7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 1/16

PERSAMAAN LAPLACE'S, STEADY-STATE SUHU DI PLAT PERSEGI

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Fisika Matematika 3

Dosen pengampu : Bapak Dewanto Harjuno Wibowo

Disusun oleh:

Kenny Anindia Ratopo (K2310055)

Kurnia Dwi Lestari (K2310056)

Laeli Nurajijah (K2310057)

Linda Yuliana J. S. (K2310059)

Luthfiyyatun Nuur Jannah (K2310060)

Mahamboro Dawud D. (K2310061)

Muamar Fariq Salafy (K2310062)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 2/16

PERSAMAAN LAPLACE'S, STEADY-STATE SUHU DI PLAT PERSEGI

Kami ingin memecahkan masalah berikut: Sebuah plat logam panjang

 persegi panjang memiliki dua sisi panjang dan ujung pada 00 dan basis pada 1000 

(Gambar 2.1). Lebar plat adalah 10 cm. Cari distribusi mapan suhu di dalam plat.

(Masalah ini secara matematis identik dengan masalah menemukan potensi

elektrostatik di daerah 0 <x <10, y> 0, jika suhu yang diberikan diganti dengan

 potentialssee, misalnya, Jackson, hal. 72.)

Untuk menyederhanakan masalah, kita akan berasumsi pada awalnya

 bahwa plat begitu lama dibandingkan dengan lebarnya bahwa kita dapat membuat

 pendekatan matematika yang meluas hingga tak terbatas dalam arah y. Hal ini

kemudian disebut plat semi-tak terbatas. Ini adalah asumsi yang baik jika kita

tertarik pada suhu tidak terlalu dekat ujung.

Pada suhu T memenuhi persamaan Laplace dalam plat dimana tidak ada

sumber panas, yaitu,

(2.1)

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 3/16

Kami telah menulis 2 dalam koordinat persegi panjang karena batas

lempeng adalah persegi panjang dan kami telah menghilangkan istilah z karena

 plat adalah dalam dua dimensi. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan

mencoba solusi dalam bentuk 

( ) ()() (2.2) 

dimana, seperti yang ditunjukkan, X adalah fungsi hanya x, dan Y adalah fungsi

dari y saja. Segera Anda mungkin mengajukan pertanyaan: Tapi bagaimana kita

tahu bahwa solusinya adalah bentuk ini? Jawabannya adalah bahwa hal itu tidak!

 Namun, karena Anda akan melihat, setelah kami memiliki solusi dalam bentuk 

(2.2) kita dapat menggabungkan mereka untuk mendapatkan solusi yang kita

inginkan. [Perhatikan bahwa sejumlah solusi dari (2.1) adalah solusi dari (2.1).]

Mensubstitusikan (2.2) ke (2.1), kita memiliki

(2.3) 

(Biasa bukan turunan parsial sekarang benar karena X hanya bergantung pada x,

dll) Membagi persamaan (2.3) oleh XY untuk mendapatkan

(2.4) 

Langkah selanjutnya benar-benar kunci dari proses pemisahan variabel.

Kita akan berbicara bahwa masing-masing dari syarat-syarat di persamaan (2.4)

adalah konstan karena syarat pertama adalah fungsi  x saja, dan syarat kedua

adalah fungsi dari y saja. Mengapa hal ini benar? Ingatlah bahwa ketika kita

mengatakan

adalah solusi dari

   , kita maksudkan bahwa jika kita

mensubstitusikan ke dalam persamaan diferensial, kita memiliki

identitas dalam variabel independen (kita menggunakan fakta ini dalam solusi

serangkaian persamaan differensial di Bab 12, bagian satu dan dua). Dalam (2.1)

menjadi (2.4) kita mempunyai dua variabel independen,  x dan  y. Mengatakan

 bahwa (2.2) adalah solusi dari (2.1) berarti bahwa (2.4) adalah identitas dalam dua

variabel independen  x dan  y [Ingat bahwa (2.4) diperoleh dengan substitusi (2.2)

kedalam (2.1) ]. Dengan kata lain, jika (2.2) adalah solusi dari (2.1), kemudian

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 4/16

(2.4) harus benar untuk setiap dan semua nilai dari dua variabel independen  x dan

