MENENTUKAN KOMPOSISI DUA FUNGSI DAN INVERS SUATU FUNGSI

ALJABAR FUNGSI Secara aljabar, fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut Definisi : Misalkan fungsi f (x) dan fungsi g (x) masing-masing dengan daerah asal Df dan Dg, maka : Jumlah fungsi f (x) dan fungsi g (x) adalah (f+g) (x) = f (x) + g (x) dengan daerah asal Df + g = Df Dg Selisih fungsi f (x) dan fungsi g (x) adalah (f g) (x) = f (x) g (x) dengan daerah asal Df g = Df Dg Perkalian fungsi f (x) dan fungsi g (x) adalah (f . g) (x) = f (x). g (x) dengan daerah asal Df . g = Df Dg Pembagian fungsi f (x) dan fungsi g (x) adalah ( ) (x) = dengan daerah asal

= Df Dg, dan g (x) 0

Contoh 1. Di ketahui fungsi-fungsi f dan g masing-masing ditentukan dengan rumus f (x) = g (x) = Tentukan fungsi-fungsi berikut ini serta daerah asalnya. a) (f + g) (x) b) (f g) (x) Jawab : Daerah asal fungi f (x) = (x) = adalah Dg = { + }{ } + dengan daerah asal Df+g = { dengan daerah asal Df+g = { . = } } adalah Df = { } } dan daerah asal fungsi g c) (f . g) (x) d) ( ) (x) dan

a) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = Daerah asal fungsi (f + g) (x) : Df+g = Df Dg = { Df+g = { Jadi (f + g) (x) = } b) (f g_ (x) = f (x) g (x) = Jadi (f g) (x) =

Daerah asal fungsi (f g) (x) sama dengan daerah asal fungsi (f + g) (x)

c) (f . g) (x) = f (x) . g (x) =

Daerah asal fungsi (f . g) (x) sama dengan daerah asal fungsi (f + g) (x). Jadi (f . g) (x) = d) ( ) (x) = dengan daerah asal Df+g = { }

=

=

Daerah asal fungsi ( ) (x) sama dengan daerah asal fungsi (f + g) hanya saja x 4 , jadi

( ) (x) =

dengan daerah asal

={

}

FUNGSI KOMPOSISI Misalnya diketahui fungsi-fungsi f(x) dan g(x). Dari dua fungsi ini dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan (dibaca : komposisi atau bundaran). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu ada dua macam, yaitu : 1. (f g) (x) , dibaca : f komposisi g x atau f g x 2. (g f) (x) , dibaca : g komposisi f x atau g f x Komposisi fungsi f (x) dan fungsi g (x), baik yang disusun dengan menggunakan aturan (f g) (x) maupun (g f) (x), disebut fungsi komposisi atau fungsi majemuk.

Pengertian Fungsi Komposisi Untuk memahami operasi komposisi pada fungsi, perhatikan gambar berikut : x g g(x) f f(g(x))

Perhatikan urutan langkah-langkahnya : Fungsi g memetakan x menjadi g (x) Kemudian fungsi f mengolah g (x) menjadi f (x) Fungsi f (g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f, disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g) (x) dengan (f g) (x) = f (g(x)). Dengan menggunakan analisis yang sama, komposisi fungsi f dan fungsi g adalah fungsi komposisi (g f) (x) dengan (g f) (x) = g (g(x)).

Rumus Rumus Fungsi Komposisi Fungsi g : A B Tiap unsur x Dg dipetakan ke y Wg dengan aturan y = g (x)

Fungsi f : B C Tiap unsur y Df dipetakan ke z Wf, dengan aturan z = f (y)

Fungsi h : A C Tiap unsur x Dh dipetakan ke z Wh, dengan aturan z = h (x)

Fungsi h adalah pemetaan dari himpunan A ke C dengan perantara himpunan B. Fungsi h ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f yaitu fungsi komposisi (f g), ditulis h = (f g) atau h (x) = (f g) (x). sekarang menyatakan rumus fungsi komposisi (f g) (x) dalam fungsi f (x) dan fungsi g (x). Sekarang menyatakan rumus fungsi komposisi (f g) (x) dalam fungsi f (x) dan fungsi g (x) - Fungsi g ditentukan oleh aturan y = g (x) - Fungsi f ditentukan oleh aturan z = f (x) . . . . . . . . . (1) . . . . . . . . . (2) . . . . . . . . . (3)

