien riil. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang

berbentuk p = −α + jβ, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang berbentuk p* = −α − jβ; sebab jika tidak maka koefisien polinomial

tersebut tidak akan riil.

Jadi untuk sinyal yang secara fisik kita temui, pole kompleks dari F(s) haruslah terjadi secara berpasangan konjugat.

LL +β+α+

+β−α+

+=js

k

js

ks

*)(F

Residu k dan k* juga merupakan residu konjugat sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini dapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian fungsi

dengan pole sederhana.

Fungsi Dengan Pole Kompleks

Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk

33

Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks

LL +β+α+

+β−α+

+=js

k

js

ks

*)(F

LL +θ+β+= α− )cos(2)( tektf

)cos(2 2

2

*)(

)()(

))(())((

)()(

)()(

θ+β=+=

+=

+=

+=

α−θ+β−θ+β

α−

θ+β+α−θ+β−α−

β+α−θ−β−α−θ

β+α−β−α−

ttjtj

t

tjtj

tjjtjj

tjtjk

ekee

ek

ekek

eekeek

ekketf

adalah

34

CONTOH: Carilah transformasi balik dari

)84(

8)(

2 ++=

ssssF

222

32164js ±−=−±−=Memberikan pole

sederhana di s = 0 memberi pole

kompleks

2222)84(

8)( 221

2 js

k

js

k

s

k

ssss

+++

−++=

++=

∗F

2

2

88

8

)22(

8)22(

)84(

8

)4/3(

222222

π

+−=+−=

=−−

=

++=−+×

++=→

j

jsjs

ej

jssjs

sssk

)4/3(2 2

2 π−∗ =→ jek

[ ] )4/32cos(2)( 2

2)(

2

2

2

2)(

2)24/3()24/3(2

)22()4/3()22()4/3(

π++=++=

++=

−+π−+π−

+−π−−−π

tetueeetu

eeeetuf(t)

ttjtjt

tjjtjj

18

8

)84(

8

021 ==×

++=→

=s

ssss

k

35

Pada kondisi tertentu, F(s) dapat mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti contoh sebelumnya.

221

1

))((

)()(

psps

zsKs

−−−=F

pole ganda

−−−

−=

))((

)(1)(

21

1

2 psps

zsK

pssF

pole sederhana

)()( 2

2

1

1

ps

k

ps

k

−+

Fungsi Dengan Pole Ganda

36

Uraikan menjadi:

Page 10: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

10

22

2

212

1

2

2

1

1

2 )())((

1)(

ps

k

psps

k

ps

k

ps

k

pss

−+

−−=

−+

−−=F

22

2

2

12

1

11

)()(

ps

k

ps

k

ps

ks

−+

−+

−=F

tptptp tekekektf 22121211)( ++=

37

Maka:

sehingga:

CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi: 2)2)(1(

)(++

=ss

ssF

2)1(

1)2(21)2(

1

)2)(1()2(

1

)2)(1()(

22

11

21

2

=+

=→−=+

=→

++

++=

+++=

++=

−=−= ss s

sk

s

sk

s

k

s

k

s

ss

s

sss

ssF

21211

2

)2(

2

21

)2(

2

)2)(1(

1

2

2

1

1

)2(

1)(

++

++

+=

++

++−=

++

+−

+=⇒

ss

k

s

k

sssssssF

11

1 1

2

1

212

111 =

+−=→−=

+−=→

−=−= ss sk

sk

)2(

2

2

1

1

1)(

2++

++

+−

=⇒sss

sF ttt teeetf 22 2)( −−− ++−=

38

Analisis Rangkaian ListrikMenggunakan

Transformasi Laplace

39

Kita mengetahui hubungan tergangan-arus di kawasan waktupada elemen-elemen R, L, dan C adalah

∫==

=

=

dtiC

vdt

dvCi

dt

diLv

Riv

cCC

C

LL

RR

1atau

Dengan melihat tabel sifat-sifat transformasi Laplace, kitaakan memperoleh hubungan tegangan-arus elemen-elemendi kawasan s sebagai berikut:

40

Hubungan Tegangan-Arus Elemen

di Kawasan s

Page 11: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

11

Resistor: )( )( sRs RR IV =

Induktor: )0()()( LLL LissLs −= IV

Kapasitor:s

v

sC

ss CC

C)0()(

)( +=I

V

Kondisi awal

Kondisi awal adalah kondisi elemensesaat sebelum peninjauan.

41

Konsep Impedansi di Kawasan s

Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di kawasan s dengan kondisi awal nol

sCsC

sZsL

sL

sZR

s

sZ C

CL

LR

RR

1

)(

)( ;

)(

)( ;

)(

)( ======I

V

I

V

I

V

Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana.

)(1

; (s))( ; (s))( ssC

sLsRs CCLLRR IVIVIV ===

Admitansi , adalah Y = 1/Z

sCYsL

YR

Y CLR === ; 1

; 1

42

Representasi Elemen di Kawasan s

R

IR (s)+

VR(s)

−+

sL

LiL(0)

+

VL (s)

IL (s)

+−

+

VC (s)

IC (s)

s

vC )0(

Representasi dengan Menggunakan Sumber Tegangan

Elemen R, L, dan C di kawasan s, jika harus memperhitungkanadanya simpanan energi awal pada elemen, dapat dinyatakan

dengan meggunakan sumber tegangan atau sumber arus.

Kondisi awal

)( )( sRs RR IV = )0()()( LLL LissLs −= IVs

v

sC

ss CC

C)0()(

)( +=I

V

43

Jika Kondisi awal = 0

R

IR (s)+

VR(s)

sL

+

VL (s)

IL (s) +

VC (s)

IC (s)

)( )( sRs RR IV = )()( ssLs LL IV =sC

ss C

C)(

)(I

V =

Jika simpanan energi awal adalah nol, maka sumbertegangan tidak perlu digambarkan.

44

Page 12: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

12

R

IR (s)+

VR(s)

IL (s)

+VL (s)

sL

s

iL )0( CvC(0)

IC (s)

+VC (s)

−sC

1

)( )( sRs RR IV =

−=s

issLs L

LL)0(

)()( IV ( ))0()(1

)( CCC CvssC

s += IV

Representasi dengan Menggunakan Sumber Arus

Kondisi awal

Jika Kondisi awal = 0

R

IR (s)+

VR(s)

sL

+

VL (s)

IL (s) +

VC (s)

IC (s)

)( )( sRs RR IV = )()( ssLs LL IV =sC

ss C

C)(

)(I

V =45

Transformasi Rangkaian

Representasi elemen dapat kita gunakan untuk mentransformasi rangkaian ke kawasan s.

Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan

mengandung simpanan energi awal atau tidak.

Jika tidak ada simpanan energi awal, maka sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi

elemen tidak perlu kita gambarkan.

46

Saklar S pada rangkaian berikut telah lama ada di posisi 1. Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2 sehingga rangkaian RLC seri terhubung ke sumber tegangan 2e−3t V. Transformasikan rangkaian ke kawasan s untuk t > 0.

