16580568 trigonometri

1

Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

CONTOH

Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B. Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandingan-perbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb : 1 . Sinus A. 4 . Sekan A

b

aA sin

Ac

bA

cos

1sec

2 . Cosinus A 5 . Cosecan A

b

cA cos

Aa

bA

sin

1csc

3 . Tangen A 6 . Cotangen A

c

aA tan

Aa

cA

tan

1cot

Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A = 3

1,

tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya !

Perhatikan gambar !

Diperoleh :

3

22cos A 3csc A

4

2

22

1tan A 22cot A

4

23

22

3sec A

A B

C

b

a

c

A B

C

3 1

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

JAWAB

http://berbagimedia.wordpress.com/

Matematika Kelas X Semester 2

2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2



1 . Diketahui tan B =

, tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B !

2 . Perhatikan gambar

A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut : AD = AB - … = ….. - …. B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2 Lengkapi isian berikut : CD2 = …………… - …………….. = …………………………….. ….. 1) Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2 Lengkapi isian berikut : CD2 = …………… - …………….. = …………………………….. ….. 2) Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan

kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD ! C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B. D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.

Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :

sin α 0 1

cos α 1 0

tan α 0 1

A B

C

D

4

10

8

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut :

Info

Kosinus

LATIHAN 1



3




CONTOH

LATIHAN 2

Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm,

dan A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC !

Panjang sisi BC dapat dihitung dengan menggunakan

perbandingan trigonometri berikut :

6

30tantanBC

AB

BCA

Jadi : cm3233

1630tan6 BC

Untuk menghitung panjang AC dapat menggunakan

perbandingan trigonometri sin A , cos A, atau menggunakan

teorema Pytagoras.

Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :

cmACACAC 3448326 2222

1 . Jika diketahui 3

2sin dan 3

2

1tan . Hitunglah :

a . cos

b . tan

c . sin

d . cos

e .

costan

cossin

2 Tentukan nilai dari :

a. 60 2Cos 60 2Sin b.

60 2Cos 30 2Cos

60 2Sin30 2Sin c.

60 Cos 1

60Sin

3 . Perhatikan gambar !

Hitunglah : a . Panjang AC. b . Panjang CD. c . Besar sudut ABC. d . Panjang BD. e . Panjang BC.

B A

C

30°

6 cm

A B

C

D

60°

8 cm

JAWAB



4




Pengertian Kuadran.

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

x

y

O

Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu yang membagi bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian bidang tersebut dinamakan kuadran.

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM.

Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka

perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum :

1 . Sinus . 2 . Cosinus. 3 . Tangen .

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN

Sudut α terletak di kuadran pertama, jika :

0° ≤ α ≤ 90°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama :

( bernilai positif )



Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama.

x

y

O

P ( x , y )

O

r y

x

y

x

P ( x , y )

Sudut di Kuadran Pertama



5




Sudut α terletak di kuadran kedua, jika :

90° ≤ α ≤ 180°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua :


( bernilai negatif )


Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua.

Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

O

x

y

P ( -x , y

) r

Sudut di Kuadran Kedua

P ( -x , y )

y

x

O

Isilah tabel berikut :

120o 135o 150o 180o

Sin ……………… ……………… ……………… ………………

cos ……………… ……………… ……………… ………………

Tan ……………… ……………… ……………… ………………



6




Sudut di Kuadran Ketiga

r

Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika :

180° ≤ α ≤ 270°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga :




Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga.

Jika α sudut di kuadran ketiga, maka :

Sudut di Kuadran Ketiga

P ( –x , –y )

x

y

O

P ( –x , –y )

x

y

O


210o 225o 240o 270o

Sin ……………… ……………… ……………… ………………

cos ……………… ……………… ……………… ………………

Tan ……………… ……………… ……………… ………………



7




r

Sudut α terletak di kuadran keempat, jika :

270° < α ≤ 360°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat :




Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat.

Jika α sudut di kuadran keempat, maka :

Sudut di Kuadran Keempat

P ( x , –y )

x

y

O

P ( x , –y )

x

y

O

Sudut α bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam.

