Kelompok 8 Pendidikan Matematika 1 B

Andina Aulia Rachma1113017000054

Aenul Huspiah1113017000046

Adinda Rizzalti1113017000034

Harun Mustofa1113017000033

PERSAMAAN

TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung

fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-sudut yang tidak

diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu:

a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini dipenuhi oleh

semua nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui dimana fungsi-fungsi

tersebut terdefinisi.

b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaan ini hanya

dipenuhi oleh bebrapa nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui.

Contoh

a. sin x csc x = 1 adalahidentitas, Karenadipenuhiolehsemuanilaix, dimanacscx terdefinisi

b. sin x = 0 adalahpersamaanbersyaratkarenatidakdipenuhiolehx = 1 4∏ atau½∏

Dalam bahasan ini kita akan menggunakan“persamaan” bukan “persamaan identik”

Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri

Persamaan yang mengandung JumlahPerbandingan Trigonometri

Persamaan Kuadrat PerbandinganTrigonometri

Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c

Sebelum kita menggunakan rumus ..

Yuk kita latih dulu kemampuan kita…!

Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana berikut ini :

2 sin x = 1 untuk 0 < x < 360o

Jawab:

2 sin x = 1

sin x = ½

sin x = sin 30o

sudut x adalah sudut istimewa dan jelas x = 30o adalah penyelesaiannya.

Karena sin x juga positif di kuadran II, maka x = 180 – 30 = 150 juga

merupakan solusi persamaan diatas . Jadi , solusinya adalah 30o dan 150o.

Bentuk Dasar PersamaanTrigonometri

1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positifdi kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360’. Dengan demikian, penyelesaian dari persamaan

sin x = sin a adalah….

atau

Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat

2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyaiperiode dasar 360o , sehingga penyelesaian dari

cos x = cos a adalah….

atau

Dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….. K € bilangan bulat

x = a + k. 360o

x = (180-a) + k. 360o

x = a + k. 360o

x = (-a) + k. 360o

3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan kuadran III, dan periode dasarnya adalah 180’, sehingga penyelesaian dari

tan x = tan a adalah….

Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat

x = a + k. 180o

11

12

Contoh soal

Tentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut,

untuk 00 x 3600 :

a. sin xo = 32

1 b. sin (x+30)o – 1 = 0

Jawab

a. sin xo = 32

1

sin x = - sin 600

x1 = (– 600 )+ k. 3600

atau

x2 = 2400 + k. 3600

Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 240o atau 300o

x2 = 1800 –(– 600 )+ k. 3600

x1 = + k. 3600

K = 0 x = -600

K = 1 x = 3000

K = 2 x = 6600

x2 = (1800– ) + k. 3600

K = 0 x = 2400

K = 1 x = 6000

Contoh soal

b. sin (x+30)o – 1 = 0

Jawab

b. sin (x+30)-1 = 0

sin (x+30) = 1

sin (x+30) = sin 90

x1 = + k. 3600

X1+30= 90+k. 3600

K = 0 x = 600

K = 1 x = 4200

atau

x2 = (1800 – ) + k. 3600

X2+30 = (1800 – 90) + k.3600

X+30 = 90 + k. 3600

K = 0 x = 60

K = 1 x = 420

Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 60o

14

Jika Cos xo = Cos o (xR)

Maka : x1 = + k. 3600 atau

x2 = (– ) + k. 3600

k Bilangan Bulat

2.

Contoh soal:TentukanHimpunanPenyelesaiannya:

cos 3xo = 1

23untuk 00 x 3600

Jawab:

cos3xo = 1

23

cos 3x = cos 300

3x1 = 300 + k. 3600

x1 = 100 + k. 1200

k = 0 x =100

k = 1 x = 1300

k = 2 x = 2500

3x2 = –300 + k. 360x2 = –100 + k. 1200

K = 0 x = -100

K = 1 x = 1100

K = 2 x = 2300

K = 3 x = 3500

atau

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =

{100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }

15

Jika tan xo = tan o (x R)

Maka : x1.2 = + k. 180

k Bilangan Bulat

3.

