MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP …/Model... · structural change is a pattern change...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA

TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV

SWITCHING GARCH

oleh

YUNITA EKASARI

NIM. M0108072

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2012

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Yunita Ekasari, 2012. MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TER-HADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH . Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Dolar Kanada merupakan salah satu dari mata uang komoditas yang aktifdiperdagangkan di pasar valuta asing. Data nilai tukar dolar Kanada terhadaprupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 memiliki sifat heteroske-dastisitas dan juga terdapat perubahan struktur. Model GARCH mampu me-modelkan adanya heterokedastisitas dengan baik namun tidak memperhitungkanadanya perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahanpola yang terjadi pada data runtun waktu. Markov Switching (MS ) merupakanalternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur.Dalam MS, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatuhasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak tera-mati. Dalam literatur sering disebut state. Banyaknya state diasumsikan ada duayaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi.

Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu yang sesuai un-tuk nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Data nilai tukar dolar Kanadaterhadap rupiah dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada modelGARCH atau sering disebut MS-GARCH. Hasil penelitian menunjukkan modeluntuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Fe-bruari 2002 sampai 29 Februari 2012 untuk state nol adalah ARMA(1,0) sebagaimodel rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi bersyarat.Sedangkan untuk state satu ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat danGARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat.

Kata kunci : dolar Kanada, heteroskedastisitas, perubahan struktur, MS-GARCH.

iii


commit to user

ABSTRACT

Yunita Ekasari, 2012. EXCHANGE RATE MODEL OF CANADIAN DOLLAR TO RUPIAH USING MARKOV SWITCHING GARCH. Faculty of Ma-thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Canadian dollar is one of commodity currencies traded actively in foreigncurrency market. The data of Canadian dollar exchange rate to rupiah duringFebruary 1, 2002 to February 29 2012 period have heteroscedasticity property anda structural change, too. GARCH can model the presence of heteroscedasticitycorrectly but does not take into account the presence of structural change. Thestructural change is a pattern change occurring in the data time series. Markovswitching(MS) is an alternative of time series data modeling having structuralchange. In Markov Switching, change of model structural that occured is notconsidered as a result of deterministic event but a result of random anobservedvariable. In literature, it is called state. It is assumed that there are two numberof states : state zero for low volatility and state one for high volatility.

The purpose of this final project is to determine an appropriate time seriesmodel for exchange rate of Canadian dolar to rupiah. The data is modeled byinvolving Markov Switching in GARCH model or frequently called MS-GARCH.The result of research shows that a model to forecast the exchange rate of Cana-dian dolar to rupiah during February 1, 2002 to February 29 2012 period for statezero is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,0) as conditional variancemodel, while state one is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,1) asconditional variance model.

Key words : Canadian dollar, heteroscedasticity, structural change, MS-GARCH.

iv


commit to user

MOTO

Tidak ada simpul yang tidak dapat diurai, tidak ada masalah yang tidak dapat

diselesaikan asalkan kita mempunyai kesabaran

Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu dengan

kesiapan

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Ibu dan Bapakku tercinta,

Adikku Tony Hendra Prasetya,

Keluargaku Tisanda 2,

Elza, Agatha, Indriya dan Umi.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan

rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain

itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah mem-

bantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada Bapak Drs. Sugiyanto,

M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Drs. Pangadi, M.Si. selaku Dosen

Pembimbing II atas kesabarannya membimbing dan memotivasi penulis dalam

penyusunan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

vii


commit to user

Daftar Isi

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Model Runtun Waktu dan Stasioneritas . . . . . . . . . . 7

2.1.2 ACF dan PACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

viii


commit to user

2.1.4 Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.5 Estimasi Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.6 Uji Autokorelasi Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.7 Uji Heterokedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.8 Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.9 Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.10 Kriteria Informasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.11 Model Markov Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.12 Model Markov Switching GARCH . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.13 Probabilitas Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.14 Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat 21

2.1.15 Fungsi Likelihood MS-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.16 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH . . . 25

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

IIIMETODE PENELITIAN 28

IVPEMBAHASAN 30

4.1 Deskripsi Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Pengujian Karakteristik Log Return . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Pembentukan Model Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.1 Identifikasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.2 Estimasi Parameter Model ARMA . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.3 Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 34

4.4.3.1 Uji Autokorelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.3.2 Homokesdastisitas Variansi . . . . . . . . . . . . 35

4.4.4 Uji Efek Heteroskedastisitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.4.1 Uji Korelasi Kuadrat Residu . . . . . . . . . . . . 36

4.4.4.2 Uji Lagrange Multiplier . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.5 Uji Perubahan Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ix


commit to user

4.4.6 Model GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.7 Model Markov Switching GARCH . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.8 Peramalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.8.1 Peramalan Volatilitas . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.8.2 Peramalan Rata-Rata Bersyarat . . . . . . . . . . 41

4.4.9 Validasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

V PENUTUP 44

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

DAFTAR PUSTAKA 45

x


commit to user

Daftar Tabel

2.1 Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return . . . . . . . 34

4.2 Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . . 35

4.3 Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 37

4.4 Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0) . . . . . . 38

4.5 Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . 39

4.6 Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan . . . 40

4.7 Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Inte-

rval Konfidensi 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam

Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% . . . . . . . . 42

4.9 Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . 42

4.10 MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . 42

xi


commit to user

Daftar Gambar

4.1 Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . 30

4.2 Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah 31

4.3 Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . 31

4.4 Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar

Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar

Dolar Kanada terhadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6 Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada ter-

hadap Rupiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.7 Plot Residu Model ARMA(1,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.8 Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0) . . . . 36

xii


commit to user

DAFTAR NOTASI

Pt : data pada waktu ke-t

rt : log return pada waktu ke-t

T : jumlah observasi

E() : harga harapan

γk : autokovariansi pada lag-k

ρk : autokorelasi pada lag-k

ϕkk : autokovariansi parsial

ϕ : parameter autoregressive

θ : parameter rata-rata bergerak

p : orde parameter autoregressive

q : orde parameter rata-rata bergerak

µ : rata-rata

σ2 : variansi

x : variabel bebas

S∗ : jumlah kuadrat residu

εt : residu rata-rata bersyarat pada waktu t

ut : deret white noise berdistribusi normal dengan variansi satu

Ψt : himpunan semua observasi samapai waktu ke-t

α : parameter GARCH

β : parameter GARCH

st : state

f() : fungsi densitas probabilitas

α : parameter GARCH

pij : probabilitas transisi state i akan diikuti state j

pjt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt−1

xiii


commit to user

Ij(st) : fungsi indikator bernilai nol atau bernilai satu

φjt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψt

lt : fungsi log likelihood pada waktu ke-t

Θ : vektor parameter MS-GARCH

χ2 : statistik uji Breuch-Godfrey

ξ∗ : statistik uji Lagrange Multiplier

Q : statistik uji Ljung Box

F : statistik uji Chow Break Point

H0 : hipotesis nol

H1 : hipotesis alternatif

xiv


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan hampir semua negara di

dunia menganut sistem perekonomian terbuka. Perekonomian terbuka meng-

gambarkan suatu kondisi dimana antar negara melakukan suatu hubungan, baik

secara ekonomi melalui perdagangan internasional maupun politik. Perdagang-

an internasional mengakibatkan munculnya masalah baru yakni perbedaan mata

uang antar negara-negara yang bersangkutan. Harga suatu mata uang terhadap

mata uang yang lainnya disebut nilai tukar (kurs). Nilai tukar merupakan alat

untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara.

Sejak 14 Agustus 1997, Indonesia menganut sistem nilai tukar mengambang

bebas (free floating exchange rate system). Nilai tukar rupiah dibiarkan secara

bebas bergerak berdasarkan mekanisme pasar. Akibatnya nilai tukar rupiah ter-

hadap mata uang asing sangat berfluktuasi. Salah satu mata uang yang dapat

mempengaruhi pergerakan perekonomian dunia adalah dolar Kanada yang me-

rupakan salah satu dari commodity currency yang aktif diperdagangkan di pasar

valuta asing (Haruko [9]). Fluktuasi nilai tukar memberikan dampak yang besar

terhadap perekonomian sehingga diperlukan manajemen nilai tukar yang baik,

yang menjadikan nilai tukar stabil. Fluktuasi nilai tukar dolar Kanada terhadap

rupiah dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu karena merupakan

himpunan observasi terurut.

Menurut Cryer [4], salah satu model runtun waktu untuk data stasioner

adalah Autoregressive Moving Average (ARMA). Model ARMA memiliki asumsi

variansi eror yang konstan, yang dikenal dengan istilah homoskedastisitas. Da-

ta runtun waktu finansial sering mengalami perubahan volatilitas dari waktu

1


commit to user

ke waktu sehingga variansi dari eror berubah setiap waktu (heteroskedastisitas).

Hal ini mengakibatkan asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi. Berdasarkan

kenyataan tersebut, diperlukan model yang dapat menggambarkan pergerakan

variansi eror.

Engle [5] memperkenalkan model Autoregressive Conditional Heteroscedas-

ticity (ARCH ) untuk memodelkan variansi eror. Model ARCH dalam penera-

pannya memiliki kelemahan yaitu ketika diperoleh orde ARCH yang besar me-

nyebabkan presisi estimator berkurang. Bollerslev [2] memperkenalkan model

Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH ) yang me-

rupakan generalisasi dari model ARCH. Namun, baik model ARCH maupun

GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktur serta tidak dapat mende-

teksi pergeseran volatilitas.

Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching(MS ) sebagai alternatif

pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktur. Perubahan

struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu.

