Tria Laksana Achmad ST., MT., Ph.D.

MG2113 Matematika Terapan

Modul 9 TRANSFORMASI LAPLACE

ℒ 𝑓( ) = 𝐹

Input: Fungsi f( ) Output: Fungsi F( )

𝐹( ) = න

0

∞

𝑒− 𝑓 𝑑Operasi integral yang

menghasilkan F(s) dari

f(t) yang diketahui

𝑓 = ℒ−1 𝐹

Transform kebalikan

Untuk menyelesaikan integral tak wajar diatas:

න

0

∞

𝑒− 𝑓 𝑑 = lim𝑇→∞

න

0

𝑇

𝑒− 𝑓 𝑑

Metode untuk memecahkan persoalan

matematis dengan langkah-langkah:

Transformasi masalah

“sulit” menjadi

persamaan “mudah”

Pemecahan

persamaan

pembantu

secara

aljabar

Transformasi kembali /

kebalikan untuk memperoleh

solusi masalah semula

Input:

Fungsi

f( )

Output:

Fungsi

F( )

Misalkan f(t) = 1 untuk

t ≥ 0. Tentukan F(s)

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 = ℒ 1 = න

0

∞

𝑒−𝑠𝑡 1 𝑑𝑡

𝐹( ) = න

0

∞

𝑒− 𝑓 𝑑

= න

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = lim𝑇→∞

ቤ−1

𝑠𝑒−𝑠𝑡

0

𝑇

= lim𝑇→∞

−1

𝑠𝑒−𝑠𝑇 +

1

𝑠𝑒0

untuk s > 0, ℒ 1 =1

𝑠

=1

𝑠

Misalkan 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑎𝑡 untuk t ≥

0, dengan a konstanta, s – a >

0, tentukan ℒ 𝑓

ℒ 𝑓 = ℒ 𝑒𝑎𝑡 = න

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑒𝑎𝑡𝑑𝑡 = න

0

∞

𝑒(𝑎−𝑠)𝑡𝑑𝑡

= lim𝑇→∞

อ𝑒(𝑎−𝑠)𝑡

𝑎 − 𝑠0

𝑇

= lim𝑇→∞

1

𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎−𝑠 𝑇 −

1

𝑎 − 𝑠𝑒0

untuk s – a > 0 atau s > a

= 0 −1

𝑎 − 𝑠

ℒ 𝑒𝑎𝑡 =1

𝑠 − 𝑎

ℒ

Transformasi Laplace merupakan suatu operasi yang bersifat linier; artinya, untuk setiap

konstanta a dan b, dan fungsi-fungsi f(t) dan g(t) yang transform Laplace-nya ada, berlaku:

ℒ 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔(𝑡) = 𝑎ℒ 𝑓 𝑡 + 𝑏ℒ{𝑔 𝑡 }

Tentukan transformasi laplace dari fungsi berikut:

ℒ−1 𝑎𝐹 𝑠 + 𝑏𝐺(𝑠) = 𝑎ℒ−1 𝐹 𝑠 + 𝑏ℒ−1{𝐺 𝑠 }

Tentukan inverse transformasi laplace dari fungsi berikut:

𝑓 = ℒ−1 𝐹

Modul 9 TRANSFORMASI LAPLACE

Tria Laksana Achmad ST., MT., Ph.D.

MG2113 Matematika Terapan

−𝑓 0 ℒ 𝑓

ℒ 𝑓′ =ℒ 𝑓′ = න

0

∞

𝑒− 𝑡𝑓′(𝑡)𝑑𝑡

න𝑢𝑣′𝑑𝑡 = 𝑢𝑣 − න𝑢′𝑣𝑑𝑡 = ቚ𝑒− 𝑡𝑓(𝑡)0

∞+ න

0

∞

𝑒− 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡

= 0 − 𝑓 0 + ℒ 𝑓

ℒ 𝑓′ = ℒ 𝑓 −𝑓 0

ℒ 𝑓′′ = ℒ 𝑓′ −𝑓′ 0

= ℒ 𝑓 − 𝑓 0 −𝑓′ 0

ℒ 𝑓′′ = ℒ 𝑓 − 𝑓 0 −𝑓′ 0

ℒ 𝑓′′′ = ℒ 𝑓 − 𝑓 0 − 𝑓′ 0 − 𝑓′′(0)

