MATEMATIK FISIKA I

DAFTAR ISI 1. Pendahuluan 2. Bilangan dan persamaan aljabar komplek 3. Matrik 4. Definisi serta aljabar komplek 5. Determinan 6. Sistem persamaan linier 7. Transformasi koordinat 8. Analisa vektor 9. Kalkulus 10. deferensial 11. Kalkulus integral fungsi vektor

FISIKA MATEMATIK II

1. Pendahuluan 2. Deret Faurier 3. Persamaan diferensial biasa 4. Transformasi Fourier 5. Transformasi Laplace untuk solusi persamaan diferensial biasa 6. Fungasi komplek 7. Pemecahan diferensial biasa 8. Transformasi koordinat 9. Transformasi Integral 10. Persamaan diferensial parsil

Referensi 1. Mery L Boas Mathematical Methods in the

Physical, 3 and editor, John Wiley & Sons 2006

2. K.F Riley Mathematical Method for Physics and Engineern,3rd Combridge 2006.

3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.

I.1 Bilangan berpangkat

Sifat-sifatnya

a.

b.

c.

d.

e. dan

f. dan

g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0

h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0

rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :

mnnm aa )(

).....(... mmmm cbacba

mm

m

b

a

b

amn

aam n

mnm baaa ).( m

m

m

b

a

b

a)(

i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0

j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y

I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya

Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g

ialah bilangan x sehingga gˣ = a

1. ͫlog mˣ = x dan

2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c

3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b

4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =

5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s

(pembuktian)

6.

7.

8.

9.

10.

baba gg loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 10loglog

yxgyx gg 10loglog

DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara

tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b

U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b

jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.

Sisipan

Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.

sehingga menjadi baris aritmatika :

m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n

kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b

maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan

Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’

Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:

1. 2. dn = n.St ; St =suku te

Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama

1'

k

bb

2

UnaSt

Barisan dan Deret Geometri

Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka

U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap

a = suku pertama ; p = pembanding

a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn

• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn

p = pembanding

dn=jml suku 1

Sisipan

Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :

a, …………………………,b, baris geometri semula

a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru

1

1

1

1

p

pa

p

padn

nn

ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p

1. p’=pembanding baru

k= banyak bilangan yang

disisipikan antara tiap dua

suku berurutan.

2. n’ = n + (n – 1 ) k

Deret ukur tak hingga

1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen

1' k pp

2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen

Jumlah deret geometri tak terhingga (d)

( [p] < 1 )

Baris dan Deret Ukur Hitung.

Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian

nlim

p

adn

1

Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b

Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ

Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .

1}.)1({ napbnaUn

PERSAMAAN DAN KESAMAAN

Persamaan

Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .

Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½

harga x tertentu yaitu = - ½

Macam-macam Persamaan

1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu

contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap

2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0

3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :

Persamaan kuadrat :

b² - 4ac = D = diskriminan

1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂

2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂

3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner

0.....2

2

1

10 n

nnn axaxaxa

a

acbbx

2

42

2,1

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a

Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)

1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.

2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama

3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya

Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu

variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.

(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻

+….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻

+….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻

+…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut

nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru

2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.

3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.

Dalil Sisa

Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻

+….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁).

Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap

2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier

3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat

Fungsi kuadrat.

Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0

Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²

Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0

Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1

Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y

-“- - “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x

Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x

x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y

Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)

Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.

a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam

interval itu f’(x) naik.

b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam

interval itu f’(x) turun

Syarat Maks dan Mim

a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum

b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum

c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )

Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung

fungsi dan bentuk2 turunan.

Deferensil dapat dikelompokkan :

1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)

2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)

Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g

2. Pers.Laplac:

ditulis dalam bentuk

pers. diffusi

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

02u

tuu /./1 22

Istilah dalam pers.deff.

1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat

dalam persamaan deferensial.

2.Degree :pangkat dari orde persamaan

diferensial.