Untuk Sudut Negatif Berlaku :

Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

Sudut Negatif

x

y

O

P ( x , –y )

x

y

O

r



8




CONTOH

1 . Hitunglah :

22

315sec

60sin225tan

2 . Diketahui sin = 3

1 dengan sudut tumpul, dan cos =

6

1 dengan sudut di kuadran

keempat. Tentukan nilai dari

cos

tan.tan

1.

2

45cos

1

32

145tan

2

315360cos

1

32

145180tan

315sec

60sin225tan

22

22

32

49

64

98

8

27

2

2

4

7

2

2

24

31 22


300o 315o 330o 360o

Sin ……………… ……………… ……………… ………………

cos ……………… ……………… ……………… ………………

Tan ……………… ……………… ……………… ………………

Untuk sudut α > 360° , berlaku :

Sudut α > 360°

JAWAB

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )°

Pengembangan



9




LATIHAN 3

2 . Diketahui : sin = 4

1 dengan sudut tumpul, berarti sudut di kuadran kedua.

Dan cos = 6

1 dengan sudut di kuadran keempat

Maka : cos = 3

22

tan = 24

1

22

1

sin = 5

62

tan = 62

Jadi,

4

63

3

22

62.24

1

cos

tan.tan

1 . Hitunglah nilai dari :

a .

330cot

225cos.135sin b .

240sin

300sec.840tan2

2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a.

)-(90 cos

)-(90sin

b.

)-(180 sec

)-(90sin

c .

) (180 cosec

) -(90tan

p

p d .

81 cos

378 cos

198 cos

99 cot

3. Diketahui 54sin dan

1312 cos , dan dikuadran I. Hitunglah :

a. cos

b. tan

c. sin

d. tan

e. sincoscossin

f. coscossinsin

g.

tan.tan1

tantan

4 . Jika tan = 5

2 dengan sudut di kuadran ketiga, dan sin =

7

3 dengan sudut di

kuadran keempat, hitunglah cos2tan.sin .

5 . Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa :

a . ACB coscos b . ACB2

1cos

2

1sin

1 3

5



10




1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS. Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua buah garis sumbu yang saling tegaklurus. Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang arahnya tegaklurus. Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a ( disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu x . Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat.

2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ). Setiap titik P pada koordinat kutub dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara titik P dengan titik O, dan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh OX dan OP.

HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM KOORDINAT KUTUB. Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut :

22 yxr , dan x

ytan

Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P. Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat kartesius, dapat digunakan hubungan berikut : cosrx dan sinry

x

y

O

P ( a , b )

x

O

P ( r , α° )

r

x

y

O

P ( x , y )

r

SISTEM KOORDINAT BIDANG



11




LATIHAN 4

CONTOH

1 . Ubahlah titik ( 3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub ! 2 . Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius !

1 . 3233 2222 yxr

13

3tan

x

y

135 ( α di kuadran kedua )

Jadi koordinat kutubnya adalah ( 135,32 ).

2 . 3332

1.6330cos6cos

xxxrx

32

1.6330sin.6sin

yyyry

Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3,33 ).

1 . Ubahlah ke dalam koordinat kutub :

a . 35,5

b . 2,2

c . 4,4

d . 1,3

2 . Ubahlah ke dalam koordinat kartesius :

a . 30,8

b . 135,4

c . 240,6

d . 330,12

JAWAB



12




CONTOH

Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb :

1 . Ukuran Derajat.

2 . Ukuran Radian. Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’.

Ketiga juring tersebut sebangun, jadi :

Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB dalam satuan radian.

Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian. Perhatikan gambar di samping. Besar sudut AOB : Dalam satuan derajat :

AOB = 180° …………………….. 1 )

Dalam satuan radian : …………………….. 2 )

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh : radian 180 , jadi :

dan

1 . Ubahlah ke dalam ukuran radian : a . 15 b . 60

2 . Ubahlah ke dalam ukuran derajat :

a . 9

1 radian b .

