27 transformasi-laplace

13
1 TKS 4003 Matematika II Transformasi Laplace (Laplace Transform) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PENDAHULUAN Pengertian Transformasi Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya inverse transformasi untuk melakukan hal yang sebaliknya.

Transcript of 27 transformasi-laplace

1

TKS 4003 Matematika II

Transformasi Laplace (Laplace Transform)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

PENDAHULUAN

Pengertian Transformasi

Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang

digunakan untuk mengubah representasi persamaan

matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang

lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya

inverse transformasi untuk melakukan hal yang

sebaliknya.

2

Latar Belakang Penggunaan Transformasi

Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk

memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan

transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada

Gambar 1.

Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya

PENDAHULUAN (Lanjutan)

Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0

adalah :

๐‘ญ ๐’” = ๐“› ๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ (1)

Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi

f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s.

Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial

(yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke

kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace,

sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.

DEFINISI

3

Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya

Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan

secara langsung pada permasalahan akan seringkali

dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga

disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi

Laplace.

DEFINISI (Lanjutan)

Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi :

1. Konstanta

Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C),

adalah :

๐“›๐‘ช = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐‘ช๐’…๐’• =โˆž

๐ŸŽโˆ’

๐Ÿ

๐’”๐’†โˆ’๐’”๐’•๐‘ช

โˆž๐ŸŽ= ๐ŸŽ โˆ’ โˆ’

๐‘ช

๐’”=

๐‘ช

๐’” โ€™

sehingga :

๐“›๐‘ช =๐‘ช

๐’” (8)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA

4

2. Fungsi y(t) = t

๐“›๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’•๐’…๐’• =โˆž

๐ŸŽโˆ’

๐Ÿ

๐’”๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’•

โˆž๐ŸŽ+

๐Ÿ

๐’” ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

โ‡’ ๐“›๐’• = ๐ŸŽ โˆ’ ๐ŸŽ +๐Ÿ

๐’”โˆ’

๐Ÿ

๐’”๐’†โˆ’๐’”๐’•

โˆž๐ŸŽ=

๐Ÿ

๐’”๐Ÿ

sehingga :

๐“›๐’• =๐Ÿ

๐’”๐Ÿ (9)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

3. Fungsi y(t) = t n

๐“› ๐’•๐’ = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’•๐’๐’…๐’• =โˆž

๐ŸŽโˆ’

๐Ÿ

๐’”๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’•๐’

โˆž๐ŸŽ+

๐Ÿ

๐’” ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’๐’•๐’โˆ’๐Ÿ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

โ‡’ ๐“› ๐’•๐’ = โˆ’๐ŸŽ + ๐ŸŽ +๐’

๐’” ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’๐’•๐’โˆ’๐Ÿ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ=

๐’

๐’”๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ

โ‡’ ๐“› ๐’•๐’ =๐’

๐’”๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ

dengan cara yang sama :

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

5

๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ =๐’โˆ’๐Ÿ

๐’”๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ

๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ =๐’โˆ’๐Ÿ

๐’”๐“› ๐’•๐’โˆ’๐Ÿ‘

โ‹ฎ

๐“› ๐’•๐Ÿ =๐Ÿ

๐’”๐“› ๐’•๐ŸŽ

sehingga :

๐“› ๐’•๐’ =๐’!

๐’”๐’โˆ’๐Ÿ (10)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

4. Fungsi eksponensial y(t) = e at

๐“› ๐’†๐’‚๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’†๐’‚๐’•๐’…๐’• =โˆž

๐ŸŽ ๐’†โˆ’(๐’”โˆ’๐’‚)๐’•๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

โ‡’ ๐“› = ๐’†โˆ’(๐’”โˆ’๐’‚)๐’•๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ= โˆ’

๐Ÿ

๐’”โˆ’๐’‚๐’†โˆ’(๐’”โˆ’๐’‚)๐’•

โˆž๐ŸŽ

โ‡’ ๐“› ๐’•๐’ = ๐ŸŽ โˆ’ โˆ’๐Ÿ

๐’”โˆ’๐’‚๐’†โˆ’๐ŸŽ =

๐Ÿ

๐’”โˆ’๐’‚

sehingga :