 y. Karena X adalah fungsi dari x dan Y adalah fungsi dari y, syarat pertama dari

(2.4) adalah fungsi dari x, dan syarat kedua adalah fungsi dari y. Misalkan kita

mengganti  x tertentu ke dalam syarat pertama, syarat ini kemudian beberapa

konstanta numerik. Untuk memiliki (2.4) yang yakin, syarat kedua harus

dikurangi konstanta yang sama. Sedangkan x masih tetap, biarkan y bervariasi

(ingat bahwa  x dan  y adalah independen). Kita telah mengatakan bahwa (2.4)

adalah suatu identitas; itu kemudian benar untuk  x tetap kita dan setiap y. Dengan

demikian syarat kedua tetap konstan sebagai y bervariasi. Demikian pula, jika kita

memperbaiki y dan x bervariasi, kita melihat bahwa syarat pertama dari (2.4)

adalah konstan. Untuk mengatakan ini lebih singkat, persamaan  () (),

dengan  x dan  y variabel independen, adalah suatu identitas hanya jika kedua

fungsi adalah konstanta yang sama; ini adalah dasar dari proses pemisahan

variabel. Dari (2.4) kita kemudian menulis

 

    (2.5)

Ketetapan k 2 disebut pemisahan konstan. Solusi dari (2.5) adalah

  * * (2.6)

Dan solusi dari (2.1) dalam bentuk (2.2) adalah

* (2.7)

Tak satu pun dari keempat solusi dasar memenuhi batas suhu yang diberikan. Hal

yang kita harus lakukan sekarang adalah mengambil kombinasi dari solusi (2.7),

dengan k konstanta benar dipilih, yang akan memenuhi kondisi batas yang

diberikan. [kombinasi linear solusi dari (2.1) adalah solusi dari (2.1) karena

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 5/16

 persamaan diferensial (2.1) adalah linier, lihat Bab 3, Pasal 7, dan Pasal 8, Pasal 1

dan 6.] Pertama kita membuang solusi yang mengandung eky karena kita diberi T-

> 0 sebagai y-> Tak terhingga. (Kita menganggap k> 0, lihat Soal 5) Selanjutnya

kita membuang solusi yang mengandung cos kx karena T = 0 ketika x = 0.

Sehingga solusinya menjadi e-kx sin kx, nilai k masih harus ditentukan. Ketika x =

10, kita memiliki T = 0, ini akan menjadi kenyataan jika dosa (10k) = 0, yaitu, jika

k = n/10 untuk n = 1,2, .... sehingga untuk setiap n terpisahkan, solusi

()(2.8)

memenuhi syarat batas yang diberikan pada tiga T = 0 sisi.

Akhirnya kita memiliki T = 100 saat y = 0; kondisi ini tidak memenuhi (2.8)

untuk setiap n. Tapi kombinasi linear dari solusi (2.8) merupakan solusi dari (2.1),

marilah kita mencoba untuk menemukan kombinasi yang tidak memuaskan T =

100 saat y = 0. Untuk memungkinkan semua n mungkin ini kita menulis seri tak 

terbatas untuk T, yaitu

∑ () (2.9)

Untuk y=0, maka kita harus memiliki nilai T=100, dari persamaan (2.9)

dengan y=0 kita dapatkan persamaan

∑ (2.10) 

Akan tetapi, ini hanya untuk Fourier sinus series(Bab 7, Bagian9) untuk f(x) =100

dengan nilai1=10.Kita peroleh koefisien bn

,seperti halnya dalam Bab7

, kita

dapatkan nilai ∫  ()

∫

(2.11)

| [()] {

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 6/16

Kemudian (2.9) menjadi

(2.12)

Persamaan(2.12) dapat digunakan untuk perhitungan jika tidak terlalu

kecil selama seriesnya dapat dihitung. (Lihat juga Soal6.) Sebagai contoh, pada

x=5baris (pusat plat) dany=5, kita peroleh

(2.13)

( )  

Jika suhu di tepi bawah adalah setiap fungsi f(x) bukan 1000 (dengan

tiga sisi lainnyapada 00 seperti sebelumnya), kita dapat mengerjakan soal dengan

metode yang sama yang kita miliki. hanya untuk memperluas f diberikan nilai(x)

dalam serangkaian sinus Fourier dan menggantikan koefisien ke dalam

 persamaan (2.9).Selanjutnya, mari kita perhatikan plat hingga ketinggian 30 cm

dengan tepi atas di T = 00

, dan lainnya dimensi dan suhu seperti pada Gambar 2.1.