Dalam Markov Switching, perubahan struktur yang terjadi tidak dianggap seba-

gai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random

tak teramati(unobservable) dan dalam literatur sering disebut state atau regime.

Hamilton [7] melibatkan Markov Switching pada model Autoregressive dan meng-

hasilkan model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dengan baik, namun

belum bisa menjelaskan adanya pergeseran volatilitas. Selanjutnya, Hamilton

dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, dikenal de-

ngan model MS-ARCH. Model ini mampu menjelaskan perubahan struktur dan

mendeteksi pergeseran volatilitas pada data. Gray [6] memperkenalkan model

Markov Switching GARCH (MS-GARCH ) yang mempunyai karakteristik yang

sama dengan MS-ARCH namun melibatkan parameter yang lebih sederhana. Pe-

nelitian tentang model (MS-GARCH ) banyak diterapkan dalam asset’s return,

diantaranya oleh Marcucci [12] dan Klaasen [10] pada stock market. Marcucci

[12] menggunakan rata-rata keseluruhan data sebagai rata-rata bersyarat MS-

GARCH. Dalam penelitian ini, (MS-GARCH ) akan diterapkan pada nilai tukar

2


commit to user

dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012

dengan rata-rata bersyarat model Autoregressive.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun perumusan masalah

sebagai berikut.

1. Bagaimana menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap

rupiah menggunakan MS-GARCH.

2. Bagaimana ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan

MS-GARCH untuk periode 1 Maret samapi dengan 8 Maret 2012.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penulisan skripsi ini diberikan untuk membatasi ru-

ang lingkup pembahasan masalah yaitu data yang digunakan adalah data harian

nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari Senin-

Jumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari

2012. Model yang digunakan adalah MS-GARCH dengan asumsi terdapat dua

state yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas

tinggi.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai

berikut.

1. Menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah meng-

gunakan MS-GARCH.

2. Menentukan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan

MS-GARCH.

3


commit to user

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan, khu-

susnya dalam pengembangan model variansi eror yang melibatkan perubahan

state atau regime. Sedangkan manfaat praktisnya bagi pemerintah diharapkan

hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada dapat membantu dalam antisipasi kon-

disi perekonomian negara dan bagi pelaku pasar modal dapat membantu dalam

pengambilan keputusan.

4


commit to user

Bab II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Tinjauan pustaka adalah pembahasan mengenai penelitian-penelitian se-

belumnya yang mendasari penelitian penulis. Penelitian tersebut diantaranya,

Engle [5], Bollerslev [2], Hamilton [7], Hamilton dan Susmel [8], Gray [6] Mar-

cucci [12] dan Klaasen [10].

Pemodelan variansi eror pertama kali diperkenalkan oleh Engle [5] meng-

gunakan model ARCH. Engle [5] membandingkan hasil estimasi antara model

standar yakni model klasik OLS dengan model ARCH melalui penaksiran mak-

simum likelihood. Data yang digunakan adalah data inflasi di U.K. periode 1958

sampai 1977. Hasil penelitian memperlihatkan bahwa model ARCH lebih baik

daripada model klasik OLS.

Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH yang merupakan genera-

lisasi dari model ARCH dengan mengikutsertakan variansi masa lalu untuk men-

jelaskan variansi masa yang akan datang. Model ini diterapkan pada data GNP

U.S. periode 1948 sampai 1983. Hasil penelitian menunjukkan modelGARCH (1,1)

lebih akurat daripada model ARCH (8).

Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching sebagai alternatif pemo-

delan data time series yang mengalami perubahan struktural. Model Markov

Switching dikombinasikan dengan model Autoregressive dan diterapkan pada da-

ta GNP U.S. periode 1952 sampai 1984. Hasil penelitian masih belum men-

deskripsikan volatilitas data.

Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH,

dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini diterapkan pada data harga saham

New York periode 31 juli 1962 sampai 29 desember 1987. Hamilton dan Susmel

5


commit to user

[8] menggunakan dua sampai empat state dengan distribusi dari Gaussian dan

Student t. Hasil penelitian memperlihatkan model MS-ARCH mampu menje-

laskan pergeseran volatilitas dengan baik. Model ini memperlihatkan state yang

terbentuk ada tiga dan distribusi Student t lebih baik daripada Gaussian.

Gray [6] memperkenalkan model MS-GARCH yang diterapkan pada data

suku bunga U.S. periode Januari 1970 sampai April 1994. Gray [6] menggunakan

path-independent switching GARCH, dimana setiap conditional variance hanya

bergantung pada informasi di masa lalu. Model MS-GARCH lebih mudah dalam

menaksir parameter karena melibatkan parameter yang lebih sederhana.

Marcucci [12] menggunakan model standar GARCH dan Markov Regime

Switching GARCH pada data indeks saham S and P100 periode 1 Januari 1988

sampai 15 Oktober 2003. Masing-masing model menggunakan tiga distribusi yang

berbeda yaitu Normal, Student t dan Genaralised Error Distribution (GED).

Hasil penelitian menunjukkan model Markov Regime Switching GARCH dengan

distribusi normal lebih baik dibandingkan model lainnya.

Klaasen [10] menerapkan model GARCH dan MS-GARCH pada data ni-

lai tukar dolar Amerika terhadap GBP, mark Jerman dan yen Jepang periode 3

Januari 1978 sampai 23 Juli 1997. Hasil penelitian menunjukkan model GARCH

menghasilkan ramalan yang terlalu tinggi pada beberapa periode dan dapat dia-

tasi menggunakan model MS-GARCH.

Penelitian-penelitian tersebut membuat penulis tertarik untuk menerapkan

model Markov Switching GARCH pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap

rupiah. Penulis menggunakan model Autoregressive pada model rata-rata bersya-

ratnya dan menggunakan identifikasi model untuk menentukan ordeMS-GARCH.

Beberapa hal yang mendasari penelitian penulis diantaranya pengertian menge-

nai model runtun waktu dan stasioneritas, ACF dan PACF, log return, model

ARMA, model GARCH, model Markov Switching dan model Markov Switching

GARCH.

6


commit to user

2.1.1 Model Runtun Waktu dan Stasioneritas

Pemodelan runtun waktu digunakan untuk meramalkan data periode waktu

ke depan. Menurut Makridakis et al [11], peramalan kuantitatif dapat diterap-

kan apabila memenuhi tiga kondisi, yaitu tersedia informasi tentang masa lalu,

informasi tersebut dapat dibentuk menjadi data numerik, dan dapat diasumsi-

kan bahwa aspek pola data di masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang.

Asumsi yang diperlukan untuk menentukan model adalah data dalam keadaan

stasioner.

Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada da-

ta. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak

tergantung pada waktu dan tidak memperlihatkan perubahan variansi yang sig-

nifikan dari waktu ke waktu. Selain dari plot data, kestasioneran dapat dilihat

dari plot ACF.

2.1.2 ACF dan PACF

Autocorrelation Function(ACF ) merupakan fungsi yang menunjukkan be-

sarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu

sebelumnya. Sedangkan Partial Autocorrelation Function( PACF ) adalah fungsi

yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t

dengan pengamatan waktu sebelumnya.

Menurut Cryer [4], proses Yt dikatakan stasioner apabila E(Yt) = µ, V ar(Yt) =

σ2 adalah konstan dan

Cov(Yt, Yt+k) = E(Yt − µ, Yt+k − µ) = γk, (2.1)

dengan Cov(Yt, Yk) adalah fungsi dari selisih waktu |t − k|. Korelasi antara

(Yt, Yt+k) adalah

ρk = Corr(Yt, Yt+k) =Cov(Yt, Yt+k)√

V ar(Yt)√V ar(Yt+k)

=γkγ0, (2.2)

7


commit to user

dengan γ0 = V ar(Yt) = V ar(Yt+k) dan ρk adalah fungsi autokorelasi atau ACF.

ACF diestimasi oleh

ρ̂k =

∑Tt=k+1(Yt − Y )(Yt+k − Y )∑T

t=1(Yt − Y )2. (2.3)

Jika suatu runtun waktu stasioner, maka estimasi nilai ACF turun secara

cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag (selisih waktu). Sedang-

kan jika estimasi ACF turun secara perlahan mendekati nol atau nilai yang keluar

dari interval konfidensi membentuk pola tertentu maka runtun waktu tidak sta-

sioner.

Autokorelasi parsial antara Yt dan Yt+k adalah korelasi antara Yt dan Yt+k

setelah hubungan linearnya dengan Yt+1, Yt+2, ..., Yt+k−1 diabaikan. Autokorelasi

parsial antara Yt dan Yt+k dinotasikan dengan

ϕkk = Corr[Yt, Yt+k|Yt+1, Yt+2, ..., Yt+k−1] =ρk −

∑k−1j=1 ϕk−1,jρk−j

1−∑k−1

j=1 ϕk−1,jρk−j

, (2.4)

dengan ϕkk disebut fungsi autokorelasi parsial atau PACF.

2.1.3 Log Return

Return diinterpretasikan sebagai hasil yang diperoleh dari suatu investasi.

Studi mengenai ekonomi dan finansial lebih dititikberatkan pada return daripada

nilai sebenarnya. Menurut Tsay [13], log return dirumuskan sebagai berikut

rt = ln(Pt

Pt−1

) (2.5)

dengan rt adalah log return pada waktu ke t dan Pt adalah nilai tukar dolar

Kanada terhadap rupiah pada waktu ke t. Setelah data stasioner selanjutnya

data dimodelkan dengan ARMA.

