0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Transformasi Laplace

Fitriyanti Mayasari

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Pendahuluan

Untuk mempelajari teori-teori kendali klasik ini diperlukan Untuk mempelajari teori-teori kendali klasik ini diperlukan alat-alat matematik, seperti :

Bagan Kotak (Block Diagram) dan Aljabar Bagan Kotak (Block Diagram Algebra);

Model Nisbah Alih (Transfer Function) dan Transformasi Laplace (Laplace Transform).

Bagan Kotak telah dipelajari pada bagian sebelumnya Bagan Kotak telah dipelajari pada bagian sebelumnya

Transfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari Transformasi Laplace bentuk Pers. Differensial dengan asumsi semua kondisi awal=0.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Pendahuluan

Tranformasi Laplace memindahkan fungsi t dari Tranformasi Laplace memindahkan fungsi t dari kawasan waktu ke kawasan frekuensi.

Transformasi Laplace merupakan alat matematika yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan dalam sistem kontrol;

Transformasi Laplace digunakan untuk Transformasi Laplace digunakan untuk menyederhanakan persamaan differensial yang umumnya digunakan dalam suatu unit transfer atau Transfer Function.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Hubungan Model MatematikPersamaan Differensial

Fungsi t Penyelesaian

x(t)Penyelesaian Langsung

AnalitikFungsi t x(t)

Transform

asi Laplace

Inve

rse

Tra

nsf.

Lap

lace

Analitik

Domain Waktu

Domain Frekuensi

Persamaan AljabarOperator S

Penyelesaian AljabarX(s)Perhitungan Aljabar

Inve

rse

Tra

nsf

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Bentuk Transformasi Laplace

F(s) = L[f(t)] adalah transformasi Laplace dari sebuah fungsi t.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Contoh

1. Diketahui

0

00)(

tuntukA

tuntuktf1. Diketahui

0

)(tuntukA

tf

Tentukan bentuk transformasi laplace

Penyelesaian

dtetfsF st

0

)()(

s

Ae

s

AdteAsF stst

00

)(

0011 0010 1010 1101 0001 0100 10112. Diketahui )(sin)( tAtf

Tentukan transformasi laplace

Cont.

Tentukan transformasi laplace

PenyelesaiandtetfsF st

0

)()(

dteee

dteAt

stjAtjAt

st

0

.sin

dtej 0 2

22 As

A

Untuk penyelesaian selanjutnya dapat dilihat pada Tabel Transformasi Laplace.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Tabel Transformasi Laplace

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teorema Transformasi LaplaceTeorema I

Teorema II

Teorema III

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teorema... (cont.)

Teorema IVTeorema IV

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teorema... (cont.)Teorema V (Differensiasi)

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teorema... (cont.)

Teorema VI (Integrasi)Teorema VI (Integrasi)

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Inverse Transformasi Laplace

)()(1 tfsFL )()(1 tfsFL

Ada beberapa cara yang umum dipakai untuk mencari transformasi balik

Laplace yaitu :

1. Integrasi Langsung 0)(2

1)(

tuntukdsesF

jtf st

jc

jc2 j2. Menggunakan metode ekspansi parsial sebelum menggunakan table

transformasiLaplace. Jadi transformasi Laplace harus dibawa ke bentuk

yang ada dalam table.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Contoh 1

Diketahui persamaan Laplace berikut :)2)(1(

)3()(

ss

ssFDiketahui persamaan Laplace berikut :

)2)(1()(

sssF

Tentukan transformasi Laplace baliknya.

Penyelesaian

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

21)2)(1(

)3()(

s

B

s

A

ss

ssF

Nilai A dan B dapat ditentukan denganNilai A dan B dapat ditentukan dengan

22

3

)2)(1(

3()1(

11

ss s

s

ss

ssA

11

3

)2)(1(

)3()2(

22

ss s

s

ss

ssB

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Cont.