Contoh Soal :

TentukanHimpunanPenyelesaiannya:

tan2xo = 3 untuk00 x 3600

Jawab:

tan2xo = 3tan 2x = tan 600

2x1.2 = 600 + k. 1800

x1.2 = 300 + k. 900

k= 0 x = 300

k = 1 x = 1200

k = 2 x = 2100

k = 3 x = 3000

k = 4 x = 3900

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =

{300 , 1200 , 2100 , 3000 }

Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan

Trigonometri

Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus

jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian sinus

dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh :

Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ......... (1)

Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b ..........(2)

Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :

* 2 sin a cos b = Sin (a + b) + Sin (a - b)

Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan :

* 2 cos a sin b = Sin (a + b) - Sin (a - b)

Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b ......(3)

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b ......(4)

Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :

*2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan :

* -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai

“rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “

dan kita rangkum sebagai berikut:

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya yaitu menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai perkalian sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan sebagai berikut:

Misal a + b = A dan a - b= B, maka½ (A + B) = ½ (a + b + a - b) = ½ (2a) = a½ (A - B) = ½ (a + b – a - b) = ½ (2b) = b

Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka diperoleh :

sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS

sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)

RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β

Untuk menyelesaikan Persamaan

trigonometri yang memuat jumlah

, selisih sinus

atau kosinus. Maka kita dapat

menggunakan rumus jumlah dan

selisih dalam trigonometri.

Untuk lebih jelasperhatikan contoh

berikut….

Contoh

1. 2 cos 75 cos 15 = cos (75+15) + cos (75-15)

= cos 90 + cos 60

= 0 + ½

= ½

2. Cos 105 cos 15 = ½ cos (105+15) +

½ cos (105-15)

= ½ cos 120 + ½ cos 90

= ½ (-½) + 0

= -¼

0

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5x + sin 3x = 0, dalam interval0≤ x ≤ 360°.

Jawab:Sin 5x + sin 3x = 0⇔ 2 sin ½ (5x + 3x) cos ½ (5x ̶ 3x)⇔2 sin 4x cos x = 0

sin 4x cos x = 0/2sin 4x cos x = 0

⇔ sin 4x = 0 atau cos x = 0Dari persamaan itu diperoleh :sin 4x = 0 = sin 0°

⇔ 4x = k × 360° atau 4x = 180° + k. 360°

⇔ x = k × 90° atau x = 45° + k. 90°

⇔ untuk k = 0, x = 0° atau x = 45°

k = 1, x = 90° atau x = 135°

k = 2, x = 180° atau x = 215°

k = 3, x = 270° atau x = 315°

k = 4, x = 360° atau x = 405°

Jadi Hp = {0°,45°,90°, 180°, 135°, 215°, 270° ,315°, 360°}

Dari persamaan itu diperoleh :Cos x = 0 = cos 90°⇔ x = ± 90° + k . 360°⇔ x = 90° +k . 360° atau x = - 90° +k . 360°⇔ untuk k = 0 x = 90° atau x = - 90°

k = 1, x = 470° atau x = 270°

Persamaan Kuadrat Perbandingan

Trigonometri

Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen.Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangenakar-akarnya dapat ditentukandengan cara:1.Dengan memfaktorkan2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna3.Dengan menggunakan rumus ABC

Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikanmenggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum.2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.

a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac)

b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.

Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, makapersamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atauhimpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).

Contoh 1:Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360°

Jawab !2 sin²x = 3 sin x - 12 sin²x – 3 sin x + 1 = 02p² - 3p + 1 = 0(2p- 1) (p -1) = 0

p = ½ p = 1a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½

sin x = sin 30°

x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360°

k=0 x = 30° k = 0 x = 150°

k=1 x= 390° k = 1 x = 510°

b. Dari persamaan diperoleh sin x =1sin x = sin 90°

x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 °k= 0 x = 90° k= 0 x = 90o

k= 1 x = 450° k=1 x = 450o

misal sin x = p

Maka Hp = {30°, 90°,150°}

Contoh.2Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah……..