Kita tidak lagi memiliki alasan untuk membuang solusi eky karena y tidak menjadi

terbatas. Kita sekarang akan mengganti e-ky dengan kombinasi linear ae-ky + bekY 

yang bernilai nol ketika y = 30. Cara yang paling efektif untuk melakukan ini

adalah dengan menggunakan kombinasi

)30()30(

2

1

2

1 yk  yk ee

(2.14)

(yaitu, misalkana = k e30

2

1 danb= k e 30

2

1 ). Kemudian, ketikay=30, (2.14)

memberikan 000 ee seperti yang kita inginkan. Sekarang (2.14) hanya sinh k 

(30 -y) (lihat Bab 2, Bagian12), sehingga untuk plat terbatas, kita dapat menulis

solusi sebagai berikut [membandingkan (2.9)]

10sin)30(

10sinh

1

 xn y

n BT 

n

n

    

(2.15)

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 7/16

Setiap istilah pada bagian ini adalah nol pada tigaT=0 di tiap sisi plat. Ketika y=0,

kita menginginkan T=100:

10sin

10sin)3sinh(100

11

0

 xnb

 xnn BT 

n

n

n

n y

    

  

(2.16)

Dimana bn=Bn, sinh   n3sinh atau Bn=bn /   n3sinh . Kita menemukan bn, untuk 

memecahkan Bn dan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.15) untuk 

mendapatkan distribusi suhu dalam plat terbatas:

nganjil 

 xn y

n

nnT 

10sin)30(

10sinh

3sinh

400     

    

(2.17)

Dalam persamaan (2.12) dan (2.17) kita telah menemukan fungsi T (x, y),

memenuhi keduanya dalam persamaan (2.1) dan semua syarat batas yang

diberikan. Untuk wilayah yang dibatasi dengan batas suhu yang diberikan, hal

tersebut adalah fakta eksperimental (dan juga dapat ditampilkan matematis-lihat

Soal 16 dan Bab 14, Soal 11.38) bahwa hanya ada satu T (x, y) yang memenuhi

 persamaan Laplaces dan syarat batas yang diberikan. Jadi persamaan (2.17)

adalah solusi yang diinginkan untuk plat persegi panjang. Hal ini jugadapat

menunjukkan bahwahanya ada satu solusi untuk plat semi-tak terbatas tersedia

0T   pada ∞ , dengan demikian persamaan (2.12) adalah solusi untuk kasus

tersebut. Mungkin Anda akan bertanya-tanya mengapa kita mengambil konstan

dalam(2,5) untuk menjadi -k 2 dan apa yang akan terjadi jika kita mengambil +k 2

sebagai gantinya. Sejauh ini mendapatkan solusi dari persamaan diferensial yang

 bersangkutan tersebut akan benar dengan menggunakan +k 2, kita akan

mendapatkan gantinyadari persamaan (2.7):

.cos

,cos

,sin

,sin

kye

kye

kye

kye

 XY T 

kx

kx

kx

kx

(2.18)

[Kita asumsikan bahwa k adalah nyata, sebuah k imajiner di (2.18) hanya akan

memberikan kombinasi dari solusi (2.7) lagi. Juga lihat Soal5]. Solusi(2.18) akan

tidakada gunanya untuk masalah plat semi-tak terbatas karena tidak satupun dari

mereka cenderung nol sebagai  y , dan kombinasi linear darikx

e dankx

e

tidak 

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 8/16

 boleh nolbaikpada x=0dan pada x =10. Namun, jika kita menganggap plat semi-

tak terbatas pada sisi panjang sejajar dengan sumbu x, bukan sumbu y, dan

100T  sepanjang akhir pendek pada sumbu y, solusi(2.18) akan diperlukan.