1/2 F1 H3 Ω

2e−3t V+vC

S1

2+−

+−8 V

s3

+− +

+

VC(s)

−3

2

+s

s

2

s

8

tegangan awal kapasitor = 8/s

tegangan kapasitor

CONTOH:

Saklar S telah lama ada di posisi 1 dan sumber 8 V

membuat rangkaian memilikikondisi awal, yaitu

vC0 = 8 V daniL0 = 0

arus awal induktor = 0

Transfor-masi

Kondisi awal akan nol jika rangkaiannnya adalah sepeti beri kut

47

1

1/2 F1 H3 Ω

2e−3t V+vC

S

2+−

Saklar S telah lama ada di posisi 1 dan tak ada sumber tegangan,

maka kondisi awal = 0vC0 = 0 V dan

iL0 = 0

s3

+−

+

VC(s)

−3

2

+s s

2

Transfor-masi

tegangan kapasitorarus awal induktor = 0

tegangan awal kapasitor = 0

48

Page 13: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

13

Hukum arus Kirchhoff (HAK) dan hukum tegangan Kirchhof f (HTK) berlaku di kawasan s

∑=

=n

kk ti

1

0)(

0)()()(11

001

==

=

∑∑ ∫∫ ∑==

∞ −∞ −

=

n

kk

n

k

stk

stn

kk sdtetidteti I

0)(1∑

=

=n

kk tv

0)( )()( 11

001

==

=

∑∑ ∫∫ ∑

==

∞ −∞ −

=

n

kk

n

k

stk

stn

kk sdtetvdtetv V

HAK di Kawasan t :

HAK di Kawasan s

HTK di Kawasan t :

HTK di Kawasan s

49

Hukum Kirchhoff

Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus

∑∑ == kparalelekivkseriekiv YYZZ ;

)()( ; )()(

sZ

Zss

Y

Ys total

seriekiv

kktotal

paralelekiv

kk VVII ==

CONTOH: Carilah VC(s) pada rangkaian impedansi seri RLC berikut ini

)()2)(1(

2 )(

23

2)(

23

/2)(

2s

sss

sss

ss

ss inininR VVVV

++=

++=

++=

s3+−

+VC (s)−

Vin (s)s

2

50

Kaidah-Kaidah Rangkaian

Misalkan Vin(s) = 10/s

21)2)(1(

20)( 321

++

++=

++=

s

k

s

k

s

k

ssssCV

Inilah tanggapan rangkaian RLC seri dengan R = 3Ω , L = 1H, C = 0,5 Fdan sinyal masukan anak tangga

dengan amplitudo 10 V.

ttC

C

eetv

ssss

2102010)(

2

10

1

2010)(

−− +−=⇒

++

+−+=⇒V

10)1(

20

; 20)2(

20

; 10)2)(1(

20

23

12

01

=+

=

−=+

=

=++

=→

−=

−=

=

s

s

s

ssk

ssk

ssk

s3+−

+VC (s)−

Vin (s)s

2

51

Prinsip Proporsionalitas

)()( sKs s XY =Ks

Y(s)X(s)

sLR+− 1/sCVin (s)

)(1

)()/1(

)(2

sRCsLCs

RCss

sCsLR

Rs ininR VVV

++=

++=

CONTOH:

Hubungan linier antaramasukan dan keluaran

52

Teorema Rangkaian

Page 14: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

14

Prinsip Superposisi

⋅⋅⋅+++= )()()()( 332211o sKsKsKs sss XXXY

Ks

Yo(s)X1(s)

X2(s)

Ks1

Y1(s) = Ks1X1(s)X1(s)

Ks2

Y2(s) = Ks2X2(s)X2(s)

)()()( 2211o sKsKs ss XXY +=

Keluaran rangkaian yang mempunyai beberapa masukanadalah jumlah keluaran dari setiap masukan sendainya

masukan-masukan itu bekerja sendiri-sendiri

53

Teorema Thévenin dan Norton

)(

)(1

)(

)()( ;)()()(

s

s

YZ

Z

sssZsss

N

T

NT

T

ThsNTNhtT

IV

VIIIVV

==

====

CONTOH: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian impedansi berikut ini.

+−

BEBAN

R

sC

122 ω+s

s

))(/1(

/

)/1(

/1)()(

2222 ω++=

ω++==

sRCs

RCs

s

s

sCR

sCss htT VV

)/1(

1

/1

/)/1(||

RCsCsCR

sCRRCRZT +

=+

==

+−

BEBAN

ZTTV

Tegangan Thévenin Arus Norton

Impedansi Thévenin

54

Metoda Unit OutputCONTOH: Dengan menggunakan metoda unit output , carilah

V2(s) pada rangkaian impedansi di bawah ini

sL

R 1/sCI1(s)+V2(s)−

IC (s)IR (s)

IL (s)

2

22

)( )()(

/1

1)( 1)()( 1)( :Misalkan

LCssCsLssCss

sCsC

ssss

LCL

CC

=×=→==→

==→==→=

VII

IVVV

)(1

)()(

1)(

1

11)()()(

1)( 1)()()(

1212

2*1

22*1

22

sRCsLCs

RsKs

RCsLCs

R

sIK

R

RCsLCssC

R

LCssss

R

LCssLCssss

s

s

LR

RCLR

IIV

III

IVVV

++==⇒

++==⇒

++=+

+=+=⇒

+=→+=+=→

55

Metoda Metoda AnalisisMetoda Superposisi

CONTOH: Dengan menggunakan metoda superposisi , carilah tegangan induktor vo(t) pada rangkaian berikut ini.

+− BsinβtAu(t)

R

L

+vo

R

+−

RsL

+Vo1

Rs

A

+−

R

sL+Vo

Rs

A22 β+

βs

B

RsL

+Vo2

R22 β+

βs

B

LRs

A

AsLR

L

s

A

sLR

RLsR

sLR

RLs

s

sLR

RLsZ RL

2/

2/

2)(

o1

//

+=

+=

++

+=⇒

+=→

V

))(2/(22

111/1

)()(

2222

22o2

β++β=

β+β×

+=

β+β

×++

×=×=

sLRs

sRB

s

B

RsL

sRL

s

B

sLRR

sLsLsIsLs LV

56

Page 15: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

15

θ−

−θ

β−=

−=

β+=→

β+=θβ+

=β−

=β−+

=→

β+−=

β+=→

β−+

β++

+β+

+=+=⇒

j

j

js

LRs

eLR

k

LRe

LRjLRjsLRs

sk

LR

LR

s

sk

js

k

js

k

LRs

kRB

LRs

Asss

223

1

222

222/

221

321o2o1o

4)/(

1

/

2tan ,

4)/(

1

2/

1

))(2/(

)2/(

)2/(

)(

2/22/

2/)()()( VVV

( )

+β+

+

β+−

β+=⇒θ−βθ−β−

)()(

22

222

2o

4)/(

1

)2/(

)2/(

22)(

tjtj

tL

R

tL

R

eeLR

eLR

LR

RBe

Atv

)cos(4)/(42

)(22

222

2

o θ−ββ+

β+

β+β

−=⇒−

tLR

RBe

LR

BRAtv

tL

R

LRs

As

2/

2/)(o1 +

=⇒ V))(2/(2

)( 22o2 β++β=

sLRs

sRBsV

57

Metoda Reduksi Rangkaian

CONTOH: Dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian carilah tegangan induktor vo(t) pada rangkaian berikut ini

+−

R

sL+Vo

Rs

A22 β+

βs

B

R sL+Vo

R22 β+

βs

B

sR

A

R/2sL

+Vo

− sR

A

s

B +β+

β22

R/2sL

+Vo

+−

+

β+β

sR

A

s

BR222

+

β+β×

+=

sR

A

s

BR

RsL

sLs

22o 22/)(V

))(2/(

)2/(

2/

2/)(

22oβ++

β+

+=

sLRs

sRB

LRs

AsV

58

Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin

CONTOH: Cari tegangan induktor dengan menggunakan rangkaian ekivalen Thévenin.

+−

R

sL+Vo

Rs

A22 β+

βs

B +−

RR

s

A22 β+

βs

B

22

22

2/2/

2

1)()(

β+β

+=

β+β

××+×+

==

s

RB

s

A

s

BR

s

A

RR

Rss htT VV

2

RZT =+

ZT

sL+Vo

−VT

))(2/(

)2/(

2/

2/

2/2/

2/)()(

22

22o

β++β

++

=

β+β

++

=+

=

sLRs

sRB

LRs

A

s

RB

s

A

RsL

sLs

ZsL

sLs T

TVV

59

Metoda Tegangan Simpul

+−

R

sL

+Vo

Rs

A22 β+

βs

B

CONTOH: Cari tegangan induktor dengan menggunakan metoda tegangan simpul.