Contoh : persamaan ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat

PDB ini berorde 2

dan degree 2

2

32

2

1dx

dy

dx

yd

322

2

2

1dx

dy

dx

yd

Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :

PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x).

dan

Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier

kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²

Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)

)(.... 12

2

21

1

10 xRyadx

dya

dx

yda

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

n

n

43

3

dxdy

dx

yd y xyy 2)'(

R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien tetap. Contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan koefisien tetap ; contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien variable , contoh :

R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible

042

2

dx

d y

5432

2

ydx

dy

dx

yd

02

2

dx

dy

dx

ydx

contoh :

Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.

Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx

integrasi pers. di atas

22 222

2

xyxxdx

dy

dx

yd

cxxdxy 22/1

Membuat Persamaan Diferensial.

Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan

contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma

F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu.

Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma

dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0

PDB orde satu

M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)

kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)

dxdyxf

xf

yg

yg

ygxf

ygxf

dx

dy

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

2

1

1

2

22

11

penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral .

PDB linier

Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau

dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=

maka dgn A =e

.

Jadi penyelesaiannya PDB : (*)

cdxxP )(dxxPcdxxP

Aeey)()(

dxxPdxxPdxxP

cedxxQeey)()()(

)(

Persamaan Bernoulli.

Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ.

PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ

Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :

(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →

dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)

T Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.

Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah

dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)

Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)

maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ ,

zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀

maka : ½ N₀ = N₀ → =1/2→-λt=ln 1-ln2

t = (ln 2)/ λ → waktu paruh

- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff

L di/dt + Ri = V ; aliran panas (h.90)

t

tete

dx

dTkAQ

, PDB orde Dua dalam bentuk Khusus.

Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1)

Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0

Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :

1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)

Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :

y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh

f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde

satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.

2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi

f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy .

Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0

maka f(p dp/dx, p, y) = 0. Jadi pers. Ini merupakan PDB orde satu dan

dapat diselesaikan

PDB Euler-Cauchy.

Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan

koefisien variabel :

a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)

Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy

Misalkan x = e

→ dx/dz = e

= x . Cari y’ = dy/dx

dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz

Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz

=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)

x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.

)1)....((21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd

Sisipkan y”,y’ ke pers.

a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)

a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)

Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna -kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).

)(21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd

VEKTOR

Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai

besaran, juga mempunyai arah

Vektor ditulis dengan huruf kapital ( ) →

Panjang panah menyatakan besar vektor arah panah menunjukan arah vektor . Besaran vektor adalah A atau .Vektor satuan searah dengan vektor dengan tanda

A A

A

A

A A

A a

A

A

A

Aa

Komponen vektor dalam sistem koordinat Kartesis (xyz) adalah terletak pada sumbu x, y, dan z. Vektor satuan yang searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor

dan besar A = adalah

,begitu juga koord kartesis xy

Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke sebuah titik ditulis . Jika titik terdapat dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka vektor : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)

Yaitu dan

A

zyx danAAA ,

kdanji ,,

A

kAjAiAA zyxA

222

zyx AAAA

Rataur

r

kzkyixr 222 zyxrr

Jika vektor berimpit atau sejajar arah yang sama , maka vektor dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka keduanya disebut vektor yang berlawanan arah. Dua vektor dikatakan sama jika

dan arahnya sama. Jika arah berlawanan dengan , tetapi , maka kita katakan . Sebuah vektor

(k= sekalar) menunjukan bahwa searah dgn

dan .

BdanA

BdanA

BdanA

BA B

A BA

BA AkB

B A

AkB

Vektor nol : vektor yang besarnya (harga mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah

Aljabar Vektor Penjumlahan vektor Dua vektor dan dapat dijumlahkan dengan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap)

ke titik ujung (terminal) →

A

B

A

ABA

AkB

A B

B A BA

B Titik tangkapnya terminal dan berimpit

Dari penjumlahan vektor

( komutatif )

(asosiatif ) Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang Kita dapat melakukan pengurangan Perkalian vektor. a. Perkalian titik(dot). perkalian titik didef. Sebagai :

α =sudut antara dan . Hasil perkalian ttk dr

dua vektor : sebuah besaran skalar

A B

A

B

BA

ABBA

CBACBA )()(

)( BABA

cos. BABA

A B

Jadi

adalah proyeksi , maka

Dapat dinyatakan sebagai perkalian antara dengan proyeksi atau sebaliknya

Jadi hasil perkalian titik dari vektor-vekto I, j, k :

dan

Vektor A dan B dinyatakan dalam komponen :

Dan jika artinya

maka

coscos. ABBABA

cosB AkeB BA.

