BAB I

PENDAHULUAN

Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak

kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antar

variabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model linear, namun tidak sedikit pula

yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non-linear . Bahkan sebagian dari

model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-

hububungan yang non-linear, merupakan linearisasi dari model non-linear.

Bab ini menguraikan karakteristik-karakteristik penting dari fungsi non-liear. Empat

macam bentuk fungsi non-linear yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi

merupakan titik perhatian. Keempatnya adalah fungsi kuadratparabolik, fungsi kubik,fungsi

eksponensial dan fungsi logaritmik.

1

BAB II

PEMBAHASAN

A. FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat dua.

Bentuk umum: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan

bentuk potongan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola. Perhatikan gambar.1

berikut:

Gambar.1

Apabila bidang kerucut dipotong dengan posisi mendatar, akan diperoleh potongan

berpenampang lingkaran. Pemotongan dengan posisi menyerong menghasilkan potongan

berpenampang elips. Pemotongan dengan posisi tegaklurus, tapi bukan pada pertengahan

kerucut, menghasilkan penampang hiperbola. Sedangkan jika dipotong menyerong pada

separoh bidang kerucut, akan dipperoleh potongan berpenampang parabola. Dengan

demikian kurva dari sebuah persamaan kuadrat akan berbentuk salah sau dari empat

kemungkinan tersebut.

Untuk lingkaran, elips, dan hiperbola tidak akan dibahas secara panjang lebar disini,

mengingat penerapan langsungnya dalam model-model ekonomi relatif langka. Perhatian

lebih ditekankan pada persamaan kuadrat yang berbentuk parabola, karena lebih sering

muncul dalam berbagai model ekonomi.

1. Identifikasi Persamaan Kuadrat

Mengingat pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat

terletak pada baik variabel x maupun variabel y, bahkan pada suku xy (jika ada),

maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

2

ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0, setidak-tidaknya salah satu a ≠ 0 atau b ≠ 0

Dari bentuk yang lebih umum ini, dapat diidentifikasi gambar atau kurva dari

persamaannya yakni sebagai berikut:

Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika p2 – 4ab < 0, kurva elips

Jika p2 – 4ab > 0, kurva hiperbola

Jika p2 – 4ab = 0, kurva sebuah parabola

Apabila p = 0 maka bentuk umum menjadi:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai

berikut:

Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika d ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips

Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

2. Lingkaran

Secara geometri, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap

terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik-titik tersebut terhadap

pusat disebut jari-jari lingkaran.

Bentuk umum persamaan lingkaran:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, a = b ≠ 0

Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan

umumnya sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus

lingkaran yaitu:

(x - i)2 + (y - j)2 = r2

dimana :

i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal-y

j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu horizontal-x

r = jari-jari lingkaran

3

Pusat P (i,j) dengan jari-jari r

Jika r2 > 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari r.

Jika r2 = 0 menghasilkan lingkaran berupa titik.

Jika r2 < 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari khayal, sehingga lingkarannya tidak

dapat disajikan secara grafik.

Titik pusat dan jari-jari lingkaran dapat dengan mudah dicari. Perhatikan

penguraian persamaan umum lingkaran dan rumus baku lingkaran masing-masing

berikut ini.

Rumus baku lingkaran:

(x - i)2 + (y - j)2 = r2

x2 -2ix + i2 + y2 -2jy + j2 = r2

x2 + y2 - 2ix - 2jy + i2 + j2 - r2 = 0……………………………………………..(1)

Persamaan umum lingkaran:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

ax2 + ay2 + cx + dy + e = 0 (sebab a=b)

x2 + y2 + ca

x + da

y + ea

= 0………………………………………………………(2)

Berdasarkan (1) dan (2):

ca

= -2i i = - c

2 a

da

= -2j j = - d

2 a

ea

= i2 + j2 – r2 r2 = i2 + j2 – ea

r = √ i2+ j2− ea

r = √(−c2 a

)2

+(−d2a

)2

− ea

Pusat P (- c

2 a, -

d2 a

) dan jari-jari r = √(−c2 a

)2

+(−d2a

)2

− ea

Dengan memanfaatkan penemuan ini, pusat dan jari-jari lingkaran akan lebih

mudah dan cepat diketahui.