01111

)(22o =

β+β

−−

++s

B

s

A

RsLRRsV

))(2/(

)2/(

2/

2/

2

)(

atau 2

)(

22

22o

22o

β++β

++

=

β+β

++

=

β+β

+=

+

sLRs

sRB

LRs

A

s

B

Rs

A

RLs

RLss

s

B

Rs

A

RLs

RLss

V

V

60

Page 16: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

16

Metoda Arus Mesh

CONTOH: Pada rangkaian berikut ini tidak terdapat simpanan energi awal. Gunakan metoda arus mesh untuk menghitung i(t)

+− 10kΩ

10mH1µF10 u(t)

i(t)10kΩ

+−

1041040.01s

I(s)

IA IB

ss

10)(1 =V s

610

( ) 010)(

101010)(

010)(1001.0)(10

46

44

44

=×−

++

=×−++−

ss

s

ssss

AB

BA

II

II

( ))(

102)(

2s

s

ss BA II

+=

61

( )( )

))((

10

101002,0

10

101010202,0

10)()(

010)()(102

1001.010

642

4642

42

4

β−α−=

++=

−++×+==⇒

=×−+++−⇒

ssss

ssssss

sss

ss

s

B

BB

II

II

[ ] mA 02,0)(

102100

10 ; 102

500000

10

50000100)500000)(100(

10)(

500000100

5

5000002

5

1001

21

tt

ss

eeti

sk

sk

s

k

s

k

sss

−−

−=

−=

−=⇒

×−=+

=×=+

=

++

+=

++=⇒ I

50000004,0

1081010

; 10004,0

1081010

484

484

−≈×−−−=β

−≈×−+−=α

62

Fungsi Jaringan

63

Bahasan kita berikut ini adalahmengenai Fungsi Jaringan

Fungsi Jaringan merupakan fungsi s yang merupakan karakteristik rangkaian dalam

menghadapi adanya suatu masukan ataupunmemberikan relasi antara masukan dan keluaran.

Pengertian Dan Macam Fungsi Jaringan. Peran Fungsi Alih. Hubungan Bertingkat Kaidah Rantai

Bahasan akan mencakup

64

Page 17: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

17

Fungsi Jaringan

Prinsip proporsionalitas berlaku di kawasan s. Faktor proporsionalitas yang menghubungkan keluaran dan

masukan berupa fungsi rasional dalam sdan disebut fungsi jaringan (network function).

)(Masukan Sinyal

)( Nol Status Tanggapan Jaringan Fungsi

s

s=

Definisi ini mengandung dua pembatasan, yaitu a) kondisi awal harus nol dan b) sistem hanya mempunyai satu masukan

65

Pengertian dan Macam Fungsi Jaringan

Fungsi jaringan yang sering kita hadapi ada dua bentuk, yaitu

fungsi masukan (driving-point function) dan

fungsi alih (transfer function)

Fungsi masukan adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang (port) dengan masukan di gerbang yang sama.

Fungsi alih adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang dengan masukan pada gerbang yang berbeda.

66

Fungsi Masukan

)(

)()( ;

)(

)()(

s

ssY

s

ssZ

V

I

I

V ==

impedansi masukan admitansi masukan

Fungsi Alih

)(

)()( :Alih Impedansi

;)(

)()( :Alih Admitansi

)(

)()( : ArusAlih Fungsi

; )(

)()( :Tegangan Alih Fungsi

o

o

o

o

s

ssT

s

ssT

s

ssT

s

ssT

inZ

inY

inI

inV

I

V

V

I

I

I

V

V

=

=

=

=

67

CONTOH: Carilah impedansi masukan yang dilihat oleh sumber pada rangkaian-rangkaian berikut ini

RCs

RZ

R

RCsCs

RY

Cs

RCs

CsRZ

in

in

in

+=⇒

+=+=

+=+=

1

11 b).

; 11

a).

a).

R+− Vs(s)

RIs(s)

b).

Cs

1Cs

1

68

Page 18: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

18

Carilah fungsi alih rangkaian-rangkaian berikutCONTOH:

a).

R+Vin(s)

+Vo(s)− R

Iin(s)

b).

Io(s)

sRCsCR

R

s

ssT

RCsCsR

Cs

s

ssT

inI

inV

+=

+==

+=

+==

1

1

/1

/1

)(

)()( b).

; 1

1

/1

/1

)(

)()( a).

o

o

I

I

V

V

69

Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di bawah ini

CONTOH:

R1R2

L

C

+vin

+vo

Transformasi ke kawasan s

R1R2

Ls

1/Cs

+Vin(s)

+Vo (s)−

( ) ( )

1)(

))(1(

/1

))(/1(

||/1

212

21

21

21

21

+++++

=

+++++

=

++=

CsRRLCs

RLsCsR

LsRCsR

RLsCsR

RLsCsRZin

2

2o

)(

)()(

RLs

R

s

ssT

inV +

==V

V

70

CONTOH:

Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di samping ini −

+

R2

+vin

+vo

R1

C1C2

Transformasi rangkaian ke kawasan s

+

R2

+Vin(s)

+Vo(s)−

R1

1/C1s 1/C2s( )1/1

//1||

11

1

11

1111 +

=+

==sCR

R

sCR

sCRsCRZin

1

1

1

1

)/1(||

)/1(||

)(

)()(

22

11

1

2

1

11

22

2

11

22

1

2o

++

−=

+−=

−=−==

sCR

sCR

R

R

R

sCR

sCR

R

sCR

sCR

Z

Z

s

ssT

inV V

V

71

CONTOH:

1MΩ

1µF

µvx

A

+vs

+vx

+ vo1MΩ1µF

+−

106

106/s

µVx

A +Vx

+ Vo(s)106

106/s+−

+Vs(s)

Persamaan tegangan untuk simpul A: ( )0

10

1010

101010

6

66

666

=

µ−

−−

++

−−

−−−

x

xin

A

s

s

V

VV

V

1)3(

1

)122(

atau 0)2)(1(

)1(1

1

/1010

/10 : sedangkan

2

2

66

6

+µ−+=⇒

=µ−−+++

=µ−−−++⇒

+=→+

=

+=

ss

ssss

sss

ss

s

s

in

x

inx

xxinx

xAA

Ax

V

V

VV

VVVV

VVV

VV

sss

s

s

ssT

s

x

sV

1)3()(

)(

)(

)()(

2o

+µ−+

µ=

µ==

V

V

V

VFungsi alih :

72

Page 19: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

19

Peran Fungsi Alih

Dengan pengertian fungsi alih, keluaran dari suatu rangkaian di kawasan s dapat dituliskan sebagai

.kawasan di nol) status (tanggapankeluaran : )(

kawasan dimasukan sinyal pernyataan : )(

alih fungsiadalah )(dengan ; )()()(

ss

ss

sTssTs

Y

X

XY =

011

1

011

1

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sa

sbsT

nn

nn

mm

mm

++⋅⋅⋅⋅⋅+

++⋅⋅⋅⋅⋅+==

−−

−−

)())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsT

−⋅⋅⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅⋅⋅−−=

Fungsi alih T(s) akan memberikan zero di z1 …. zm

pole di p1 …. pn .

T(s) pada umumnyaberbentuk rasio polinom

Rasio polinom inidapat dituliskan:

73

Pole dan zero yang berasal dari T(s) disebut pole alami dan zero alami, karena mereka ditentukan semata-mata oleh parameter

rangkaian dan bukan oleh sinyal masukan;

Pole dan zero yang berasal dari X(s) disebut pole paksa dan zero paksa karena mereka ditentukan oleh fungsi pemaksa (masukan).

Pole dan zero dapat mempunyai nilai riil ataupun kompleks konjugat karena koefisien dari b(s) dan a(s) adalah riil.

Sementara itu sinyal masukan X(s) juga mungkin mengandung zero dan pole sendiri. Oleh karena itu sinyal keluaran Y(s) akan mengandung pole dan zero yang dapat

berasal dari T(s) ataupun X(s).

74

CONTOH:

106

106/s

µVx

A +Vx

+ Vo(s)106

106/s+−

+Vs(s)

Jika vin = cos2t u(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran Vo(s) untuk µ = 0,5

4)(

2 +=

s

ssinV

Fungsi alih : ss ss

sTV15,2

5,0

1)3()(

22 ++=

+µ−+µ=

)2)(2()5,0)(2(

5,0

415,2

5,0)()()(

22o

jsjs

s

ss

s

s

ssssTs inV

−+++=

+++== VV

Pole dan zero adalah :

riil alami : 5.0

riil alami : 2

poles

poles

−=−=

imajiner paksa : 2

imaginer paksa : 2

riil paksa satu : 0

polejs

polejs

zeros

+=−=

=

75

Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Impuls

Impuls dinyatakan dengan x(t) = δ(t). Pernyataan sinyal ini di kawasan s adalah X(s) = 1

)(1)()()()(o ssTssTs HXV =×==

Vo(s) yang diperoleh dengan X(s) = 1 ini disebut H(s) agar tidak rancu dengan T(s).