A

AkeB ABBA ..

1..10cos.^^^^^^^^

kkjjiiii 0...^^^^^^

ikkjji

zzyyxxzyxzyx BABABAkBjBiBkAjAiABA )).((.^^^^^^

2222^^

. AAAAAA zyx0.BA BA

z

z

y

y

x

x

B

A

B

A

B

ABA//

b. Perkalian silang (cross)

Perkalian silang def.

Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil

adalah sebuah vektor yang mempunyai besar

= dan searah dengan vektor satuan

Vektor tegak lurus terhadap bidang tempat

dan terletak.Menentukan arah vektor

gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah

Ternyata dan mempunyai besaran

skekar yang sama tetapi berlawanan arah.

sinBABxA

BxA

C

sinBA

C A

B C

C

BxA AXB

atau :

Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh :

;

dan

Diperoleh

dan

dalam bentuk determinan:

AxBBxA

00sin 0iiixi 0kxkjxjixi

090sinjiixi

^^^^^^^^^

;; jixkikxjkjxi^^^^^^^^^

;; jkxiijxkkixj

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BxA

^^^

Garis dan Bidang.

1. Persamaan garis

Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik

sejajar dengan sebuah vektor .Buat garis l melalui ke // vektor

diperoleh atau

),,( 000 zyxP

A

),,( 000 zyxP ),,( zyxQ A

0rrPQ kzzjyyixxPQ )()()( 000

Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena

karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka persamaan menjadi persamaan ini : pers.garis simetri

z

l

y

x

c

zz

b

yy

a

xx 000

),,( 00 zyxP o),,( zyxQ

0r r

A

Persamaan Bidang.

persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah vektor . Misalkan = tegak lurus pada bidang α, diperoleh

Kerena terletak pada bidang α maka ∟

maka perkalian titik sama dengan nol

α

N N kcjbia

0rrPQ

kzzjyyixxPQ )()()( 000),,( zyxQ

PQ N PQ

0.PQN

N rr

r

),,( 000 zyxP

S

MATRIK DAN DETERMINAN

Pengertian Matrik Matriks : Suatu kumpulan angka-angka atau huruf yang disusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga berbentuk persegi panjang Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal kolom m =jml baris I = 1,2,3……m n = jml kolom I = 1,2,3,…..n

mn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

434241

2232221

1131211

....

Macam-macam matriks Matrik A dengan elemen ,mempunyai baris m

dan kolom n dengan orde (mxn). 1. Matrik bujur sangkar : matriks yang banyak baris

dan kolom sama m=n , contoh 2. Matriks Singular : Matriks bujur sangkar yang

nilai detreminannya sama dengan nol. Contoh: 3. Matrik Non Singuler : matriks bujur sangkar yang

nilai determinannya tidak sama dgn nol

ija

42

31A

12

24A

43

21A

4. Matriks Satuan (Identitas): Suatu matriks bujur sangkar dimana unsur-unsur yang terletak pada diagonal pokok terdiri atas angka-angka satu,sedang unsur lainnya nol. Dilengkapi lambang In.contoh :

5. Matriks diagonal: matriks bujur sangkar dimana unsur pada diagonalpokok minimal satu unsur tdk sama dengan nol, sedang unsur lain sama dengan nol . contoh

atau atau

nIA

100

010

001

000

000

001

200

000

003

100

010

001

6. Vektor Basis : suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Contoh

7. Vektor kolom : Suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Contoh

8. Matriks nol : matriks yang unsurnya

nol.contoh

9. Matriks transpose: suatu matriks A dengan cara mengubah baris menjadi kolom atau sebaliknya.(transpose A ditulis A’) .contoh