Titik potong lingkaran dengan sumbu-sumbu koordinat dapat dicari dengan

memisalkan x=0, sehingga perpotongannya dengan sumbu-y dapat dihitung;

4

kemudian memisalkan y = 0, sehingga perpotogannya dengan sumu-x dapat pula

dihitung. Tidak setiap lingkaran mempunyai perpotongan dengan sumbu-sumbu

koordinat. Hal ini tergantung pada besar kecilnya nilai-nilai i dan j dibandingkan

terhadap nilai r. Jika i > r, lingkarannya tidak memotong sumbu vertikal-y. Jika j > r,

lingkarannya tidak memotong sumbu horizontal-x.

Contoh:

1) Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0. Tentukan

juga perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.

3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0

x2 + y2 - 8x - 6y – 11 = 0

(x2 - 8x + k1) + (y2 - 6y + k2) = 11 + k1 + k2

(x2 - 8x + 16) + (y2 - 6y + 9) = 11 + 16 + 9

(x - 4)2 + (y – 3)2 = 62

i j r

Pusat lingkarannya adalah titik P (4,3), jari-jari = 6

cara lain:

3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0

P ( −(−24 )

2 x 3, −(−18)

2 x3) = P (4,3)

Perpotongan dengan sumbu-x: y =0

3x2 – 24x - 33 = 0

x2 – 8x - 11 = 0

dengan rumus abc diperoleh x1 = 9,19 dan x2 = -1,19

Perpotongan dengan sumbu –y: x=0

3y2 - 18y - 33 =0

y2 - 6y - 11 =0

dengan rumus abc diperoleh y1 = 7,47 dan y2= -1,47

Jadi, lingkaran tersebut memotong sumbu-x pada posisi x = 9,19 dan x = -1,19

serta memotong sumbu-y pada posisi y = 7,47 dan y = -1,47

5

6

XOA ( a , 0 ) F1 ( - c , 0 ) F1 ( c , 0 )

Y

P ( x , y )

D ( 0 , - b )

C ( 0 , b )

B ( a , 0 )

2) Gambarkan lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0

x2 – 6x + y2 + 4y = -13

(x2 – 6x + 9) + ( y2 + 4y + 4) = -13 + 9 + 4

(x - 3)2 + (y + 2)2 = 0

i = 3, j = -2, r = 0

x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0

3. Elips

Dalam matematika, sebuah elips adalah gambar yang menyerupai  lingkaran 

yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan

kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang,

yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan

sebelumnya (disebut fokus).

Gambar.2

a. Unsur-Unsur Elips

7

Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D

adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu

mayor elips adalah AB.

2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada

gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.

Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan

jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. (e<1).

Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :

- Pusat elips O(0,0) ;

- Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;

- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;

- Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor

= 2a

- Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor

= 2b

- Eksentrisitas : e = c

a

- Direktriks : x = a

e atau x = a2

c

- Panjang lactus rectum = 2 b2

a

b. Persamaan Elips

Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

1. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik

fokusnya.

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

8

b2 x2 +a2 y2 = a2 b2 ataux2

a2+ y2

b2= 1 , a ¿ b¿

Dengan : - Pusat (0,0)

- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan : - Pusat (0,0)

- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)

Catatan : c = √a2 − b2

Contoh 1

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan

sumbu mayor 10 satuan.

Jawab : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )

Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

b = √ a2−c2=√ 25−16= √ 9= 3

Persamaan elipsnya :

x2

a2+ y2

b2= 1 ⇔ x2

52+ y2

32= 1 ⇔ x2

25+ y2

9= 1

Jadi persamaan elipnya adalah

x2

25+ y2

9= 1

Contoh 2

Diketahui persamaan elips

x2

16+ y2

9= 1

, tentukan koordinat titik puncak,

koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas,

persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !

Jawab : Dari persamaan elips

x2

16+ y2

9= 1

, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 =9,

maka b = 3.

c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = √7 .

