Bab8 Persamaan Laplace

download Bab8 Persamaan Laplace

of 21

  • date post

    21-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    220
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Bab8 Persamaan Laplace

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    1/21

    Persamaan Laplace

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    2/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Review medan Listrik (E), dan D Intensitas medan listrik E didapat dengan

    penjumlahan atau integrasi muatan titik, garis ataukonfigurasi diantaranya

    Hukum Gauss digunakan utk menentukan D,kemudian nilai E, cenderung kurang praktis, krn

    distribusi muatan umumnya tidak diketahui. Nilai E adalah negatif dari gradien V,dgn fungsi

    potensial harus diketahui atau kadang tdk lengkap

    Yang biasa diketahui adalah penghantar dalambentuk bidang, permukaan melengkung, atau garis,

    serta potensial .

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    3/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace

    Persamaanlaplace memberikan metode dimana fungsi

    potensialV diperoleh asalkan dipenuhinya kondisi-kondisitertentupada perbatasan penghantar.

    Pesamaan maxwellyakni.D= , dan dgn substitusi E = D

    dan- V= E,

    Jika medium nya homogen dalam daerah tsb, maka dapat

    diperoleh dari turunan parsial pada divergensi :

    Disebut persamaan Poisson

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    4/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Jika daerah tsb mengandung muatan dalam distribusi,

    persamaan Poisson dapat dipakai untuk menentukan fungsi

    potensial:

    Disebut persamaan Laplace

    Bentuk Eksplisit Persamaan Laplace

    Ruas kiri dalam persamaan Laplace adalah divergensi darigradien V, maka operasi dapat dipakai utk memenuhi

    persamaandalam koordinat kartesian, tabung dan bola

    untuk medan

    vektor A

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    5/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Persamaan Laplace

    Koordinat Silindris :

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    6/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Koordinat Bola

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    7/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Teorema harga rata-rata dan harga maksimum

    dua sifat penting dari potensial dalam suatudaerah yang

    bebas muatan:1. Di pusat suatu lingkaran atau bola, potensial V nya adalah

    sama dengan nilai rata-rata dari harganya sepanjanglingkaranataubola.

    2. Potensial itu tidak dapat mengambil harga yang maksimum

    (atauminimum) dalam daerah tersebut.Sebagai akibat dari (2) adalah setiap maksimumdari Vberada pada perbatasan itu, krn V memenuhi persamaanlaplace

    Komponen-komponen itensitas medan listrikakan mengambilharga yang maksimum di perbatasan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    8/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Solusi kartesian dalam satu variabel

    penghantar paralel, dimana V = 0 pada z=0 dan V = 100V pada

    z=d, dgn asumsi daerah diantara kedua pelat bebas muata n

    dengan mengabaikanefek sisi,

    potensialhanya berubah z :

    hasil integrasi :

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    9/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Syarat batas V = 0 di z = 0 menjadi B = 0, sedangkan V = 100

    pada z = d menjadi A = 100/d, maka:

    kuatmedan listrikE diperoleh :

    pada konduktor-konduktor :

    dimanatanda plus(+) berlaku pada z = d dan tanda minus (-)

    pada z = 0

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    10/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Solusi hasil kali kartesian

    bila potensial dalam koordinat kartesian berubah lebih dari

    satu arah, persamaan laplace akan memiliki lebih dari satu

    suku.

    AndaikanV adalah fungsi x dan y, serta bentuk V =

    X(x)Y(y),maka:

    menjadi :

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    11/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    karenasuku pertama tak bergantung pada y dan yang kedua

    takbergantung pada x, masing-masing adalah suatu

    konstanta.

    Konstanta yang satu negatif dari yang lain. Misal konstantaa2

    solusi umum untuk X(suatu a tertentu) :

    atau ekuivalen :

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    12/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

    Solusi umum untuk Y (a tertentu) :

    ekuivalen:

    Fungsi potensial dalam variabel x dan y :

    atau

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    13/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    14/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    15/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    16/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    17/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    18/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    19/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    20/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

  • 7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

    21/21

    Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan