SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL … PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP FAHRUL USMAN...
1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP FAHRUL USMAN Magister Pengajaran Matematika Sering kali kita melihat orang berbelanja di supermarket membeli kebutuhan rumah tangga. Misalkan, Si A akan membeli satu kg gula dan satu kg tepung seharga Rp. 20.000. Lalu Si B membeli satu kg gula dan dua kg tepung dengan harga Rp. 32.000, maka banyak masing-masing gula dan tepung yang dapat dibeli dapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel Prasyarat Pada buku kelas VII semester 1, kita telah belajar menyelesaikan persamaan linear satu variabel. Hal ini sebagai prasyarat dalam menjalankan sistem persamaan linear dua variabel. Namun, sebelum melangkah ada baiknya kita mengulang kembali apa itu persamaan linear satu variabel. Perlu diketahui bahwa variabel atau peubah tidak selalu menggunakan x. Kita dapat menggunakan variabel lainnya. Seperti contoh : 3a – 2 = 7 atau variabel p, q, r, dan seterusnya. Jawaban atau penyelesaian persamaan diatas dapat diperoleh 3a – 2 + 2 = 7 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2) 3a= 9 (kedua ruas dibagi 3) a= 3 pada pembahasan berikutnya dapat diperlihatkan bahwa persamaan linear dua variabel dapat kita modelkan kedalam bentuk yang lebih nyata. Sistem persamaan linear secara umum dinyatakan sebagai berikut. ax + by = p cx + dy = q Berikut, beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Metode Grafik Jika masing-masing persamaan dinyatakan dalam satu garis maka terdapat tiga kemungkinan, yaitu : Mempunyai satu solusi. Terjadi jika dua garis berpotongan Jika kedua garis berimpit, maka tuliskan sistem tersebut sebagai sistem dengan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Jika kedua garis sejajar, maka tidak ada titik perpotongannya. Tidak mempunyai solusi. 4x + y Metode Eliminasi Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Kata eliminasi sendiri mempunyai arti menghilangkan. Misalkan kita mempunyai sistem persamaan x + y = 5 4x + y = 14 Kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk sederhana karena kedua persamaan terdapat koefisien yang sama pada y maka kita kurangkan secara langsung sehingga nantinya diperoleh x=3 dan y = 2. Begitu seterusnya sampai menemukan solusi atas persamaan x dan y. 14 5 x + y Metode Substitusi Metode ini sering diistilahkan sebagai penggantian. Misalkan kita mempunyai sistem persamaan y = 4x – 1 y=x+5 kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk bagan sederhana y 4x – 1 y x + 5 x + 5 4x – 1 Dengan bantuan gambar kita dapat menyelsaikan masalah yang terdiri dari dua variabel. Seperti contoh : Harga 3 cangkir teh dan 2 gelas jus melon adalah Rp. 15.000 Harga 3 cangkir teh dan 5 gelas jus melon adalah Rp. 33.000 Gunakan gambar untuk menyelesaikan masalah tersebut 15.000 rupiah Berapa harga 4 gelas jus melon ? Berapa harga 2 gelas jus melon ? Berapa harga 2 cangkir teh ? Berapa harga 3 cangkir teh ? Saya membeli dua jenis es dan harus membayar Rp. 2.300. Jumlah seluruh es adalah 10. Harga es jenis pertama adalah Rp. 300 dan harga es jenis kedua adalah Rp. 200. Tentukan jumlah masing- masing es ! Solusi : Misalkan es jenis pertama x rupiah dan es jenis kedua y rupiah. Persamaan dapat dituliskan 300x + 200y = 2.300 x + y = 10 dengan menggunakan salah satu metode sebelumnya, akan diperoleh nilai x=3 dan y = 7. Jadi, jumlah masing-masing es pertama dan es kedua adalah 3 dan 7. Mata Kuliah Kecakapan Matematika Semester II Tahun Ajaran 2016/2017 PENDAHULUAN dengan mengganti salah satu persamaan 4x – 1 = x + 5 (4x – x) – 1 + 1 = (x – x) + 5 + 1 3x = 6, diperoleh x=2 dan y=7 Dengan menggunakan beberapa metode memudahkan kita dalam menentukan nilai x dan y. 33.000 rupiah Metode Eliminasi Misalkan, diberikan sistem persamaan px + qy = u (*) rx + sy = v (**) untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut konsisten bebas linear. Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah px + qy = u x s psx + sqy = us rx + sy = v x q rqx + sqy = vq kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan nilai = − − Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (*) − − + = maka = − − Solusi dari persamaan diatas adalah − − , − − Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan − − + − − = − − + − − = Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode eliminasi. Metode Substitusi Misalkan, diberikan sistem persamaan px + qy = u (*) rx + sy = v (**) untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut konsisten bebas linear. Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah px + qy = u px = u – qy maka = − Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (**) r − + = maka = − − dengan mengganti nilai y maka diperoleh = − − Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah − − , − − Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan − − + − − = − − + − − = Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode substitusi. Bila kasus ps – qr = 0 maka ada dua kemungkinan Jika = = , maka persamaan yang satu merupakan kelipatan yang lainnya. karena itu, sistem dapat diganti dengan satu persamaan. Sistem disebut konsisten bergantung linear. Semua titik pada garis px + qy = u adalah solusi. Jika ≠ , maka sistem persamaan tidak memiliki solusi dan terjadi pada dua garis yang sejajar. Sistem disebut tak konsisten. Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa. Masalah yang lebih rumit seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini. Tuliskanlah model matematika untuk masalah ini lalu carilah solusi dari persamaannya ! DISKUSI KELOMPOK SPLDV PEMBUKTIAN METODE SPLDV DIAGRAM ALUR SPLDV METODE MEMODELKAN IMPLEMENTASI MEMODELKAN MASALAH DUA VARIABEL METODE SPLDV IMPLEMENTASI SPLDV DLM KEHIDUPAN TUJUAN PEMBELAJARAN • Siswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel • Siswa mampu membuat model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel • Siswa mampu menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel • Siswa mampu menerapkan sistem persamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari Berapa berat kotak besar dan berat kotak kecil ? Masalah ini dapat dituliskan dalam sistem persamaan dua variabel. Jika x berat kotak besar dan y berat kotak kecil maka x = y + 100 (*) x = 2y + 50 (**) jika diselesaikan melalui metode eliminasi maka akan diperoleh x = 150 dan y = 50. Artinya, jika beban (dalam kg) ditambahkan maka berat kotak besar akan semakin bertambah pula. Jadi, akan berbanding lurus. REFERENSI Madhavi, V. dan Ved Dudeja. Jelajah Matematika SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira, 2011. Neswan, Oki dan Wono Setya Budhi. Matematika untuk Kurikulum Berbasis Kompetensi SMA. Bandung: ITB, 2003. Setya Budhi, Wono. Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga, 2007.
Transcript of SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL … PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP FAHRUL USMAN...
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP
FAHRUL USMANMagister Pengajaran Matematika
Sering kali kita melihat orang berbelanja di supermarketmembeli kebutuhan rumah tangga. Misalkan, Si A akan membelisatu kg gula dan satu kg tepung seharga Rp. 20.000. Lalu Si Bmembeli satu kg gula dan dua kg tepung dengan harga Rp. 32.000,maka banyak masing-masing gula dan tepung yang dapat dibelidapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan lineardua variabel
Prasyarat
Pada buku kelas VII semester 1, kita telah belajar menyelesaikanpersamaan linear satu variabel. Hal ini sebagai prasyarat dalammenjalankan sistem persamaan linear dua variabel. Namun, sebelummelangkah ada baiknya kita mengulang kembali apa itu persamaanlinear satu variabel.
Perlu diketahui bahwa variabel atau peubah tidak selalumenggunakan x. Kita dapat menggunakan variabel lainnya. Seperticontoh :
3a – 2 = 7
atau variabel p, q, r, dan seterusnya.
Jawaban atau penyelesaian persamaan diatas dapat diperoleh
3a – 2 + 2 = 7 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2)
3a= 9 (kedua ruas dibagi 3)
a= 3
pada pembahasan berikutnya dapat diperlihatkan bahwa persamaanlinear dua variabel dapat kita modelkan kedalam bentuk yang lebihnyata.
Sistem persamaan linear secara umum dinyatakan sebagai berikut.
ax + by = pcx + dy = q
Berikut, beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear duavariabel.
Metode Grafik
Jika masing-masing persamaan dinyatakan dalam satu garis makaterdapat tiga kemungkinan, yaitu :
Mempunyai satu solusi. Terjadi jika dua garis berpotongan Jika kedua garis berimpit, maka tuliskan sistem tersebut sebagai
sistem dengan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Jika kedua garis sejajar, maka tidak ada titik perpotongannya.
Tidak mempunyai solusi.
4x + y
Metode EliminasiMetode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Kata eliminasi sendiri mempunyai arti menghilangkan. Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
x + y = 54x + y = 14
Kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk sederhana
karena kedua persamaan terdapat koefisien yang sama pada y makakita kurangkan secara langsung sehingga nantinya diperoleh x = 3dan y = 2. Begitu seterusnya sampai menemukan solusi ataspersamaan x dan y.
