PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Alpian Ariesta (0800297)

Peta konsep Kalimat

Kalimat umum

Kalimat Matematik

a

Tertutup Terbuka

Pernyataan

Persamaan Pertidaksamaan

Kesamaan Ketidaksamaan

PLSV PLSDV Kuadrat PLSV PLSDV Kuadr

at

SK & KDStandar KompetensiMemahami bentuk persamaan, dan

pertidaksamaan linier satu variabel.Menggunakan persamaan dan

pertidaksamaan linier satu variabel dalam pemecahan masalah.

Kompetensi DasarMenyelesaikan persamaan linier satu

variabel.Menyelesaikan pertidaksamaan linier satu

variabel

Perhatikan kalimat berikut!Jakarta adalah ibu kota Indonesia,

bernilai benar Tugu Monas terletak di Yogyakarta,

bernilai salah

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.

Dapatkah Anda menjawab pertanyaan “Indonesia terletakdi Benua x ”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benua x” disebut kalimat terbuka.Contoh lainnya:3 dikurang “suatu bilangan” hasilnya adalah 6, dapat ditulis: 3 – x = 6, (misal x adalah ”suatu bilangan”)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya.

Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan.

Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Persamaan Linear Satu VariabelPerhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5.

kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (“=“) disebut persamaan.Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel.Jadi,Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (“=“) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu.

Contoh:a. 2x – 3 = 5 (PLSV)b. x2 – x = 2 (bukan PLSV)c. 1/3 x = 1 5 (PLSV)

Himpunan Penyelesaian PLSVPenyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara substitusi, Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 4 = 7, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:Jika x diganti bilangan cacah, diperolehsubstitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 8 (kalimat salah)Ternyata untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat yang benar.Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah {3}.

Tapi apakah setiap persamaan Linear satu variabel dapat diselesaikan dengan cara substitusi??

Persamaan Persamaan yang EkuivalenPerhatikan uraian berikut.a. x – 3 = 5

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8.

b. 2x – 6 = 10 (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

↔ 16 – 6 = 10 (benar).Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8.

c. x + 4 = 12 (kedua ruas pada persamaanya ditambah 7)Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar).Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8.

ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen.Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “↔ ”.Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 = 12 dapat dituliskan sebagai

x – 3 = 5 ↔ 2x – 6 = 10 ↔ x + 4 = 12.

Jadi, dapat dikatakan sebagai berikutDua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “↔ ”.

Perhatikan uraian berikut x – 5 = 4

↔ x – 5 + 5 = 4 + 5↔ x = 9Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}. Dengan

kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan x = 9, atau ditulis

x – 5 = 4 ↔ x = 9.

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh soalEBTANAS SMP tahun 1993 nomer 03Jika diketahui x + 5 = 11, maka nilai x + 33 adalah …A. 19B. 29C. 39D. 49JawabCari terlebih dahulu nilai x x + 5 = 11↔x + 5 – 5 = 11 – 5↔x = 6 didapat penyelesaian x = 6, kemudian x + 33 = 6 + 33 = 39.Jadi jawaban untuk soal diatas adalah opsi C

Contoh Soal 2EBTANAS SMP tahun 2001 no. 12Himpunan penyelesaian dari, jika x variabel pada himpunan bilangan pecahan adalah …A. { }

B. { }

C. { }

D. { }

Jawab

KetidaksamaanDalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan kalimat seperti berikut:

a. Sadam memiliki berat badan lebih dari 50 kg.b. Sebuah Damri dapat mengangkut tidak lebih dari 55

orang

Dalam kalimat matematika:c. Misal x adalah berat badan sadam (dalam Kg), x lebih

dari 50 ditulis x > 50d. Misal y adalah daya angkut damri dalam satuan jumlah

orang, y tidak lebih dari 55 ditulis y ≤ 55Kalimat-kalimat x > 50 dan y ≤ 55 termasuk konsep

ketidaksamaan

Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tandahubung berikut.“<” untuk menyatakan kurang dari.“>” untuk menyatakan lebih dari.“ ≤ ” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dariatau sama dengan.“ ≥ ” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dariatau sama dengan.

Pertidaksamaan Linear Satu VariabelKalimat terbuka yang menyatakan hubungan

ketidaksamaan(<, >, ≤ , atau ≥ ) disebut pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).

Contoha. x – 3 < 5 ( PtLSV )b. a ≤ 1 – 2b ( bukan PtLSV )c. x2 – 3x ≥ 4 ( bukan PtLSV )

Penyelesaian PtLSVPerhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2 ↔ 10 – 3 . 1 > 2 ↔ 7 > 2 (pernyataan benar)Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2 ↔ 10 – 3 . 2 > 2 ↔ 4 > 2 (pernyataan benar)Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2 ↔ 10 – 3 . 3 > 2 ↔ 1 > 2 (pernyataan salah)Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2 ↔ 10 – 3 . 4 > 2 ↔ –2 > 2 (pernyataan salah)Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.Secara umum dapat dituliskan

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadipernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaanlinear satu variabel.

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.JawabCara 1 4x – 2 > 3x + 5↔ 4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)↔ 4x > 3x + 7↔ 4x + (–3x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)↔ x > 7Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.Cara 3 4x – 2 > 3x + 5↔ 4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)↔ 4x – 7 > 3x↔ 4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)↔ –7 > –x↔ –7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas dibagi dengan –1 tetapi tanda

ketidaksamaan berubah menjadi <)↔ 7 < x atau x > 7Karena x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.

a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.

b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.

c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana1) > menjadi <; 3) < menjadi >;2) ≤ menjadi ≥ ; 4) ≥ menjadi ≤.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:

Contoh soalUN SMP tahun 2007 no. 8Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah ...A. x ≥ -17B. x ≥ -1C. x ≥ 1D. x ≥ 17

Jawab

Jadi jawaban untuk soal diatas adalah opsi C