- Fungsi h ditentukan oleh aturan z = h (x)

Persamaan (3) = persamaan (2) atau h (x) = f (x) . . . . . . . . . (4) Substitusi y = g (x) dari persamaan (1) ke persamaan (4) diperoleh : h (x) = f (g(x)) Karena h (x) = (f g) (x), maka diperoleh : (f g) (x) = f (g(x)) Berdasarkan deskripsi diatas, komposisi fungsi g dan fungsi f dapat didefinisikan sebagai berikut: Missal diketahui fungsi-fungsi : g : A B ditentukan dengan rumus g (x) f : B C ditentukan dengan rumus f (x) Maka komposisi dari fungsi g dan f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi (f g) (x) = f (g(x)).

Agar fungsi komposisi (f g) (x) ada atau terdefinisi, maka (Wg Df) Wg Df inilah yang menentukan daerah asal (f g) (x) atau Wf g

(himpunan kosong).

Dengan demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membentuk fungsi komposisi (f g) (x), yaitu : 1. Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (f g) (x) adalah irisan antara wilayah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong. Wg Df

2.

Daerah asal fungsi komposisi (f g) (x) ditentukan oleh Wg Df. Pada umumnya daerah asal (f g) (x) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g. Df g Dg

3.

Wilayah hasil fungsi komposisi (f g) (x) juga ditentukan oleh Wg Df. Pada umumnya wilayah hasil (f g) (x) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi f. Wf g Wf

Dengan menggunakan analisis pemikiran yang sama, komposisi fungsi f (x) dan fungsi g (x), yaitu fungsi komposisi (f g) (x) dapat didefinikan sebagai berikut : Misal diketahui fungsi fungsi F : A B ditentukan dengan rumus f (x) G : B C ditentukan dengan rumus g (x) Maka komposisi dari fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh rumus fungsi komposisi (f g) (x) = g (f(x)) Dalam fungsi komposisi (f g) (x) = g (f(x)), mula-mula x Df dipetakan oleh f ke f (x) Wf. Kemudian f (x) Wf yang juga harus Dg dipetakan oleh g ke g (f(x)).

Nilai fungsi komposisi (f g) (x) dan (g f) (x) untuk x = a ditentukan dengan aturan : - (f g) (a) = f (g (a)) - (g f) (a) = g (f (a))

Fungsi Komposisi (f g) (x) dan (g g) (x) disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun dari dua fungsi yang sama.

Contoh : 1. Diketahui fungsi f : R R dengan f (x) = 4x 1 dan fungsi g : R R dengan g (x) = x2 + 2. Tentukan : a) (f g) (x) b) (g g) (x) Jawab :

a) (f g) (x) = g (f(x)) = g (4 x 1) = (4 x 1)2 + 2 = 16x2 8x + 3 Jadi (f g) (x) = 16x2 8x + 3 b) (g g) (x) = g (g (x)) = g (x2 + 2) = (x2 + 2)2 + 2 = x4 + 4x + 6 Jadi, (g g) (x) = x4 + 4x2 + 6 2. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f : { (0,1), (2,4), (3,-1), (4,5) } g : { (2,0), (1,2), (5,3), (6,7) } Tentukan : a) (f g) b) (f g) c) (f g) (1) Jawab : d) (f g) (6) e) (g f) (4) f) (g f) (2)

g

f

2 1 5 6 Dg f Wf

0 2 3 4 Df

1 4 -1 5 Wf

(f g)

f

g

0 2 3 4 Df Wf 4 -1 1 5 2 Df 6

2 3 7 0 Wg

(f g)

Jawab : a) Diagram pemetaan (f g) diperlihatkan pada gambar (a) (f g) = { (2,1), (1,4), (5, -1) } b) Diagram pemetaan (g f) diperlihatkan pada gambar (b) (g f) = { (0,2), (4,3) } c) (f g) (1) = 4 d) (f g) (6) tidak terdefinisikan karena 6 Df g e) (g f) (4) = 3 f) (g f) (2) tidak terdefinisikan karena 2 Dg f

Sumber Wi odikromo, Sartono. 2006. Matematika SMA 2 IPA untuk kelas XI. Jakarta : Erlangga