SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK PERSAMAAN...

SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK

PERSAMAAN BURGERS-FISHER

SKRIPSI

oleh :

RIKKI SONETA NAINGGOLAN

155090400111008

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2019

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI



oleh:

Rikki Soneta Nainggolan

155090400111008

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

pada tanggal 19 Maret 2019

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Matematika

Pembimbing

Prof. Dr. Agus Suryanto., M.Sc.

NIP. 196908071994121001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S,Si., M.Si., Ph.D

NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Rikki Soneta Nainggolan

NIM : 155090400111008

Jurusan : Matematika

Penulis Skripsi berjudul : Skema Beda Hingga Tak

Standar untuk Persamaan

Burgers-Fisher

dengan ini menyatakan bahwa:

1. Isi skripsi yang saya buat adalah benar-benar hasil

pemikiran saya dan tidak menjiplak tulisan orang lain,

selain nama-nama yang tercantum pada daftar pustaka

sebagai acuan.

2. Apabila di kemudian hari skripsi saya terbukti hasil

jiplakan, maka saya bersedia menanggung segala resiko

yang akan saya terima.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 19 Maret 2019

yang menyatakan,

Rikki Soneta Nainggolan

NIM. 155090400111008

vii



ABSTRAK

Persamaan Burgers-Fisher adalah salah satu persamaan

diferensial nonlinear yang solusi eksaknya sulit ditentukan secara analitik. Pada skripsi ini dikonstruksi suatu skema

numerik menggunakan skema beda hingga tak standar untuk

mendapatkan solusi persamaan tersebut. Dengan menggunakan deret Taylor, dapat ditunjukkan bahwa kesalahan pemotongan

lokal skema beda hingga tak standar adalah . Dengan

melakukan simulasi numerik, dapat ditunjukkan bahwa skema

beda hingga tak standar stabil dan akurat ketika pemilihan ukuran langkah memenuhi syarat tertentu.

Kata Kunci: persamaan Burgers-Fisher, skema beda hingga tak standar, fungsi denominator, kestabilan

ix

NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE SCHEME FOR

BURGERS-FISHER EQUATION

ABSTRACT

Burgers-Fisher equation is one of the nonlinear differential equations

whose exact solution is difficult to be determined analytically. In this final project, we construct a numerical scheme using a nonstandard

finite difference scheme to get solution of the equation. By using

Taylor series, it can be shown that the local truncation error of

nonstandard finite difference scheme is . By doing

numerical simulation, it can be shown that the nonstandard finite

difference scheme is stable and accurate when the step size satisfies

certain condition.

Keywords: Burgers-Fisher equation, nonstandard finite difference

scheme, denominator functions, stability

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

memberikan kemampuan dan kasih karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Skema Beda Hingga Tak

Standar untuk Persamaan Burgers-Fisher” meskipun masih banyak

kekurangannya. Penulis menyadari bahwa selama proses penyusunan skripsi

ada banyak pihak yang telah membantu baik secara akademik

maupun nonakademik. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas segala bantuan dan dukungannya

kepada

1. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang dengan sabar

memberikan bimbingan, kritik, saran, dan ilmu selama proses

penyusunan skripsi ini. 2. Zuraidah Fitriah, S.Si., M.Si dan Drs. Marsudi, M.Si selaku

dosen penguji atas segala saran yang diberikan untuk perbaikan

skripsi ini. 3. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D selaku Ketua

Jurusan Matematika, Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si selaku ketua

Program Studi Matematika, Bapak dan Ibu dosen Jurusan

Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan. 4. Ayah, Ibu, adik-adik dan seluruh keluarga terkasih yang terus

memberikan perhatian melalui materi, saran, dan doa sehingga

memeberikan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini. 5. Keluarga besar FLaTS atas segala perhatian dan doa sehingga

penulis bisa menyelesaikan perkuliahan saat ini.

6. Gereja di Malang, kakak-kakak pengasuh, dan Brotherhouse yang menjadi keluarga selama penulis berada di Malang.

7. Keluarga besar Matematika 2015 atas segala kebersamaan

dalam menjalani proses perkuliahan.