321A

3

2

1

B

00

00B

963

852

741

987

654

321'AA

10. Matriks Simetri : suatu matriks bujur sangkar yang sama dengan matriks transposenya A=A’

contoh :

11. Matriks anti semetri(skew Matriks) : matrik bujur sangkar yang sama dengan negatif transposenya. A = - A’, contoh :

12. Matris Invers : suatu matrik apabila matriks itu, matriks non singular. A suatu matriks,maka

inversenya A⁻ᴵ ( A = A⁻ᴵ )

095

974

543

'

095

974

543

AA

025

204

540

'

025

204

540

AA

Dirumuskan contoh : adjoin A= → Adj A = → Kaidah-kaidah invers. 1.Invers dari invers suatu matriks adalah matrik aslinya 2.Determinan dari suatu invers matriks sama dengan

kebalikan determinan matriks tersebut

dc

ba

AadjA

AA

det

111

0243

21AA

1;2;3;4 22211211 CCCC

ij

ji

ij MC )1(

12

34ijC

13

241

IJC

21

23

112

13

24

2

1A

AA11

AA

11

3. Ivers dari transpose suatu matrik sama dengan

transpose dari invers matriks tersebut.

4. Invers dari perkalian dua matrik hasilnya sama dengan perkalian invers dari matriks 2 tersebut.

OPERASI MATRIKS

Orde suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dandiikuti oleh banyaknya kolom. Misalnya matriks ini mempunyai orde (2 x 3 ) ditulis A ₂ ₓ ₃

'11' AA

111ABAB

2. Matriks yang sama : Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, apabila a. ordenya sama. b.unsur-unsur yang seletak sama.

dan

3. Jumlah/Selisih dua Matriks

Selisih/Jumlah dua matriks hanya berlaku apabila : a. Ordrnya sama. b. unsur-unsur yang seletak dikurangi atau ditambah.

dan →

654

321A

654

321B

51

42A

62

53B

113

95

6521

5432BA

4. Perkalian matriks dengan skalar: skalar besaran yang tidak mempunyai arah misl. k

5. Perkalian matriks dengan matriks

Dua matriks hanya bisa dikalikan, apabila banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua

kdkc

kbka

dc

bakkA

)()()( mxsnxsmxn CxBA

111612

1068

03801240012

604402206

642

140

213

034

102

Sifat-sifat matriks.

1. A + B = B + A sifat komitatif thd penjumlahan

2. AB≠BA(umumnya) komutatif thd perkalian

3. AI=IA=A sifat komutatif thd perkalian

4. AA⁻ᴵ = A⁻ᴵA =I sifat komutatif thdperkalian

5.A+(B+C)=(A+B)+C sifat asosiatif thd

penjumlahan

6. A(BC)=(AB)C sifat asosiatif thd perkalian

7. A(B+C) = AB+AC sifat distributif

Pengertian Determinan

Determinan suatu matriks : skalar(bilangan) yang diperoleh dari pengoperasian elemen2 matriks secara spesifik,determinan hanya bisa dihitung dri matriks bujur sangkar (n x n)

Bila matriksnya sapai orde 3x3 bisa gunakan cara satu dan cara dua, ordenya lebih dari 3 lebih dari 3 cara satu dan dua tdk bisa digunakan, gantinya gunakan urian Laplace

Sifat determinan

1. Determinan dari suatu matrik IAI mempunyai

nilai yang sama dengan determinan dari transposenya IA’I atau IAI = IA’I

2. Jika dalam suatu baris (kolom)elemen suatu determinan bernilai nol semua, maka nilai determinan juga sama dengan nol

3. Jika suatu elemen pada suatu baris(kolom) dari suatu determinandikalikan dengan suatu skalar k, maka nilai determinan akan menjadi k kali nilai determinan semula.