Karena X(s) = 1 tidak memberikan pole paksa, maka H(s) hanya akan mengandung pole alami.

Keluaran di kawasan t, vo(t) = h(t),diperoleh dengan transformasi balik H(s).

Bentuk gelombang h(t) terkait dengan poleyang dikandung oleh H(s). Pole riil akan

memberikan komponen eksponensial pada h(t); pole kompleks konjugat (dengan bagian riil negatif ) akan memberikan komponen sinus teredam pada h(t).

Pole-pole yang lain akan memberikan bentuk-bentuk h(t) tertentu yang akan kita

lihat melalui contoh berikut.

76

Page 20: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

20

Jika sinyal masukan pada rangkaian dalam contoh-3.5 adalah vin = δ(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran untuk nilai µ = 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, 5.

CONTOH:

106

106/s

µVx

A +Vx

+ Vo(s)106

106/s+−

+Vs(s)

1)3()(

2 +µ−+µ

=ss

sTVDengan masukan vin = δ(t) berarti Vin(s) = 1, maka keluaran rangkaian adalah :

1)3()(

2 +µ−+µ

=ss

sH

5,0dan 2 di riil dua 502

50

152

50)(5,0

2−=−=⇒

++=

++=⇒=µ sspole

),)(s(s

,

s,s

,sH

1 di riil dua )1(

5,0

12

1)(1

22−=⇒

+=

++=⇒=µ spole

ssssH

2/35,0 di kompleks dua )2/35,0)(2/35,0(

2

1

2)(2

2jspole

jsjssss ±−=⇒

++−+=

++=⇒=µ H

1 di imajiner dua )1)(1(

3

1

3)(3

2jspole

jsjsss ±=⇒

−+=

+=⇒=µ H

2/35,0 di kompleks dua )2/35,0)(2/35,0(

4

1

4)(4

2jspole

jsjssss ±=⇒

+−−−=

+−=⇒=µ H

1 di riil dua )1(

5

12

5)(5

22=⇒

−=

+−=⇒=µ spole

ssssH

77

Contoh ini memperlihatkan bagaimana fungsi alih menentukan bentuk gelombang sinyal keluaran melalui pole-pole yang dikandungnya.

Berbagai macam pole tersebut akan memberikan h(t) dengan perilaku sebagai berikut.

µ = 0,5 : dua pole riil negatif tidak sama besar; sinyal keluaran sangat teredam.

µ = 1 : dua pole riil negatif sama besar ; sinyal keluaran teredam kritis.

µ = 2 : dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil negatif ; sinyal keluaran kurang teredam, berbentuk sinus teredam.

µ = 3 : dua pole imaginer; sinyal keluaran berupa sinus tidak teredam.

µ = 4 : dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil positif ; sinyal keluaran tidak teredam, berbentuk sinus dengan amplitudo makin besar.

µ = 5 : dua pole riil posistif sama besar; sinyal keluaran eksponensial dengan eksponen positif; sinyal makin besar dengan berjalannya t.

78

Posisi pole dan bentuk gelombang keluaran

79

Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Anak Tangga

Transformasi sinyal masukan yang berbentuk gelombang anak tangga x(t) = u(t) adalah X(s) = 1/s. Jika fungsi alih adalah T(s) maka sinyal keluaran adalah

s

sTssTs

)()()()( == XY

Tanggapan terhadap sinyal anak tangga ini dapat kita sebut

s

s

s

sTs

)()()(

HG ==

Karena H(s) hanya mengandung pole alami, maka dengan melihat bentuk G(s)kita segera mengetahui bahwa tanggapan terhadap sinyal anak tangga di kawasan s akan mengandung satu pole paksa disamping pole-pole alami.

Pole paksa ini terletak di s = 0 + j0 (lihat gambar)

80

Page 21: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

21

1

2)(

2 ++=

sssTV

sjsjsssss

)2/35,0)(2/35,0(

21

)1(

2)(

2 ++−+=

++=G

Dengan µ = 2 fungsi alihnya adalah

Dengan sinyal masukan X(s) = 1/s , tanggapan rangkaian adalah

CONTOH:

Jika µ = 2 dan sinyal masukan berupa sinyal anak tangga, carilah pole dan zero sinyal keluaran dalam rangkaian contoh-3.7,

Dari sini kita peroleh :

00 di paksa satu : 0

negatif riilbagian dengan

konjugat kompleks dua : 2/35,0

jpole s

polejs

+=

±−=

81

CONTOH: R1+Vin− 1/Cs

+Vo−

R2

Ls +Vo−

+Vin−

1

1

/1

/1)(

111 +

=+

=CsRCsR

CssTV LsR

RsTV +

=2

22 )(

R1+Vin− 1/Cs R2

Ls +Vo−

++++

++

=

+

+++

+++

+=

+++

+=

)()(

/1

)(/1

/1

)(/1

)(||/1

)(||/1)(

2122

2

2

2

12

2

2

2

2

2

12

2

2

2

RRsCRLLCs

LsR

LsR

R

RLsRCs

LsRCs

LsRCs

LsRCs

LsR

R

RLsRCs

LsRCs

LsR

RsTV

Hubungan Bertingkat

dan

Dua Rangkaiandihubungkan

82

Fungsi alih dari rangkaian yang diperoleh dengan menghubungkan kedua rangkaian secara bertingkat tidak serta merta merupakan perkalian fungsi alih

masing-masing.

Hal ini disebabkan terjadinya pembebanan rangkaian pertama oleh rangkaian kedua pada waktu mereka dihubungkan. Untuk mengatasi hal ini kita dapat menambahkan rangkaian penyangga di antara kedua rangkaian sehingga

rangkaian menjadi seperti di bawah ini.

R1+Vin−

1/Cs R2

Ls +Vo−

+−

Vo(s)Vin(s)TV1

TV11Vo1 Vo1

Diagram blok rangkaian ini menjadi :

83

Jika suatu tahap tidak membebani tahap sebelumnya berlakukaidah rantai .

Oleh karena itu agar kaidah rantai dapat digunakan, impedansi masukan harus diusahakan sebesar mungkin, yang dalam

contoh diatas dicapai dengan menambahkan rangkaian penyangga.

Dengan cara demikian maka hubungan masukan-keluaran total dari seluruh rangkaian dapat dengan mudah diperoleh jika

hubungan masukan-keluaran masing-masing bagian diketahui.

T1(s)Y1(s) T2(s) Y(s)X(s)

)()()()( 11 sTsTsTsT VkVVV ⋅⋅⋅⋅=

Kaidah Rantai

84

Page 22: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

22

85

Kita akan membahas tanggapan frekuensi darirangkaian orde-1 dan orde-2

Persoalan tanggapan rangkaian terhadap perubahannilai frekuensi

tanggapan rangkaian terhadap sinyal yang tersusun dari banyak frekuensi

atau

timbul karena impedansi satu macam rangkaianmempunyai nilai yang berbeda untuk frekuensi yang

berbeda

86

Rangkaian Orde-1

87

Dalam analisis rangkaian di kawasan s kita lihat bahwapernyataan di kawasan s dari sinyal di kawasan waktu

)cos()( θ+ω= tAtx

22

sincos)(

ω+θω−θ=

s

sAsX

adalah

Jika T(s) adalah fungsi alih dari suatu rangkaian, maka tanggapan rangkaiantersebut adalah