8. Seluruh pihak terkait yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

xii

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih

terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun supaya penulis bisa

lebih baik lagi di kemudian hari. Kritik dan saran dapat dikirimkan

melalui email penulis [email protected]. Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang

membutuhkan.

Malang, 19 Maret 2019

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN SAMPUL .................................................................. i

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................ iii LEMBAR PERNYATAAN ......................................................... v

ABSTRAK ................................................................................. vii

ABSTRACT ................................................................................ ix

KATA PENGANTAR ................................................................. xi DAFTAR ISI ............................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR .................................................................. xv

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................ xvii BAB I PENDAHULUAN ............................................................. 1

1.1 Latar Belakang ............................................................1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................2

1.3 Tujuan .........................................................................2

BAB II DASAR TEORI ............................................................... 3 2.1 Persamaan Diferensial .................................................3

2.2 Persamaan Burgers-Fisher ............................................4

2.3 Deret Taylor ................................................................5

2.4 Skema Beda Hingga .....................................................5

2.4.1 Diskretisasi domain .................................................6

2.4.2 Pendekatan turunan ..................................................7

2.4.3 Skema Beda Hingga Tak Standar (NSFD) ............... 9

2.4.4 Skema Beda Hingga Eksak ................................... 10

2.5 Kesalahan Pemotongan Lokal .................................... 12

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN .................................... 15

3.1 Penurunan Skema Numerik ........................................ 15

3.2 Kesalahan Pemotongan Lokal .................................... 25

xiv

2.3 Simulasi Numerik ...................................................... 27

BAB IV PENUTUP .................................................................... 37

3.1 Kesimpulan ............................................................... 37

3.2 Saran .......................................................................... 37

DAFTAR PUSTAKA ................................................................. 39

LAMPIRAN ............................................................................... 41

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Diskretisasi fungsi pada domain .............. 6

Gambar 2.2 Diskretisasi fungsi pada domain

............................................................ 7

Gambar 3.1 Simulasi skema beda hingga tak standar persamaan

Burgers dengan dan :

(a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error .................. 28

Gambar 3.2 Simulasi ketika ........................................... 29

Gambar 3.3 Simulasi skema beda hingga tak standar

( : (a) Solusi Eksak dan

Numerik; (b) Error ................................................... 31

Gambar 3.4 Simulasi ketika ........................................... 32


( : (a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error .................................................. 33

Gambar 3.6 Simulasi ketika .......................................... 34


( : (a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error ................................................... 35

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Kesalahan Pemotongan Lokal ................................... 39

Lampiran 2 Program Simulasi Numerik Persamaan

Burgers-Fishers .......................................................... 42

Lampiran 3 Program Simulasi Numerik Persamaan Burgers ........ 44

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam beberapa dekade terakhir, persamaan diferensial

nonlinear memainkan peranan penting dalam ilmu fisika. Persamaan ini sering dipakai untuk memodelkan persamaan yang berkaitan

dengan gelombang. Tidak hanya dalam ilmu fisika, persamaan ini

juga menjadi penting di bidang sains lainnya, seperti biologi, kimia, dan ekonomi.

Salah satu persamaan diferensial nonlinear yang sering

digunakan dalam kaitannya dengan ilmu fisika adalah persamaan Burgers-Fisher yang diterapkan pada dinamika fluida. Di sisi lain,

persamaan Burgers-Fisher juga digunakan dalam matematika

keuangan, dinamika gas, dan arus lalu lintas. Persamaan Burgers-

Fisher dapat dituliskan sebagai berikut

Pada umumnya penentuan solusi persamaan diferensial

nonlinear tidak mudah dilakukan sehingga diperlukan solusi pendekatan secara numerik (Wazwaz, 2009). Beberapa penelitian

oleh para ahli memperkenalkan beberapa metode yang digunakan

untuk mencari solusi persamaan Burgers-Fisher secara numerik.

Beberapa metode yang diperkenalkan adalah metode beda hingga tak standar (Mickens, 2000), metode kolokasi spektral (Javidi, 2006), dan

dekomposisi domain spektral (Golbabai, 2009).

Di antara beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial, skema beda hingga tak standar (NSFD/Nonstandard Fnite

Difference Method) telah terbukti sebagai salah satu pendekatan yang

paling efisien dalam beberapa tahun terakhir (Zhang dkk, 2013). Mickens dan Gumel (2002) telah memberikan konstruksi dan analisis

skema beda hingga tak standar untuk persamaan Burgers-Fisher.

Selanjutnya, penggunaan skema beda hingga tak standar terus

berkembang dan telah digunakan dalam beberapa penelitian, seperti, Roeger dan Mickens (2007) untuk persamaan diferensial orde satu,

2

serta Erdogan dan Ozis (2011) untuk masalah nilai batas nonlinear

orde dua. Pada tahun 2013 Zhang dkk meneliti skema beda hingga tak

standar dan beda hingga eksak untuk persamaan Burgers-Fisher. Pada

skripsi ini, penelitian tersebut akan diulas kembali dan akan

ditunjukkan penurunan skemanya terhadap persamaan Burgers-Fisher. Selanjutnya, akan ditentukan kesalahan pemotongan lokal

skema beda hingga tak standar untuk mengetahui orde kesalahannya,

dan pada bagian simulasi numerik akan diketahui efisiensi dan keakuratan skema beda hingga tak standar terhadap persamaan

Burgers-Fisher.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang, rumusan masalah

yang akan dibahas pada skripsi ini adalah sebagai berikut

1. Bagaimana penurunan skema beda hingga eksak dan beda hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher ?

2. Bagaimana menentukan kesalahan pemotongan lokal skema beda

hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher ? 3. Bagaimana hasil simulasi numerik skema beda hingga tak standar

persamaan Burgers-Fisher ?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari skripsi ini

adalah sebagai berikut

1. Mengkonstruksi skema beda hingga eksak dan beda hingga tak

standar persamaan Burgers-Fisher

2. Menghitung kesalahan pemotongan lokal skema beda hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher

3. Melakukan simulasi numerik skema beda hingga tak standar

persamaan Burgers-Fisher dan memberikan interpretasi hasil

39

DAFTAR PUSTAKA

Chandraker, V., Awasthi, A., dan Jayaraj, S. 2016. Numerical

Treatment of Burger-Fisher equation. Procedia Technology.

vol.25. hal 1217-1225.

Debnath, L. 2012. Nonlinear Partial Differential Equations for

Scientist and Engineer, edisi ke-3. New York: Birkhäuser.

Erdogan, U., dan Ozis, T. 2011. A smart nonstandard finite difference

scheme for second order nonlinear boundary value problems.

Journal of Computational Physics. vol.230. hal 6464–6474.

Lam, C. 1994. Applied numerical method for partial differential

equations. Singapura: Prentice Hall.

Mickens, R. E., Oyedeji, K., dan Rucker, S. 2005. Exact finite

difference scheme for second-order, linear ODEs having constant coefficients. Journal of Sound and Vibration.

vol.287. hal 1052–1056.

Mickens, R. E., dan Gumel, A. B. 2002. Construction and analysis of a nonstandard finite difference scheme for the Burgers-

Fisher equation. Journal of Sound and Vibration. vol. 257. hal

791-797.

Mickens, R. E. 2000. Applications of Nonstandard Finite Difference

Schemes. Singapura: World Scientific.

Munir, R. 2003. Metode Numerik. Bandung: INFORMATIKA

Bandung.

Roeger, L. I. W., dan Mickens, R. E. 2007. Exact finite-difference

schemes for first order differential equations having three

distinct fixed-points. Journal of Difference Equations and Applications. vol.13. hal 1179–1185.

Storey, B. D. 2003. Numerical Methods for Differential Equations. Massachusetts: Franklin. W. Olin College of Engineering.

40

Suryanto, A. 2017. Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial

Biasa dan Aplikasinya dengan Matlab. Malang: Universitas Negeri Malang.

Wazwaz, A. M. 2009. Partial Differential Equations and Solitary

Waves Theory. New York: Springer.

Zhang, L., Wang, L., dan Ding, X. 2014. Exact finite difference

scheme and nonstandard finite difference scheme for Burgers and Burgers-Fisher Equations. Journal of Applied

Mathematics. Vol. 2014.

SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK PERSAMAAN...

Documents

Transcript of SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK PERSAMAAN...