Atau, untuk platterbatas, jika 100 pada sisi yang berada di sepanjang sumbu y,

maka kitagunakan(2.18).

Akhirnya, mari kita lihat bagaimana untuk menemukan distribusi

temperature dalam pelat jika dua sisi yang berdekatan diadakan di 1000 dan dua

lainnya pada 00 (atau, pada umumnya, jika ada nilai yang diberikan untuk empat

sisi). Kita dapat menemukan solusi untuk masalah ini dengan kombinasi hasil

yang kita miliki sudah diperoleh. Mari kita sebut sisi pelat persegi panjangA, B,C,

D(Gambar 2.2). Jika sisi A, B, dan C yang diselenggarakan pada 0°, dan D pada

100°,kita dapat menemukan distribusi temperature dengan metode yang sama kita

gunakan dalam mencari (2.17) jika kita mengambil sumbu x sepanjang D.

Selanjutnya misalkan untuk lempeng yang sama(Gambar 2.2) Sisi A, B, dan D

yang diadakan di 00 dan C pada 1000. Ini adalah jenis masalah yang sama lagi,

tapi kali ini kami ingin menggunakan solusi dasar (2.18). [Atau untuk jalan pintas

 pekerjaan, kita bisa menulis solusi seperti (2.17) dengan sumbu x diambil

sepanjang C dan kemudian pertukaran x dan y dalam mengakibatkan setuju

dengan Gambar2.2.1 Setelah memperoleh dua solusi (satu untuk C pada 1000dan

satu untuk D pada 100°), mari kita tambahkan dua jawaban. Hasilnya adalah

solusi dari persamaan diferensial (2.1) (linearitas: jumlah dari dua solusi adalah

solusi). Itu suhu pada batas (maupun di dalam) adalah jumlah dari suhu didua

solusi yang kami menambahkan, yaitu, 0° pada A, 0° pada B, 0°+ 100° pada C,

dan 100°+0° pada D. Ini adalah kondisi batas yang diberikan kami ingin

memuaskan. Dengan demikian jumlah solusi dari dua masalah sederhana ini

memberikan jawaban yang lebih rumit (lihat Masalah11-13).

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 9/16

 

Sebelum menyelesaikan lebih banyak permasalahan, mari kita berhenti

sejenak untuk meringkas proses dari pemisahan variable yang pada dasarnya sama

untuk semua persamaan turunan parsial yang akan kita diskusikan. Pertama kita

mengasumsikan solusi yang mana merupakan produk dari variabel fungsi

independent (seperti pers. 2.2) dan memisahkan persamaan turunan parsial

kedalam beberapa persamaan turunan biasa/umum. (seperti pers 2.5). kita

menyelesaikan persamaan turunan biasa ini; penyelesaianya mungkin fungsi

exponensial, fungsi trigonometri, nilai (positif atau negatif), fungsi bessel,

 polinom legendre dll. Beberapa kombinasi linier dari penyelesaian umum ini,

dengan beberapa nilai dari pemisah konstan, merupakan solusi dari persamaan

turunan ini. Permasalahanya ialah untuk menentukan kedua nilai dari pemisah

konstan dan kombinasi linier yang benar untuk mencocokan dengan batasatau

kondisi awal yang diberikan.

Permasalahan dalam menemukan solusi dari sebuah pokok persamaan

turunan yang diberikan ialah untuk untuk memberikan kondisi batas yang disebut

 boundary value problem. Permasalahan seperti ini sering membawa kita pada

 permasalahannilai eigen. Kita lihat kembali (chepter 10 section 4, dan chepter 12,

di akhir section 2) dimana pada sebiah nilai eigen (atau nilai karakteristik)

 permasalahan, disana terdapat sebuah parameter yang memiliki nilai untuk dipilih,

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 10/16

sehingga solusi dari permasalhan ini memerlukan beberapa syarat. Keadaan

 pemisahan tetap, kita telah menggunakan parameter semacam ini. (contoh, kita

menyatakan k=nπ/10,tepat sebelum pers (2.8) dengan syarat T=0 ketia x=10).

