BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

6.1 Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace

dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

Karena adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak

hingga ( ) maka

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya

konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka

transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar,

misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace

dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)}

= w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam

setiap interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka

transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace

beberapa fungsi sederhana.

No.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 127

1. 1

2. t

3. t

4. t

n = 0,1,2,3,….

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa

contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:

1.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 128

2.

3.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 129

4.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 130

5.

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 131

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N,

maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan

adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada.

Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun

persyaratan ini tidak dipenuhi.

6.2 Metode Transformasi Laplace

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa

cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara

tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

Contoh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 132

b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan

menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret,

sehingga:

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen

untuk s >

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang

dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema

di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-

teorema yang ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah

ditetapkan.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 133

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-

sifat tersebut antara lain:

a) Sifat linear

Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan dan

adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi

Laplace masing-masing dan , maka:

Bukti:

1.

2.

3.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 134

4.

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace

fungsí berikut.

1. t

2.

3.

4.

5.

6.

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika

Bukti

Karena , maka

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 135

Contoh:

1. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,

Maka

2. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,

Karena

3. Tentukan

Karena maka menurut sifat translasi pertama

4. Tentukan

Me6nurut sifat linear,

}

Karena

maka menurut sifat translasi

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 136

,

dan

sehingga

L{e

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi

1)

2)

3)

4)

5)

6)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika dan

maka

Bukti

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 137

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga

Contoh

Carilah jika

Menurut definisi transformasi Laplace

d. Sifat pengubahan skala

Jika maka

Bukti

Karena

maka

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 138

Misal

Menurut definisi

Contoh:

1. Jika

maka

Soal:

1. Hitunglah jika

2. Jika , carilah

3. Jika carilah

Jawab

Karena maka menurut sifat 4 diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 139

Sehingga

Berdasarkan sifat Jika

maka (sifat 2)

Maka

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika maka

Karena Karena , maka

Jika maka

Bukti

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 140

Dengan cara yang sama diperoleh

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat

ditunjukkan bahwa, jika

maka

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-

turuan, tunjukkan bahwa

Misal diperoleh

sehingga

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 141

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-

turunan diperoleh

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

Jadi diperoleh

Contoh

1. Carilah

Misal

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 142

Maka

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

2. Buktikan

Bukti:

Misal

dan

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

Menurut teorema harga awal,

Sehingga diperoleh .

Jadi

3. Buktikan

Bukti:

Misal maka atau

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 143

Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.

Jadi atau

g. Perkalian dengan t

Jika maka

Bukti.

Karena maka menurut aturan Leibnitz untuk

menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

Jadi

Contoh

1. Tentukan

Jawab

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 144

, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t

diperoleh

, sehingga

2. Tentukan

Menurut sifat di atas,

h. Sifat pembagian oleh t

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua

bagian, maka diperoleh bentuk

atau

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh

.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 145

Jadi

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2) Jika

Carilah

3) Diketahui

1,

10,2)(

tt

tttF

a. carilah

b. carilah

c. apakah berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

5) Tunjukkan bahwa

6) Perlihatkan bahwa

a.

b.

7) Tunjukkan bahwa:

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 146

a.

b. Jika maka

6.4 Transformasi Laplace Invers

Definisi

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika

maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari

f(s). Secara simbolis ditulis . disebut operator

transformasi Laplace invers.

Contoh.

1. Karena maka

2. Karena maka

3. Karena maka

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} =

L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda

dengan transformasi Laplace yang sama.

Contoh

dan

Mengakibatkan

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa

transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita

tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul

dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya

dinyatakan oleh teorema berikut.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 147

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara

sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 dan

eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace

dari f(s) yaitu , adalah tunggal. Jika tidak ada

pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di

atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa

fungsi sederhana dibawah ini.

Nomo

r

f(s)

1. 1

2. t

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:

1) Sifat Linear

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 148

Misal dan adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan

dan berturut-turut adalah transformasi Laplace dari

dan , maka:

Contoh

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika maka

Contoh

maka

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika maka

Contoh

maka

4) Sifat pengubahan skala

Jika maka

Contoh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 149

Karena maka diperoleh

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan

Jika maka

Contoh

Karena dan maka diperoleh

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

Jika maka

Contoh

Karena maka

diperoleh

7) Sifat perkalian dengan

Jika maka

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t)

Jika

f(t) , sehingga

dengan adalah fungsi delta Dirac

atau fungsi impuls satuan.

Contoh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 150

arena dan maka

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka

Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral F(t)

dari 0 sampai dengan t.

Contoh

Karena maka diperoleh

9) Sifat konvolusi

Jika dan maka

F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya

dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karena dan

maka diperoleh

6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 151

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa

cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa

metode yang dapat digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat

banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya

dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai

bentuk

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan

parcial maka dapat ditentukan

Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan

pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari

kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan

metode khusus.

Contoh

1. Tentukan

Jawab

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 152

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga

didapat

A = -2 dan B = 5

2. Tentukan

Jawab

Sehingga

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1

Atau A = , B = , dan C =

Akhirnya diperoleh

2) Metode Deret

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 153

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s

yang diberikan oleh

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat

menginversi suku demi suku untuk memperoleh

Contoh

Tentukan

Jawab

=

Sehingga

+ ...

3) Metode persamaan diferensial

4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema

6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks

8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom)

dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-

akar yang berbeda yaitu , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 154

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda , , , ... ,

maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

.....(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- dan mengambil s

dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh

...

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

dengan demikian

9) Fungsi Beta

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 155

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) = a dan kita dapat memperlihatkan sifat-

sifat:

1.

2.

Soal-soal

1. Tentukan,

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 156

k.

l.

m.

2. Buktikan bahwa:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan

bahwa

a.

b.

c.

d.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 157

6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan

selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

Misal ditentukan persamaan diferensial

atau dengan p,q adalah

konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau

batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan

dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing

persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan.

Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .

Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan

transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada

persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.

1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari

persamaan diferensial diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 158

=

=

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Untuk pemeriksaan jawab di atas

dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2

2) dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan

diferencial diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 159

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan

selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya

persamaan diferensial yang berbentuk sehingga transformasi

Laplace diperoleh

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika maka

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) dengan Y(0) = 1 dan Y( )= 0

Jawab

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 160

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian

persamaan diperoleh:

Diperoleh

Karena bila kita dapatkan , sehingga

Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y( =0

2) , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian

persamaan diperoleh:

s

ysyysys1

')'(22

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 161

ssyssy

12)1(' 2

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner

tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:

Faktor integral persamaan di atas adal

Maka

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:

1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1

2) dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2

3) dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 0

4) dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0

5) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

6) Y”-3Y’+2Y=4x+12e dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 162

c) Persamaan Diferensial Simultan

d) Persamaan Diferensial Parsial

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 163

Soal-soal

Tentukan selesaian dari persamaan berikut:

1) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

2) Y”-3Y’+2Y=4x+12e dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 164

8) Transformasi fungsi periodic

9) Sifat f(s) bila s

10) Teorema harga awal

11) Teorema harga akhir

12) Perluasan dari teorema harga awal

13) Perluasan dari teorema harga akhir

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 165