2.1.4 Model ARMA

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan model runtun

waktu stasioner yang mengidentifikasikan persamaan regresi data dengan meng-

gunakan nilai masa lalunya atau kombinasi nilai masa lalu dan residual masa

8


commit to user

lalunya. Menurut Cryer [4], ARMA mengandung dua komponen yaitu model AR

(Autoregressive) dan MA (Moving Average) dengan p adalah orde model AR dan

q adalah orde model MA.

Menurut Tsay [13], model AR(p) dinotasikan sebagai berikut

rt = ϕ1rt−1 + ϕ2rt−2 + ...+ ϕprt−p + εt (2.6)

dengan ϕ1, ϕ2, ..., ϕp adalah parameter model AR dan εt adalah eror model AR.

Sedangkan model MA(q) dinotasikan

rt = εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q (2.7)

dengan θ1, θ2, ..., θq adalah parameter model AR dan εt adalah eror model MA.

Model ARMA(p, q) merupakan gabungan dari model AR(p) dan MA(q) sehingga

dapat dituliskan sebagai berikut

rt − ϕ1rt−1 − ϕ2rt−2 − ...− ϕprt−p = εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q

rt = ϕ1rt−1 + ϕ2rt−2 + ...+ ϕprt−p + εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q.(2.8)

Menurut Bollerslev [2], ACF dan PACF digunakan sebagai alat untuk

mengidentifikasi model ARMA (p, q).

Tabel 2.1. Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q)

Model ACF PACF

AR(p) Turun secara eksponensial Terpotong setelah lag p

MA(q) Terpotong setelah lag q Turun secara eksponensial

ARMA(p, q) Terpotong setelah lag (q − p) Terpotong setelah lag (q − p)

Pada model ARMA (p, q) terdapat parameter ϕ1, ϕ2, ..., ϕp dan θ1, θ2, ..., θq

yang tidak diketahui sehingga perlu diestimasi.

2.1.5 Estimasi Model ARMA

Menurut Cryer [4], untuk mengestimasi nilai terbaik parameter-parameter

dalam model ARMA dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara me-

9


commit to user

minimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu dinotasikan sebagai

S∗(ϕ, θ) =n∑

t=1

ε2t (2.9)

dengan εt adalah eror model ARMA. Fungsi S∗ akan mempunyai suatu nilai ϕ̂ dan

θ̂ yang minimum jika menyamakan turunan parsial pertama fungsi S∗ terhadap

ϕ dan θ dengan nol sehingga didapatkan estimasi akhir parameter ϕ̂ dan θ̂. Nilai

fungsi S∗ pada persamaan (2.9) akan minimum jika turunan parsial kedua dari

fungsi S∗ terhadap ϕ ataupun θ memenuhi

(S∗)ϕϕ.(S∗)θθ − [(S∗)ϕθ]2 > 0

(S∗)ϕϕ > 0, (S∗)θθ > 0.

Misal dipunyai model ARMA(1, 1) sebagai berikut

rt − ϕ1rt−1 = εt − θ1εt−1. (2.10)

Dari persamaan (2.10) diperoleh nilai residual

εt = rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1

sehingga

S∗(ϕ, θ) =n∑

t=1

ε2t =n∑

t=1

(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2.

Estimasi dari θ̂ dapat dicari dengan menyamakan ∂S∗(ϕ,θ)∂θ

dengan nol, sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut

∂∑n

t=1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2

∂θ= 0

2n∑

t=1

εt−1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1) = 0

n∑t=1

[εt−1(rt − ϕ1rt−1) + θ1ε2t−1] = 0

n∑t=1

εt−1(rt − ϕ1rt−1) +n∑

t=1

θ1ε2t−1 = 0

n∑t=1

εt−1(rt − ϕ1rt−1) = −n∑

t=1

θ1ε2t−1

10


commit to user

θ̂1 = −∑n

t=1(rt − ϕ1rt−1)∑nt=1 εt−1

. (2.11)

Estimasi dari ϕ̂ dapat dicari dengan menyamakan ∂S∗(ϕ,θ)∂ϕ

dengan nol, sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut

∂∑n

t=1(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1)2

∂ϕ= 0

2n∑

t=1

(−rt−1)(rt − ϕ1rt−1 + θ1εt−1) = 0

n∑t=1

(−rt−1)[(rt + θ1εt−1)− ϕ1rt−1] = 0

n∑t=1

ϕ1r2t−1 − rt−1(rt + θ1εt−1) = 0

n∑t=1

ϕ1r2t−1 = rt−1(rt + θ1εt−1)

ϕ̂1 =

∑nt=1(rt − θ1rt−1)∑n

t=1 rt−1

. (2.12)

2.1.6 Uji Autokorelasi Residu

Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada auto-

korelasi dalam residu yang dihasilkan. Hal ini dapat dilihat dari plot ACF dan

PACF. Apabila tidak ada nilai yang signifikan berbeda dengan nol berarti sudah

tidak ada autokorelasi dalam residu dan mengindikasikan bahwa model sudah

cukup baik. Bentuk plot ACF dan PACF merupakan indikasi awal adanya auto-

korelasi. Uji statistik perlu dilakukan untuk meyakinkan indikasi awal. Menurut

Cryer [4], autokorelasi pada residu model rata-rata dapat diperiksa melalui uji

Ljung-Box. Hipotesisnya adalah

H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata

H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata

Statistik uji Ljung-Box dirumuskan sebagai

Q = T (T − 2)

q∑k=1

ρ̂2kT − k

,

dengan T merupakan ukuran sampel, k adalah jumlah lag yang diuji, dan ρ̂k

adalah nilai autokorelasi setiap lag. Statistik uji Q dibandingkan dengan nilai

11


commit to user

tabel χ2k. H0 ditolak jika nilai Q lebih besar dari nilai χ2

k.

Setelah dilakukan uji autokorelasi residu, kemudian menguji efek heteroke-

dastisitas dalam residu menggunakan uji Lagrange Multiplier.

2.1.7 Uji Heterokedastisitas

Menurut Bollerslev [2], efek heteroskedastisitas dapat diperiksa melalui uji

Lagrange Multiplier yang dilakukan pada residu model conditional mean. Prinsip

dalam uji Lagrange Multiplayer adalah dengan meregresikan kuadrat residu εt

dengan lag nya sendiri. Uji hipotesisnya adalah

H0 : tidak terdapat efek ARCH sampai lag-k

H1 : terdapat efek ARCH sampai lag-k

Statistik uji dirumuskan sebagai

ξ = TR2,

dengan T merupakan ukuran sampel dan R2 adalah adalah koefisien determinasi.

Statistik uji ξ dibandingkan dengan nilai tabel χ2k. H0 ditolak jika nilai ξ lebih

besar dari nilai χ2k.

Jika terdapat efek heteroskedastisitas maka digunakan model yang dapat

menggambarkan pergerakan variansi eror.

2.1.8 Uji Perubahan Struktur

Model yang mengandung perubahan struktur adalah model dengan nilai

parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktu tertentu. Waktu ter-

jadinya perubahan struktur (waktu break) tersebut ada yang diketahui dan ada

yang tidak diketahui kapan terjadinya. Perubahan struktur ini sering terjadi di

bidang ekonomi. Perubahan struktur dapat disebabkan oleh perubahan kebi-

jaksanaan, perubahan harga minyak, perang, atau bencana alam. Uji perubahan

struktur pertama kali diperkenalkan oleh Chow ([3]) dan dikenal dengan uji Chow

Break Point. Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur pada da-

ta adalah sebagai berikut :

12


commit to user

H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data

H1 : terdapat perubahan struktur pada data

Statistik uji dirumuskan sebagai

F =RSS1/k

RSS2/(n1 + n2 − 2k),

dengan RSS1 adalah residual kuadrat dari model dengan keseluruhan data diku-

rangi residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, RSS2 adalah

residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, k adalah banyaknya

parameter, n1 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur,

n2 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur . H0 ditolak

jika nilai F lebih besar dari F tabel dengan derajat bebas (k, n1 + n2 − 2k).

2.1.9 Model GARCH

Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH untuk menggambarkan per-

gerakan variansi eror. Model GARCH merupakan pengembangan dari model

ARCH [5]. Model GARCH mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menje-

laskan variansi masa yang akan datang, sehingga dapat diperoleh estimasi yang

akurat untuk variansi. Conditional variance (σt) digunakan sebagai fungsi dari

eror dimasa lalu. Diberikan ψt adalah himpunan semua informasi untuk εt dari

waktu lampau sampai dengan waktu t. εt adalah eror model ARMA dan dapat

dimodelkan sebagai

εt = utσt

dengan ut adalah proses white noise berdistribusi normal dengan mean nol dan va-

riansi satu, σ2t = E(ε2t |ψt−1) adalah conditional variance dari eror dan E(εt|ψt−1) =

0. Secara umum proses εt disebut GARCH (p, q) jika

εt|ψt−1 ∼ N(0, σ2t )

dengan

σ2t = α0 +

q∑i=1

αiε2t−i +

p∑j=1

βjσ2t−i

13


commit to user

dan p ≥ 0, q ≥ 0, α0 ≥ 0, αi ≥ 0 untuk i = 1, 2, ..., q dan βj ≥ 0 untuk

j = 1, 2, ..., p. Jika p = 0 maka model GARCH tereduksi menjadi model AR-

CH (q). Jadi model ARCH adalah bentuk khusus dari model GARCH.