 Nilai yang dihasilkan dari keadaan pemisahan tetap ini disebut nilai eigen dan

 penyelesaian umum dari persamaan turunan (contohnya 2.8) dapat disamakan

dengan nilai eigen yang disebut fungsi eigen. Hal ini juga mungkin terjadi pada

 penjumlahan terhadap keadaan pemisahan tetap, disana terdapat parameter pada

 persamaan turunan asli (contoh c pada persamaan schordinger pada problem

7.17). sekalilagi, nilai kemungkinan dari parameter untuk persamaan yang

mempunyai penyelesaian dengan persyaratan khusus disebut nilai eigen, dan

 penyamaan dari soulusi ini disebut fungsi eigen.

Problems, section 2

1.  Temukan distribusi suhu steady-state untuk permaslahan plat semi

takhingga jika temperatur dari tepi bawah ialah T=f(x)=x (dalam derajat,

dimana saat suhu pada x cm ialah x°)

Jawaban: ∑ ()+ ( )  

 Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal nomor 1 sebelumnya telah kita dapatkan rumus:

)10/sin(10/  xnebT  yn

n      . Kemudian untuk mencari nilai bn kita

dapatkan dari deret sinus Fourier (chapter 7 section 9),

n

n

nnn

n

 xn xn xn

n

dx xn

 xb

)1(20

)cos(20

)

10

cos

1010

(sin)10

(

10

2

10

sin

10

2

22

10

0

10

0

2

  

    

  

      

  

  

 

Lalu kita masukkan lagi ke persamaan sebelumnya sehingga didapatkan:

)10

sin()1(20 10/

1

),(

 xne

nnT 

ynn

 y x

  

  

  

 

2.  Selesaikan permasalahn pelat semi takhingga jika tepi bawah yang

lebarnya 20 diletakan pada:

T=0,untuk 0,x<10

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 11/16

T=100, untuk 10<x<20

Dan pada sisi yang lain ialah 0°

3.  Selesaikan permasalahn pelat semi takhingga jika tepi bawah yang

lebarnya π diletakan pada T=cos x dan sisi yang lain 0°. 

Jawab: ∑

(x)  

4.  Selesaikan permasalahn pelat semi takhingga jika tepi bawah yang

lebarnya 30 diletakan pada

T= x, untuk 0<x<15

T= 30-x, untuk 15<x<30Dan sisi yang lain ialah 0°.

5.  Tunjukkan bahwa solusi (2.5) dapat juga ditulis sebagai

Tunjukkan juga bahwa solusi ini setara dengan (2.7) jika k nyata dan

setara dengan (2.18) jika k murni imajiner. (lihat bab 2, bagian 12.)

Tunjukkan juga bahwa X = sin k(x - a), Y = sinh k(y - 6) adalah solusidari (2.5).

6.  Tunjukkan bahwa seri dalam (2.12) dapat disimpulkan untuk mendapatkan

 

(dengan arc tangent dalam radian). Gunakan rumus ini untuk memeriksa

nilai T = 26.10 di x = y = 5. Petunjuk untuk penggunaan seri: gunakan

sin (nπx/l0) = Im e

inπx/10

untuk menulis seri sebagai Im

odd z

n

/n. (Apaitu z?) Bandingkan ini dengan seri untuk for In[(1 + z)/(l - z)] (Lihat

 bab 1, Masalah 13.22). Kemudian gunakan (13.5) dari bab 2.

 Penyelesian:

gunakan ,Im)10/sin(10/ xine xn   

   kita tuliskan seperti persamaan 2.12

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 12/16

 ganj il  ganj il 

 ganji l  ganji l 

n

nn xi

n

 y

 xin

n

 yn

n

 yn

 z n

een

een

 xne

nT 

1Im

400)(

1Im

400

1Im

400

10sin

1400

10/10/

10/10/10/

    

  

  

  

    

      

saat

))(10/( ix ye z      

Dari chapter 1 persamaan 13.4:

 ganjil n

n z 

n

 z  z  z  z  z 

 z 

 z  12....)

53(2)1ln()1ln(

1

1ln

53

.