)())((

sincos

)(sincos

)()()(22

sTjsjs

sA

sTs

sAssTs

ω+ω−θω−θ=

ω+θω−θ== XY

Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap

88

Page 23: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

23

memberikan pole paksa

memberikan pole alami )())((

sincos

)(sincos

)()()(22

sTjsjs

sA

sTs

sAssTs

ω+ω−θω−θ

=

ω+θω−θ

== XY

n

n

ps

k

ps

k

ps

k

js

k

js

ks

−+⋅⋅⋅+

−+

−+

ω++

ω−=

2

2

1

1*

)(Y

Tanggapan rangkaian ini dapat kita tuliskan

komponen transien yang biasanyaberlangsung hanya beberapa detik

komponen mantapyang kita manfaatkan

Dengan menghilangkankomponen transien kitaperoleh tanggapan mantap di kawasan s yaitu

ω++

ω−=′

js

k

js

ks

*

)(Y

89

ω++

ω−=′

js

k

js

ks

*

)(Y

Nilai k persamaan ini dapat kita cari dari

)(2

sincos

)()(

sincos)()(

ωθ+θ=

ω+θω−θ=ω−=

ω=ω=

jTj

A

sTjs

sAsjsk

jsjs

Y

)())((

sincos)()()( sT

jsjs

sAssTs

ω+ω−θω−θ== XY

sehingga )()(2

)(2

ϕ+θϕθ

ω=ω= jjj

ejTA

ejTe

Ak

Ini adalah suatu pernyataan kompleksyang dapat ditulis

ϕω=ω jejTjT )()(

90

ω+ω

+

ω−ω

=

ω+ω

+ω−

ω=

ω++

ω−=′

ϕ+θ−ϕ+θ

ϕ+θ−ϕ+θ

jse

jTA

jse

jTA

ejs

jTAe

js

jTA

js

k

js

ks

jj

jj

1

2

)(1

2

)(

)(

2

)(

2

)(

)()(

)()(

*

Y

Tanggapan keadaan mantap rangkaian di kawasan s menjadi

Dari tabel transformasi Laplace kita lihat

assF

+= 1

)(Jika f(t) = e−at maka

Oleh karena itu tanggapan mantap di kawasan t menjadi

( )ϕ+θ+ωω=

+ω=

ω+

ω=

ϕ−θ−ω−ϕ+θ+ω

ϕ−θ−ω−ϕ+θ+ω

tjTA

eejTA

ejTA

ejTA

ty

tjtj

tjtjtm

cos)(

2

)(

2

)(

2

)( )(

91

Persamaan tanggapan di kawasan waktu ini menunjukkan bahwa rangkaianyang mempunyai fungsi alih T(s) dan mendapat masukan sinyal sinus, akan

memberikan tanggapan yang:

Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi sinyalmasukan tetapi amplitudo maupun sudut fasanya berubah dan

perubahan ini tergantung dari frekuensi

• berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi• amplitudo sinyal berubah dengan faktor |T(jω)|• sudut fasa sinyal berubah sebesar sudut dariT(jω),

yaitu ϕ.

( )ϕ+θ+ωω== tjTAtytm cos)( )(

92

Page 24: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

24

Carilah sinyal keluaran keadaan mantap dari rangkaian di samping ini jika masukannya adalah vs = 10√√√√2cos(50t + 60o) V.

CONTOH:

Penyelesaian:

Transformasi rangkaian ke kawasan s

Fungsi alih rangkaian ini

50

50

1002

100)(

+=

+=

sssTV

Karena ω = 50 , maka

o

1

45

)50/50(tan22 2

1

5050

50

5050

50)50( j

jV e

ejjT −=

+=

+=

Jadi keluaran keadaan mantap:

)1550cos(10)456050cos(2

210)( ooo

o +=−+= tttv

93

Fungsi Gain dan Fungsi Fasa

Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(jω)| disebut fungsi gain

Pengubah fasa ϕ disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ϕ(ω)

Baik fungsi gain maupun fungsi fasa merupakan fungsi frekuensi

Jadi kedua fungsi tersebut menunjukkan bagaimana amplitudo dan sudut fasa sinyal sinus dari tanggapan rangkaian berubah terhadap perubahan frekuensi atau dengan singkat disebut

sebagai

tanggapan frekuensi

94

Pernyataan Tanggapan Frekuensi

Selidikilah perubahan gain dan sudut fasaterhadap perubahan frekuensi dari rangkaianorde pertama di samping ini

Penyelesaian:

1000

500)( : rangkaian alih fungsi

+=

ssTV

Berikut ini kita gambarkan perubahan gain dan perubahan sudut fasa

1000

500)( : fungsi

22 ω+=ω⇒ jTgain V

1000tan)( : fasa fungsi 1 ω−=ωϕ⇒ −

1000

500)(

+ω=ω⇒

jjTV

CONTOH:

95

Pada frekuensi rendah terdapat gain tinggi yang relatif konstan;

pada frekuensi tinggi, gain menurun dengan cepat

Pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah tetapi kemudian cepat

menurun mulai suatu frekuensi tertentu

-90

-45

01 10 100 1000 10000 1E+05

ϕ [o]

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05ω

Gain

1000

500)( :

22 ω+=ω⇒ jTgain V

1000tan)( : fasa 1 ω−=ωϕ⇒ −

Perhatikan bahwa sumbufrekuensi dibuat dalam skala

logaritmik

96

Page 25: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

25

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05ω

Gainpassband stopband

ωC

0.5/√2

Gain tinggi di daerah frekuensi rendah padacontoh ini menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami perubahan

amplitudo dengan faktor tinggi

Gain rendah di frekuensi tinggi menunjukkanbahwa sinyal yang berfrekuensi tinggi

mengalami perubahan amplitudo denganfaktor rendah

Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggidisebut passband sedangkan daerah

frekuensi dimana terjadi gain rendah disebutstopband

Nilai frekuensi yang menjadi batasantara passband dan stopband disebut

frekuensi cutoff , ωC.

Nilai frekuensi cutoff biasanya diambilnilai frekuensi dimana gain menurun

dengan faktor 1/√2 dari gain maksimumpada passband.

Gain

97

Dalam contoh di atas, rangkaian mempunyai satu passband

yaitu dari frekuensi ω = 1 sampai frekuensi cuttoff ωC , dan

satu stopbandyaitu mulai dari frekuensi cutoff ke atas

Dengan kata lain rangkaian ini mempunyaipassband di daerah frekuensi rendah saja

sehingga disebut low-pass gain.

Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja

seperti pada contoh berikut ini

98

Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di samping ini

Penyelesaian:

Fungsi alih rangkaian adalah

2

25

10

5,0)(

10

5,0

1000/10

500)(

+ωω×=ω→

+=

+=

j

jjT

s

s

ssT

V

V

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05ω

0.5/√2

ωC

Gain stopband passband

0

45

901 10 100 1000 10000 100000

ϕ [o]

; 10

5,0)(

42 +ω

ω=ω⇒ jTV

21o

10tan90)(

ω−=ωϕ⇒ −

CONTOH:

99

Gain biasanya dinyatakan dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai

)(log20 dB dalamGain ω= jT

Pernyataan gain dalam dB dapat bernilai nol, positif, atau negatif

Gain dalam dB akan nol jika |T(jω)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo sinyal

keluaran sama dengan sinyal masukan.

Gain dalam dB akan positif jika |T(jω)| >1, yang berarti sinyal diperkuat.

Gain akan bernilai negatif jika |T(jω)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.

Decibel

100

Page 26: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

26

Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/√2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi cutoff, nilai gain adalah

dB 3)(

2log)(log20)(2

1log20

dB −ω=

−ω=

ω

maks

maksmaks

jT

jTjT

Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah frekuensi di mana gain

telah turun sebanyak 3 dB

101

Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K kali , jika K = 1; √2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ? Dan berapa nilai gain jika terjadi pelemahandimana K = 1/√2 ; 1/2 ; 1/10; 1/30; 1/100; 1/1000 ?

Penyelesaian:

Untuk sinyal yang diperkuat K kali,

( ) ( ) ( )KjTjTKgain log20)(log20)(log20 +ω=ω=

dB 601000log20 : 1000

dB 40 100log20 : 100

dB 30 30log20 : 30

dB 20 10log20 : 10

dB 6 2log20 : 2

dB 3 2log20 : 2

dB 0 1log20 : 1

=⇒==⇒=≈⇒==⇒=≈⇒=≈⇒=

=⇒=

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

dB 60 : 1000/1

dB 40 : 100/1

dB 30 : 30/1

dB 20 : 10/1

dB 6 : 2/1

dB 3 : 2/1

−⇒=−⇒=−⇒=−⇒=−⇒=−⇒=

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

Penguatan Pelemahan

CONTOH:

102

Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik; jika gain dinyatakan dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik

sebagaimana didefinisikan, maka kurva gain akan berbentuk garis-garis lurus

Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass gain pada contohsebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di samping ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan kemiringan yang hampir konstan pula.

