1

TKS 4003 Matematika II

Transformasi Laplace (Laplace Transform)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

PENDAHULUAN

Pengertian Transformasi

Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang

digunakan untuk mengubah representasi persamaan

matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang

lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya

inverse transformasi untuk melakukan hal yang

sebaliknya.

2

Latar Belakang Penggunaan Transformasi

Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk

memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan

transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada

Gambar 1.

Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya

PENDAHULUAN (Lanjutan)

Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0

adalah :

𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎 (1)

Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi

f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s.

Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial

(yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke

kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace,

sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.

DEFINISI

3

Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya

Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan

secara langsung pada permasalahan akan seringkali

dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga

disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi

Laplace.

DEFINISI (Lanjutan)

Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi :

1. Konstanta

Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C),

adalah :

𝓛𝑪 = 𝒆−𝒔𝒕𝑪𝒅𝒕 =∞

𝟎−

𝟏

𝒔𝒆−𝒔𝒕𝑪

∞𝟎= 𝟎 − −

𝑪

𝒔=

𝑪

𝒔 ’

sehingga :

𝓛𝑪 =𝑪

𝒔 (8)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA

4

2. Fungsi y(t) = t

𝓛𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒅𝒕 =∞

𝟎−

𝟏

𝒔𝒆−𝒔𝒕𝒕

∞𝟎+

𝟏

𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕∞

𝟎

⇒ 𝓛𝒕 = 𝟎 − 𝟎 +𝟏

𝒔−

𝟏

𝒔𝒆−𝒔𝒕

∞𝟎=

𝟏

𝒔𝟐

sehingga :

𝓛𝒕 =𝟏

𝒔𝟐 (9)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

3. Fungsi y(t) = t n

𝓛 𝒕𝒏 = 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒏𝒅𝒕 =∞

𝟎−

𝟏

𝒔𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒏

∞𝟎+

𝟏

𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒏𝒕𝒏−𝟏𝒅𝒕∞

𝟎

⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = −𝟎 + 𝟎 +𝒏

𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝒏𝒕𝒏−𝟏𝒅𝒕∞

𝟎=

𝒏

𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟏

⇒ 𝓛 𝒕𝒏 =𝒏

𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟏

dengan cara yang sama :

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

5

𝓛 𝒕𝒏−𝟏 =𝒏−𝟏

𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟐

𝓛 𝒕𝒏−𝟐 =𝒏−𝟐

𝒔𝓛 𝒕𝒏−𝟑

⋮

𝓛 𝒕𝟏 =𝟏

𝒔𝓛 𝒕𝟎

sehingga :

𝓛 𝒕𝒏 =𝒏!

𝒔𝒏−𝟏 (10)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

4. Fungsi eksponensial y(t) = e at

𝓛 𝒆𝒂𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒂𝒕𝒅𝒕 =∞

𝟎 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒅𝒕∞

𝟎

⇒ 𝓛 = 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒅𝒕∞

𝟎= −

𝟏

𝒔−𝒂𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕

∞𝟎

⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = 𝟎 − −𝟏

𝒔−𝒂𝒆−𝟎 =

𝟏

𝒔−𝒂

sehingga :

𝓛 𝒆𝒂𝒕 =𝟏

𝒔−𝒂 (11)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

6

4. Fungsi cosinus dan sinus

𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = 𝓛𝟏

𝟐𝒆𝒊𝝎𝒕 +

𝟏

𝟐𝒆−𝒊𝝎𝒕

⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝟏

𝟐

𝟏

𝒔−𝒊𝝎+

𝟏

𝟐

𝟏

𝒔+𝒊𝝎

⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝟏

𝟐

𝒔+𝒊𝝎

𝒔𝟐+𝝎𝟐 +𝒔−𝒊𝝎

𝒔𝟐+𝝎𝟐 =𝒔

𝒔𝟐+𝝎𝟐

sehingga :

𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝒔

𝒔𝟐+𝝎𝟐 (12)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi

sinus adalah :

𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 =𝝎

𝒔𝟐+𝝎𝟐 (13)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

7

Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana

Fungsi f(t) Transformasi Laplace F(s)

𝒚 𝒕 = 𝑪 𝑪

𝒔

𝒚 𝒕 = 𝒕 𝟏

𝒔𝟐

𝒚 𝒕 = 𝒕𝒏 𝒏!