2

3 radian

3 . Hitunglah :

2

45Cot

34Sin

65Sin

61- Cos

r

r

Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut sudut pusat

satu lingkaran penuh

O A

B

A

B

A’

B’

AB A’B’ A’’B’’ = =

OA O’A’ O’’A’’

Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran

= AB

OA

= radian AOB =

PENGUKURAN SUDUT

r O B A



13




LATIHAN 5

1 . a . 180

1515 radian =

12

1radian

b . 180

6060 radian =

3

1 radian

2 . a . 9

1 radian = 180

9

1 = 20

b . 2

3 radian = 270180

2

3

3 .

4

33

2

1

2

1

32

1

2

1

32

12

45Cot

34Sin

65Sin

61- Cos 2

1 . Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian :

a . 40.

b . 30.

c . 80.

d . 75.

e . 120.

f . 134.

g . 210.

h . 250.

i . 315. 2 . Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat :

a . 3

2 radian.

b . 5

1 radian.

c . 4

7 radian.

d . 10

3 radian.

e . 6

7 radian.

f . 9

4 radian.

3 . Sederhanakan :

a . A

A

cot

sec b .

cos.

2

1tan

4 . Hitunglah :

a .

6

7cos

3

2tan

6

1sec

3

1sin

b . 3

4tan

4

7cot 22

c .

2

6

1sin

3

1csc

6

7tan

4

1sec

JAWAB



14




Diketahui :

1 . Hubungan Antara Sinus dan Kosinus.

Diketahui : 2

22sin

r

y dan

2

22cos

r

x , jadi :

1cossin2

2

2

2

2

222

r

r

r

x

r

y

2 . Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen.

tan

cos

sin

x

y

r

xr

y

3 . Hubungan Antara Tangen, dan Secan.

xx

r

x

x

x

yx 2

2

2

2

2

2

22 sec1tan

4 . Hubungan Antara Tangen, dan Secan.

xy

r

y

y

y

xx 2

2

2

2

2

2

22 csc1cot

y

x

r

HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI



15




CONTOH

LATIHAN 6

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai variabel. Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu : 1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain. 2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas

hasilnya sama. Buktikan identitas trigonometri berikut :

1 . AAAA

Acottan

cos.sin

cos21 2

2 . AAA 2cos

2

sin1

1

sin1

1

1 . Rkanan = AA cottan

= A

A

A

A

sin

cos

cos

sin

= AA

AA

sin.cos

cossin 22

= AA

AA

cos.sin

cos)cos1( 22

= AA

A

cos.sin

cos21 2

= Rkiri

2 . Rkiri = AA sin1

1

sin1

1

= AA

AA

sin1sin1

sin1sin1

= A2sin1

2

= A2cos11

2

= A2cos

2

= Rkanan

Buktikan identitas trigonometri berikut :

1 . xx

xcos1

cos1

sin2

2 . sec.csccottan

3 . xxxx 22 cossincsc.sin

4 . 1cos11cot 22 xx

5 .

sectansecsin1

1

6 . sectan.sincos

7 .

xxxx

xxsin

cossin.tan

cot1sec2

8 . AA

AA

AA

AA

cossin

cossin

cscsec

cscsec

9 . xxx

2sec2sin1

1

sin1

1

10 .

cos.sin

1cos2tancot

2

IDENTITAS TRIGONOMETRI

JAWAB



16




1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut : Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama

dengan 1.

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 0

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0°

y

x

Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode.

Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian .

Info

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI



17




2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut : Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama

dengan 1.

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 0

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0°

y

x



18




LATIHAN 7

3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut :

Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama

dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau radian.

1 . Isilah tabel berikut :

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x°

b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 ∞ 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 ∞ 1 0

y

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

0°

x

asi

mto

t

asi

mto

t

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….



19




CONTOH

2 . Isilah tabel berikut : a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x°

b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah : 1 . Persamaan sinus : 2 . Persamaan cosinus 3 . Persamaan tangen

sinsin x coscos x tantan x

Penyelesaian : Penyelesaian :

360.kx 360.kx Penyelesaian :

atau atau 180.kx

360.180 kx 360.kx

Dengan k bilangan bulat .

Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai

adalah ukuran radian.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :

1 . 2

1sin x , untuk 3600 x

2 . 33cos2 x , untuk 3600 x

3 . 04

1tan33

x , untuk 20 x

1 . 2

1sin x , untuk 3600 x

Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga ( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ).