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain[dB]

ω

−6

ωC

−9

Kurva Gain Dalam Decibel

103

High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gainpada contoh sebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir konstan pula

Gain[dB]

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05ω

−6

ωC

−9

Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula, sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita memiliki karakteristik band-pass gain.

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain[dB]

ω

−3

ωC

Frekuensi cutoff pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff disebut

bandwidth (lebar pita)

104

Page 27: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

27

Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde-2 yang akan kita pelajari lebih lanjut. Walaupun demikian kita akan melihat rangkaian orde-2 berikut ini sebagai contoh

CONTOH:

Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde-2 di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

+−

+Vo(s)−Vin(s) 1100

s105/s

Penyelesaian:

)1000)(100(

1100

101100

1100

/101100

1100)(

525 ++=

++=

++=

ss

s

ss

s

sssTV

2222 1000100

1000)(

)1000)(100(

1100)(

+ω×+ω

ω=ω⇒

+ω+ωω=ω

jT

jj

jjT

V

V

105

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain[dB]

ω

−3

ωC

Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan diperoleh adalah

0

0.7

1.4

1 10 100 1000 10000

Gain

11/√2

ω

passbandstopband stopband

106

CONTOH:

Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian:

28226

62

642

62

642

62

5

5

10)10(

10)(

1010

10)(

1010

10

/101,0

/101,010

10)(

ω+ω−

+ω−=ω⇒

+ω+ω−+ω−=ω

+++

=

+×+

=

jT

jjT

ss

s

ss

sssT

V

V

V

passband stopband passband

ω0

0.7

1.4

1 100 10000 1000000

11/√2

Gain

Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada ω antara 100 ÷ 10000 dan dua passband masing-

masing di daerah frekuensi rendah dan tinggi

Karakteristik gain seperti ini disebut band-stop gain.

107

Kita lihat Low-Pass Gain

Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low-pass gain adalah: α+

=s

KsTV )(

Tentang tetapan K kita memahaminya sebagai berikut:K yang bernilai positif kita fahami sebagai K dengan sudut θK = 0o

K yang bernilai negatif kita fahami sebagai K dengan sudut θK = ±180o

Tentang pole dari suatu fungsi alih, kita ingat diagram posisi pole seperti di samping ini:

Jika rangkaian yang kita tinjau adalahrangkaian stabil maka ia harus memiliki poledengan bagian riil negatif karena hanya poleyang demikian ini yang dapat membuat rangkaian stabil. Komponen transiennyamenuju nol untuk t → ∞. Hanya rangkaianstabil saja yang kita tinjau dalam analisistanggapan frekuensi.

Bode Plot

108

Page 28: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

28

( )αω+α=

α+ω=ω

/1)( maka

j

K

j

KjT

Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

)/(tan)(dan )/(1

/)( 1

2αω−θ=ωϕ

αω+

α=ω −

KVK

jT

Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi

( )

αω+−α=ω 2dB

)/(1log20/log20)( KjTV

Komponen-pertamafungsi gain ini bernilai konstan untuk seluruh

frekuensi

Komponen-kedua fungsi gain Initergantung dari frekuensi

Komponen-kedua ini pula yang menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (ω/α) =1 dimana komponen ini mencapai

nilai −20log√2 ≈ −3 dB

Jika fungsi alih rangkaian yang kita tinjau adalah:

Komponen-kedua inilah yang menyebabkan gain berkurang dengan naiknya frekuensi

α+=

s

KsTV )(

Pendekatan Garis Lurus dari Kurva Gain

109

Jadi frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari polefungsi alih, yaitu

α=ωC

Perubahan nilai komponen-kedua dari gain sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan α = 1000 adalah sebagai berikut

Untuk frekuensi rendah, (ω/α) << 1 atau ω << α , komponen kedua dapat didekati dengan

( ) 01log20)/(1log20 2 =−≈

αω+− ( )αω−≈

+αω− /log201)/(log20 2

Untuk frekuensi tinggi,(ω/α)>>1 atau ω>>α,komponen kedua tesebutdidekati dengan

dB

ω[rad/s]

-60

-40

-20

0

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

ωC

−log√((ω/α)2+1)

pendekatan garis lurus

Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis nol untuk 1<ωωωω<αααα dan garis lurus −−−−20 dB per dekade untuk ωωωω>αααα.

Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada (ωωωω/αααα) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff.

110

Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa

Pendekatan Garis Lurus Kurva Fungsi Fasa

)/(tan)( 1 αω−θ=ωϕ −K

Komponen-pertama fungsi ini bernilai

konstan.

Komponen-kedua memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola perubahan

tanggapan fasa

ω[rad/s]

-90

-45

0

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

ϕ [o]

−tan−1(ω/α)

pendekatan garis lurus

ωC

Pada (ω/α)=1 (frekuensi cutoff) →−tan−1(ω/α)=−45o.

Pada ω=0,1ωC → −tan−1(ω/α)≈0o.

Pada ω=10ωC → −tan−1(ω/α)≈−90o;

Untuk ω>10ωC → −tan−1(ω/α)=−90o.

Jadi dalam selang 0.1ωC<ω<10ωC

perubahan fasa dapat dianggap linier −45o per dekade.

111

Dengan pendekatan garis lurus, baik untuk fungsi gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai

seperti tercantum dalam dua tabel di bawah ini.

Gain Frekuensi

ωC = αω=1 1<ω<α ω>α

Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)

Komponen 2 0 0 −20dB/dek

Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) −20dB/dek

ϕ Frekuensi

ωC = αω=1 0,1α<ω<10α ω>10α

Komponen 1 θK θK θK

Komponen 2 0 −45o/dek 0

Total θK θK −45o/dek θK

Perhatikanlah bahwa nilai komponen-pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen-kedua mempunyai nilai hanya pada

rentang frekuensi tertentu. 112

Page 29: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

29

Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa ini, dengan mengambil α = 1000 adalah sebagai berikut

ω [rad/s]

-40

-20

0

20

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

Gain [dB]

20log(|K|/α)

−20dB/dek

ωC = α

ω [rad/s]

-135

-90

-45

0

45

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

ϕ [o]

−45o/dek

0.1ωC 10ωC

θK

Perhatikan bahwa penurunan gain dimulai dari ωC sedangkanpenurunan sudut fasa terjadi antara 0,1ωC dan 10ωC

113

Kita lihat High-Pass Gain

Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass gain adalah

( )αω+α=

α+ω=ω

α+=

/1)( sehingga )(

j

Ks

j

KsjT

s

KssT

Fungsi alih ini mempunyai zero pada s = 0.

Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

( ))/(tan90)(dan

)/(1

/)( 1o

2αω−+θ=ωϕ

αω+

ωα=ω −

K

KjT

( ) )/(1log20log20/log20)( 2dB

αω+−ω+α=ω⇒ KjT

Dengan menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut

Gain dalam dB:

114

Gain FrekuensiωC = α

ω=1 1<ω<α ω>αKomponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 −20dB/dekTotal 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)+20dB/dek 20log(|K|/α)+20log(α/1)

Gain FrekuensiωC = α

ω=1 1<ω<α ω>αKomponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 −20dB/dekTotal 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)+20dB/dek 20log(|K|/α)+20log(α/1)

-45

0

45

90

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

ϕ [o]

ω [rad/s]

−45o/dek

0.1ωC

10ωC

θK

θK+90o

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

Gain [dB]

20log(|K|/α)

+20dB/dek

ωC = α ω [rad/s]

115

CONTOH:

Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih:

100

20)(1 +

=s

sT

Penyelesaian:

( ) 21dB1

211

)100/(1log20)2.0log(20)(log20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2.0

100

20)(

ω+−=ω=ω⇒

ω+=ω⇒

ω+=

+ω=ω

jTjT

jTjj

jT

Gain FrekuensiωC = 100 rad/s

ω=1 1<ω<100 ω>100Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dBKomponen 2 0 0 −20dB/dekTotal −14 dB −14 dB −14 dB −20dB/dek

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

ω [rad/s]

Gain [dB]

ωC

Komp-1Komp-2

Gain

116

Page 30: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

30

ω [rad/s]

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

Gain [dB]

Komp-2

Komp-1 Komp-3

Gain

CONTOH:Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih:

Penyelesaian:100

202 +

=s

s(s)T

2dB2

222

)100/(1log20)log(20)2.0log(20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2,0

100

20)(

ω+−ω+=ω⇒

ω+

ω=ω⇒ω+

ω=+ω

ω=ω

jT

jTj

j

j

jjT

Gain FrekuensiωC = 100 rad/s

ω=1 1<ω<100 ω>100Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dBKomponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dekKomponen 3 0 0 −20 dB/dekTotal −14 dB −14 dB +20 dB/dek 26 dB

117

Kita lihat Band-Pass Gain

Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde pertama dengan

menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).

Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.

Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai kaidah rantai dan akan berbentuk β+

×α+

=×=s

K

s

sKTTT 21

21

( ) ( )

( ) ( )22

21

2121

/1 /1

/)(

/1/1

)()()(

βω+×αω+

ωαβ=ω⇒

βω+β×

αω+αω

=β+ω

×α+ωω

KKjT

j

K

j

jK

j

K

j

jKjT

( ) )/(1log20)/(1log20

log20/log20)(

22

21dB

βω+−αω+−

ω+αβ=ω⇒ KKjT

Dengan membuat β >> α maka akan diperoleh karakteristik band-pass gain dengan frekuensi cutoff ωC1 = α dan ωC2 = β. 118

Rangkaian Orde-2

119

Rangkaian Orde-2 Dengan Pole Riil

120

Pole dari fungsi alih rangkaian orde-2 bisa riil ataupun komplekskonjugat

Kita akan mulai pembahasan tentang fungsi alih dengan pole riil

Page 31: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

31

Band-Pass Gain

121

Fungsi alih rangkaian orde-2 dengan satu zero dan dua pole riil dapat ditulis sebagai

( ))/1)(/1(

/

))(()( sehingga

))(()(

βω+αω+ω×αβ=

β+ωα+ωω×=ω

β+α+=

jj

jK

jj

jKjT

ss

KssT

( )

)/(1)/(1

/)(

22 βω+×αω+

ωαβ=ω

KjT

( ) 22dB

)/(1log20)/(1log20 log20/log20)( βω+−αω+−ω+αβ=ω KjT

Fungsi gain

Dalam dB

( ) 22dB

)/(1log20)/(1log20 log20/log20)( βω+−αω+−ω+αβ=ω KjT

Fungsi gain ini terdiri dari komponen-komponen yang bentuknya telah kita kenal pada pembahasan rangkaian orde-1

Komponen-pertama bernilai konstan

Komponen-kedua berbanding lurus dengan logω dengan perubahan gain+20 dB per dekade

Komponen-ketiga memberi pengurangan gain −20 dB per dekade mulai dariω = α = ωC1 = frekuensi cut-off

Komponen-keempat juga memberi pengurangan gain −20 dB / dekade mulaidari ω = β = ωC2 = frekuensi cut-off

122

Nilai fungsi gain dengan pendekatan garis lurus untuk β > α adalah seperti dalam tabel di bawah ini

( ) 22dB

)/(1log20)/(1log20 log20/log20)( βω+−αω+−ω+αβ=ω KjT

Gain FrekuensiωC1 = α rad/s ωC2 = β rad/s

ω=1 1<ω<α α<ω<β ω>βKomp.1 20log(|K|/αβ) 20log(|K|/αβ) 20log(|K|/αβ) 20log(|K|/αβ)Komp.2 0 +20 dB/dek +20log(α/1)

+20 dB/dek+20log(β/1)+20 dB/dek

Komp.3 0 0 −20 dB/dek −20log(β/α)−20 dB/dek

Komp.4 0 0 0 −20 dB/dekTotal 20log(|K|/αβ) 20log(|K|/αβ)

+20 dB/dek20log(|K|/αβ)+20log(α/1)

20log(|K|/αβ)+20log(α)

−20 dB/dek

123

CONTOH

124

Gambarkan Bode plots pendekatan garis lurus (tanggapan gain dan tanggapan fasa) rangkaian yang diketahui fungsi alihnya adalah :

)10000)(10(

50000)(

++=

ss

ssT

Penyelesaian:

22 )10000/(1)10/(1

5,0)(

)10000/1)(10/1(

0,5

)10000)(10(

50000)(

ω+×ω+

ω=ω→

ω+ω+ω=

+ω+ωω×=ω

jT

jjjj

jjT

22dB

)10000/(1log20 )10/(1log20log205,0log20)( ω+−ω+−ω+=ω⇒ jT

)10000/(tan)10/(tan900)( 11o ω−ω−+=ωϕ⇒ −−

Page 32: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

32

Gain Frekuensi

ωC1 = 10 rad/s ωC2 = 10000 rad/s

ω=1 1<ω<10 10<ω<104 ω>104

Komponen 1 −6 dB −6 dB −6 dB −6 dB

Komponen 2 0 +20 dB/dek 20+20 dB/dek 80+20 dB/dek

Komponen 3 0 0 −20 dB/dek −60−20 dB/dek

Komponen 4 0 0 0 −20 dB/dek

Total −6 dB −6 dB+20 dB/dek

14 dB 14 dB−20 dB/dek

ω [rad/s]

Gain[dB]

ωC1 ωC2

−6

14

-40

-20

0

20

40

1 10 100 1000 10000 100000

22dB

)10000/(1log20 )10/(1log20log205,0log20)( ω+−ω+−ω+=ω⇒ jT

Gain

125

Fasa

)10000/(tan)10/(tan900)( 11o ω−ω−+=ωϕ⇒ −−

ϕ(ω) Frekuensi

ωC1 = 10 rad/s ωC2 = 104 rad/s

ω=1 1<ω<100 103<ω<105 ω>105

Komponen 1 0o 0o 0o 0o

Komponen 2 90o 90o 90o 90o

Komponen 3 0o −45o/dek −90o −90o

Komponen 4 0o 0o 0o−45o/dek −90o

Total 90o 90o−45o/dek 0o−45o/dek −90o

-90

-45

0

45

90

1 10 100 1000 10000 1E+05

ϕ [o]

ω [rad/s]ωC1 ωC2

0,1 ω1 ÷ 10ω1 0,1 ω2 ÷ 10ω2

126

High-Pass Gain

127

Karakteristik high-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde kedua yang fungsi alihnya mengandung dua zero di s = 0

CONTOH:Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah

)200)(40(

10)(

2

++=

ss

ssT

Penyelesaian:

( )( )200/140/1800

1

)200)(40(

)(10)(

22

ω+ω+ω−×=

+ω+ωω=ω

jjjj

jjT

( )1)200/(log20

1)40/(log20log202800/1log20)(

2

2dB

+ω−

+ω−ω×+=ωjT

22

2

)200/(1)40/(1800

1)(

ω+×ω+

ω×=ωjT

Gain

Pengurangan gain −20 dB per dekademulai pada ωC2 = 200 rad/s

( ) 1)200/(log201)40/(log20log202800/1log20)( 22dB

+ω−+ω−ω×+=ωjT

ω= 1, konstan 20log(1/800) = −58 dB

Kenaikan gain berbanding lurus dengan log(ω); kenaikan 2×20 dB per dekade

Pengurangan gain −20 dB per dekade mulai pada ωC1 = 40 rad/s

-60

-40

-20

0

20

1 10 100 1000 10000 100000ω [rad/s]

Gain[dB] +40dB/dek

+20dB/dek

−58

128

Page 33: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

33

Fasa)200/(tan)40/(tan9020)( 11o ω−ω−×+=ωϕ −−

Pengurangan fasa −45o per dekade mulai dari ω = 0.1ωC2 sampai 10ωC2

Mulai ω = 1, ϕ(ω) ≈ 0o + 2× 90o =180o

Pengurangan fasa −45o per dekade mulaidari 0,1ωC1 sampai 10ωc1 (seharusnya)