Menurut Bollerslev [2], parameter dari model GARCH (p, q) dapat dies-

timasi menggunakan metode Berndt Hall Hall Hausman (BHHH ). Metode ini

ditemukan oleh Berndt et al yang dinyatakan sebagai

ρ(i+1) = ρ(i) + λi[T∑t=1

(gtg′

t)]−1g(ρ(i)), (2.13)

dengan gt =∂Lt

∂ρ, λi adalah variabel step length dan

gρ = [∂Lt

∂ρ1,∂Lt

∂ρ2, ...,

∂Lt

∂ρn],

Metode BHHH menggunakan turunan pertama fungsi log likelihood untuk meng-

estimasi parameter model. Persamaan regresi yang dimiliki adalah

rt = x′

tµ+ εt,

rt = µ0 + µ1xt + εt, t = 1, 2, ..., T,

dengan εt adalah eror dari model regresi dan xt adalah variabel eksogen (variabel

bebas), dengan

εt = utσt

εt|ψt−1 ∼ N(0, σ2t )

dengan

σ2t = α0 +

q∑i=1

αiε2t−i +

p∑j=1

βjσ2t−i

Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter Θ yang dinyatakan sebagai

Θ = [µ0, µ1, α1, α2, ..., αq, β1, β2, ..., βp]t = [µt, φt]t,

dengan µt = [µ0, µ1] dan φt = [α0, α1, α2, ..., αq, β1, β2, ..., βp].

Menggunakan asumsi normalitas, fungsi densitas probabilitas dari εt|ψt−1

adalah

f(εt|ψt−1) =1√2πσ2

t

e− 1ε2t

2σ2t

14


commit to user

Fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah

lt = logf(εt|ψt−1) = log(1√2πσ2

t

e− 1ε2t

2σ2t )

=1

2log(2πσt)−

1

2

ε2tσ2t

= −1

2log2π − 1

2logσ2

t −1

2

ε2tσ2t

.

(2.14)

Vektor parameter variansi yaitu φ diestimasi menggunakan turunan per-

tama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.14) terhadap parameter φ,

yaitu∂lt∂φ

=∂lt∂σ2

t

∂σ2t

∂φ

= (− 1

2σ2t

+ε2t2σ4

t

)∂σ2

t

∂φ

=1

2σ2t

(ε2t2σ2

t

− 1)∂σ2

t

∂φ.

dengan vt =∂σ2

t

∂φdan wt =

ε2tσ2t− 1. Menggunakan metode BHHH diperoleh

bentuk iterasi estimasi parameter variansi yang dirumuskan sebagai

φ(i+1) = φ(i) + λi[T∑t=1

(1

2σ22

vtwt)(1

2σ22

vtwt)′]−1(

T∑t=1

1

2σ22

vtwt). (2.15)

Iterasi pada persamaan (2.15) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai

φ(i+1) = φ(i) + λi[T∑t=1

(G G′)]−1G

′C,

dengan

G =

g1

g2...

gT

=

∂l1∂α0

∂l1∂α1

. . . ∂l1∂αq

∂l1∂β1

. . . ∂l1∂βp

∂l2∂α0

∂l2∂α2

. . . ∂l1∂αq

∂l2∂β2

. . . ∂l1∂βp

......

......

...

∂lT∂α0

∂lT∂α2

. . . ∂l1∂αq

∂lT∂βT

. . . ∂lT∂βp

dengan

∂l1∂α0

= − 1σ2t(ε2tσ2t− 1),

∂l1∂αi

= − 1σ2t(∑q

i=1 ε2t−i)(

ε2tσ2t− 1),

∂l1∂βi

= − 1σ2t(∑p

j=1 ε2t−j)(

ε2tσ2t− 1),

dengan t = 1, 2, ..., T, i = 1, 2, ..., q, j = 1, 2, ..., p dan C = [11...1]′ adalah matriks

15


commit to user

T × 1.

Mengestimasi parameter rata-rata yaitu µ, menggunakan turunan pertama

dari fungsi likelihood pada persamaan (4.3) terhadap parameter µ, yaitu

∂lt∂µ

=∂lt∂εt

∂εt∂µ

+∂lt∂σ2

t

∂σ2t

∂µ

=εtx

tt

σ2t

+1

σ2t

∂σ2t

∂µ(ε2tσ2t

− 1).

(2.16)

Misal ft =∂σ2

t

∂µdan wt =

ε2tσ2t− 1 maka persamaan (2.16) menjadi

∂lt∂µ

=εtx

tt

σ2t

+1

2σ2t

ftwt.

Iterasi untuk estimasi parameter rata-rata adalah

µ(i+1) = µ(i) + λi[(T∑t=1

(εtx

tt

σ2t

+1

2σ2t

ftwt)(εtx

tt

σ2t

+1

2σ2t

ftwt)t)]−1(

εtx2t

σ2t

+1

2σ2t

ftwt).

(2.17)

dengan

ft =∂σ2

t

∂µ= −2

q∑i=1

αixtt−iεt−i +

p∑j=1

βft−j.

Persamaan (2.17) dapat ditulis ke dalam notasi matriks sebagai

µ(i+1) = µ(i) + λi[BB′)]−1B′C,

dengan B untuk model GARCH (p, q) adalah

B =

∂l1∂µ0

∂l1∂µ1

∂l2∂µ0

∂l2∂µ1

......

∂lT∂µ0

∂lT∂µ1

∂lk∂µh

=εtx

tt

σ2t

+1

σ2t

− 2

q∑i=1

αixtt−iεt−i +

∑j=1

(ε2tσ2t

− 1).

dengan h = 0, 1 dan k = 1, 2, ..., T dan C = [11...1]′ adalah matriks T × 1.

Selanjutnya menentukan model GARCH terbaik menggunakan kriteria in-

formasi berdasarkan nilai AIC dan SC.

16


commit to user

2.1.10 Kriteria Informasi

Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih

berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC ) dan Schwarz Criterion (SC ). Kedua

kriteria tersebut dirumuskan sebagai berikut

AIC = −2l

T+ 2

k

T,

SC = −2l

T+ k

log(T )

T,

dengan l adalah fungsi log likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi

dan T adalah jumlah observasi. Model yang dipilih untuk meramalkan data ada-

lah model dengan AIC dan SC terkecil.

Model GARCH mampu menjelaskan variansi eror dengan baik, namun ti-

dak memperhitungkan perubahan struktural.

2.1.11 Model Markov Switching

Model Markov Switching merupakan alternatif pemodelan data runtun

waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam Markov Switching, peru-

bahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa

deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati dan dalam

literatur sering disebut state. Sebagai contoh model berikut,

zt = µ0 + ϕ1zt−1 + εt

yang bersesuaian dengan runtun waktu pada ti, ti+1,..., ti+m. Sementara

zt = µ1 + ϕ2zt−1 + εt

yang bersesuaian dengan runtun waktu pada tj, tj+1,..., tj+m. Kasus ini meng-

gambarkan adanya pergeseran model antara model pertama dan model kedua

yang terjadi pada runtun waktu yang sama pada waktu yang berbeda. Secara

umum, kedua model tersebut dapat dituliskan sebagai

zt = µst + ϕstzt−1 + εt,

17


commit to user

dimana st bernilai nol atau bernilai satu, yang merepresentasikan periode state

yang berbeda. st bernilai nol bersesuaian dengan model pada periode ti, ti+1,...,

ti+m sedangkan st bernilai satu bersesuaian dengan model pada periode tj, tj+1,...,

tj+m.

Hamilton [7] menggunakan ordo pertama markov chain untuk memodelkan

state. Jika probabilitas st sama dengan nilai tertentu sebesar j, untuk jϵ{0, 1}

yang dependen terhadap nilai masa lalunya hanya berdasarkan nilai st−1 yang

terkini (most recent value) maka probabilitas transisinya dapat dituliskan sebagai

berikut

P [st = j|st−1 = i, st−2 = k, ...] = P [st = j|st−1 = i] = pij

pij adalah probabilitas transisi bahwa state i akan diikuti oleh state j untuk

i, jϵ{0, 1} dengan asumsi probabilitas perubahan st hanya tergantung st−1. Proses

ordo pertama markov chain dapat dituliskan sebagai berikut

P [st = 0|st−1 = 0] = p00

P [st = 1|st−1 = 0] = p01

P [st = 1|st−1 = 1] = p11

P [st = 0|st−1 = 1] = p10

dan dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yaitu

P =

p00 p01

p10 p11

.

Penjumlahan seluruh probabilitas untuk tiap st−1 adalah 1.

1∑j=0

pij = 1,

untuk setiap bilangan i = 0, 1.

Model Markov Switching pada proses Autoregressive mampu menjelaskan

perubahan struktur, namun tidak bisa menjelaskan pergeseran volatilitas. Se-

hingga perlu model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dan pergeseran

antar volatilitas, yaitu model Markov Switching GARCH.

18


commit to user

2.1.12 Model Markov Switching GARCH

Model Markov Switching GARCH dapat dituliskan sebagai berikut

rt = µst + εt

σ2t = ωst + αstε

2t−1 + βstσ

2t−1

εt = ut√σ2t

ut ∼ NIID

dengan µst mewakili model rata-rata bersyarat untuk setiap state. Distribusi

probabilitas yang mendasari rt pada setiap state adalah distribusi normal ([6] dan

[12]) dengan nilai parameter yang berbeda untuk setiap state, dapat dituliskan

sebagai berikut

rt|Ψt−1 ∼

N(µ0t, σ20), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1)

N(µ1t, σ21), dengan probabilitas Pr(St = 1|Ψt−1).

(2.18)

yang berakibat pola erornya menjadi

εt|Ψt−1 ∼

N(0, σ20), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1)

N(0, σ21), dengan probabilitas Pr(St = 0|Ψt−1).

(2.19)

dengan Ψt−1 adalah informasi atau data yang dihimpun sampai pada waktu t−1.