ℒ 𝑓(𝑛) = 𝑠𝑛ℒ 𝑓 − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − 𝑠𝑛−2𝑓′ 0 −. . . −𝑓(𝑛−1)(0)

Transform Laplace bagi 𝑓(𝑛):

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:

y” + 4y’ + 3y = 0, y(0) = 3, y’(0) = 1

Transformasi masalah

“sulit” menjadi

persamaan “mudah”

Pemecahan

persamaan

pembantu

secara

aljabar

Transformasi kembali /

kebalikan untuk memperoleh

solusi masalah semula

Input:

Fungsi

f( )

Output:

Fungsi

F( )

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:

y” + 4y’ + 3y = 0, y(0) = 3, y’(0) = 1

Jika Y 𝑠 = ℒ 𝑦 adalah transform Laplace

bagi solusi 𝑦(𝑡) yang belum diketahui, maka

ℒ 𝑓′′ = 𝑠2ℒ 𝑓 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0

ℒ 𝑦′′ = 𝑠2𝑌 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0

ℒ 𝑦′′ = 𝑠2𝑌 − 3𝑠 − 1

ℒ 𝑦′ = 𝑠𝑌 − 𝑦 0

ℒ 𝑦′ = 𝑠𝑌 − 3

Substitusikan ini ke dalam transform Laplace bagi

persamaan diferensial semula

ℒ(𝑦") + 4ℒ(𝑦′) + 3ℒ(𝑦) = ℒ(0)

𝑠2𝑌 − 3𝑠 − 1 + 4 𝑠𝑌 − 3 + 3𝑌 = 0

(subsidiary equation)

𝑠2𝑌 + 4𝑠𝑌 + 3𝑌 = 3𝑠 + 13

Persamaan pembantu di atas dapat dituliskan menjadi

𝑌 𝑠2 + 4𝑠 + 3 = 3𝑠 + 13

𝑠 + 1 𝑠 + 3 𝑌 = 3𝑠 + 13

Dengan memecahkan secara aljabar untuk Y dan dengan menggunakan

pecahan parsial:

𝑌 =3𝑠 + 13

(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)=

𝐴

𝑠 + 1+

𝐵

𝑠 + 3

=𝐴 𝑠 + 3 + 𝐵(𝑠 + 1)

𝑠 + 1 (𝑠 + 3)=

𝐴 + 𝐵 𝑠 + (3𝐴 + 𝐵)

𝑠 + 1 (𝑠 + 3)Sehingga 𝐴+𝐵=3 dan 3𝐴+𝐵=13.

Dengan eliminasi diperoleh 𝐴=5 dan 𝐵=−2

ℒ−11

𝑠 + 3= 𝑒−3𝑡

ℒ−11

𝑠 + 1= 𝑒−𝑡

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:

y” + 4y’ + 3y = 0, y(0) = 3, y’(0) = 1

Transformasi masalah

“sulit” menjadi

persamaan “mudah”

Pemecahan

persamaan

pembantu

secara

aljabar

Transformasi kembali /

kebalikan untuk memperoleh

solusi masalah semula

Input:

Fungsi

f( )

Output:

Fungsi

F( )

Tentukan transformasi laplace

dari fungsi

Kita peroleh f(0) = 0 dan

f´(t) = sin 4t + 4t cos 4t → f´(0) = 0

f´´(t) = 4 cos 4t + 4 cos 4t - 16t sin 4t

f´´(t) =8 cos 4t –16t sin 4t = 8 cos 4t – 16f(t)

Sehingga ℒ(f´´) = s2ℒ(f) – 0 – 0 = 8ℒ(cos 4t) – 16ℒ(f)

Dengan menggunakan rumus untuk transform

Laplace bagi cos ωt, kita memperoleh

𝑠2 + 16 ℒ 𝑓 = 8ℒ(cos 4𝑡) =8𝑠

𝑠2+16

Jadi, ℒ 𝑓 = ℒ 𝑡 sin 4𝑡 =8𝑠

(𝑠2+16)2

𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

ℒ 𝑓′′ = ℒ 𝑓 − 𝑓 0 − 𝑓′ 0

ℒ cos𝜔𝑡 =𝑠

𝑠2 + 𝜔2

Modul 9 TRANSFORMASI LAPLACE

Tria Laksana Achmad ST., MT., Ph.D.