0

45

90

135

180

225

1 10 100 1000 10000 100000ω [rad/s]

ϕ [o]

0,1ωC20,1ωC1 10ωC1 10ωC2

Karena0,1ωC2 < 10ωC1

maka kurva menurun 90o

per dekade pada 0,1ωC2

dan kembali menurun45o per dekade pada

10ωC1

129

Low-pass Gain

130

Karakteristik low-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde kedua yang fungsi alihnya tidak mengandung zero

CONTOH:

Gambarkan Bode plots pendekatan garis lurus rangkaian yang fungsi alihnya adalah :

)1000)(100(

105)(

4

++×

=ss

sT

Penyelesaian:

22

4

)1000/(1)100/(1

5,0)(

)1000/1)(100/1(

5,0

)1000)(100(

105)(

ω+×ω+=ω

ω+ω+=

+ω+ω×=ω

jT

jjjjjT

)1000/(tan)100/(tan0)( 11 ω−ω−=ωϕ −−

22dB

)1000/(1log20)100/(1log205,0log20)( ω+−ω+−=ωjT

Gain:22

dB)1000/(1log20)100/(1log205,0log20)( ω+−ω+−=ωjT

gain 20log(0,5) ≈ −6 dB

pengurangan gain −20 dB per dekade mulai ωC1 = 100

pengurangan gain −20 dB per dekade mulai ωC2 = 1000, sehingga mulai ωC2 perubahan gain adalah −40

dB per dekade

-60

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 100000

Gain[dB]

ω [rad/s]

ωC1 ωC2

131

Fasa:)1000/(tan)100/(tan0)( 11 ω−ω−=ωϕ −−

Pada ω = 1, ϕ(ω) ≈ 0

pengurangan fasa −45o per dekade mulai ω = 10 sampai ω = 1000

pengurangan fasa −45o per dekade mulai ω = 100 sampai ω = 10000. Jadi pada selang 100<ω<1000

perubahan fasa adalah −90o per dekade

ϕ [o]

ω [rad/s]

-180

-135

-90

-45

0

45

1 10 100 1000 10000 100000

132

Page 34: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

34

CONTOH:

Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah

)1000)(100(

)20(104)(

4

+++×=

ss

ssT

22

2

4

)1000/(1)100/(1

1)20/(8)(

)1000/1)(100/1(

)20/1(8

)1000)(100(

)20(104)(

ω+×ω+

+ω=ω

ω+ω+ω+

=+ω+ω+ω×

jT

jj

j

jj

jjT

Penyelesaian:

222dB

)1000/(1log20 )100/(1log20)20/(1log208log20)( ω+−ω+−ω++=ωjT

)1000/(tan)100/(tan)20/(tan0)( 111 ω−ω−ω+=ωϕ −−−

133

Fungsi Alih Dengan Zero Riil Negatif

Dalam contoh-contoh sebelumnya, fungsi alih mempunyai zero di s = 0. Fungsi alih dalam contoh berikut ini mempunyai zero di s ≠ 0

222dB

)1000/(1log20 )100/(1log20)20/(1log208log20)( ω+−ω+−ω++=ωjT

Gain:

20log8 = 18 dB

perubahan gain +20 dB per dekade, mulai pada ω = 20

perubahan −20 dB per dekade mulai pada ω = 100, menyebabkan kurva menjadi mendatar

perubahan −20 dB per dekade mulai pada ω = 1000

0

10

20

30

40

1 10 100 1000 10000 100000ω [rad/s]

Gain[dB]

18

+20dB/dek−20dB/dek

134

)1000/(tan)100/(tan)20/(tan0)( 111 ω−ω−ω+=ωϕ −−−Fasa:

Pada ω = 1, ϕ(ω) ≈ 0

perubahan fasa +45o per dekade mulai dari ω = 2 sampai ω = 200

perubahan fasa −45o per dekade mulai dari ω = 10 sampai ω = 1000, membuat kurva jadi mendatar

perubahan fasa −45o per dekade mulai dari ω = 100 sampai ω = 10000

ω [rad/s]

-135

-90

-45

0

45

1 10 100 1000 10000 100000

ϕ[o]

Peran komponen-2 hilang; kurvamenurun 90o per dekade

Peran komponen-3 hilang; kurvamenurun 45o per dekade

Peran komponen-4 hilang; kurvakembali mendatar

135

Rangkaian orde ke-dua yang memiliki pole kompleks konjugat dinyatakan oleh fungsi alih yang berbentuk

)( )()( )()(

β+α−β−α−=

−−= ∗ jsjs

K

psps

KsT

)( )(

)( )()(

β+ω+α−×β−ω+α−=

−ω−ω=ω ∗

jj

K

pjpj

KjT

)(1 ωA )(2 ωA

β+α= jp

β−α= jp*

σ

×

0

×

α

β

β

p

*p

σ

×

0

×

)( )( 2222 α+β+ω×α+β−ω

=K

)(2 ωA

)(1 ωAUntuk ω = 0

136

Rangkaian Orde-2 dengan

Pole Kompleks Konjugat

Page 35: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

35

σ

×

A1(ω)

ω2

0

×

A2(ω)

σ

×

A1(ω)

ω3

0

×

A2(ω)

σ

×

A1(ω)

ω1

0

×

A2(ω)

α

β

)( ωjT

)(1 ωA )(2 ωA

)( )( 2222 α+β−ω×α+β+ω

=K

Untuk ωωωω1 > 0

Untuk ωωωω2 > ωωωω1

Untuk ωωωω3 > ωωωω2

A1(ω) selalu bertambah.

A2(ω) pada awalnya menurun namunkemudian bertambah.

A2(ω) mencapai nilai minimum pada saat ω = ω2 = β.

Maka: gain |T(jω)| meningkat pada awal peningkatan ω sampai mencapai nilai maksimum dan kemudian menurun lagi. Puncak tanggapan gaindisebut resonansi.

Jadi jika ω bertambah:

137

Keadaan di sekitar frekuensi resonansi

138

cbss

KssT

++=

2)(

yang dapat kita tuliskan

2

)(2

002 ω+ζω+

=ss

KssT

Untuk mempelajari tanggapan frekuensi di sekitar frekuensi resonansi, kita tuliskan fungsi alih rangkaian orde-2 dalam bentuk

dengan c

bc

2dan 2

0 =ζ=ω

frekuensi alami(tanpa redaman)

ζ = 0

disebut rasio redaman

( ) ( ) 1/2/)(

02

02

0 +ωζ+ω×

ω=

ss

sKsT

dapat kita tuliskan

( ) ( ) 1/2/)(

02

02

0 +ωζω+ωω−ω×

ω=ω

j

jKjT

( )( ) ( )

/2/1)(

20

220

20 ωζω+ωω−

ω×ω

=ωK

jT

( ) ( ) 1/2/)(

02

02

0 +ωζω+ωω−ω×

ω=ω

j

jKjT

Gain:

( )( ) ( )20

220

20

dB/2/1

log20log20)(ωζω+ωω−

ω+ω

=ωK

jT

Rasio redaman menentukan

perubahan nilai gain )( ωjT

-40

-20

0

20

100 1000 10000

dB

ω[rad/s]

ζ=1

ζ=0,1ζ=0,5

ζ=0,05

pendekatanlinier

ω0

139

( )( )2

0

01o

/1

/2tan90)(

ωω−ωζω−+θ=ωϕ −

KFasa: Rasio redaman menentukan

perubahan nilai sudut fasa

-180

-135

-90

-45

0

10 100 1000 10000 100000

ϕ(ω) [o]

ω[rad/s]

ζ=0,05ζ=0,1ζ=0,5ζ=1

pendekatanlinier ω0

140

Page 36: Analisis Rangkaian Listrik - OpenCourseWare and Articles · Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Jika maka transformasi

8/25/2012

36

Kuliah TerbukaAnalisis Rangkaian Listrik di Kawasan s

Sudaryatno Sudirham

141