SETABILITAS METODE

LYAPUNOV

Disusun Oleh :Ishardi Nassogi1410501033Sistem Non linearDosen Pembimbing :R.Suryoto Edy Raharjo S.T, M.Eng

Outline

• Metode Lyapunov• Persamaan dan Fungsi• Kesetabilan Metode Lyapunov• Kesetabilan Asimtonik dan Asimtonik Global• Penyajian Diagram Kesetabilan dan Ketidak setabilan• Kedefinitan Matrik• Analytic Solution

Metode Lyapunov

• Jenis metode Liapunov ada 2 macam , yaitu :

– metode Liapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem , dengan cara melalukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier sistem

– metode Liapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem

Lanjutan

• Hasil yang diperoleh dari penggunaan metode Liapunov diatas hanya bersifat kualitatif saja , yaitu :

– hanya dapat menentukan sistem stabil atau tidak stabil

– derajat kestabilan yang dapat ditentukan adalah :• kestabilan asimptotis global (globally asymptotic stability)• kestabilan dalam daerah luas (stability in the large)• kestabilan dalam daerah sempit (stability in the small)• kestabilan menurut Liapunov (stability in the sense of Liapunov)

Persamaan dan Fungsi Lyapunov

• Persamaan Lyapunov amat legendaris dalam ilmu kontrol, khususnya ketika membahas sistem non-linier. Persamaan berikut ini disebut Persamaan Lyapunov yang diusulkan oleh Alexander Lyapunov (1892).

Matriks A, P, Q adalah matriks persegi dengan elemen bilangan riel, P dan Q adalah matriks simetri. A adalah matriks sistem dalam persamaan state.

Lanjutan…

• Persamaan Lyapunov umumnya disandingkan dengan fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Dalam ilmu kontrol, keduanya sering digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem baik linier maupun non-linier.

Kesetabilan Metode Lyapunov

• Persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

• dimana untuk sistem mekanik :

Lanjutan…

Lanjutan…

• kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai Lyapunov jika untuk setiap S(ε), ada S(δ),sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan membesarnya waktu t menuju tak terhingga.

• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga bergantug padat 0, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut stabiluniform.

Kestabilan Asimtotik

• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem yang dinyatakan oleh f(xe,t)=0 untuk sembarang t disebut stabilasimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan setiap kondisi dengan titik awal didalam S(δ) tanpa meninggalkan S(ε) ,konvergen ke xe dengan membesarnya t menuju tak berhingga.

Kestabilan AsimtotikGlobal• Jika keadaan asimptotik berlaku untuk semua keadaan titik awal

trayektori, maka keadaan kesetimbangan tersebut stabil asimptotik global.

• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil asimptotik global jika keadaan setimbang tersebut stabil, dan jika setiap jawab konvergen ke xe dengan membesarnya waktu t menunju tak hingga.

• Syarat yang perlu untuk kestabilan asimptotik global adalah bahwahanya ada satu keadaan kesetimbangan dalam seluruh keadaan

Penyajian Diagram Kestabilandan Ketidakstabilan

Lanjutan…

Kedefinitan Matrik

Lanjutan…

Bentuk Kuadrat Lyapunov

Lanjutan…

Analytic Solution

Sumber

• https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation• https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability• Metode Lyapunov.doc• Analisa Kesetabilan Lyapunov.pdf