MG2113 Matematika Terapan

Jika ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠), maka

ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)

Jadi jika kita mengetahui transform 𝐹(𝑠)

bagi 𝑓 𝑡 , maka kita dapat memperoleh

Teorema pergeseran pertama,

pergeseran pada sumbu-s

ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)

Bukti: Menurut definisi,

𝐹 𝑠 = න

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Sehingga:

𝐹 𝑠 − 𝑎 = න

0

∞

𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = න

0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

= ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡

ℒ−1 𝐹(𝑠 − 𝑎) = 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡transformasi kebalikan

terhadap kedua ruas

Jika ℒ 𝑓 =(𝑠−6)

(𝑠−1)2+4

tentukan f(t)

𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 = ℒ−1 (𝑠−6)

(𝑠−1)2+22

ℒ cos𝜔𝑡 =𝑠

𝑠2+𝜔2 , ℒ sin𝜔𝑡 =𝜔

𝑠2+𝜔2

Dalam hal ini kasusnya adalah pergeseran sebesar 1

dari sumbu s → a = 1

Sehingga berdasarkan teorema pergeseran pada

sumbu s dan Tabel transformasi laplace,

ℒ−1 (𝑠−6)

(𝑠−1)2+22= ℒ−1 (𝑠−1)

(𝑠−1)2+22−

2

(𝑠−1)2+22×

5

2

Pergeseran benda yang digantungkan

pada sebuah pegas dari posisi

kesetimbangannya dinyatakan

dengan persamaan diferensial orde

dua berikut:

y” + 2y’ + 5y = 0.

y(0)= 2 y’(0)= -4

dimana y(0) adalah posisi awal benda

dan y‘(0) adalah kecepatan awalnya

Tentukan solusi permasalahan di atas

dengan Transformasi Laplace.

Berdasarkan teorema transform Laplace

untuk turunan

𝐿 𝑓′′ = 𝑠2𝐿 𝑓 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0 = 𝑠2𝑌 − 2𝑠 + 4

𝐿 𝑓′ = 𝑠𝐿 𝑓 − 𝑓 0 = 𝑠𝑌 − 2

Transformasi Laplace kedua ruas PD

menghasilkan:

𝑠2𝑌 − 2𝑠 + 4 + 2𝑠𝑌 − 4 + 5𝑌 = 0

𝑌 𝑠2 + 2𝑠 + 5 = 2𝑠

𝑌 𝑠 + 1 2 + 22 = 2s

𝑌 𝑠 =2s

𝑠+1 2+22= 2

𝑠+1

𝑠+1 2+22−

2

𝑠+1 2+22

𝑌 𝑠 = 2𝑠 + 1

𝑠 + 1 2 + 22−

2

𝑠 + 1 2 + 22

Dari Tabel Transformasi Laplace

𝐿−1𝑠

𝑠2+22= cos 2𝑡 dan 𝐿−1

2

𝑠2+22= sin 2𝑡

Sehingga berdasarkan teorema

𝑦 𝑡 = 𝐿−1 𝑌 = 2𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 𝑒−𝑡 sin 2𝑡

dimana pergeseran dari sumbu s sebesar -1 →

a = -1

Pergeseran benda yang digantungkan

pada sebuah pegas dari posisi

kesetimbangannya dinyatakan

dengan persamaan diferensial orde

dua berikut:

y” + 2y’ + 5y = 0.

y(0)= 2 y’(0)= -4

dimana y(0) adalah posisi awal benda

dan y‘(0) adalah kecepatan awalnya

Tentukan solusi permasalahan di atas

dengan Transformasi Laplace.