Jadi :

Sin x° = sin ( 180 + 30 )° Sin x° = sin 210°

Penyelesaian :

360.210 kx

Untuk k = 0 diperoleh : 210360.0210x

atau 360.30360.210180 kkx

Untuk k = 1 diperoleh : 330360.130x

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 210° , 330° }

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

2 x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

2 x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

JAWAB



20




LATIHAN 8

2 . 33cos2 x , untuk 3600 x

Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb :

2

33cos x , diperoleh :

30cos3cos x

Penyelesaian :

120.10360.303 kxkx

Untuk k = 0 , diperoleh 10x



120.10360.303 kxkx




Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° }

3 . 04

1tan33

x , untuk 20 x

Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah :

33

1

4

1tan

x .

Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah radian, sehingga diperoleh :

6

5tan

4

1tan

x

Penyelesaian :

.12

13.

4

1

6

5.

6

5

4

1kxkxkx

Untuk k = 1 , diperoleh 12

1x

Untuk k = 0 , diperoleh 12

13x

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah :

HP = { 12

1,

12

13}

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :

1 . sin x = 32

1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

2 . 2 cos 2x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

3 . tan ( 15 x ) = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

4 . 2 sin 3x 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

5 . sin ( 3x 30 ) = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

6 . cos 2

1 x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

7 . 1+ 3 tan ( x 3

1) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

8 . sin 3x = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ).

9 . cos ( 3

2 x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

atau



21




RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Info

Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :

1 . sisi sudut sudut 2 . sudut sisi sudut 3 . sisi sisi sudut

CONTOH

Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb :

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

1 . Diketahui segitiga ABC dengan A = 45° , B = 60° , dan a = 12 cm. Hitunglah panjang b ! 2 . Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm,

panjang sisi LM = 3 cm, dan M = 30°. Hitunglah cosinus K .

1 . Panjang b adalah :

A

Bab

A

a

B

b

sin

sin.

sinsin

Jadi :

45sin

60sin.12b

cm66

22

1

32

1.12

b

2 . Nilai sinus dari K adalah :

m

MkK

M

m

K

k sin.sin

sinsin

8

3

4

2

1.3

4

30sin.3sin

K

Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar sketsa berikut :

A B

C

a b

c

A B

C

a = 12 cm b

45° 60°

M K

L

4 cm 3 cm

30

ATURAN SINUS

JAWAB



22




LATIHAN 9

Jadi :

8

55cos K

1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 53 cm , C = 60. Jika sin B = 3

2

hitunglah panjang sisi AB ! .

2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ = 32

1 cm, QR = 64 cm, dan R =

30. Hitunglah cosinus P !

3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm , K = 45, dan C = 30. Hitunglah panjang l ! 4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5

cm, panjang sisi ST = 25 cm.

a . Hitunglah besar S

b . Hitunglah besar T 5 . Dua orang pada saat yang sama

berangkat menuju titik C. Salah seorang berangkat dari titik B dengan kecepatan 2 km/jam. Temannya berangkat dari titik A. Jika mereka sampai di titik C dalam waktu yang sama, hitunglah kecepatan temannya tersebut !

Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb :

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

Bentuk lain dari aturan kosinus adalah :

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

A B

C

a b

c

K

3

8

30

120

A B

C

ATURAN KOSINUS



23




CONTOH

060

U

1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm,

panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB ! 2 . Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah

cosinus sudut QPR !

1 . Panjang sisi AB, adalah :

CBCACBCACAB cos...2222

120cos.6.4.264 222AB

762436162 AB

Jadi : 19276 AB cm

2 . Cosinus sudut QPR adalah :

PRPQ

QRPRPQQPR

..2cos

222

10

1

70

7

7.5.2

975cos

222

QPR

Cosinus sudut QPR bernilai negatif,

berarti sudut QPR merupakan sudut tumpul.

C A

B

4 cm

6 cm

120

P

Q R

5 cm 7 cm

9 cm

Info

Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :

1 . sisi sudut sisi 2 . sisi sisi sisi

JAWAB

Info

Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka Hal-hal yang perlu diketahui : 1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara. 2 . Sudut berputar searah jarum jam. 3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan

tiga angka .

Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di samping.



24




LATIHAN 10

1 . Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 32 cm, panjang BC = 25 cm,

dan B = 135 . Hitung panjang sisi AC !

2 . Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan

panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari P, Q, dan R !

3 . Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km

dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C.

4 . Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan

membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam, dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam !

5 . Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km

dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan

jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC, ACB, dan jarak AC. Kemudian tentukan jurusan A dari C !.

Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

L = Cba sin2

1 , atau L = Bca sin

2

1, atau L = Acb sin

2

1

A B

C

a b

c

60

LUAS SEGITIGA

1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

Jika segitiga ABC diketahui besar B , C, dan sisi a , maka luasnya samadengan :

L =

Besar A = ( 180 - B - C )°

2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga

tersebut dapat dihitung dengan rumus :

L =

Dengan .

Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron.

Info

A B

C

a

A B

C

a b

c



25




CONTOH

Hitunglah luas segitiga berikut :

1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan A = 150.

2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm, Q = 30 , dan R = 120. 3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm. 1 . Luas segitiga ABC adalah :

L = 150sin..2

1ABAC

= 2482

1.16.12

2

1cm

2 . Besar sudut P = ( 180 120 30 ) = 30 Jadi luas segitiga PQR, adalah :

L = P

RQQR

sin2

sin.sin.2

=

30sin2

120sin.30sin.82

= 2

32

1.64

= 2cm 316

3 . Karena diketahui panjang ketiga sisinya,

maka dapat dipakai rumus Heron, sbb :

142

12106

s

Jadi : L = 1214.814.614.14

= 13442.6.8.14

= 2182164 cm2.

B

A C

150

16 cm

12 cm

P

Q R 30 120

8 cm

12 cm

10 cm

6 cm

M

K

L

JAWAB



26




LATIHAN 11

Hitunglah luas segitiga berikut :

1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 72 cm, dan C = 60

2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 38 cm , B = 45, dan C = 150.

3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm. 4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisi-

sisinya 20 cm ! 5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika

AC = 6 cm, dan luas segitiga

tersebut 73 cm²,

hitunglah panjang AB !

20 cm

A B

C

6 cm



27




1 . Jika A dan B sudut lancip dengan tan

A = 3

7 dan sin B =

3

1, nilai dari

( cos A . tan B ) ² sama dengan …

A. 24

1

B. 216

3

C. 9

128

D. 128

9

E. 4

3

2 . Nilai dari ...

6

5cos

3

1cot

6

7sin

3

2sec

A. 2

1

B. 22

1

C. 32

1

D. 3

E. 3

3 . Perhatikan gambar !

Nilai cot Q = …

A. 7

5

B. 3

1

C. 13

5

D. 12

5

E. 13

27

4 . Suatu segitiga ABC diketahui A = 150, sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka luas segitiga AMC = … A. 12 cm² B. 13 cm² C. 14 cm² D. 15 cm² E. 16 cm²

5 . Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah …

A. 3

2

B. 53

1

C. 55

2

D. 52

1

E. 55

3

( Ebtanas 1997 ) 6 . Diketahui segitiga KLM siku-siku di L.

Jika cot K = 8

15, nilai ...

cossin

sincos

LL

KK

A. 17

7

B. 17

15

C. 23

7

D. 17

23

E. 7

23

7 . Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm

dan sin A =2

1 . Nilai cos B = …

A. 55

2

B. 53

1

C. 32

1

D. 3

2

E. 2

1

P Q

R

27 cm

13 cm 17 cm

I . PILIHAN GANDA



28




8 . Diketahui segitiga ABC dengan

panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan

C = 120. Luas segitiga ABCadalah … A. 18 cm² B. 9 cm² C. 6√3 cm² D. 3√3 cm² E. 2√3 cm²

( Ebtanas 1998 ) 9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang

sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 13 cm. Nilai tan C = …

A. 13

5

B. 12

5

C. 13

12

D. 3

2

E. 5

13

( Ebtanas 1999 )