Kemudian,

)1

1(

200)

1

1ln

2

1Im(

400

 z 

 z  sudutdari

 z 

 z T 

    

 

Kita dapatkan sudut bilangan kompleks w adalahw

w

Re

Imarctan . Kita

misalkan  z 

 z 

w

1

1

dan w merupakan bilangan real. Kita dapatkan

.)10/sinh(

)10/sin(arctan

200

,)10/sinh(

)10/sin(arctan

)10/sin(2arctan

1

)10/sin(2arctan

1

Im2arctan)(

,Re21

Im21

1

1

1

1

10/10/

10/2

10/

2

2

2

 y

 xT 

 y

 x

ee

 x

e

 xe

 z 

 z  sudutw

 z  z 

 z  z i

 z 

 z 

 z 

 z w

 y y

 y

 y

  

  

  

  

    

  

    

  

  

 

7.  Pecahkan masalah 3 jika plat memotong pada ketinggian 1 dan suhu di y =

1 yang diadakan pada 00.

8.  Cari distribusi mapan suhu dalam plat persegi panjang 30 cm 40 cm

dengan menginat bahwa suhu adalah 00 sepanjang dua sisi panjang dan di

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 13/16

sepanjang salah satu ujung pendek; ujung pendek lainnya sepanjang

sumbu x memiliki temperatur 

9.  Pecahkan masalah 2 jika plat memotong pada ketinggian 10 dan suhu tepi

atas adalah 00.

10. Cari distribusi suhu yang stabil-negara di pelat logam 10 cm persegi jika

satu sisi diadakan di 100 "dan tiga lainnya di sisi 0". Cari suhu di tengah

 plat

11. Cari distribusi mapan suhu di piring Soal 10 jika dua sisi yang berdekatan

 berada di 1000 dan dua lainnya pada 00. Petunjuk: Gunakan solusi Anda

Soal 10. Anda tidak harus melakukan perhitungan-hanya menulis

 jawabannya!

12. Cari distribusi temperatur dalam cm 10 piring persegi panjang dengan 30

cm jika dua sisi yang berdekatan diadakan pada 1000 dan dua sisi lainnya

 pada 00.

 Penyelesaian:

(1)  .10

sin)30(10

sinh3sinh

4001

 ganjil n

 xn y

n

nnT 

    

    

 

3

 

0

0

0

10

 

Gambar 1

0

10x

y

3

 

10

 

0

0

0 

Gambar 2

0

10x

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 14/16

Kita gunakan persamaan 2.18. T=0 saat y=0 kita gunakan penyelesaian sin

ky. Kita juga menggunakan sin30k=0, k= nπ/30 di T=0 saat y=30. Untuk 

 penyelesaian bagian x, kita membutuhkan kombinasi linier  ekx dan e-kx 

adalah 0 saat x=10. Kita gunakan sinh k(10-x) = ½ (ek(10-x) - e-k(10-x)  ) 

(2)  30

sin)10(30

sinh1

 yn x

n BT  n

    

 

Adalah persamaan Laplace untuk gambar 2. Sekarang kita butuhkan

T=100 saat x=0

(3)  30

sin30

sin3

sinh100yn

b ynn

 BT  nn

      

 

Saat .3

sinh/3

sinh     n

batauBn

 Bb nnnn  

Sekarang persamaan (3) diperluas 100 ke deret Fourier di (0,30). Sehingga

 ganjil 

 genap

n

nn

nn

n

 yn

ndy

 ynb

,400

,0)cos1(

200

30cos

30

30

200

30sin100

30

2 30

0

30

0

  

  

  

  

  

  

 

Untuk nganjil,

).3

sinh/(400  

  

nn Bn  

Mensubstitusikan persamaan diatas dengan persamaan (2) untuk gambar 2

(4)   ganji l n

 yn x

n

nn

T 

30

sin)10(

30

sinh

)3/sinh(

4002

    

    

 

Sehingga didapatkan hasil akhir dengan menjumlahkan persamaan (1) dan

(4)

 ganj il n

 yn y

n

n

 xn y

n

nn

T T  y xT 

).30

sin)10(30

sinh

3sinh

1

10sin)30(

10sinh

3sinh

1(

1400

),( 21

    

  

    

    

 

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 15/16

13. Cari distribusi mapan suhu di pelat persegi panjang yang meliputi daerah 0

<x <10, 0 <y <20, jika dua sisi yang berdekatan di sepanjang sumbu

diadakan pada suhu T = x dan y = T dan lainnya dua sisi pada 00.