Fungsi densitas bersyarat dari rt berdasarkan variabel random st yang bernilai j

adalah

f(rt|st = j,Ψt−1) =1√2πσ2

j

e−

(rt−µj)2

2σ2j . (2.20)

Nilai probabilitas untuk sebuah state sebagai variabel random yang tidak tera-

mati dinotasikan dengan

P (st = j|Ψt−1) = pjt, untuk j = 0, 1. (2.21)

Sehingga fungsi distribusi bersama dari (2.20) dan (2.21) dapat dituliskan sebagai

berikut

P (rt, st = j|Ψt−1) = f(rt|st = j,Ψt−1)P (st = j|Ψt−1) =pjt√2πσ2

j

e−

(rt−µj)2

2σ2j .

(2.22)

19


commit to user

Fungsi densitas dari rt didapatkan dengan menjumlahkan persamaan (2.22) untuk

semua kemungkinan nilai j

f(rt|Ψt−1) =2∑

j=1

P (rt, st = j|Ψt−1). (2.23)

Setelah memperoleh nilai densitas dari rt, maka dapat dicari nilai probabilitas

bersyarat dari st dengan cara membagi persamaan (2.22) untuk setiap nilai j

dengan persamaan (2.23) sehingga menghasilkan persamaan

P (st = j|rt,Ψt−1) =P (rt, st = j|Ψt−1)

f(rt|Ψt−1). (2.24)

2.1.13 Probabilitas Transisi

Komponen penting yang membentuk model Markov Switching adalah vari-

abel st yang berperan sebagai indikator state yang berlaku pada saat t. Variabel

st tidak akan bisa diobservasi oleh peneliti, namun dalam model Markov Swi-

tching variabel ini akan ditentukan probabilitasnya untuk masing-masing state

pada saat t. Terdapat dua perhitungan untuk menentukan probabilitas terjadi-

nya state pada saat t, yaitu ex ante probability ([6]) dan filtered probability ([7]).

Ex ante probability merupakan terjadinya state pada saat t berdasarkan

informasi Ψt−1, yakni P (st = j|Ψt−1) = pjt,∑1

j=0 pjt = 1 seperti pada (2.18).

Probabilitas ini merupakan probabilitas marjinal dari probabilitas gabungan an-

tara st dan st−1, yakni

pjt = P (st = j|Ψt−1)

=1∑

j=0

P (st = j, st−1 = k|Ψt−1)(2.25)

Mengacu pada struktur markov chain, probabilitas pjt hanya bergantung pada

state yang terjadi saat t− 1, sehingga (2.25) akan menjadi

pjt =1∑

j=0

P (st = j|st−1 = k,Ψt−1)P (st−1 = k|Ψt−1). (2.26)

Selain ex ante probability, terdapat juga filtered probability yang digunakan

untuk menjelaskan probabilitas terjadinya masing-masing state. Filtered proba-

bility merupakan probabilitas terjadinya state j saat t berdasarkan informasi Ψt,

20


commit to user

yakni φjt = P (st = j|Ψt). φjt dapat dituliskan kembali sebagai fungsi dari ex

ante probability, sebagai berikut

P (st = j|Ψt) = P (st = j|Ψt,Ψt−1)

= P (st = j|rt,Ψt−1)

=f(rt, st = j|Ψt−1

f(rt,Ψt−1)

(2.27)

dimana f(rt,Ψt−1) berbentuk distribusi normal mixture seperti pada (2.18) se-

hingga

P (st = j|Ψt) =f(rt, st = j|Ψt−1P (st = j|Ψt−1)∑1

j=0 f(rt|st = j,Ψt−1)P (st = j|Ψt−1)(2.28)

dengan demikian, sesuai (2.26) dan (2.28) dapat dilihat bahwa pjt dan φjt dapat

dihitung secara rekursif diantara keduanya.

2.1.14 Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi

bersyarat

Pada penelitian ini menggunakan model umum ARMA sebagai model rata-

rata bersyarat ([6]). Berikut model rata-rata bersyarat yang digunakan :

rt = µst + εt (2.29)

dengan µst adalah rata-rata bersyarat untuk setiap state.

Rata-rata bersyarat untuk MS-GARCH pada penelitian ini mengacu pada

([6]) yakni GARCH (1,1) dengan parameter mengikuti proses switching

σ2t = α0 + α1ε

2t−1 + β1σ

2t−1

(2.30)

Untuk menghindari ketergantungan komponen ε2t−1 dan σ2t−1 dalam (2.30)

terhadap kombinasi state, Gray ([6]) memberikan solusi alternatif untuk meng-

21


commit to user

hitung Ψ2t−1 dan σ2

t−1, yakni

ε2t−1 = rt−1 = E[rt−1|Ψt−2]

=1∑

j=0

pjtE[rt|st = j,Ψt−2]

=1∑

j=0

pjtµjt

= p1tµ0t + (1− p1t)µ1t

(2.31)

dengan demikian

ε2t−1 = rt−1 − [p1tµ0t + (1− p1t)µ1t]. (2.32)

Untuk mendeskripsikan σ2t−1 akan dihitung E[r2t |Ψt−1] berdasarkanGARCH

tanpa melibatkan perubahan state yakni:

E[r2t |Ψt−1] = E[(µt + εt)

= E[µ2t + 2µtεt + ε2t ]

= E[µ2t ] + 2µtE[εt] + E[ε2t ]

Karena εt ∼ N(0, σ2t−1), maka E[εt] = 0 dan

var[εt] = σ2t = E[ε2t ]− [E(εt)

2]

= E[ε2t ]− 0

= E[ε2t ],

(2.33)

sehingga

E[r2t |Ψt] = E[µ2t ] + E[ε2t ]

= µ2t + σ2

t ,(2.34)

dan untuk masing-masing state

E[r2t |St = 0,Ψt−1] = µ0t + σ20t,

E[r2t |St = 1,Ψt−2] = µ1t + σ21t.

(2.35)

Melalui cara yang sama dengan (2.31), formula E[r2t |Ψt−1] yang melibatkan

22


commit to user

switching regime dapat dihitung

E[r2t |Ψt−1] =

∫r2t f(rt|Ψt−1)drt

=

∫r2t

[1∑

j=0

pijf(rt|St = i,Ψt−1)drt

]

=1∑

j=0

pij

[∫r2t f(rt|St = i,Ψt−1)drt

]

=1∑

j=0

pijE[r2t |St = i,Ψt−1)drt],

(2.36)

sehingga dengan substitusi (2.35) pada (2.36) maka diperoleh

E[r2t |Ψt−1] =1∑

j=0

P (st = j|Ψt−1)(µ2jt + σ2

jt),

= P (st = 0|Ψt−1)(µ20t + σ2

0t) + P (st = 1|Ψt−1)(µ21t + σ2

1t),

= p0t(µ20t + σ2

0t) + (1− p0t)(µ21t + σ2

1t),

(2.37)

sehingga σ2t−1 dapat dicari melalui substitusi (2.31) dan (2.37) yakni

σ2t−1 = E[r2t−1|Ψt−2]− [E[r2t−1|Ψt−2]]

2,

= p0t−1(µ20t−1 + σ2

0t−1) + (1− p1t−1)(µ21t−1 + σ2

1t−1)

− [p0t−1µ0t−1 + (1− p1t−1)µ1t−1],

(2.38)

sesuai dengan (2.32) dan (2.38), maka komponen ε2t−1 dan σ2t−1 pada (2.30) ti-

dak akan tergantung pada kombinasi state sebelumnya yakni (st, st−1, st−2, ..., s1)

sehingga pada tahap penyusunan fungsi likelihood tidak menimbulkan kesulitan

dalam optimasinya.

2.1.15 Fungsi Likelihood MS-GARCH

Untuk menentukan fungsi likelihood pada MS-GARCH, pertama kali yang

dilakukan adalah meninjau distribusi dari return rt untuk setiap state, yakni

distribusi mixture seperti pada (2.18). Sedangkan untuk menentukan probabilitas

transisi diperlukan penjabaran pjt ke dalam bentuk yang memuat φt. Mengacu

23


commit to user

pada (2.26), pjt untuk state nol adalah

p0t = P (st = 0|Ψt−1) =1∑

j=0

P (st = 0|st−1 = j,Ψt−1).P (st−1 = j|Ψt−1)

=1∑

j=0

P (st = 0|st−1 = j).P (st−1 = j|Ψt−1)

= P11φ1t + P2tφ2t

= Pφ1t + (1−Q)(1− φ2t)

(2.39)

dan untuk state satu

p1t = P (st = 1|Ψt−1) = 1− P (st = 0|Ψt−1) = 1− p0t.

Fungsi likelihood untuk Markov Switching GARCH yakni:

L(Θ|rt,Ψt−1) =T∏t=1

f(rt|Θ,Ψt−1), (2.40)

dimana Θ = µ0, µ1, k0, k1, α0, α1, β0, β1, P,Q atau dalam bentuk log likelihood

lnL(Θ|rt,Ψt−1) = ΣTt=1lnf(rt|Θ,Ψt−1). (2.41)

Fungsi likelihood ini dibentuk dari distribusi mixture normal dengan asumsi bah-

wa setiap datanya telah diketahui masuk ke state 0 atau 1. Artinya, ketika

diketahui bahwa suatu data adalah anggota state 0, maka nilai f(rt|Ψt−1) akan

bernilai nol pada state 1, demikian juga sebaliknya ([7]). Berdasarkan distibusi

mixture normal, log likelihood pada (2.41) akan menjadi :

lnL(Θ|rt,Ψt−1) = ΣTt=1ln[Σ

1j=0f(rt|st = j,Ψt−1)pjt]

= ΣTt=1ln[f(rt|st = 0,Ψt−1)p0t + f(rt|st = 1,Ψt−1)p1t]

= ΣTt=1ln[f(rt|st = 0,Ψt−1)p0t + f(rt|st = 1,Ψt−1)(1− p0t)].