9

a2 x2 +b2 y2 = a2 b2 ataux2

b2+ y2

a2= 1 , a ¿ b¿

Dari data diatas diperoleh :

- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

- Titik focus ( -c,0) = (- ,0 ) dan ( c,0)=( √11 ,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8

- Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

- Eksentrisitas: =

√74

- Persamaan direktriks :

x = ae= 4

√74

=16

√7=16

7√7

- Panjang lactus rectum =

2 b2

a=2 . 9

4=18

4=4

12

2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : - Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)

- Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)

- Panjang sumbu mayor=2a

- Panjang sumbu minor=2b

- Persamaan direktriks

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan : - Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)

- Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)

- Panjang sumbu mayor=2a

- Panjang sumbu minor=2b

- Persamaan direktriks

Contoh 1

10

7

a

ce

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan

sumbu minor dari persamaan elips

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku

Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a2=9 maka a=3, b2=4 maka a=2,

- Pusat ( α,β )= ( 2,1 )

- Titik fokus di F1 ( α-c, β )= ( 2 - ,1 ) & F2 ( α+c, β )=( 2+ ,1 )

- Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )

- Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6

- Panjang sumbu minor=2b=2.2=4

4. Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap

dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Sebuah

hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang

asimtot.

a. Unsur-Unsur Hiperbola

11

O

xa

by x

a

by

Y

( a,0 )

( 0, -b )

( 0,b )

T (x,y)

.F2 ( -c,0)

.F1 ( c,0)

(- a,0 )

Gambar.3

Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah focus

hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang

sumbu minor = 2b.

b. Persamaan Hiperbola

1. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

a. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya

adalah :

Dengan :

- Pusat ( 0,0 )

- Titik fokus F1(-c,0) & F2 (c,0)

- Titik puncak ( -a,0 ) &( a,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot :

- Persamaan direktriks :

- Eksentrisitas:

- Panjang lactus rectum

-

12

b. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya

adalah :

Dengan :

- Pusat ( 0,0 )

- Titik fokus F1(0,-c) & F2 (0,c)

- Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a)

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot :

- Persamaan direktriks :

Contoh 1 :

Diketahui persamaan hiperbola , tentukan :

a) Koordinat titik puncak

b) Koordinat titik fokus

c) Persamaan asimptot

d) Persamaan direktriks

e) Eksentrisitas

f) Panjang lactus rectum

Jawab : Dari persamaan hiperbola , diperoleh a2=16, maka a=4

dan a2=9, maka a=3,

a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0)

b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )

c. persamaan asimptot :

d. persamaan direktriks :

e. eksentrisitas :

f. panjang lactus rectum

13

Contoh 2 :

Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya

(0,5) & (0,-5).

Jawab : Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5)

diperoleh c=5.

Jadi persamaan hiperbolanya adalah

2. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )

a. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x,

persamaan hiperbolanya adalah :

Dengan :

- Pusat ( α,β )

- Titik fokus F1( α - c, β ) &

F2 ( α + c, β )

- Titik puncak ( α - a, β ) &

(α + a, β )

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot :

- Persamaan direktriks :

b. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y,

persamaan hiperbolanya adalah :

Dengan : - Pusat ( α,β )

- Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α,

β + c )

- Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β +

a )

- Panjang sumbu mayor = 2a

14

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot :

- Persamaan direktriks :

Contoh 3 :

Diketahui persamaan hiperbola . Tentukan:

a. koordinat titik pusat

b. koordinat titik puncak

c. koordinat titik fokus

d. persamaan asimptot

e. persamaan direktriks

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku

15

Dari persamaan diatas, diperoleh , a2=9, maka a=3 dan

b2=12, maka b= ,

a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3)

b. Koordinat titik puncak (α - a, β)=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-

3 ) = (0,-3)

c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- ,3 ) & F2 ( α + c, β ) =

(-3+ , 3 )

d. Persamaan asimptot :

e. Persamaan direktriks :

5. Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah

titik focus dan sebuah garis lurus yang disebut direktris. Setiap parabola mempunyai

sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.