SehinggaSehingga

tt ee

sL

sL

sFLtf

2

11

1

2

2

1

1

2

)()(

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Contoh SoalTentukan penyelesaian x(t) dari persamaan diferensial

2652

2

xdt

dx

dt

xdatau 265 xxx

Dengan x(0) = 0, 0x

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

22

Penyelesaian

1. Dengan pernyataann Laplaces

sXsXssXs2

)(6)(5)(2

s

sssX2

65)( 2

)3)(2(

2

)65(

2)(

2

sssssssX

32)3)(2(

2)(

s

C

s

B

s

A

ssssF

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

Nilai A, B dan C dapat ditentukan denganNilai A, B dan C dapat ditentukan dengan

5

2

3)(2(

2

)3)(2(

2

00

ss sssss

sA

1)3(

2

)3)(2(

2)2(

22

ss sssss

sB

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

2. Dengan Transformasi Laplace balik

3

2

)2(

2

)3)(2(

2)3(

33

ss sssss

sC

tt ee

sL

sL

sL

sFLtf

32

111

1

3

22

5

2

)3(3

2

2

1

5

2

)()(

Transformasi Laplace

Fitriyanti Mayasari

Pendahuluan

Untuk mempelajari teori-teori kendali klasik ini diperlukan alat-alat matematik, seperti :

Bagan Kotak (Block Diagram) dan Aljabar Bagan Kotak (Block Diagram Algebra);

Model Nisbah Alih (Transfer Function) dan Transformasi Laplace (Laplace Transform).

Bagan Kotak telah dipelajari pada bagian sebelumnya

Transfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari Transformasi Laplace bentuk Pers. Differensial dengan asumsi semua kondisi awal=0.

Pendahuluan

Tranformasi Laplace memindahkan fungsi t dari kawasan waktu ke kawasan frekuensi.

Transformasi Laplace merupakan alat matematika yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan dalam sistem kontrol;

Transformasi Laplace digunakan untuk menyederhanakan persamaan differensial yang umumnya digunakan dalam suatu unit transfer atau Transfer Function.

Hubungan Model Matematik

Persamaan Differensial

Fungsi t

Penyelesaian

x(t)

Persamaan Aljabar

Operator S

Penyelesaian Aljabar

X(s)

Perhitungan Aljabar

Transformasi Laplace

Inverse Transf. Laplace

Penyelesaian Langsung

Analitik

Domain Waktu

Domain Frekuensi

Bentuk Transformasi Laplace

F(s) = L[f(t)] adalah transformasi Laplace dari sebuah fungsi t.

Contoh

1. Diketahui

Tentukan bentuk transformasi laplace

Penyelesaian

2. Diketahui

Tentukan transformasi laplace

Penyelesaian

Untuk penyelesaian selanjutnya dapat dilihat pada Tabel Transformasi Laplace.

Cont.

Tabel Transformasi Laplace

Teorema Transformasi Laplace

Teorema I

Teorema II

Teorema III

Teorema... (cont.)

Teorema IV

Teorema... (cont.)

Teorema V (Differensiasi)

Teorema... (cont.)

Teorema VI (Integrasi)

Inverse Transformasi Laplace

Ada beberapa cara yang umum dipakai untuk mencari transformasi balik Laplace yaitu :

Integrasi Langsung

2. Menggunakan metode ekspansi parsial sebelum menggunakan table

transformasiLaplace. Jadi transformasi Laplace harus dibawa ke bentuk

yang ada dalam table.

Contoh 1

Diketahui persamaan Laplace berikut :

Tentukan transformasi Laplace baliknya.

Penyelesaian

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

Nilai A dan B dapat ditentukan dengan

Cont.

Sehingga

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian x(t) dari persamaan diferensial

atau

Dengan x(0) = 0,

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

Nilai A, B dan C dapat ditentukan dengan

Penyelesaian

Dengan pernyataann Laplace

2. Dengan Transformasi Laplace balik