(2.42)

Namun karena setiap data tidak diketahui akan masuk ke state yang mana, maka

optimisasi log likelihood tidak dapat dilakukan dengan metode numerik standar.

Likelihood pada (2.42) seringkali disebut incomplete likelihood. Untuk mengatasi

hal ini, optimisasi log likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter dilakukan

melalui Algoritma EM.

24


commit to user

2.1.16 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS

GARCH

State (st) adalah variabel yang unobservable, sehingga dapat dianggap

sebagai missing. Bila didefinisikan variabel acak st akan bernilai j adalah pjt

maka dapat dibuat fungsi untuk st sebagai berikut:

f(st) = P (st = j|Ψt−1) =1∏

t=0

pIj(st)jt . (2.43)

dimana Ij(st) adalah fungsi indikator bernilai 0 dan 1, yakni :

Ij(st) =

1, st = j

0, lainnya.

(2.44)

Fungsi indikator ini menentukan observasi mana yang akan masuk ke masing-

masing state. Algoritma EM akan melibatkan st ini dalam fungsi likelihood pada

iterasinya. Bila fungsi indikator (2.44) diterapkan pada distribusi probabilitas

dari rt maka :

f(rt|st = j,Ψt−1) =1∏

t=0

f(rt|st = j,Ψt−1)Ij(st). (2.45)

Sedangkan bila (2.44) diterapkan pada joint distribusi st dan rt maka

f(rt|st = j,Ψt−1) =T∏t=0

f(rt|st = j,Ψt−1)Itst . (2.46)

Bila diasumsikan bahwa diketahui observasi yang menjadi anggota masing-

masing state, maka akan terdapat pasangan observasi (rt, st) pada setiap data

ke t, dan fungsi likelihood (2.40) akan dimaksimumkan berdasarkan distribusi

bersama anatara st dan rt, yakni :

L(Θ|rt, st,Ψt−1) =T∏t=0

f(rt, st = j,Ψt−1) =T∏t=0

1∏j=0

[pjtf(rt|st = j,Ψt−1)Itst ].

(2.47)

atau dalam log likelihood dapat dituliskan lagi sebagai :

ln(Θ|rt, st,Ψt−1) = ΣTt=0Σ

1j=0[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))

Itst ]

= ΣTt=0Σ

1j=0Ij(st)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]

= ΣTt=0Σ

1j=0Ij(st)[lnpjt + lnf(rt|st = j,Ψt−1)]

(2.48)

25


commit to user

Estimasi parameter untuk setiap state dapat dilakukan mengacu pada optimisasi

untuk (2.48).

Karena tidak ada petunjuk tetang observasi yang bersesuaian dengan sta-

te nol atau satu maka fungsi indikator pada (2.44) tidak akan bisa digunak-

an. Untuk mengatasi hal ini fungsi indikator diganti dengan ekspektasinya yakni

E[Ij(st)|Ψt−1]:

E[Ij(st)|Ψt] = Σ1It(st)=0Ij(st)P (st = j|Ψt)

= 1.P (st = j|Ψt−1) + 0.P (st = j|Ψt)

= P (st = j|Ψt)

(2.49)

dan mengacu pada filtered probability seperti pada maka didapatkan ekspektasi

dari fungsi indikator adalah :

E[Ij(st)|Ψt] = P (st = j|Ψt) = φjt =pjtf(rt|st = j)∑1j=0 pjtf(rt|st = j)

(2.50)

yang akan digunakan untuk menyusun algoritma EM.

Berdasarkan (2.49), maka complete data likelihood (2.48) akan menjadi:

Q = E[lnL(Θ|rt, st,Ψt−1)|rt,Ψt−1]

= EΣTt=1Σ

1j=0Ij(st)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]

= ΣTt=1Σ

1j=0E[Ij(st)Ψt−1][ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]

= ΣTt=1Σ

1j=0P (st = jΨt−1)[ln(pjtf(rt|st = j,Ψt−1))]

Fungsi Q tersebut akan dimaksimumkan menggunakan metode Sequential Qua-

dratic Programming.

2.2 Kerangka Pemikiran

Deretan observasi dari variabel random nilai tukar dolar Kanada terha-

dap rupiah merupakan suatu data runtun waktu. Model ARMA adalah salah

satu model runtun waktu untuk data stasioner. Transformasi dan diferensia-

si data menjadi bentuk Log return dapat digunakan untuk membentuk runtun

waktu yang stasioner. Model ARMA memiliki asumsi homokedastisitas, sedangk-

an data kurs dolar Kanada merupakan data finansial yang cenderung memiliki

26


commit to user

heteroskedastisitas.Hal ini menyebabkan model ARMA tidak relevan untuk di-

gunakan. Sehingga dapat digunakan model GARCH yang untuk memodelkan

heterokesdastisitas, namun model GARCH tidak memperhitungkan perubahan

struktural.

Model Markov Switching adalah alternatif pemodelan data runtun waktu

yang mengalami perubahan struktural. Pada model Markov Switching perubah-

an struktural merupakan hasil variabel random tak teramati (state). Data runtun

waktu nilai tukar Dolar Kanada memiliki heteroskedastisitas dan mengalami pe-

rubahan struktural dapat dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pa-

da proses GARCH. Model GARCH untuk melihat kedinamisan volatilitas dalam

suatu state. Sedangkan model Markov Switching akan menentukan perpindahan

GARCH dari suatu state ke state lain.

27


commit to user

Bab III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penerapan model de-

ngan menggunakan data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah

yang diambil pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional periode 1

Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data ini diperoleh dari website Bank

Indonesia yaitu www.bi.go.id [1].

Langkah-langkah analisis data dalam penelitian ini diuraikan sebagai

berikut.

1. Membuat plot data untuk melihat kestasioneran data dalam mean dan

variansi.

2. Melakukan transformasi log return apabila data belum stasioner baik dalam

rata-rata maupun variansi.

3. Membuat plot ACF dan PACF dari fungsi log return. Jika data stasioner

maka dimodelkan dengan menggunakan proses ARMA. Jika data masih

belum stasioner kembali ke langkah dua.

4. Mengestimasi parameter model ARMA.

5. Memeriksa autokorelasi dalam kuadrat residu model ARMA, jika memiliki

autokorelasi maka terdapat efek heteroskedastisitas. Efek heteroskedastisi-

tas juga dapat diuji dengan uji Lagrange Multiplier.

6. Memeriksa adanya perubahan struktur.

7. Membentuk model GARCH

(a) mengestimasi parameter model GARCH untuk memodelkan heteros-

kedastisitas dari residual model ARMA,

28


commit to user

(b) menentukan model terbaik dari model GARCH yang telah diperoleh

dengan melihat nilai AIC dan SC yang terkecil,

(c) mengestimasi secara bersama parameter model ARMA dan GARCH,

(d) menguji kecocokan model dengan memeriksa efek heteroskedastisitas,

autokorelasi dan asumsi distribusi dari residu terstandar.

8. Membentuk model Markov Switching GARCH

(a) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada setiap

waktu,

(b) menentukan probabilitas transisi dan matrik transisi antar state.

9. Mencari nilai estimasi parameter model GARCH yang melibatkan peru-

bahan state dengan metode Maximum Likelihood (MLE ).

(a) menentukan fungsi likelihood berdasarkan fungsi densitas return yang

melibatkan probabilitas masing-masing state dan probabilitas transisi,

(b) menerapkan algoritma EM untuk mengestimasi parameterMS-GARCH.

10. Melakukan peramalan

(a) menentukan banyaknya ramalan sepanjang f periode yang akan dila-

kukan,

(b) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada waktu

t+ f melalui proses markov chain,

(c) meramalkan nilai log return menggunakan model ARMA untuk men-

cari nilai ramalan kurs jual dolar Kanada terhadap rupiah,

(d) meramalkan volatilitas log return menggunakan model MS-GARCH

yang telah diperoleh.

29


commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data

Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data harian nilai tukar

jual dolar Kanada terhadap rupiah. Data diambil pada hari Senin-Jumat dan

selain hari libur nasional mulai 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012. Data

ini berjumlah 2466 observasi yang diperoleh dari website Bank Indonesia ([1]).

Plot data pada Gambar 4.1 memperlihatkan bahwa data berfluktuasi dari

waktu ke waktu. Hal ini mengindikasikan bahwa data tidak stasioner baik dalam

rata-rata maupun variansi.

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

500 1000 1500 2000

KURS

PERIODE

Gambar 4.1. Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

Indikasi bahwa data tidak stasioner dapat diperkuat menggunakan plot

ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 menunjukkan nilai ACF signifikan berbeda dengan nol dan me-

luruh secara perlahan menuju nol. Hal ini berarti data nilai tukar dolar Kanada

terhadap rupiah tidak stasioner.

30


commit to user

Gambar 4.2. Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

4.2 Log Return

Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah tidak stasioner sehingga

perlu diubah ke bentuk log return untuk menstasionerkan data. Plot dari log

return disajikan pada Gambar 4.3.

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

500 1000 1500 2000

LOG_RETURN

PERIODE

Gambar 4.3. Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah sudah stasioner dalam rata-

rata tetapi variansinya tidak konstan. Variansi yang tidak konstan mengindika-

sikan adanya efek heteroskedastisitas dalam log return.