Perbedaan perkalian matriks dengan skalar dan determinan dengan skalar: matrik dengan skalar (k) semua elemen matriks dikalikan k,sedang determinan hanya baris atau kolom

4. Bila dua baris atau kolom dari suatu determinan ditukar tempatnya, maka tanda determinan akan berubah ,akan tetapi nilai mutlaknya tetap sama.

5. Jika dua baris atau kolom dari suatu determinan sama elemen2nya maka nilai determinan sama dengan nol.

6.Suatu determinan nilainya tidak akan berubah bila elemen 2 pada suatu baris atau kolom dikalikan dengan suatu konstan kemudian ditambah atau dikurang pada elemen2 dalam baris atau kolom yang lain

7. Determinan dari perkalian dua buah matriks

sama dengan hasil kali determinan matrik 2

tersebut.

8. Determinan dari matrik diagonal adalah hasil

kali elemen-elemen diagonalnya.

BAAB

abc

c

b

a

A

00

00

00

DIFERENIAL

Pembahasan mengenai turunan atau derivatif dengan lambang ,yang menunjukan

yang artinya dy diferensial dari y dan dx diferensial dari dx. Penggunaan diferensial diantaranya mencari integral dari suatu fungsi.

Bila dy/dx merupakan turunan dari fungsi y=f(x) variabel x berubah sebesar ∆x → diferensial y ditunjukan oleh dy dan besarnya.

contoh :Pers xy² -x² + y =0, dengan mendeferensial ke x berapa dy/dx

dx

dy

dx

dyit

dx 0lim

xxfxdx

dydy )('

12

22)12(022

222

xy

yx

dx

dyyx

dx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyxy

Contoh persamaan diatas merupakan pers.fungsi implisit, karena persamaan sama dengan nol,atau konstanta maka gunakan deferensial implisit.

contoh : 1. Berapakah dari pers.x² -y² =1

Deferensial ke x menghasilkan

2. Berapa dy/dx dari persamaan xy² -x² +y =0

deferensial ke x : 2xydy/dx + y² -2x + dy/dx = 0

(2xy +1 ) dy/dx =2x- y² →

3. Tentukan dy/dx dan d²y/dx² dari pers.x²+y²=1

xd

yd2

2

y

x

y

x

dx

dy

dx

dyyx

2

2022

12

2

xy

yx

dx

dy

jawab : x² + y² =1 → 2x + 2y dy/dx =0→

deferensial dy/dx ke x

karena x² +y² =1 maka

DEFERENSIAL PARSIL

Kita telah membahas fungsi implisit y = f(x)

dan fungsi implisit f(x,y) = 0, hal in hanya terdiri dari dua variable .Fungsi dan relasi beberapa variable dapat didefinisikan dengan memperluas definisi untuk dua variable.

x

y

y

x

dx

dy

2

2

2

22

222

2

y

xy

y

y

xxy

y

dx

dyxy

dx

yd

32

2 1

ydx

yd

,

Suatu titik dalam dua dimensi disajikan oleh pasangan urut-urut yang mempunyai tiga anggota .Bila mempunyai n buah anggota bilangan riil yaitu (x₁ ,x₂, …. Xn ) dapat ditulis z = (x₁ ,x₂, ….xn ) dimana x₁, x₂, ….xn disebut variabel bebas dan z merupakan variabel tak bebas . Dapat ditulis ( x₁ , x₂ , ….xn, z) = 0

Misal fungsi z dengan dua variabel bebas x dan y z = f(x,y). Bila y dianggap tetap ,z merupakan fungsi x saja dan turunan z ke x, turunan yang didapat merupakan turunan parsial dari z ke x

Ditunjukan oleh :

Begitu juga bila x dianggap tetap maka turunan parsil ke y :

contoh :

Jika z = 3x² + 2xy -5y², maka dan

xxx zfyxfyxfxx

f

x

z,),,(),,(,',

yyy zfyxfyxfyy

f

y

z,),,(),,(,,,

yxx

z26 yx

y

z102