๐“› ๐’†๐’‚๐’• =๐Ÿ

๐’”โˆ’๐’‚ (11)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

6

4. Fungsi cosinus dan sinus

๐“› ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’• = ๐“›๐Ÿ

๐Ÿ๐’†๐’Š๐Ž๐’• +

๐Ÿ

๐Ÿ๐’†โˆ’๐’Š๐Ž๐’•

โ‡’ ๐“› ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’• =๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ

๐’”โˆ’๐’Š๐Ž+

๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ

๐’”+๐’Š๐Ž

โ‡’ ๐“› ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’• =๐Ÿ

๐Ÿ

๐’”+๐’Š๐Ž

๐’”๐Ÿ+๐Ž๐Ÿ +๐’”โˆ’๐’Š๐Ž

๐’”๐Ÿ+๐Ž๐Ÿ =๐’”

๐’”๐Ÿ+๐Ž๐Ÿ

sehingga :

๐“› ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’• =๐’”

๐’”๐Ÿ+๐Ž๐Ÿ (12)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi

sinus adalah :

๐“› ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ž๐’• =๐Ž

๐’”๐Ÿ+๐Ž๐Ÿ (13)

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

7

Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana

Fungsi f(t) Transformasi Laplace F(s)

๐’š ๐’• = ๐‘ช ๐‘ช

๐’”

๐’š ๐’• = ๐’• ๐Ÿ

๐’”๐Ÿ

๐’š ๐’• = ๐’•๐’ ๐’!

๐’”๐’+๐Ÿ

๐’š ๐’• = ๐’†๐’‚๐’• ๐Ÿ

๐’” โˆ’ ๐’‚

๐’š ๐’• = ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ž๐’• ๐’”

๐’”๐Ÿ +๐Ž๐Ÿ

๐’š ๐’• = ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ž๐’• ๐Ž

๐’”๐Ÿ +๐Ž๐Ÿ

TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang

menjamin keujudan ๐“› f(t) , diperkenalkan konsep

kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan

orde eksponensial (exponential order).

1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan

kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika :

(i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah

berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada

interval bagian ini, dan

(ii) limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap

interval bagiannya bernilai hingga.

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

8

Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian

hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi

tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada

dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan

konstanta M dan , sehingga |f(t)| Met untuk t > T.

Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat

dibuat teorema sebagai berikut :

Teorema 1

Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval

berhingga 0 t T dan berada dalam tingkat eksponensial

untuk t > T, maka ๐“› |f(t)| ada untuk s > .

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

9

Teorema 2

Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka :

๐’๐’Š๐’Ž๐’” โ†’ โˆž

๐“› ๐’• =๐’๐’Š๐’Ž๐’” โ†’ โˆž

๐‘ญ ๐’” = ๐ŸŽ

Hal ini menyebabkan bahwa jika ๐’๐’Š๐’Ž๐’” โ†’ โˆž

๐‘ญ(๐’”) โ‰  ๐ŸŽ, maka f(t)

tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.

SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

1. Linieritas

Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :

๐‘ญ ๐’” = ๐“›๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ dan

๐‘ฎ ๐’” = ๐“›๐’ˆ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’ˆ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

maka :

๐“› ๐’„๐’‡ ๐’• = ๐’„๐‘ญ(๐’”) dan ๐“› ๐’‚๐’‡ ๐’• + ๐“› ๐’ƒ๐’ˆ ๐’• = ๐’‚๐‘ญ ๐’” + ๐’ƒ๐‘ฎ ๐’”

2. Pergeseran dalam S

Jika ๐‘ญ ๐’” = ๐“›๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

maka :

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

10

๐“›๐’†๐’‚๐’•๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’†๐’‚๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

= ๐’†โˆ’(๐’”โˆ’๐’‚)๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

= ๐‘ญ(๐’” โˆ’ ๐’‚)

3. Pergeseran dalam S dan inversnya

Jika ๐“›๐’†๐’‚๐’•๐’‡ ๐’• = ๐‘ญ(๐’” โˆ’ ๐’‚)

maka :

๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ญ(๐’” โˆ’ ๐’‚) = ๐’†๐’‚๐’•๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ญ(๐’”) = ๐’†๐’‚๐’•๐’‡ ๐’•

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

4. Integrasi

Jika ๐‘ญ ๐’” = ๐“›๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

maka :

