Soal-Soal Responsi

Aljabar Linier

1. Tentukan himpunan solusi dari sistem persamaan berikut menggu-nakan eliminasi Gauus-Jordan

(a)x1 + x2 + 2x3 = 8−x1 − 2x2 + 3x3 = 13x1 − 7x2 + 4x3 = 10

(b)2x1 + 2x2 + 2x3 = 0−2x1 + 5x2 + 2x3 = 18x1 + x2 + 4x3 = −1

(c)

x− y+ 2z− w = −12x+ y− 2z− 2w = −2−x+ 2y− 4z+ w = 13x − 3w = −3

2. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan a, b dan c adalah konstan.

(i)2x + y = a3x + 6y = b

(ii)x1 + x2 + x3 = a2x1 + 2x3 = b

3x2 + 3x3 = c

3. Tentukan nilai a sehingga sistem persamaan linier berikut memilikisolusi tunggal, solusi tak hingga banyaknya dan tidak memiliki solusix + y + 7z = −72x + 3y + 17z = −16x + 2y + (a2 + 1)z = 3a

4. Perhatikan sistem persamaan

3x − y − z = 1x + 3y + 2z = 35x + y + 2z = k

Tentukan nilai k sehingga sistem persamaan di atas memiliki solusi.Cari semua solusi pada kasus ini.

1

5. Tentukan solusi SPL homogen berikut:

(a)3x1 − 2x2 = 06x1 − 4x2 = 0

(b)2x − y − 3z = 0−x + 2y − 3z = 0x + y + 4z = 0

(c)

x1 + 3x2 + x4 = 0x1 + 4x2 + 2x3 = 0

− 2x2 − 2x3 − x4 = 02x1 − 4x2 + x3 + x4 = 0x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0

6. Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q dan r)

p + q + r = 0q + 2r = 0

k2p + (k + 1)q + r = 0

Tentukan nilai k sehingga SPL memiliki memiliki solusi tunggal.

7. Selesaikan sistem persamaan nonlinier berikut untuk x, y dan z

x2 + y2 + z2 = 6x2 − y2 + 2z2 = 22x2 + y2 − z2 = 3

Petunjuk : Substitusikan X = x2, Y = y2 dan Z = z2.

8. Selesaikan sistem persamaan berikut untuk x, y dan z

1

x+

2

y− 4

z= 1

2

x+

3

y+

8

z= 0

−1

x+

9

y+

10

z= 5

9. Misalkan A matriks berukuran 4 × 4 dan det(A) = −2. Hitunglahdeterminan(a) det(−A) (b) det(A−1) (c) det(2AT ) (d) det(A3)

2

10. Selesaikan untuk x ∣∣∣∣ x −13 1− x

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 0 −32 x −61 3 x− 5

∣∣∣∣∣∣11. Tunjukkan bahwa matriks cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 00 0 1

memiliki invers untuk semua nilai θ, kemudian tentukan inversnyamenggunakan adjoint.

12. Buktikan bahwa jika A matriks n× n dan A memiliki dua baris yangsama maka det(A) = 0.

13. Hitunglah det(BtA−1BA) dengan

A =

1 3 2−1 4 15 −2 6

dan B =

3 1 63 2 73 1 8

14.

15. Diberikan ∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = −7.

Hitunglah

∣∣∣∣∣∣g h id e fa b c

∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣3a 3b 3c−d −e −f4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣

a b c2d 2e 2f

g + 3a h+ 3b i+ 3c

∣∣∣∣∣∣dan

∣∣∣∣∣∣−3a −3b −3cd e f

g − 4d h− 4d i− 4f

∣∣∣∣∣∣.16. Jika

C =

2 0 02 9 35 7 8

dan D =

1 2 50 2 90 0 3

3

17. Hitunglah determinan dari1 1 2 1a (a+ 1) 2a a0 b 2 1c c 2d d+ 1

18. Gunakan determinan untuk menunjukkan bahwa untuk semua nilai λ

sistem persamaan berikut

x − 2y = λxx − y = λy

solusinya hanya x = 0 dan y = 0.

4