Letak titik ekstrim parabola mengandung empatkemungkinan, tergantung pada

bentuk parabolanya. Apabila sumbu simetri parabola sejajar dengan sumbu vertical,

letak titik ekstrimnya akan di atas jika parabolanya terbuka ke bawah, atau di bawah

jika parabolanya terbuka ke atas. Sedangkan bila sumbu simetri parabola sejajar

dengan sumbu horizontal, titik ekstrimnya akan terletak di kiri jika parabilanya

terbuka ke kanan jika parabolanya terbuka ke kiri. Perhatikan Gambar.4 di bawah

ini :

16

Gambar.4

Secara umum persamaan parabola sbb :

ax2+by2+cx+dy+e=0, dimana salah satu a atau b (tetapi tidak keduanya) sama

dengan nol.

y=ax2+bx+c sumbu simetri // sumbu vertical

x=ay2+by+c sumbu simetri // sumbu horizontal

Dimana a ≠ 0

Untuk parabola dengan sumbu simetri // sumbu vertical atau ¿ax2+bx+c ,

parabolanya terbuka ke bawah jika a<0 dan terbuka ke atas jika a>0. Sedangkan

untuk parabola dengan sumbu simetri //sumbu horizontal untuk x=ay2+by+c,

parabolanya terbuka ke kanan jika a>0 dan terbuka ke kiri jika a<0.

Titik ekstrim (i,j) adalah :

(−b2 a

,b2−4 ac−4a )

Dimana (−b2 a )adalah jarak titik ekstrim dari sumbu-sumbu vertical –y, sedangkan

( b2−4 ac−4 a )adalah jarak titik ekstrim dari sumbu horizontal –x.

Contoh :

Tentukan titik ekstrim parabola y=2 x2−8 x+5 da perpotongannya dengan sumbu-

sumbu koordinatnya.

Jawab :

y=2 x2−8 x+5 ; parabolanya terbuka ke atas sebab a=2>0, titik ekstrimnya terletak

di bawah,. Koordinat titik ekstrimnya :

17

(−b2 a

,b2−4 ac−4a ) ¿( 8

4,64−40

8 )=(2,3 )

Untuk x=0 , y=5(perpotongan dengan sumbu vertical)

Untuk y=0 ,2 x2−8 x+5=0 → x1=3,225 dan x2=0,775

B. FUNGSI KUBIK

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yan pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum persamaan kubik adalah :

y=a+bx+cx2+dx3 , d ≠ 0

Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point),

yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atu dari cambung

menjadi cekung. Fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum

atau minimum) atau dua titik ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik

ekstrim pada fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai b, c dan d di dalam

persamaannya.

Gambar.5

Gambar.4 menunjukkan fungsi kubik yang mempunyai titik ekstrim :

Gambar.6

18

C. FUNGSI EKSPONENSIAL

Fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.

Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah:

y=nx n>0

Kurvanya terletak di kuadran-kuadran atas (kuadran I dan kuadran II) pada sistem

koordinat. Dalam hal 0<n<1, kurva dari y=nx bergerak menurun dari kiri ke kanan

(monotonically decreasing), serta asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y

pada (0,1). Dalam hal n>1, kurva dari y=nx bergerak menaik dari kiri ke kanan

(monotonically increasing), juga asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y

pada (0,1). Jika n = 1, kurvanya akan berupa garis lurus sejajar sumbu x.

Kurva eksponensial y=nx

Gambar.7

Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah:

y=nekx+cn≠ 0 dan k , c : konstanta

Kurva asimtotik terhadap garis y=c. Mengingat bentuk ini mengandung bilangan e

maka pengetahuan tentang konsep logaritma, khususnya logaritma Napier yang berbasis

e, sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial semacam ini. Kurva

dari y=nekx+c untuk nilai-nilai n, k dan c tertentu dapat dilihat pada Gambar.8 dan

Gambar.9. Kurva eksponensial y=nekx+cuntuk n>0

19

Gambar.8

Kurva eksponensial y=nekx+cuntuk n<0

20

Gambar.9

Titik potong kurva eksponensial y=nekx+c pada sumbu –x ialah ( 1k

ln|cn|,0) , sedangkan

pada sumbu y ialah (0, n + c). hal ini berlaku umum untuk ke-12 panel pada gambar 7-23

dan gambar 7-24.

Contoh:

Tentukan titik potong kurva eksponensial y=2e0,5 x−4pada masing-masing sumbu dan

hitunglah f(3).

