7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

1/21

Persamaan Laplace

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

2/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Review medan Listrik (E), dan D Intensitas medan listrik E didapat dengan

penjumlahan atau integrasi muatan titik, garis ataukonfigurasi diantaranya

Hukum Gauss digunakan utk menentukan D,kemudian nilai E, cenderung kurang praktis, krn

distribusi muatan umumnya tidak diketahui. Nilai E adalah negatif dari gradien V,dgn fungsi

potensial harus diketahui atau kadang tdk lengkap

Yang biasa diketahui adalah penghantar dalambentuk bidang, permukaan melengkung, atau garis,

serta potensial .

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

3/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace

Persamaanlaplace memberikan metode dimana fungsi

potensialV diperoleh asalkan dipenuhinya kondisi-kondisitertentupada perbatasan penghantar.

Pesamaan maxwellyakni.D= , dan dgn substitusi E = D

dan- V= E,

Jika medium nya homogen dalam daerah tsb, maka dapat

diperoleh dari turunan parsial pada divergensi :

Disebut persamaan Poisson

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

4/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Jika daerah tsb mengandung muatan dalam distribusi,

persamaan Poisson dapat dipakai untuk menentukan fungsi

potensial:

Disebut persamaan Laplace

Bentuk Eksplisit Persamaan Laplace

Ruas kiri dalam persamaan Laplace adalah divergensi darigradien V, maka operasi dapat dipakai utk memenuhi

persamaandalam koordinat kartesian, tabung dan bola

untuk medan

vektor A

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

5/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Persamaan Laplace

Koordinat Silindris :

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

6/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Koordinat Bola

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

7/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Teorema harga rata-rata dan harga maksimum

dua sifat penting dari potensial dalam suatudaerah yang

bebas muatan:1. Di pusat suatu lingkaran atau bola, potensial V nya adalah

sama dengan nilai rata-rata dari harganya sepanjanglingkaranataubola.

2. Potensial itu tidak dapat mengambil harga yang maksimum

(atauminimum) dalam daerah tersebut.Sebagai akibat dari (2) adalah setiap maksimumdari Vberada pada perbatasan itu, krn V memenuhi persamaanlaplace

Komponen-komponen itensitas medan listrikakan mengambilharga yang maksimum di perbatasan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

8/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Solusi kartesian dalam satu variabel

penghantar paralel, dimana V = 0 pada z=0 dan V = 100V pada

z=d, dgn asumsi daerah diantara kedua pelat bebas muata n

dengan mengabaikanefek sisi,

potensialhanya berubah z :

hasil integrasi :

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

9/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Syarat batas V = 0 di z = 0 menjadi B = 0, sedangkan V = 100

pada z = d menjadi A = 100/d, maka:

kuatmedan listrikE diperoleh :

pada konduktor-konduktor :

dimanatanda plus(+) berlaku pada z = d dan tanda minus (-)

pada z = 0

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

10/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Solusi hasil kali kartesian

bila potensial dalam koordinat kartesian berubah lebih dari

satu arah, persamaan laplace akan memiliki lebih dari satu

suku.

AndaikanV adalah fungsi x dan y, serta bentuk V =

X(x)Y(y),maka:

menjadi :

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

11/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

karenasuku pertama tak bergantung pada y dan yang kedua

takbergantung pada x, masing-masing adalah suatu

konstanta.

Konstanta yang satu negatif dari yang lain. Misal konstantaa2

solusi umum untuk X(suatu a tertentu) :

atau ekuivalen :

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

12/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

Solusi umum untuk Y (a tertentu) :

ekuivalen:

Fungsi potensial dalam variabel x dan y :

atau

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

13/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

14/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

15/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

16/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

17/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

18/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

19/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

20/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan

7/24/2019 Bab8 Persamaan Laplace

21/21

Persamaan Laplace Mata Kuliah Teori Medan