145x + y
Metode Substitusi
Metode ini sering diistilahkan sebagai penggantian.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
y = 4x – 1
y = x + 5
kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk bagansederhana
y 4x – 1 y x + 5
x + 54x – 1
Dengan bantuan gambar kita dapat menyelsaikan masalah yangterdiri dari dua variabel. Seperti contoh :
Harga 3 cangkir teh dan 2 gelas jus melon adalah Rp. 15.000 Harga 3 cangkir teh dan 5 gelas jus melon adalah Rp. 33.000
Gunakan gambar untuk menyelesaikan masalah tersebut
15.000 rupiah
Berapa harga 4 gelas jus melon ?
Berapa harga 2 gelas jus melon ?
Berapa harga 2 cangkir teh ?
Berapa harga 3 cangkir teh ?
Saya membeli dua jenis es dan harus membayar Rp. 2.300. Jumlahseluruh es adalah 10. Harga es jenis pertama adalah Rp. 300 danharga es jenis kedua adalah Rp. 200. Tentukan jumlah masing-masing es !
Solusi :
Misalkan es jenis pertama x rupiah dan es jenis kedua y rupiah.Persamaan dapat dituliskan
300x + 200y = 2.300
x + y = 10
dengan menggunakan salah satu metode sebelumnya, akandiperoleh nilai x = 3 dan y = 7. Jadi, jumlah masing-masing espertama dan es kedua adalah 3 dan 7.
Mata Kuliah Kecakapan MatematikaSemester II Tahun Ajaran 2016/2017
PENDAHULUAN
dengan mengganti salah satu persamaan
4x – 1 = x + 5
(4x – x) – 1 + 1 = (x – x) + 5 + 1
3x = 6, diperoleh x = 2 dan y = 7
Dengan menggunakan beberapa metode memudahkan kita dalammenentukan nilai x dan y.
33.000 rupiah
Metode Eliminasi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u x s psx + sqy = us
rx + sy = v x q rqx + sqy = vq
kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan nilai
𝑥 =𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (*)
𝑝𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞+ 𝑞𝑦 = 𝑢 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Solusi dari persamaan diatas adalah 𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞,𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞+ 𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞= 𝑢
𝑟𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞+ 𝑠
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞= 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metodepenyelesaian sistem persamaan yang disebut metode eliminasi.
Metode Substitusi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebutkonsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u
px = u – qy maka 𝑥 =𝑢−𝑞𝑦
𝑝
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (**)
r𝑢−𝑞𝑦
𝑝+ 𝑠𝑦 = 𝑣 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
dengan mengganti nilai y maka diperoleh 𝑥 =𝑢𝑠−𝑞𝑣
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞,𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞+ 𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞= 𝑢
𝑟𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞+ 𝑠
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞= 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metodepenyelesaian sistem persamaan yang disebut metode substitusi.
Bila kasus ps – qr = 0 maka ada dua kemungkinan
Jika𝑢
𝑣=
𝑝
𝑟= 𝐿, maka persamaan yang satu merupakan kelipatan
yang lainnya. karena itu, sistem dapat diganti dengan satupersamaan. Sistem disebut konsisten bergantung linear. Semuatitik pada garis px + qy = u adalah solusi.
Jika𝑢
𝑣≠
𝑝
𝑟, maka sistem persamaan tidak memiliki solusi dan
terjadi pada dua garis yang sejajar. Sistem disebut tak konsisten.
Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa.
Masalah yang lebih rumit seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini.
Tuliskanlah model matematika untuk masalah ini lalu carilah solusidari persamaannya !
DISKUSI KELOMPOK
SPLDV
PEMBUKTIAN METODE SPLDV
DIAGRAM ALUR
SPLDV
METODE
MEMODELKAN
IMPLEMENTASI
MEMODELKAN MASALAH DUA VARIABEL
METODE SPLDV
IMPLEMENTASI SPLDV DLM KEHIDUPAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
• Siswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
• Siswa mampu membuat model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel
• Siswa mampu menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel
• Siswa mampu menerapkan sistem persamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari
Berapa berat kotak besar dan berat kotak kecil ?
Masalah ini dapat dituliskan dalam sistem persamaan dua variabel.Jika x berat kotak besar dan y berat kotak kecil maka
x = y + 100 (*)
x = 2y + 50 (**)
jika diselesaikan melalui metode eliminasi maka akan diperolehx = 150 dan y = 50. Artinya, jika beban (dalam kg) ditambahkanmaka berat kotak besar akan semakin bertambah pula. Jadi, akanberbanding lurus.
REFERENSIMadhavi, V. dan Ved Dudeja. Jelajah Matematika SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira, 2011.
Neswan, Oki dan Wono Setya Budhi. Matematika untuk Kurikulum Berbasis KompetensiSMA. Bandung: ITB, 2003.
Setya Budhi, Wono. Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga, 2007.