Jawab:

Pada sumbu x: y = 0

2 e0,5x=4

e0,5 x=2

21

ln e0,5 x=ln 2

0,5 x ln e=ln 2¿¿¿

0,5 x=0,69

x=1,39

Titik potongnya : (1,39 ; 0)

Pada sumbu y: x = 0

y=2e0,5 ( 0)−4

y=2e0−4

y=2−4=−2

Titik potongnya : (0 ; -2)

Untuk x=3 ,

y=2e1,5−4

y=2 ( 4,48 )−4

y=4,9 6

D. FUNGSI LOGARITMIK

Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya

merupakan bilangan logaritma. Bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana adalah:

n>0 dan n≠ 1

Kurvanya terletak pada kuadran I dan kudran IV pada sistem koordinat. Kurvanya

bergerak menurun dari kiri ke kanan, asimtot terhadap sumbu y dan memotong sumbu x

pada (1,0). Besar kecilnya nilai n menentukan kelengkungan kurvanya seperti

Gambar.10

0 < n < 1 n > 1

Gambar.10

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :

22

y=logn x

y=a ln(1+x )+b

x > -1

kurvanya terletak di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1. Untuk nilai-nilai

a dan b tertentu, kurva dari fungsi logaritmik dapat dilihat pada Gambar.11.

Perpotongannya dengan masing-masing sumbu dapat dicari sebagai berikut.

Perpotongan dengan sumbu x ; y = 0

a ln (1+x )+b=0

a ln (1+x )=−b

ln (1+x )=−ba

e ln (1+ x )=e−b/a

1+x=e−b /a

e−b /a−1>0 jika

ba<0 → (a ) a>0 ,b<0 atau

(b)a<0 ,b>0

x=e−b /a−1 e−b /a−1=0 jika

ba=0 →b=0

e−b /a−1<0 jika

ba>0 → (c )a>0 , b>0 atau

(d ) a<0 ,b<0

Perpotongan dengan sumbu y ; x = 0

y=a ln (1+0 )+b=a ln1+b=0+b=b

Gambar. 11

23

24

Contoh

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln(1+ x) + 6 pada masing-masing sumbu

dan hitunglah f (4)!

Jawab:

Untuk y = 0 2 ln(1+ x) + 6 = 0

2 ln(1+ x) = -6

ln(1+ x) = -3

e ln (1+ x )=e−3

1+x=e−3

x=e−3−1

x=−0,9502

Titik potong dengan sumbu x ; (-0,9502 , 0)

Untuk x = 0 y = 2 ln (1) + 6 = 6

Titik potong dengan sumbu y ; (0 , 6)

f (4) = 2 ln (1+ 4) + 6 = 9,2189

25

BAB III

KESIMPULAN

a. Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umum: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

b. Bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0, setidak-tidaknya salah satu a ≠ 0 atau b ≠ 0

Gambar atau kurva dari persamaannya yakni :

Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika p2 – 4ab < 0, kurva elips

Jika p2 – 4ab > 0, kurva hiperbola

Jika p2 – 4ab = 0, kurva sebuah parabola

Apabila p = 0 maka bentuk umum menjadi: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

identifikasinya menjadi:

Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika d ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips

Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

c. Bentuk umum persamaan lingkaran: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, a = b ≠ 0

Bentuk baku rumus lingkaran yaitu: (x - i)2 + (y - j)2 = r2

Jika r2 > 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari r.

Jika r2 = 0 menghasilkan lingkaran berupa titik.

Jika r2 < 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari khayal

Pusat P (- c

2 a, -

d2 a

) dan jari-jari r = √(−c2 a

)2

+(−d2a

)2

− ea

d. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

b2 x2 +a2 y2 = a2 b2 ataux2

a2+ y2

b2= 1 , a ¿ b¿

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

a2 x2 +b2 y2 = a2 b2 ataux2

b2+ y2

a2= 1 , a ¿ b¿

26

e. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x,

persamaan elipsnya adalah

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y,

persamaan elipsnya adalah

f. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

g. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )

1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan

hiperbolanya adalah :

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan

hiperbolanya adalah :

h. Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah y=nx , n>0

i. Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah

y=nekx+c ,n ≠ 0 dan k , c : konstanta

j. Bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana adalah y=logn x ;n>0 dan n≠ 1

k. Bentuk fungsi logaritma yang lebih umum adalah y=a ln(1+x )+b, x > -1

27