𝒔𝒏+𝟏

𝒚 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕 𝟏

𝒔 − 𝒂

𝒚 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒔

𝒔𝟐 +𝝎𝟐

𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝝎

𝒔𝟐 +𝝎𝟐

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang

menjamin keujudan 𝓛 f(t) , diperkenalkan konsep

kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan

orde eksponensial (exponential order).

1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan

kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika :

(i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah

berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada

interval bagian ini, dan

(ii) limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap

interval bagiannya bernilai hingga.

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

8

Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian

hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi

tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada

dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan

konstanta M dan , sehingga |f(t)| Met untuk t > T.

Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat

dibuat teorema sebagai berikut :

Teorema 1

Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval

berhingga 0 t T dan berada dalam tingkat eksponensial

untuk t > T, maka 𝓛 |f(t)| ada untuk s > .

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

9

Teorema 2

Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka :

𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞

𝓛 𝒕 =𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞

𝑭 𝒔 = 𝟎

Hal ini menyebabkan bahwa jika 𝒍𝒊𝒎𝒔 → ∞

𝑭(𝒔) ≠ 𝟎, maka f(t)

tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

1. Linieritas

Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :

𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎 dan

𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒈 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

maka :

𝓛 𝒄𝒇 𝒕 = 𝒄𝑭(𝒔) dan 𝓛 𝒂𝒇 𝒕 + 𝓛 𝒃𝒈 𝒕 = 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔

2. Pergeseran dalam S

Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

maka :

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

10

𝓛𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

= 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

= 𝑭(𝒔 − 𝒂)

3. Pergeseran dalam S dan inversnya

Jika 𝓛𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔 − 𝒂)

maka :

𝓛−𝟏𝑭(𝒔 − 𝒂) = 𝒆𝒂𝒕𝓛−𝟏𝑭(𝒔) = 𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

4. Integrasi

Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

maka :

𝓛−𝟏𝟏

𝒔𝑭(𝒔) = 𝒇 𝝉 𝒅𝝉

𝝉

𝟎

5. Teorema Konvulsi

Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah

F(s) dan G(s) dengan :

𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎 dan

𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕𝒈 𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

maka :

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

11

𝓛 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉𝒕

𝟎= 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔

6. Integral Konvulsi

Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan

G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan :

𝓛−𝟏𝑭 𝒔 = 𝒇 𝒕 dan

𝓛−𝟏𝑮 𝒔 = 𝒈 𝒕

maka :

𝓛−𝟏𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉𝒕

𝟎 atau

𝓛−𝟏𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉𝒕

𝟎

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

1. f(t) = sin t cos t

2. f(t) = sin 2t cos 3t

3. f(t) = t2 et sin 3t

Jawab :

1. Ingat sin t cos t = ½ sin 2t

𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝓛 𝟏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 = 𝟏

𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕

=𝟏

𝟐

𝟐

𝒔𝟐+𝟒=

𝟏

𝒔𝟐+𝟒

CONTOH

12

2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)

𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒕 = 𝓛 𝟏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒕)

= 𝟏𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝓛 −𝐬𝐢𝐧 𝒕

=𝟏

𝟐

𝟓

𝒔𝟐+𝟐𝟓−

𝟏

𝒔𝟐+𝟏

=𝟏

𝟐

𝟓 𝒔𝟐+𝟏 − 𝒔𝟐+𝟐𝟓

𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏

=𝟏

𝟐

𝟒𝒔𝟐−𝟐𝟎

𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏

=𝟐𝒔𝟐−𝟏𝟎

𝒔𝟐+𝟐𝟓 𝒔𝟐+𝟏

CONTOH (Lanjutan)

3. 𝓛 𝒕𝟐𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 , untuk mempermudah dikerjakan secara

bertahap.

𝓛 𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝟑

𝒔𝟐+𝟗

𝓛 𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝟑

(𝒔−𝟏)𝟐+𝟗=

𝟑

𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎

𝓛 𝒕𝟐𝒆𝒕𝐬𝐢𝐧𝟑𝒕 =𝒅𝟐

𝒅𝒔𝟐𝟑

𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎

=𝒅

𝒅𝒔

𝟔(𝟏−𝒔)

𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎𝟐

=𝟐𝟑𝒔𝟐−𝟒𝟔𝒔+𝟏𝟒

𝒔𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎𝟑

CONTOH (Lanjutan)

13

LATIHAN

Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

1. f(t) = t e at

2. f(t) = cos t cos 2t

3. f(t) = sin 2t cos 2t

4. f(t) = e -t cos 2 t

5. f(t) = t 2 cos at

6. f(t) = t 3 e -3t

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!