10 . Jika sin A = 5

3 , dengan 90 ≤ A ≤

180, maka nilai cos A = …

A. 5

3

B. 5

3

C. 5

4

D. 5

4

E. 4

3

11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm,

PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS

garis bagi QPR, panjang PS = …

A. 39

20

B. 39

20

C. 34

45

D. 33

20

E. 36

20

( Ebtanas 2001 ) 12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi

AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = …

A. 33

2 cm

B. 3 cm

C. 2 cm

D. 32

3 cm

E. 32 cm

( Ebtanas 2002 ) 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga

yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm adalah …

A. 215

1

B. 216

1

C. 55

1

D. 56

1

E. 53

1

( Ebtanas 2003 ) 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB =

6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60. Panjang sisi BC = …

A. 2√19 cm B. 3√19 cm C. 4√19 cm D. 2√29 cm E. 3√29 cm

( UAN 2004 ) 15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4

cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan ABC = α. Nilai cos α = …

A. 4

1

B. 24

11

C. 18

11

D. 24

18

E. 24

21

( UN 2005 ) 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7

cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai

sin BAC = ....

A. 7

5

B. 67

2

C. 49

24

D. 7

2

E. 67

1

( UN 2005 )



29




17 . Diketahui A dan B adalah titik – titik

ujung sebuah terowongan yang dilihat

dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika

jarak CB = p meter dan CA = 2p√2

meter, maka panjang terowongan itu

adalah … meter.

A . p 5

B . p 17

C . 3 2

D . 4p

E . 5p

( UN 2007 ) 18 . Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan

A dengan arah 044° sejauh 50 Km.

Kemudian berlayar lagi dengan arah

104° sejauh 40 km ke pelabuhan C .

Jarak pelabuhan A ke C adalah ... km.

A . 10 95

B . 10 91

C . 10 85

D . 10 71

E . 10 61

( UN 2006 )

19 . Nilai dari sin 315 + cos 315 +

tan(60) = …

A. 3

B. 3

C. 22

1

D. 33

1

E. 33

1

20 . Sebuah kapal berlayar ke arah timur

sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan

perjalanan dengan arah 030° sejauh 60

mil. Jarak kapal terhadap posisi saat

kapal berangkat adalah … mil.

A . 10 37

B . 30 7

C . 30 225

D . 30 325

E . 30 325

( UN 2005 kurikulum 2004 )

1 . Seseorang yang tingginya 1,6 m akan mengukur tinggi tiang bendera. Dari sebelah kiri, dia

mengamati ujung tiang bendera dengan

sudut elevasi 15, dan dari sebelah kanan

dia mengamati dengan sudut elevasi 30. Jika jarak tempat pengamatan pertama dan kedua adalah 80 m, hitunglah tinggi tiang bendera tersebut ( ket : 259,015sin , 696,015cos ,

268,015tan )

2 . Jika sudut lancip, tentukan perbandingan trigonometri sudut yang lain, untuk :

a . Sin = 5

3 b. Cos =

7

5 c. Tan = p

3 . Tentukan nilai dari :

a. 60 Cos 60 Sin 22 b.

60Cos 30Cos

60 Sin30 Sin22

22

c.

60 Cos 1

60Sin

II . URAIAN

80 m

1,6 m

15 30



30




4. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran derajat.

a. rad2

b. rad

6

5 c. rad

3

5

d. rad9

7 e. rad

4

3 f. rad

5

13

catatan : radrad3

2

3

2

7. Tentukan Koordinat Cartesius dari titik-titik berikut.

a. 305,A b. 60,34B c. 1233,P

d. 658,R e. 33010,M

8 . Tentukan koordinat kutub dari titik-titik berikut.

a. 3 -4,K b. 3- 1,L c. 7- 2,-M

d. 2 ,25N e. 3 2,-S

9 . Lengkapi tabel berikut :

a . Gambarlah grafik fungsi y = 1 + sin x . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut. 10 . Lengkapi tabel berikut :

a . Gambarlah grafik fungsi y = cos (x + 30 ) . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut.

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

1 + sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

1 + sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 0° 30° 60° 90° 120° 150°

( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….

cos( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 180° 210° 240° 270° 300° 330°

( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….

cos( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….


16580568 trigonometri

Documents

Transcript of 16580568 trigonometri