31


commit to user

4.3 Pengujian Karakteristik Log Return

Karakteristik data log return dalam pembentukan model heteroskedastisi-

tas adalah adanya volatility clustering. Volatility clustering dapat dilihat dari plot

data absolut log return, kuadrat log return dan bentuk kurtosis dari distribusi

data log return yang leptokurtik.

0

200

400

600

800

1,000

1,200

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: LOG_RETURN

Sample 1 2466

Observations 2465

Mean 0.000138

Median 0.000235

Maximum 0.131018

Minimum -0.131120

Std. Dev. 0.008612

Skewness 0.582335

Kurtosis 61.10713

Jarque-Bera 346927.8

Probability 0.000000

Gambar 4.4. Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar

Kanada terhadap Rupiah

Gambar 4.5. Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar

Dolar Kanada terhadap Rupiah

Berdasarkan Gambar 4.4, diperoleh kurtosis yaitu 61,10713. Nilai kurtosis-

nya lebih besar dari 3 sehingga dapat disimpulkan kurtosisnya berupa leptokurtik.

Kurtosis yang berbentuk leptokurtik mengindikasikan volatility clustering. Ada-

nya volatility clustering juga diperkuat dengan berkumpulnya sekelompok aset

return yang bernilai besar kemudian diikuti sekelompok aset return bernilai kecil

yang ditunjukkan Gambar 4.5.

32


commit to user

4.4 Pembentukan Model Stasioner

4.4.1 Identifikasi Model

Autokorelasi dalam data log return dapat dilihat dari plot ACF dan PACF

yang ditunjukkan pada Gambar 4.6.

Gambar 4.6. Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terha-

dap Rupiah

Plot ACF dan PACF dapat digunakan untuk identifikasi model ARMA.

Gambar 4.6 menunjukkan nilai ACF meluruh menuju nol kemudian terputus

setelah lag pertama dan nilai PACF meluruh menuju nol kemudian terputus se-

telah lag pertama sehingga memungkinkan model yang sesuai adalah ARMA(1,0),

ARMA(0,1)dan ARMA(1,1). Estimasi model ARMA untuk log return mengha-

silkan model ARMA( 1,1) dengan koefisien yang tidak signifikan sehingga model

ARMA(1,1) tidak dapat digunakan untuk memodelkan data log return. Model

ARMA yang sesuai untuk memodelkan data log return adalah ARMA(1,0) dan

ARMA(0,1).

33


commit to user

4.4.2 Estimasi Parameter Model ARMA

Hasil uji pada identifikasi model awal menghasilkan model ARMA( 1,0) dan

ARMA(0,1) adalah model yang tepat untuk memodelkan data log return. Hasil

Tabel 4.1. Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return

Model Variabel Koefisien Probabilitas

ARMA(1,0) ϕ1 -0,149455 0,000

ARMA(0,1) θ1 -0,155889 0,000

uji statistik untuk model ARMA(1,0) dan ARMA(0,1) disajikan pada Tabel 4.1.

Hasil estimasi parameter menunjukkan nilai ϕ dan θ signifikan tidak sama dengan

nol karena memiliki probabilitas yang kurang dari α = 0, 05. Model ARMA(1,0)

yang diperoleh adalah

rt = −0, 149455rt−1 + εt,

dan model ARMA(0,1) adalah

rt = −0, 155889εt−1 + εt,

dengan rt adalah log return pada waktu t dan εt adalah residu yang dihasilkan

model pada waktu t. Pada penelitian ini akan menggunakan model ARMA(1,0)

sebagai model conditional mean mengacu pada Gray([6]).

4.4.3 Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0)

Model ARMA(1,0) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut. Mo-

del ARMA(1,0) diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam memodelkan rata-rata

bersyarat pada data runtun waktu log return dari nilai tukar dolar Kanada terha-

dap rupiah. Pemeriksaan model ARMA(1,0) mencakup pemeriksaan autokorela-

si residu dan homokedastisitas residu. Model ARMA(1,0) dikatakan baik untuk

memodelkan efek heteroskedastisitas jika residu yang dihasilkan tidak terdapat

autokorelasi dan efek homoskedastisitas.

34


commit to user

4.4.3.1 Uji Autokorelasi

Model ratarata bersyarat dikatakan baik jika residu yang dihasilkan sudah

tidak memiliki autokorelasi. Autokorelasi residu dapat dideteksi menggunakan

uji statistik Breusch-Godfrey dengan hipotesis

H0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat

H1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata bersyarat.

Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0)

Koefisien Probabilitas

Uji Breusch-Godfrey 0,4231

ARMA(1,0) 1,529553 0,5650

Residu pada lag-1 -1,534067 0,5639

Residu pada lag-2 0,198099 0,6185

Residu pada lag-3 -0,060538 0,3344

Residu pada lag-4 0,019380 0,3792

Residu pada lag-5 -0,004950 0,8066

Statistik uji Breusch-Godfrey untuk residu sampai lag-10 pada model AR-

MA(1,0) disajikan pada Tabel 4.2. Uji Breusch-Godfrey untuk model ARMA(1,0)

memberikan nilai probabilitas 0,4613 yang lebih besar dari tingkat signifikansi

α = 0, 05 sehingga H0 tidak ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa di dalam

residu model ARMA(1,0) tidak memiliki autokorelasi.

4.4.3.2 Homokesdastisitas Variansi

Homokedastisitas variansi residu model ARMA(1,0) dapat dilihat pada

Gambar 4.7. Plot memperlihatkan variansi yang tinggi pada beberapa periode

dan variansi yang kecil pada periode yang lain. Oleh karena itu, diindikasikan

residu model ARMA(0,1) tidak memiliki variansi yang konstan atau terdapat

efek heteroskedastisitas.

35


commit to user

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

500 1000 1500 2000

RESID_AR

PERIODE

Gambar 4.7. Plot Residu Model ARMA(1,0)

4.4.4 Uji Efek Heteroskedastisitas

4.4.4.1 Uji Korelasi Kuadrat Residu

Residu model ARMA(1,0) perlu dilakukan uji efek heteroskedastisitas. Uji

efek heteroskedastisitas pada model meliputi uji autokorelasi pada residu dan re-

sidu kuadratnya. Heteroskedastisitas pada suatu model akan teridentifikasi jika

di dalam residu model tersebut tidak terdapat autokorelasi dan residu kuadrat

model tersebut terdapat autokorelasi. Sebelumnya telah dibuktikan bahwa model

ARMA(1,0) mempunyai residu yang sudah tidak berautokorelasi lagi. Kemudi-

an untuk mengetahui autokorelasi pada residu kuadrat modelARMA(1,0) dapat

dilihat dari plot ACF dan PACF pada Gambar 4.8.

Gambar 4.8. Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0)

36


commit to user

Bardasarkan Gambar 4.8 memperlihatkan bahwa ada nilai yang berbeda

signifikan dengan nol yang berarti terdapat autokorelasi di dalam kuadrat residu

modelARMA(1,0). Hal ini diperkuat dengan uji Ljung-Box Q statistik sampai

lag-20 yang memberikan probabilitas lebih kecil dari α maka dapat disimpulkan

bahwa di dalam kuadrat residu modelARMA(1,0) terdapat autokorelasi. Adanya

autokorelasi di dalam residu model ARMA(1,0) dapat disimpulkan residu model

ARMA(1,0) terdapat efek heteroskedastisitas.

4.4.4.2 Uji Lagrange Multiplier

Efek heteroskedastisitas juga dapat diketahui menggunakan uji Lagrange

Multiplier. Hasil uji Lagrange Multiplier dari residu model ARMA(1,0) disajikan

pada Tabel 4.3. Uji hipotesis dari uji Lagrange Multiplier sampai dengan lag10

adalah

H0 : tidak ada efek ARCH sampai lag10

H1 : paling tidak terdapat efek ARCH pada sebuah lag.

Tabel 4.3. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)

Koefisien Probabilitas

Uji Lagrange Multiplier 0,0000

α0 4,64×10−5 0,0000

α1 0,441022 0,0000

α2 -0,186368 0,0000

α3 0,125827 0,0000

α4 -0,077204 0,0006

α5 0,079656 0,0004

α6 -0,052371 0,0206

α7 0,021476 0,3414

α8 0,005096 0,8203

α9 -0,003643 0,8692

α10 0,007987 0,6930

37


commit to user

Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa statistik uji sampai lag-10 untuk residu

model ARMA(1,0) menghasilkan nilai probabilitas 0,000000. Nilai ini lebih kecil

dari α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa pada residu

model ARMA(1,0) terdapat efek ARCH atau efek heteroskedastisitas.

4.4.5 Uji Perubahan Struktur

Pengujian perubahan struktur perlu dilakukan untuk mengetahui ada ti-

daknya perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah.

Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur adalah sebagai berikut

:

H0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada ter-

hadap rupiah

H1 : terdapat perubahan struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap

rupiah

Tabel 4.4. Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0)

Break F Probabilitas

1624 8,865309 0,002935

Tabel 4.4 menghasilkan nilai probabilitas 0,002935. Nilai ini lebih kecil da-

ri α = 0, 05 sehingga H0 ditolak. Jadi dapat disimpulkan terdapat perubahan

struktur pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah.

4.4.6 Model GARCH

Residu model ARMA(1,0) mengandung efek heteroskedastisitas dapat di-

modelkan menggunakan model GARCH. Estimasi parameter menggunakan meto-

de BHHH memberikan hasil bahwa model GARCH yang dapat digunakan untuk

memodelkan residu model ARMA(1,0) adalah GARCH (1,1) dan GARCH (1,2).