Jawab !2 sin²x – 7 sin x + 3 =0⇔2p² - 7xp+3 = 0⇔ (2p – 1)(p – 3)=0⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak)

Maka, sin x =½ dan sin x = 3

Sin x = ½ = sin 30°

x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360°

Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150°

dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°

Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 180o

Penyelesaian :

Cos2 2x + sin 2x – 1 = 0

(1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0

- sin2 2x + sin 2x = 0

Sin2 2x – sin 2x = 0

Sin 2x (sin 2x - 1) = 0

Sin 2x = 0 atau sin 2x = 1

a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o

Penyelesaiannya : Penyelesaiannya :

1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o

x = 0o + k.360 x = 45o + k.180

k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o

k = 1 --> x = 360o

2. 2x = 180o + k . 360

x = 90o + k . 180o

k = 0 --> x = 90o

k = 1 --> x = 270o

Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o

45o 90o 180o

Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8

Missal cos 2x = q

3q2 + 2q – 8 = 0

(3q-4) (q+2)

q = 4/3 atau q = -2

syarat akar-akar yang ditentukan :

D ≥ 0

D = b2 – 4ac

D = 22 – (4.3.-8)

D = 4 – (-96)

D = 100 Memenuhi

Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}

q1 = 4/3 > 1

q2 = -2 < -1

Keduanya tidak memenuhi

Karna salah satu syarat

tidak terpenuhi maka

HP = { }

Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadratDalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudutrangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan. Perhatikan contoh dibawah ini.

1.Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval0 ≤ x ≤ 360°

solusi !Cos 2x – 10 sin x = -11⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima)⇔sin x = 1 = 90°

x = 90° + k . 360°

Untuk k = 0 maka x = 90°

Jadi penyelesaianya adalah 90°

Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x

Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadratdalam Sinus, cosinus dan tangen.

Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c

Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x-α).

Perlu diketahui bahwa cos (x-α) = cos x cos α + sin x sinα

Sehingga a cos x + b sin x = k. cos ( x – α )

= k (cos x cos α + sin x sin α)

= ( k.cos α ) cos x + ( k.sin α ) sin x

Hal ini sama artinya dengan a = k cos α dan b = k sin α

Ingat!

Oleh sebab itu, a 2 + b 2 = (k.cos α) 2 + (k.sin α) 2

= k 2 (cos 2 α + sin 2 α) = k 2

Dengan syarat k 2 ≥ c 2

Cos 2α + sin2α = 1

a 2 + b 2 = k 2

Contoh 1 :Nilai x yang memenuhi persamaan

-√2 cosx° + √2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…

jawab:

a = -√2 dan b = √2

k =

tanα =

→ α = 135 → cos(x – 135) = ½

▪ 2cos(x – 135) = 1 x – 135 = -60 + k.360

→ cos(x – 135) = ½ x = 75 + k.360

x – 135 = 60 + k.360 k = 0 → x = 75

x = 195 + k.360

k = 0 → x = 195

22 )2()2( 222

II)kuadran di ( 12

2

Jadi, Harga x yang

memenuhi adalah 75 o

atau 195 o

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian persamaan

2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….

jawab:▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2

2√3cos2x – 2.sin2x = 2

√3cos2x – sin2x = 1

▪ √3cos2x – sin2x = 1

a = √3, b = -1 → k =

= 2

tan α =

α = 360° – 30° = 330°

▪ 2cos(2x - 330°) = 1

cos(2x – 330°) = ½2x – 330 = 60 + k.360

22 1)3(

IV) kuadran di α ( 33

131

▪ 2x – 330°= 60° + k.360°

2x = 390° + k.360°

x = 195° + k.180°

k = -1 → x = 15° → x =

k = 0 → x = 195°→ x =

▪ 2x – 330° = -60° + k.360°

2x = 270° + k.360°

x = 135° + k.180°

k = 0 → x = 135° → x =

k = 1 → x = 315° → x =

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah

121

1213

43

47

47

1213

43

121 ,,,

Thankyou…..