๐“›โˆ’๐Ÿ๐Ÿ

๐’”๐‘ญ(๐’”) = ๐’‡ ๐‰ ๐’…๐‰

๐‰

๐ŸŽ

5. Teorema Konvulsi

Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah

F(s) dan G(s) dengan :

๐‘ญ ๐’” = ๐“›๐’‡ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’‡ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ dan

๐‘ฎ ๐’” = ๐“›๐’ˆ ๐’• = ๐’†โˆ’๐’”๐’•๐’ˆ ๐’• ๐’…๐’•โˆž

๐ŸŽ

maka :

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

11

๐“› ๐’‡ ๐’• โˆ’ ๐‰ ๐’ˆ ๐‰ ๐’…๐‰๐’•

๐ŸŽ= ๐‘ญ ๐’” ๐‘ฎ ๐’”

6. Integral Konvulsi

Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan

G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan :

๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ญ ๐’” = ๐’‡ ๐’• dan

๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ฎ ๐’” = ๐’ˆ ๐’•

maka :

๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ญ ๐’” ๐‘ฎ ๐’” = ๐’‡ ๐’• โˆ’ ๐‰ ๐’ˆ ๐‰ ๐’…๐‰๐’•

๐ŸŽ atau

๐“›โˆ’๐Ÿ๐‘ญ ๐’” ๐‘ฎ ๐’” = ๐’‡ ๐’• ๐’ˆ ๐’• โˆ’ ๐‰ ๐’…๐‰๐’•

๐ŸŽ

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

1. f(t) = sin t cos t

2. f(t) = sin 2t cos 3t

3. f(t) = t2 et sin 3t

Jawab :

1. Ingat sin t cos t = ยฝ sin 2t

๐“› ๐ฌ๐ข๐ง ๐’• ๐œ๐จ๐ฌ ๐’• = ๐“› ๐Ÿ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ๐’• = ๐Ÿ

๐Ÿ ๐“› ๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ๐’•

=๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ’=

๐Ÿ

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ’

CONTOH

12

2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)

๐“› ๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ๐’• ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ÿ‘๐’• = ๐“› ๐Ÿ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ“๐’• + ๐ฌ๐ข๐ง(โˆ’๐’•)

= ๐Ÿ๐Ÿ ๐“› ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ“๐’• + ๐“› โˆ’๐ฌ๐ข๐ง ๐’•

=๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ“

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ๐Ÿ“โˆ’

๐Ÿ

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ

=๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ“ ๐’”๐Ÿ+๐Ÿ โˆ’ ๐’”๐Ÿ+๐Ÿ๐Ÿ“

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ๐Ÿ“ ๐’”๐Ÿ+๐Ÿ

=๐Ÿ

๐Ÿ

๐Ÿ’๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐ŸŽ

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ๐Ÿ“ ๐’”๐Ÿ+๐Ÿ

=๐Ÿ๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐ŸŽ

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ๐Ÿ“ ๐’”๐Ÿ+๐Ÿ

CONTOH (Lanjutan)

3. ๐“› ๐’•๐Ÿ๐’†๐’•๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ‘๐’• , untuk mempermudah dikerjakan secara

bertahap.

๐“› ๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ‘๐’• =๐Ÿ‘

๐’”๐Ÿ+๐Ÿ—

๐“› ๐’†๐’•๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ‘๐’• =๐Ÿ‘

(๐’”โˆ’๐Ÿ)๐Ÿ+๐Ÿ—=

๐Ÿ‘

๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐’”+๐Ÿ๐ŸŽ

๐“› ๐’•๐Ÿ๐’†๐’•๐ฌ๐ข๐ง๐Ÿ‘๐’• =๐’…๐Ÿ

๐’…๐’”๐Ÿ๐Ÿ‘

๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐’”+๐Ÿ๐ŸŽ

=๐’…

๐’…๐’”

๐Ÿ”(๐Ÿโˆ’๐’”)

๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐’”+๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ

=๐Ÿ๐Ÿ‘๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ’๐Ÿ”๐’”+๐Ÿ๐Ÿ’

๐’”๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐’”+๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ‘

CONTOH (Lanjutan)

13

LATIHAN

Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

1. f(t) = t e at

2. f(t) = cos t cos 2t

3. f(t) = sin 2t cos 2t

4. f(t) = e -t cos 2 t

5. f(t) = t 2 cos at

6. f(t) = t 3 e -3t

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!