Pemilihan awal model yang sesuai berdasarkan signifikansi parameter model yang

disajikan pada Tabel 4.5.

38


commit to user

Tabel 4.5. Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0)

Parameter GARCH (1,1) GARCH (1,2)

α0 1,10×10−5 1,45×10−5

prob α0 0,0000 0,0000

α1 0,185615 0,231897

prob α0 4,64E-05 0,0000

β1 0,671527 0.238028

prob β1 0,0000 0,0001

β2 - 0.336637

prob β2 - 0,0000

AIC -6,912568 -6,914858

SC -6,905495 -6,905427

Model yang dipilih adalah model yang memiliki AIC dan SC terkecil. Oleh

karena itu, untuk memodelkan heteroskedastisitas dari residu model ARMA(1,0)

menggunakan model GARCH (1,1). Model yang diperoleh adalah

σ2t = 1, 10× 10−5 + 0, 185615ε2t−1 + 0, 671527σ2

t−1.

4.4.7 Model Markov Switching GARCH

Data return nilai tukar dolar Kanada mengindikasikan adanya perbedaan

antara state volatilitas tinggi dan volatilitas rendah. Model GARCH konvensio-

nal tidak mampu mendeteksi adanya perubahan state dari volatilitas tinggi ke

rendah atau sebaliknya sehingga diperlukan model MS-GARCH. Sesuai dengan

identifikasi model, rata-rata bersyarat yang digunakan adalah ARMA(1,0) dan

variansi bersyarat yang digunakan adalah GARCH(1,1). Hasil estimasi parame-

ter MS-GARCH sebagai berikut

rt =

−0, 00145400,untuk state nol

0, 00022500,untuk state satu.

39


commit to user

σ2t =

0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1,untuk state nol

0, 00003000 + 0, 08454900ε2t−1 + 0, 00012900σ2t−1,untuk state satu.

P =

0, 8532020 0, 1467980

0, 0105534 0, 9894466

.

Matriks transisi P memberikan penjelasan bahwa probabilitas terjadinya

periode volatilitas rendah diikuti periode volatilitas rendah sebesar p00=0,8532020,

sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas rendah

sebesar 1-p00= 0,1467980. Hal ini berarti nilai tukar dolar Kanada terhadap rupi-

ah akan mengalami volatilitas tinggi setiap 1/(p01)= 7 hari. Sedangkan probabi-

litas terjadinya periode volatilitas tinggi diikuti periode volatilitas tinggi sebesar

p11= 0,9894466, sehingga probabilitas periode volatilitas tinggi diikuti periode

volatilitas rendah sebesar 1-p11= 0,0105534. Hal ini berarti nilai tukar dolar Ka-

nada terhadap rupiah akan mengalami volatilitas rendah setiap 1/(p10)=95 hari.

4.4.8 Peramalan

4.4.8.1 Peramalan Volatilitas

Ramalan volatilitas log return dari waktu t menggunakan model MS-

GARCH dihitung berdasarkan persamaan variansi bersyarat

σ2t =

0, 00046100 + 0, 19508900ε2t−1,untuk state nol

0, 00003000 + 0, 08454900ε2t−1 + 0, 00012900σ2t−1,untuk state satu.

Hasil ramalan volatilitas log return untuk enam periode ke depan, yaitu

periode 2467 sampai 2472 dapat dilihat pada Tabel 4.6.

Tabel 4.6. Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan

Periode 2466 2467 2468 2469 2470 2471

Ramalan 0,000061 0,000060 0,000059 0,000059 0,000059 0,000059

40


commit to user

4.4.8.2 Peramalan Rata-Rata Bersyarat

Ramalan nilai log return dihitung berdasarkan persamaan rata-rata ber-

syarat yang dirumuskan sebagai

rt =

−0, 00145400,untuk state nol

0, 00022500,untuk state satu.

Karena terdapat heteroskedastisitas di dalam residu ARMA(1,0), diasum-

sikan bahwa

εt+s ∼ N(0, σ2t+s)

Sehingga interval konfidensi 95% untuk pengamatan berikutnya adalah

r̂t+s ± 1, 96σt+s.

Tabel 4.7. Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Interval

Konfidensi 95%

Periode Nilai ramalan Batas bawah Batas atas

2466 0,00011239 -0.015146583 0.0153714

2467 0,00011239 -0,015030909 0,0152557

2468 0,00011239 -0,014954076 0,0151788

2469 0,00011239 -0,014954067 0,0151788

2470 0,00011239 -0,014954067 0,0151788

2471 0,00011239 -0,014954067 0,0151788

Log return bukan data yang sebenarnya, sehingga bentuk log return harus

diubah ke dalam bentuk semula untuk melihat hasil ramalan nilai tukar dolar

Kanada terhadap rupiah. Persamaan untuk data pada periode t yaitu

Pt = Pt−1ert .

Persamaan tersebut digunakan untuk mencari nilai ramalan nilai tukar dolar Ka-

nada terhadap rupiah berdasarkan nilai ramalan log return. Ramalan nilai tukar

dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode ke depan adalah ramalan

41


commit to user

pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional. Hasil ramalan nilai tukar

dolar Kanada terhadap rupiah untuk periode ke 2367 sampai 2372 atau tanggal

1 Maret sampai 8 Maret 2012 yang disajikan pada Tabel 4.8.

Tabel 4.8. Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam

Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95%

Periode Data asli Nilai ramalan Batas bawah Batas atas

2466 9234,86 9192.61 9053,41 9333,96

2467 9248,43 9192,61 9055,47 9333,93

2468 9290,57 9193,65 9055,47 9333,93

2469 9278,06 9194,70 9056,82 9334,64

2470 9255,28 9195,71 9058,15 9335,36

2471 9236,92 9196,75 9059,07 9336,51

4.4.9 Validasi Model

Ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam periode

ke depan, yaitu pada tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 menggunakan model

ARMA, GARCH dan MS-GARCH disajikan pada Tabel 4.9.

Tabel 4.9. Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

Periode 1 Mar 2 Mar 5 Mar 6 Mar 7 Mar 8 Mar

Data Asli 9248,43 9290,57 9278,06 9255,28 9236,92 9234,86

Ramalan ARMA 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62 9191,62

Ramalan GARCH 9192,22 9192.21 9192.21 9192.21 9192.21 9192.21

Ramalan MS-GARCH 9192,61 9192,61 9193,65 9194,70 9195,71 9196,75

Tabel 4.10. MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah

Model ARMA GARCH MS-GARCH

MSE 4970,52 4666,21 4443.35

42


commit to user

Tabel 4.9 menghasilkan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah

menggunakanMS-GARCH yang paling mendekati data aslinya. Hal ini diperkuat

denganMSE dari peramalan modelMS-GARCH lebih kecil apabila dibandingkan

MSE dari peramalan model ARMA dan GARCH.

43


commit to user

Bab V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Model untuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah

periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 adalah ARMA(1,0) se-

bagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi

bersyarat untuk state nol dan ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersya-

rat dan GARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat untuk state satu.

2. Hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah untuk enam pe-

riode kedepan dari tanggal 1 Maret sampai 8 Maret 2012 berturut-turut

9192,61, 9192,61, 9193,65, 9194,70, 9195,71, 9196,75.

5.2 Saran

Skripsi ini membahas tentang peramalan menggunakan modelMarkov Swit-

ching dengan variansi bersyarat model GARCH. Model GARCH mengasumsikan

bahwa nilai residu baik positif maupun negatif memberikan pengaruh yang si-

metris terhadap volatilitasnya. Pada data finansil kadang dijumpai pergerakan

volatilitas yang tidak simetris (asimetris). Pembahasan lebih lanjut tentang Mar-

kov Switching dapat menggunakan model variansi bersyarat yang memiliki sifat

volatilitas asimetris seperti EGARCH, APARCH atau TARCH.

44


commit to user

DAFTAR PUSTAKA

[1] BI,Kurs uang kertas asing mata uang dolar kanada, www.bi.go.id, 1 Februari

2012.

[2] Bollerslev, Tim, Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,

Econometrics 31 (1986), 307–327.

[3] Chow, G.C, Tests of equality between sets of coefficient in two linear regres-

sion, Econometrica 28 (1960), no. 3, 591–605.

[4] Cryer, J. D, Time series analysis, PWS Publisherrs Duxbury Press, Boston,

1986.

[5] Engle, R. F, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of

the variance of United Kingdom inflation, Econometrics 50 (1982), 987–1006.

[6] Gray, S. F,Modeling the conditional distribution of interest rates as a regime-

switching process, Econometrics 42 (1996), 27–62.

[7] Hamilton, J. D, A new aproach to the economic analysis of nonstationary

time series and the business cycle, Econometrics 57 (1989), 357–384.

[8] Hamilton, J. D and R. Susmel, Autoregressive conditional heterocedasticity

and changes in regime, Econometrics 64 (1994), 307–333.

[9] Haruko, K, Change in the relationship between currency and commodity,

Bank of Japan, 2012.

[10] Klaseen, F, Improving GARCH volatility forecasts with regime-switching

GARCH, Empirical Economics (2001).

45


commit to user

[11] Makridakis, S., S.C. Wheelwright, and V.E. McGee, Metode dan aplikasi

peramalan, 2 ed., Erlangga, Jakarta, 1995.

[12] Marcucci, J, Forecasting stock market volatility with regime-switching GAR-

CH models, University of California, San Diego, 2005.

[13] Tsay, R. S, Analysis of financial time series, John Wiley and Sons, Canada,

2002.

46

MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP …/Model... · structural change is a pattern change...

Documents

Transcript of MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP …/Model... · structural change is a pattern change...