14. Dalam masalah plat persegi panjang,  kita telah sejauh ini memiliki suhu

yang ditentukan di seluruh batas. Kita bisa, sebaliknya, memiliki beberapa

tepi terisolasi. Aliran panas di tepi sebanding dengan T/n, dimana n

adalah variabel dalam arah normal ke tepi (lihat derivatif yang normal, bab

6, bagian 6). Sebagai contoh, aliran panas di tepi berbaring sepanjang

sumbu x sebanding dengan T/y. Karena aliran panas di tepi terisolasi

adalah nol, kita harus tidak mempunyai T, tetapi turunan parsial dari T,

sama dengan nol pada batas terisolasi. Gunakan fakta ini untuk mencari

distribusi mapan suhu dalam plat semi tak terbatas dari lebar 10 cm jika

kedua sisi panjang terisolasi, ujung ( di seperti dalam bagian 2) adalah

di 00, dan di tepi bawah adalah di T = f(x) = x - 5. Perhatikan bahwa

anda menggunakan T 0 sebagai y  hanya untuk membuang solusi

e+ky ; itu akan memuaskan untuk mengatakan bahwa T tidak menjadi tak 

terbatas sebagai y  . Sebenarnya, suhu (diasumsikan terbatas) sebagai

y  dalam masalah ini ditentukan oleh temperatur yang diberikan di y =

0. Biarkan T = f (x) = x pada y = 0, ulangi perhitungan Anda di atas untuk 

menemukan distribusi temperatur dan temukan nilai T untuk y besar.

Jangan lupa k = 0 istilah dalam seri!

15. Pertimbangkan pelat terbatas, 10 cm dengan 30 cm, dengan dua sisi

terisolasi, salah satu ujungnya pada 00 dan lainnya pada suhu tertentu T = f 

(x) Coba f (x) = 1000. F (x) = x . Anda harus meyakinkan diri sendiri

 bahwa masalah ini tidak dapat dilakukan dengan hanya menggunakan

solusi (2.7). Untuk melihat apa yang salah, kembali ke persamaan

diferensial (2.5) dan memecahkan mereka jika k = 0. Anda harus

menemukan solusi x, y, xy, dan konstan [konstanta sudah terkandung

dalam (2.7) untuk k = 0, namun tiga lainnya solusi tidak]. Sekarang

kembali atas setiap masalah yang telah kita lakukan sejauh ini dan melihat

mengapa kita bisa mengabaikan k = 0 solusi, kemudian termasuk k = 0

7/14/2019 Makalah Persamaan Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-persamaan-laplace 16/16

solusi, menyelesaikan masalah pelat terbatas dengan sisi terisolasi. Untuk 

kasus f (. R) = x, jawabannya adalah:

 Penyelesaian:

Kita bisa menemukan penyelesaian soal tersebut dengan bentuk 

(1)  .10

cos)30(10

sinh xn

 yn

 AT  n

    

 

Dengan T=f(x) saat y=0, kita misalkan untuk mengembangkan f(x) di

deret cosinus Fourier di (0,10). Tapi dengan catatan bahwa di (1) tidak 

terdapat suhu konstan. Untuk n=0, kita memiliki sinh 0=0. Kemudian

memasukkan persamaan 2.7 sebagai penyelesaian umum dengan

 persamaan Laplace. Kita dapatkan penyelesaian a (30-y) lalu kita

masukkan ke (1)

(2) 

1

.10

cos)30(10

sinh)30(xn

 yn

 A yaT  n

    

 

Saat y=0, kita dapatkan T=f(x), sehingga

(3) 

1

0

1 10cos2/

10cos3sinh30)(

xnaa

 xnn Aa x f   nn

    

    

Dimana

  

  

na Aaa

 sehinggan Aaaa

nn

nn

3sinh/;60/

,3sinh;302/

0

0

 

Untuk f(x)=100, kita harus menemukan )30(3

10 yT   

Untuk f(x)=x, kita kembangkan x pada deret cosinus di (0,10)

y

3

 

0

0

0

f(x

 

0

10x